Valores propios y vectores propios (eigenvalores y eygenvectores) de matrices reales y complejasA continuacin se va a desarrollar un tema muy importante dentro delalgebra lineal, llamado valor propio y se plantea de la siguiente manera:

Los trminos valor propio y vector propio correspondientes a los trminos eigenvalor y eigenvector derivados del trmino alemn Eigenwert cuyo significado es "valor propio"Interpretacin geomtrica en el plano R2

VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZDefinicin:

A esta ecuacin se la denomina ecuacin caracterstica de A. Ejemplo:

Observaciones:Si A es unamatrizde orden nxn entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

Solucin:La ecuacin caracterstica de A es:

3.1.-PROCESOSPARA DETERMINACIN DE VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS.Sea A una matriz nxn:

Observacin:Todo endomorfismo en V donde V es un espacio vectorial de dimensin finita y mayor o igual a 1 sobre el cuerpo de los complejos admite vectores propios.Pero si el cuerpo no es complejo, entonces no existen vectores propios. Ejemplo:

Elsistemaadmite solucin no trivial si:

Teorema:

Demostracin:La matriz de f respecto de la base [ V ] se obtiene determinando lasimgenesde los vectores de dicha base, y teniendo en cuenta la definicin de vector propio

Observacin:

POLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZDefinicin:

PROPIEDADES:

VALORES CARACTERISTICOS PARA MATRICES TRIANGULARESSi A es una matriz triangular nxn entonces sus valores propios son sus elementos en la diagonal principal.3.2.- MATRICES SEMEJANTES:Sean las matrices A y B de orden nxn se dice que la matriz A es semejante a la matriz B si existe una matriz P invertible de orden nxn tal que B = P-1APObservacin:La definicin dada tambin se puede expresar as:Las matrices A y B de orden nxn son semejantes si y solo si existe una matriz invertible P tal que PB = AP Ejemplo:

Teorema:Si A y B son matrices semejantes de orden nxn, entonces A y B tienen elmismo polinomio caracterstico y por lo tanto, tienen losmismos valores propios.Demostracin:

Esto significa que A y B tienen la misma ecuacincaractersticay como los valores propios son races de la ecuacin caracterstica tienen los mismos valores propios.3.3.- EJERCICIOS

2.-Encuentre los autovalores y autovectores correspondientes a las siguientes transformaciones lineales:

3.-Obtener los eigenvalores y los eigenvectores asociados si existen de la siguiente matriz:

Por lo tanto los eigenvectores de la matriz A son (1,0) (1,1)

Posibles valores: a= 1; d = 15.-Determine los valores caractersticos de la siguiente matriz:

Lo cual implica que los valores caractersticos de A son -1, 6, -26.-Vea si las matrices D y A son semejantes dada la matriz P

Diagonalizacin de matricesSe dice que una matriz cuadrada A es diagonizable, si existe una matriz inversible P tal que P-1AP sea diagonal; se dice que la matriz P diagonaliza a la matriz A.S existe una matriz ortogonal P tal que P-1AP es diagonal, entonces A es diagonizable, y se dice que P diagonaliza ortogonalmente a A. Ejemplo:

Teorema:Una matriz A de orden nxn es diagonizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes.En tal caso la matriz diagonal D semejante a A esta dado por:

Demostracin:

Entonces P es invertible ya que sus columnas son linealmente independientes.Ahora tambin.

Entonces AP = PD y como P es inversible, se puede multiplicar ambos lados por la izquierda por P-1 para obtener:D = P-1APNota:Si A es una matriz de orden nxn, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: A es diagonizable. A tiene vectores propios linealmente independientes.Nota:Si una matriz A de orden nxn tiene n valores propios diferentes entonces A es diagonizable. Ejemplo:Determinar si la siguiente matriz es diagonizable:

Solucin:Calculando los valores propios de lamatriz A

Poniendo en la forma escalonada en los renglones reducida:

Para verificar laindependencialineal de los vectores se forma la matriz P, cuyas columnas son los vectores propios y se convierte enlaforma escalonada reducida.

4.1.- PASOS PARA DIAGONALIZAR UNA MATRIZ CUADRADA:Sea A una matriz nxn: 1)Determine n vectores propios linealmente independientes v1, v2, v3,..vn de A, con valores propios correspondientes ?1, ?2, ?3,.?n. Si no existen n vectores propios linealmente independientes, entonces A no es diagonizable. 2)Si A tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces sea P la matriz nxn cuyas columnas son tales vectores propios. Es decir:P = [v1, v2, v3,vn] 3)La matriz diagonal D = P-1AP tendr los valores propios ?1, ?2, ?3,.?n en su diagonal principal (y ceros en el resto). Observe que el orden de los vectores propios usados para formar P determina el orden en que aparecen los valores propios sobre la diagonal principal de D.4.2.- EJERCICIOS

Concluimos que A s es diagonizable.2.-Encontrar la matriz P que diagonalice a la matriz A.

Solucin:Buscamos los vectores propios de A. Como es una matriz de 3x3 entonces debe tener tres vectores propios para ser diagonizable.Como A es una matriz triangular superior, sabemos que los valores propios son los elementos de la diagonal principal.

Finalmente formamos la matriz P que est constituida por los vectores propios como vectores columna.

3.-Demuestre que la matriz dada no es diagonizable.

Por tanto A no tiene dos vectores caractersticos linealmente independientes, entonces se concluye que Ano es diagonizable.4.-Demuestre que la matriz dada no es diagonizable.

Por tanto A no tiene dos vectores caractersticos linealmente independientes, entonces se concluye que Ano es diagonizable.5.-Calcular A6 donde la matriz A es igual a:

Aqu aplicamos la ecuacin delclculode las potencias de una matriz.

Matrices simtricas y diagonalizacin ortogonal5.1.- MATRIZ SIMETRICA:Definicin:Una matriz cuadrada es simtrica si:

Observacin: Una matriz no simtrica puede no ser diagonizable. Una matriz no simtrica puede tener valores propios que no sean reales. Para una matriz no simtrica, el numero de vectores propios linealmente independientes correspondientes a un valor propio puede ser menor que la multiplicidad del valor propio.Ninguno de los casos anteriores es posible con una matriz simtrica.Teorema:Si A es una matriz simtrica nxn, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

Demostracin:La demostracin no es posible ya que se requiere conocimientos ms avanzados. Ejemplo:

5.2.- MATRIZ ORTOGONALDefinicin:

Teorema:Una matriz P nxn es ortogonal si y solo si sus vectores columna forman un conjunto ortonormal.Demostracin:Suponga que los vectores columna de P forman un conjunto ortonormal.

Por lo tanto, la matriz compuesta deproductospunto es de la forma

Teorema:Si A es una matriz simtrica nxn. Si ?1 y ?2 son valores propios distintos de A entonces sus vectores propios correspondientes x1 y x2 son ortogonales.Demostracin:

Ejemplo:

Por consiguienteX1.x2 = (s, -s). (t, t) = st st = 0Y se concluye que x1 y x2 son ortogonales.5.3.- DIAGONALIZACIN ORTOGONAL:Una matriz es diagonizable ortogonalmente si existe una matriz P tal queP-1AP = DTeorema:Si A es una matriz nxn. Entonces A es diagonizable ortogonalmente y tiene valores propios reales si y solo si A es simtrica.Demostracin:

Por consiguiente, A es simtrica.Observacin:El conjunto de matrices diagonizable ortogonalmente es precisamente el conjunto de matrices simtricas. Ejemplo:

Ahora normalizamos estos vectores:

5.4.-PROCESODE DIAGONALIZACION ORTOGONAL DE UNA MATRIZ SIMETRICA:Sea A una matriz simtrica nxn a)Determine todos los valores propios de A y la multiplicacin de cada uno. b)Para cada valor propio de multiplicidad 1, elija un vector propio unitario (Elija cualquier vector propio y despus normalcelo). c)Para cada valor propio de multiplicidad k2 encuentre un conjunto de k vectores propios linealmente independientes. Si este conjunto no es ortonormal, aplique elmtodode ortonormalizacion de Gran-Schmidt. d)La composicin de los pasos b) y c) da un conjunto ortonormal de n vectores propios. Use estos vectores propios para formar las columnas de P. La matriz P-1AP = PTAP = D ser diagonal.5.5.- EJERCICIOS:1.-Determine si la matriz dada es ortogonal.

2.-Encuentre una matriz ortogonal P tal que PTAP diagonalize a A. Compruebe que PTAP da la forma diagonal correcta.

Ahora hacemos la comprobacin:

3.-Encuentre una matriz P que diagonalize ortogonalmente a A.

Los dos vectores son de multiplicidad 1; por los tanto los normalizamos para obtener una base ortonormal.

4.-Encuentre los valores propios de la matriz simtrica dada. Para cada valor propio, determine la dimensin del espacio propio correspondiente.

Solucin:Encontramos los valores propios de A.

Por lo tanto tenemos que la dimension del espacio propio es 2.5.-Encuentre una matriz ortogonal P que diagonalice a

Potencias de matrices.Ecuacionesen diferencias6.1.-POTENCIAS DE MATRICES:Una primera aplicacin a la diagonalizacin de una matriz es que se puede fcilmente encontrar lapotencian-sima de una matriz.

6.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS:Unaecuacin en diferenciaes una expresin que relacina distintassucesiones, siendo una de ellas una sucesin desconocida.Son similares a lasecuaciones diferenciales, sustituyendo lasfuncionespor sucesiones.

Las combinaciones lineales desolucionesde la forma indicada arriba tambin son soluciones.6.3.- EJERCICIOS:1.-Elevar la matriz dada al cuadrado al cubo y a la cuarta potencia

2.-Elevar la matriz a la n-esima potenciaDado

Solucion:Aplicando lo ya antes demostrado obtenemos la potencia hay que tomar en cuenta que si no tenemos la matriz D tenemos que obtenerla mediante la diagonalizacin. Adems de obtener P y P inversa.

3.-Encontrar la matriz potencia de:

Solucin:Para este ejercicio se considera que ya previamente se a realice do la diagonalizacin y las matrices P y D son:

4.-Utilice la expresin del ejercicio anterior para calcular la potencia cuandon=5Solucin:

5.-Dado

Calcular la cuarta potenciaSolucin:Realizando la multiplicacin tenemos

Matrices unitarias, normales y matrices hermitianasLosproblemasque implican la diagonalizacin de matrices complejas, as como los problemas asociados de valores caractersticos, requieren delconceptode matrices unitarias y Hermitianas. Estas matrices corresponden grosso modo a las matrices reales ortogonales y simtricas. Para definir las matrices unitarias y Hermitianas definiremos primero los siguientes conceptos:Definicin de la Transpuesta Conjugada de una MatrizTranspuesta:La transpuesta conjugada de una matriz transpuesta A, denotada por A*, se define como:

Donde los elementos de A son los conjugados complejos de los elementos correspondientes de A.Observacin:Hay que tener presente que si A es una matriz real, entonces:

7.1.- MATRICES UNITARIAS:Una matriz compleja A se denomina unitaria si:

Teorema:Una matriz compleja A nxn es unitaria si y solo si sus vectores rengln (o columna) forman un conjunto ortogonal en Cn7.2.- MATRICES NORMALES:Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, siAAT =ATA. Obviamente, siAes simtrica, anti simtrica u ortogonal, es necesariamente normal.7.3.- MATRICES HERMITIANAS:Se dice que una matriz cuadrada A es hermitiana si:A = A*As como las matrices simtricas, las matrices Hermitianas pueden identificarse fcilmente por inspeccin. Para probar esto consideremos una matriz de 2x2.

Resultados semejantes pueden obtenerse para matrices Hermitianas de orden nxn. En otras palabras, una matriz cuadrada A es hermitiana si y solo si se cumplen las condiciones siguientes: 1.Los elementos de la diagonal principal son reales. 2.El elemento aij en la i-esima columna es el conjugado complejo del elemento aji en el j-simo rengln y en la i-esima columna.Teorema:Los valores caractersticos de una Matriz Hermitiana:Si A es una matriz Hermitiana, entonces sus valores caractersticos son nmeros reales.Demostracin:

Teorema: Matrices Diagonalizables UnitariamenteSi A es una matriz hermitiana nxn, entonces: 1.A es diagonalizable unitariamente 2.A tiene un conjunto de n vectores caractersticos ortonormales.Teorema: Vectores caractersticos de una Matriz Hermitiana

Comparacin de las Matrices Hermitianas y las Matrices Simtricas:A es una matriz simtrica( Real)A es una matriz Hermitiana(Compleja)

1.-Los valores caractersticos de A son reales1.- Los valores caractersticos de A son reales.

2.- Losvectores caractersticos correspondientes a valores caractersticos son ortogonales2.- Los vectores caractersticos correspondientes a valores caractersticos distintos son ortogonales.

3.- Existe una matriz ortogonal P tal que P"AP es diagonal.3.- Existe una matrizunitaria P tal que P*AP es diagonal.

7.4.- EJERCICIOS:1.-Demuestre que la siguiente matriz es unitaria.

2.-Demuestre que la siguiente matriz compleja es unitaria al demostrar que su conjunto de vectores rengln forma un conjunto ortonormal en C3

Solucin:Sean r1, r2 y r3 definidos como de la siguiente manera:

De manera semejante r1.r3 = 0 y r2.r3 = 0 y se puede concluir que (r1,r2,r3) es un conjunto ortonormal.3.-Cules de los siguientes matrices son Hermitianas?

Solucin: a)Esta matriz no es hermitiana porque contiene un elemento imaginario en su diagonal principal. b)Esta matiz es simtrica pero no hermitiana porque el elemento en el primer rengln y segunda columna no es complejo conjugado del elemento en el segundo rengln y primera columna. c)Esta matriz es hermitiana.4.-Encuentre los siguientes valores de la siguiente matriz Hermitiana.

Lo cual implica que los valores caractersticos de A son: -1, 6, -2Para encontrar los vectores caractersticos de una matriz compleja se usa unprocedimientosemejante al que se emplea en una matriz real.

5.-Demuestre que los siguientes vectores caractersticos de la matriz hermitiana del ejercicio anterior son mutuamente ortogonales.

6.-Encuentre una matriz unitaria P tal que P*AP sea una matriz diagonal, donde

Solucin:Enel ejercicio anterior encontramos los vectores caracteristicos de A. La matriz P se forma al normalizar estos tres vectores caracteristicos y usar los resultados para crear los renglones de P.

Aplicaciones: crecimiento de una poblacinLas matrices pueden aplicarse para elaborarmodelosque describan el crecimiento de alguna poblacin en clases de edad de la misma duracin.Si eltiempoque vive un miembro de la poblacin es L aos entonces las clases de edad se representan por los n siguientes intervalos:

Numero en laclasede primera edad.Numero en la clase de segunda edad.Numero en la clase de la n-esima edad.Durante un periodo de L/n aos, laprobabilidadde que un elemento de la clase de la i-esima edad sobreviva para convertirse en elemento de laclase de la (i + 1) esima edad est dada por pi, donde

Al multiplicar esta matriz de transicin de edades por el vector dedistribucinde edades durante un periodo especifico seobtiene el vector de distribucin de edades para el siguiente periodo. Es decir:Axi = xi+1 Ejemplo:Una poblacin de conejos criados en unlaboratoriotiene las siguientes caractersticas: a)La mitad de conejos sobrevive el primer ao. De estos, la mitad sobrevive el segundo ao. La duracin mxima de vida es de tres aos. b)Durante el primer ao los conejos no producen descendencia. El nmero medio de descendencia es 6 durante el segundo ao y 8 durante el tercer ao.Actualmente la poblacin de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad 24 en la segunda y 20 en la tercera. Cuntos habr en cada clase de edad en un ao?Solucin:El vector actual de distribucin de edades es

Si el patrn de crecimiento contina durante otro ao, entonces la poblacin de conejos ser:

A partir de los vectores de distribucin de edades x1, x2, x3 se observa que el porcentaje de conejos en las tres clases de edad cambia cada ao.8.1.- EJERCICIOS:1.-Use la matriz A de transicin de edades y el vector x de distribucin de edades para encontrar los vectores de distribucin de edades x2 y x3. Luego encuentre una distribucin de edades estable para la matriz dada.

Ahora encontramos una distribucin de edades estables. Para ello encontramos los valores propios.

2.-Use la matriz A de transicin de edades y el vector x1, de distribucin de edades para encontrar los vectores de distribucin de edades x2, x3.

3.-Encuentre una distribucin de edades estable para la matriz de transicin de edades del ejercicio anterior.

Solo trabajamos con el valor propio positivo, y encontramos el vector propio:

4.-Una poblacin presenta las siguientes caractersticas: a.Un total del 75% de la poblacion sobrevive el primer ao. De este 75%, el 25% sobrevive el segundo ao. La duracin mxima de vida es de 3 aos. b.El numero medio de de descendencia de cada miembro de la poblacin es 2 el primer ao, 4 el segundo y 2 el tercero.Actualmente la poblacin consta de 120 elementos en cada una de las tres clases de edad. Cuntos habr en cada clase de edad en un ao? Y en dos aos?Solucin:Primero formamos la matriz de transicin de edades y el vector de distribucin de edades a partir de losdatos:

Habr 960 individuos en la primera clase de edad, 90 en la segunda y 30 en la tercera.Si el patrn de crecimiento no se altera, entonces el vector de distribucin de edades ser:

Habr 2340 individuos en la primera clase de edad, 720 en la segunda y 22 en la tercera.5.-Una poblacin de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes caractersticas: a)La mitad de conejos sobrevive el primer ao. De estos, la mitad sobrevive el segundo ao. La duracin mxima de vida es de tres aos. b)Durante el primer ao los conejos no producen descendencia. El nmero medio de descendencia es 6 durante el segundo ao y 8 durante el tercer ao.Actualmente la poblacin de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad 24 en la segunda y 20 en la tercera. Cuntos habr en cada clase de edad en un ao?Solucin:Primero tomamos la matriz de transicin de edades y el vector de distribucin de edades con los datos del problema.

Al cabo de un ao en la primera clase de edad habr 304 conejos, en la segunda clase de edad habrn 12 conejos, y de igual manera en la tercera clase.Formas cuadrticasLos valores propios y los vectores propios pueden usarse para resolver el problema de rotacin de ejes. Recuerde que la clasificacin de la ecuacin cuadrtica.

Es bastante directa en la medida en que la ecuacin no contenga termino xy. Sin embargo, si la ecuacin contiene termino xy, entonces la clasificacin se logra ms fcil al efectuar primero una rotacin de ejes que elimine el termino xy. La ecuacin resultante (respecto a los nuevos ejes x"y") ser entonces de la forma

La matriz A se denomina matriz de la forma cuadrtica. Observe que la matriz A es simtrica por definicin. Adems, la matriz A ser diagonal si y solo si su forma cuadrtica correspondiente no tiene termino xy. Ejemplo:Encuentre la matriz de la forma cuadrtica asociada con cada una de las siguientes ecuaciones cuadrticas.

Para ver como se puede usar la matriz de forma cuadrtica para efectuar una rotacin de ejes, sea:

Si b = 0 entonces no es necesaria ninguna rotacin. Pero si b?0, entonces como A es simtrica se puede aplicar el teorema de Diagonalizacin ortogonal para concluir que existe una matriz ortogonal P tal que:

Lo anterior sirve como demostracin.Observacin:Ntese que elproductomatricial [d e]Px" es de la forma:

Ejemplo:Efecte una rotacin de ejes para eliminar el trmino xy de la ecuacin cuadrtica

Proceso que se debe seguir:

9.1.- EJERCICIOS:1.-Obtenga la matriz de la forma cuadrtica asociada con la matriz dada:

2.-Obtenga la matriz A de la forma cuadrtica asociada con la ecuacin dada. Luego encuentre los valores propios de A y una matriz ortogonal P tal que PTAP sea diagonal.

3.-Sea

Buscar uncambiodevariableslineal e invertible (y adems ortogonal) de manera que se eliminen los productos de dos variables distintas.Solucin:

4.-Efecte una rotacin de los ejes que elimine el trmino xy en la ecuacin cuadrtica dada. Identifique la cnica rotada resultante y de su ecuacin en el nuevo sistema de coordenadas.

Solucin:Primero formamos la matriz de la forma cuadrtica:

Ahora del producto matricial obtenemos:

Pertenece a la ecuacin de una parbola.5.-Efecte una rotacin de los ejes que elimine el trmino xy en la ecuacin cuadrtica dada. Identifique lacnica rotada resultante y de su ecuacin en el nuevo sistema de coordenadas.xy + x - 2y + 3 = 0Solucin:Primero formamos la matriz de la forma cuadrtica:Como a = 0, b = 1 y c = 0, d = 1, e =-2 y f = 3 la matriz de la forma cuadrtica ser:

Formamos la matriz P.

Pertenece a la ecuacin de una hiprbola.