1 valores y vectores propios
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1 Valores y Vectores Propios
Sea la matriz A siguiente:
A =
�0 1�2 �3
�Sean los vectores x1 y x2 :
x1 =
�1�1
�; x2 =
�1�2
�Mapeénse estos dos vectores por la matriz A:
y1 = Ax1 =
�0 1�2 �3
� �1�1
�=
=
��11
�= �1
�1�1
�
y2 = Ax2 =
�0 1�2 �3
� �1�2
�=
=
��24
�= �2
�1�2
�Obsérvese que la matriz A mapea a estos dos vectores en dos vectores, que
son los originales multiplicados por �1, en el caso de x1, y por �2, en el casode x2:Tómense los vectores x1 y x2 siguientes, paralelos, esto es, colineales a x1 y
x2 :
x1 =
�a�a
�; x2 =
�a�2a
�; s:t: a 2 R
Estos vectores de�nen cada uno, un subespacio unidimensional de R2:Mapéense estos vectores por la matriz A :
y1 = Ax1 =
�0 1�2 �3
� �a�a
�=
=
��aa
�= �1
�a�a
�
y2 = Ax2 =
�0 1�2 �3
� �a�2a
�=
=
��2a4a
�= �2
�a�2a
�
1
El resultado del mapeo de estos dos vectores por la matriz A; es el mismoque para los vectores x1 y x2: Esto es, cualquier vector que se encuentre enel subespacio unidimensional de�nido por x1 es mapeado por A en un vectorque es el original multiplicado por �1 y cualquier vector que se encuentre en elsubespacio unidimensional de�nido por x2 es mapeado por A en un vector quees el original multiplicado por �2:
De�nición 1 Subespacio A-invariante.Sea A 2 Rn�n la representación matricial de un mapeo de Rn a Rn. Sea
Rs � Rn tal que 8 x 2 Rs; y = Ax 2 Rs . Entonces se dice que el subespacioRs es A-invariante.
Es claro que los subespacios unidimensionales de�nidos por x1 y x2; en elejemplo anterior, son subespacios A� invariantes de una sola dimensión.A continuación se formalizarán estas ideas.
Sea A 2 Rn�n la representación matricial de un mapeo lineal de Rn a Rn ,esto es,
A : Rn ! Rn
y = Ax; x 2 Rn ;y 2 Rn
De�nición 2 Vector y Valor propio correspondiente de una matriz.Sea A 2 Rn�n : Sean x 2 Rn y � 2 C tales que
Ax = �x; x 6= 0 2 Rn (1)
La x y la � satisfaciendo (1) se denominan vector propio y valor propiocorrespondientes, de la matriz A:
La ecuación (1) puede reescribirse de la siguiente forma:
Ax� �x = (A� �I)x = 0 2 Rn (2)
�x�Ax = (�I �A)x = 0 2 Rn (3)
Observación 3 Si B 2 Rm�n es cualquier matriz de dimensionesm�n; entoncesN(B) = N(�B):
De las ecuaciones (2) y (3), es claro que si x 2 Rn es un vector propio de Acon valor propio correspondiente �,entonces
x 2 N(A� �I) = N(�I �A) (4)
2
De�nición 4 Espacio Propio (E.P.)El Espacio Propio correspondiente a un vector propio cualquiera, es el sube-
spacio de Rn en el que "vive" el vector propio. Este subespacio es igual a
E:P: = Espacio Pr opio = N(A� �I) = N(�I �A)
y por consiguiente
dim(E:P:) = dim[N(A� �I)] = dim[N(�I �A)] (5)
Resultado 5 El Espacio Propio es un subespacio de Rn tal que
dim(E:P:) = n� dim[Im(A� �I)] = n� rank[A� �I] (6)
dim(E:P:) = n� dim[Im(�I �A)] = n� rank[�I �A]
Este resultado es un caso particular del siguiente resultado del Álgebra Lin-eal:
Resultado 6 Sea A 2 Rm�n la representación matricial de un mapeo Rn !Rm:Entonces
n = dim[N(A)] + dim[Im(A)] = dim[N(A)] + rank[A] (7)
La demostración de este resultado puede consultarse en cualquier texto deÁlgebra Lineal.Por otro lado, la matriz A��I (A��I) tiene como elementos a los mismos
elementos de la matriz A (�A), excepto los de su diagonal, que son monomiosen � de la forma
aii � � (�� aii); 8 i = 1; n
Así que la matriz A� �I (�I �A) es una matriz polinomial de dimensionesn � n con indeterminado � 2 C:De la de�nición de vector propio y valor propio resumida en las ecuaciones
(2) y (3), es claro que para que el vector propio x 2 Rn; x 6= 0 exista, esnecesario que exista N(A� �I) = N(�I �A) y esto implica que
det[A� �I] = det[�I �A] = 0 (8)
De�nición 7 Polinomio Característico de una matriz.Sea A 2 Rn�n: Sean A� �I y �I �A; entonces �(�) de�nido como
�(�) = det(�I �A) = det(A� �I) (9)
se denomina Polinomio característico de la matriz A:
3
El determinante de una matriz es un escalar. De la de�nición de determi-nante de una matriz, debe ser claro que �(�) dado por (9) es un polinomio en�, de grado "n" y por el teorema fundamental del álgebra se tiene que:
�(�) = det(�I �A) = �n + an�1�n�1 + :::+ a1�+ a0 = (10)
= (�� �1) � (�� �2) � � � (�� �n) (11)
��(�) = det(A� �I) = ��n � an�1�n�1 � :::� a1�� a0 == �(�� �1) � (�� �2) � � � (�� �n) (12)
En donde �1; �2; :::�3 son las raíces o ceros del polinomio �(�) (-�(�)), estoes:
�(�i) = 0;8i = 1; nComo puede verse de las líneas anteriores, el papel desempeñado por las ma-
trices A��I y �I�A es el mismo, y las raíces de los polinomios �(�) y ��(�) sonlas mismas así que de aquí en adelante, solo se hará referencia indistintamente,a una cualquiera, de estas dos matrices.
Resumen 8 Como el polinomio característico es de grado "n" y por lo tantotiene "n" raíces, ceros o soluciones, asociados a la matriz A 2 Rn�n existen "n"valores propios y "n" vectores propios correspondientes que pueden calcularse apartir de las ecuaciones (1), o (2) o (3).
Ejemplo 9 Considérese nuevamente a la matriz
A =
�0 1�2 �3
�Calcular los valores y los vectores propios correspondientes.
Solución 10 Calcúlese cualquiera de las matrices (A� �I) o (�I �A):�0 1�2 �3
���� 00 �
�=
��� 1�2 �3� �
�Calcúlese el determinante de esta matriz:
�(�) = det(A� �I) = det��� 1�2 �3� �
�=
= ��(�3� �)� (�2)(1) = �2 + 3 + 2 = 0Las raíces de �(�) o valores propios de A son:
�1 = �1
�2 = �2
4
Se pueden usar indistintamente las igualdades (1), (2) o (3), para realizar elcálculo de los vectores propios correspondientes, las tres son la misma relaciónentre x y �;así que a lo largo de los ejemplos usaremos cualquiera de las tresigualdades para calcular los vectores propios.Cálculo del vector propio x1 correspondiente a �1 = �1 :Para �1 = �1; empleando (1), se tiene:�
0 1�2 �3
� �x1x2
�= (�1)
�x1x2
�Expandiendo esta última expresión, se obtienen las siguientes ecuaciones:
0 � x1 + x2 = �x1 (13)
�2x1 � 3x2 = �x2
Obsérvese que estas dos expresiones son la misma, es decir, solamente setiene una ecuación y dos incógnitas. Esto es así porque para los valores propios�1 y �2;det[A � �I] = det[�I � A] = 0 ,lo que implica que del sistema de necuaciones (en este caso n = 2) de�nido por (13) una es redundante y entoncesse tiene un sistema de n � 1 ecuaciones con n incógnitas. En el caso que nosocupa, se tiene una sola ecuación que es
x2 = �x1
El sistema de ecuaciones resultante, que en este caso consta de una solaecuación, tiene en consecuencia, un número in�nito de soluciones, una de ellasse obtiene proponiendo un valor cualquiera para una de las incógnitas, digamospara x1 y se usa la ecuación existente para calcular x2 :Sea x1 = 1; entonces x2 = �1; por lo que el vector propio correspondiente al
valor propio �1 = �1 es:x1 =
�1�1
�Obsérvese que cualquier otra solución del sistema de ecuaciones (13), resulta
ser un vector en la misma dirección que el vector x1, por esta razón, se hablade un solo vector propio para cada valor propio. Por ejemplo, el vector
ex1 = � 1=p2
�1=p2
�también satisface al sistema (13) y resulta ser el mismo vector x1 normal-
izado.Cálculo del vector propio x2 correspondiente a �2 = �1 :De manera análoga se calcula el vector x2; correspondiente al valor propio
�2 pero en este caso se se usará la expresión (3) para ilustrar el hecho de quees indistinto usar cualquiera de las ecuaciones (1), (2) o (3) para calcular losvectores propios :�
�2 00 �2
���0 1�2 �3
� �x1x2
�=
�00
�
5
Substituyendo a �2 = �2, se tiene:��2 00 �2
���0 1�2 �3
� �x1x2
�=
�00
���2 �12 1
� �x1x2
�=
�00
�Expandiendo esta última expresión se obtiene el siguiente sistema de ecua-
ciones:
�2x1 � x2 = 0
2x1 + x2 = 0
Como en el caso de �1, de este sistema de ecuaciones solo una es útil. Lasrazones de este hecho, son las mismas que se esgrimieron en el caso anterior.Se propone que x1 = 1; por lo que x2 = �2 y el vector propio x2 está dado por:
x2 =
�1�2
�que también puede normalizarse:
ex2 = � 1=p5
�1=p5
�
Ejercicio 11 1.- Sean las matrices siguientes:
a) A =�1 00 2
�; b) B =
��1 00 �2
�; c) C =
�a 00 b
�; a; b 2 R
d) D =
24 1 5 40 2 60 0 3
35 ; e) E =24 1 0 05 2 04 6 3
35 ;f) F =24 1 5 40 �2 60 0 3
35Calcule los valores propios y los vectores propios correspondientes para cada
una de estas matrices. ¿Qué concluye de éstos ejercicios?2.-
De lo anteriormente expuesto, queda claro que si se tiene una matriz A 2Rn�n, su polinomio característico es un polinomio de grado n, por lo tanto tienen valores propios con n vectores propios correspondientes asociados a ella. Acontinuación se verá una propiedad importante de los vectores propios de unamatriz y se distinguirán dos casos posibles.
Teorema 12 Un conjunto de k vectores propios correspondientes a cualesquierak valores propios diferentes, es un conjunto linealmente independiente.
6
Prueba. La demostración se hace por inducción.Es claro que para k = 1, el teorema es cierto. Supóngase ahora que cualquier
conjunto de (p� 1) vectores propios correspondientes a (p� 1) valores propiosdistintos de la matriz A, es un conjunto linealmente independiente de vectores.Entonces, se debe demostrar que cualquier conjunto de p vectores propios deA digamos x1;x2; :::;xp con valores propios correspondientes �1; �2; :::; �p talesque �i 6= �j para i 6= j son vectores propios linealmente independientes. Sedemostrará esto por contradicción.Supóngase que estos p vectores son linealmente dependientes, entonces exis-
ten constantes c1; c2; :::; cp, no todas iguales a cero tales que
c1x1 + c2x2 + :::+ cpxp = 0 (14)
Premultiplíquese esta igualdad por (A� �1I) :
c2 (�2 � �1)x2 + c3 (�3 � �1)x3 + :::+ cp (�p � �1)xp = 0 (15)
por la hipótesis inductiva, los (p � 1) vectores propios x2;x3; :::;xp sonlinealmente independientes. Esto implica que en la expresión anterior
ci (�i � �1) = 0;8i = 2; p
y esto a su vez implica que ci = 0;8i = 2; p porque los valores propios sondiferentes, así que (14) se reduce a
c1x1 = 0
con c1 6= 0 por hipótesis, lo que implica que x1 = 0 lo cual es una contradic-ción y entonces esto muestra que los p vectores x1;x2; :::;xp son linealmenteindependientes, lo que prueba el teorema por inducción.
Corolario 13 Sea A 2 Rn con polinomio característico �(�) = �n+an�1�n�1+::: + a1� + a0 = (� � �1)(� � �2):::(� � �n) tal que todos sus valores propios,esto es, todas las raíces de su polinomio característico, son diferentes. Entonceslos n vectores propios correspondientes forman una base para el espacio Rn yademás
rank[(A� �iI)] = rank[(�iI �A)] = n� 1; 8i = 1; nlo que implica que el E.P. correspondiente a cada vector propio, es un sube-
spacio invariante unidimensional.
Prueba. La demostración de estas aseveraciones es consecuencia directa delteorema anterior, en donde si se hace p = n, se ve claramente que los vec-tores propios de A forman una base de Rn por ser un conjunto de n vectoreslinealmente independientes.Por otro lado si hay n vectores propios diferentes, que son linealmente inde-
pendientes y cada vector propio pertenece a su espacio propio, esto es, es ele-mento de: E:P: del vector xi = Espacio Pr opio del vector xi = N(A��iI) =
7
N(�iI � A) 8i = 1; n;el espacio propio de cada uno de estos vectores es un es-pacio unidimensional, por lo tanto, haciendo uso de la igualdad (7), se tiene elresultado, esto es:
rank[(A� �iI)] = rank[(�iI �A)] = n� 1; 8i = 1; n
Resumen 14 Para el caso de una matriz con valores propios diferentes, sepuede seguir el siguiente procedimiento para el cálculo de los vectores propioscorrespondientes:Sea A 2 Rn�ni) Calcúlese el determinante de la matriz (A � �I) y obtenga el polinomio
característico dado por (10).ii) Obtenga las n raíces del polinomio característico,éstas son los n valores
propios de la matriz A:iii) Para cada uno de los valores propios, calcúlense los vectores propios
correspondientes, hágase uso de la de�nición de vector propio dada por (1) (o por(2) o por (3)), que resulta en un sistemas de n� 1 ecuaciones con n incógnitas,para cada uno de los n valores propios. Esto es, resuélvanse los siguientes nsistemas de ecuaciones para v1;v2; :::;vn :
Av1 = �1v1 (16)
Av2 = �2v2
::: :::
Avn�1 = �n�1vn�1
Avn = �nvn
Los vectores v1;v2; :::;vn así obtenidos, son los vectores propios de A cor-respondientes a los valores propios �1; �2; :::; �2, son un conjunto de n vectoreslinealmente independientes y por lo tanto, forman una base para el espacio Rn.
2 Valores Propios Repetidos y Vectores PropiosGeneralizados
Considérese ahora el caso en el que el polinomio característico de la matriz tienevalores propios repetidos.*******Sea A 2 Rn�n y sea
�(�) = �n + an�1�n�1 + :::+ a1�+ a0 = (17)
= (�� �1):::(�� �i)� :::(�� �n)
8
su polinomio caraterístico. Sin pérdida de generalidad, se supondrá que soloel valor propio i-ésimo está repetido � veces. Si existen más valores propiosrepetidos, se aplica el mismo razonamiento que el que se va a exponer.
Resultado 15 Vectores propios asociados al valor propio repetido �i:El número de vectores propios asociados al valor propio �i repetido � veces,
es igual a la dimensión del espacio propio asociado al valor propio �i y es iguala:
dim(E:P:de �i) =
= n� dim[Im(A� �iI)] = n� rank[A� �iI] = (18)
= n� dim[Im(�iI �A)] = n� rank[�iI �A]
La dimensión del espacio propio correspondiente al valor propio repetido �i,depende de cómo es el rango de la matriz A� �iI:
Si el rango de esta matriz disminuye en � unidades, entonces de acuerdo a(18), la dimensión del espacio propio correspondiente será �: Esto es, si éste esel caso, correspondientes al valor propio �i, se tendrán � vectores propios.Estos � vectores propios se pueden calcular a partir de la de�nición de vector
propio dada por (1) o (2) o (3). Tómese por ejemplo la siguiente expresión paracalcular los � vectores propios correspondientes a �i
(�iI �A)x = 0 2 Rn (19)
. Esta expresión (19) de�ne un sistema de n ecuaciones, en donde las incóg-nitas son los componentes del vector x . Como rank[�iI � A] = n � �; � deestas ecuaciones son redundantes, por lo que solo se tienen n � � ecuacionesútiles. Esto es, se tiene la posibilidad de calcular � vectores propios linealmenteindependientes correspondientes al valor propio �i.Considérese el siguiente ejemplo ilustrativo de este caso:
Ejemplo 16 Sea la matriz
A =
2664�2 0:5 0 0:50 �1:5 0 0:50 0:5 �2 0:50 0:5 0 �1:5
3775Obtenga el polinomio característico de la matriz, obtenga los valores propios
de la matriz y los vectores propios correspondientes.
9
Solución 17 Calcúlese la matriz �I �A :
�I �A =
2664�+ 2 �0:5 0 �0:50 �+ 1:5 0 �0:50 �0:5 �+ 2 �0:50 �0:5 0 �+ 1:5
3775Calcúlese el polinomio característico de esta matriz:
�(�) = det(�I �A) == �4 + 7�3 + 18�2 + 20�+ 8 =
= (�+ 1)(�+ 2)3
los valores propios de la matriz son �1; �2; �2; �2:Para el valor propio �1, que no está repetido se tiene que
(�I �A)j�=�1 =
26641 �0:5 0 �0:50 0:5 0 �0:50 �0:5 1 �0:50 �0:5 0 0:5
3775Puede veri�carse que rank (�I �A)j�=�1 = 3;(la �la dos de la matriz es
igual a la �la tres multiplicada por -1)y por lo tanto dim(E:P:de � = �1) =n � rank (�I �A)j�=�1 = 4 � 3 = 1; resultado que está de acuerdo con elcorolario anterior [13] para el caso de valores propios diferentes. A continuaciónse calculará el vector propio correspondiente. De la de�nición de vector propiose tiene: que (�I �A)j�=�1 x = 0; así que2664
1 �0:5 0 �0:50 0:5 0 �0:50 �0:5 1 �0:50 �0:5 0 0:5
37752664x1x2x3x4
3775 =26640000
3775expandiendo esta igualdad matricial, se observa que las tres ecuaciones útiles
son, porque la segunda ecuación y la primera solo di�eren en el signo:
x1 � 0:5x2 � 0:5x4 = 00:5x2 � 0:5x4 = 0
�0:5x2 + x3 � 0:5x4 = 0
Si se propone x1 = 1 y se resuelve el sistema de ecuaciones para x2; x3 y x4,se obtiene: x2 = 1; x3 = 1; x4 = 1: Por lo que el vector propio v1 correspondi-ente al valor propio � = �1 es:
v1 =
26641111
377510
Para el valor propio �2 que está repetido tres veces, se tiene que:
(�I �A)j�=�2 =
26640 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:5
3775Puede veri�carse que rank (�I �A)j�=�2 = 1, pues todas las �las de la ma-
triz son iguales. Por lo tanto dim(E:P:de � = �2) = n�rank (�I �A)j�=�1 =4 � 1 = 3, lo que indica que correspondientes al valor propio � = �2, exis-ten tres vectores propios. De la de�nición de vector propio se tiene: que(�I �A)j�=�2 x = 0; así que2664
0 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:5
37752664x1x2x3x4
3775 =26640000
3775expandiendo esta igualdad matricial, solo queda una ecuación útil, con cu-
atro incógnitas. Esto da tres grados de libertad, necesarios para calcular tressoluciones linealmente independientes:La única ecuación útil es:
�0:5x2 � 0:5x4 = 0 (20)
Si se proponen x1 = 1; x2 = �1; x3 = �1 y se resuelve para x4; se obtienex4 = 1; por lo que el primer vector propio correspondiente a � = �2 es:
v2 =
26641�1�11
3775Procediendo de manera análoga, se proponen los otros dos vectores propios
faltantes, teniendo el cuidado de escoger valores tales que los vectores resultantessean linealmente independientes. Esto es factible de hacerse porque se tienensu�cientes grados de libertad para lograrlo. Por ejemplo, para el vector v3 sepuede resolver (20) de la siguiente forma: se proponen x1 = 1; x2 = �1; x3 = 1lo que resulta en x4 = 1; esto es:
v3 =
26641�111
3775en donde se tuvo el cuidado de escoger valores tales que el vector resultante
v3fuera linealmente independiente del vector v2: Procediendo de manera análogapara el cálculo del tercer vector propio correspondiente a � = �2 se propone
11
que x1 = 1; x2 = 1; x3 = �1, lo que resulta en x4 = �1: Por lo que el tercervector propio correspondiente a � = �2 es:
v4 =
266411�1�1
3775Obsérvese que el conjunto de vectores propios fv2;v3;v4g correspondientes
a � = �2, es un conjunto linealmente independiente y en este caso, los vectoresfv1;v2;v3;v4g forman una base para el espacio lineal R4:
Existen otras situaciones que se pueden dar en el caso en que se tenganvalores propios repetidos. Especí�camente el caso en el que la matriz A � �iIno disminuye � unidades, sino un número diferente. Como caso ilustrativo,considérese el siguiente ejemplo.
Ejemplo 18 Sea la matriz
A =
2664�1 0 0:5 �0:5�1 �1 �0:5 1:50 1 �2:5 0:51 0 0:5 �2:5
3775Obtenga el polinomio característico de la matriz, obtenga los valores propios
de la matriz y los vectores propios correspondientes.
Solución 19 Calcúlese la matriz �I �A :
�I �A =
2664�+ 1 0 �0:5 0:51 �+ 1 0:5 �1:50 �1 �+ 2:5 �0:5�1 0 �0:5 �+ 2:5
3775Calcúlese el polinomio característico de esta matriz:
�(�) = det(�I �A) == �4 + 7�3 + 18�2 + 20�+ 8 =
= (�+ 1)(�+ 2)3
los valores propios de la matriz son �1; �2; �2; �2: Obsérvese que estamatriz y la del ejemplo anterior tienen el mismo polinomio característico y porlo tanto los mismos valores propios.
12
Para el valor propio �1, que no está repetido se tiene que
(�I �A)j�=�1 =
26640 0 �0:5 0:51 0 0:5 �1:50 �1 1:5 �0:5�1 0 �0:5 1:5
3775Puede veri�carse que rank (�I �A)j�=�1 = 3;(la �la dos de la matriz es
igual a la �la tres multiplicada por -1)y por lo tanto dim(E:P:de � = �1) =n � rank (�I �A)j�=�1 = 4 � 3 = 1; resultado que está de acuerdo con elcorolario anterior [13] para el caso de valores propios diferentes. A continuaciónse calculará el vector propio correspondiente. De la de�nición de vector propiose tiene: que (�I �A)j�=�1 x = 0; así que2664
0 0 �0:5 0:51 0 0:5 �1:50 �1 1:5 �0:5�1 0 �0:5 1:5
37752664x1x2x3x4
3775 =26640000
3775expandiendo esta igualdad matricial, se observa que la segunda ecuación es
igual a la cuarta multiplicada por �1, por lo que solo son tres las ecuacionesútiles:
x1 � 0:5x2 � 0:5x4 = 00:5x2 � 0:5x4 = 0
�0:5x2 + x3 � 0:5x4 = 0Si se propone x1 = 1 y se resuelve el sistema de ecuaciones para x2; x3 y x4,
se obtiene: x2 = 1; x3 = 1; x4 = 1: Por lo que el vector propio v1 correspondi-ente al valor propio � = �1 es:
v1 =
26641111
3775Para el valor propio �2 que está repetido tres veces, se tiene que:
(�I �A)j�=�2 =
2664�1 0 �0:5 0:51 �1 0:5 �1:50 �1 0:5 �0:5�1 0 �0:5 0:5
3775Puede veri�carse que rank (�I �A)j�=�2 = 3: Por lo tanto dim(E:P:de � =
�2) = n� rank (�I �A)j�=�1 = 4� 3 = 1, lo que indica que correspondientesal valor propio � = �2, existe solo un vector propio. De la de�nición de vectorpropio se tiene que (�I �A)j�=�2 x = 0; así que:2664
�1 0 �0:5 0:51 �1 0:5 �1:50 �1 0:5 �0:5�1 0 �0:5 0:5
37752664x1x2x3x4
3775 =26640000
377513
La primera y la cuarta ecuación son la misma, así que solo hay tres ecua-ciones útiles y cuatro incógnitas:
�x1 � 0:5x3 + 0:5x4 = 0x1 � x2 + 0:5x3 � 1:5x4 = 0�x2 + 0:5x3 � 0:5x4 = 0
En este caso, solo se puede calcular un vector propio, pues solo se tiene ungrado de libertad. Si se´ propone x1 = 1 y se resuelve el sistema resultante seobtiene: x2 = �1; x3 = �1 y x4 = 1:Así que el vector propio asociado al valorpropio repetido � = �2 es:
v2 =
26641�1�11
3775En este caso no se pueden calcular más vectores propios, la cuestión es ¿qué
hacer para calcular los dos vectores faltantes asociados al valor propio � = �2?Razonando de manera análoga a la que se razonó en el caso de los valores
propios calculados previamente, se tiene ahora lo siguiente:
rank [(A� �I)]3�=�2 = rank
26640 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:50 �0:5 0 �0:5
3775 = 1Esto signi�ca que: dim
hN [(A� �I)]3�=�2
i= n� rank (�I �A)j3�=�1 =
4 � 1 = 3; asociados al espacio nulo de [(A� �I)]3�=�2 se pueden calcular tresvectores linealmente independientes que vivan en ese espacio. Supóngase que almenos un vector v 6= 0 existe, tal que
[(A� �I)]i�=�2 v = 0;8i = 3 (21)
y que además los vectores
[(A� �I)]i�=�2 v 6= 0;8i < 3
entonces se puede constatar que los vectores v, [(A� �I)]�=�2 v y
[(A� �I)]2�=�2 v pertenecen todos al espacio nulo de la matriz [(A� �I)]3�=�2
y son los vectores que faltan para completar los vectores asociados al valor propio�2 repetido tres veces. ¿Son estos vectores linealmente dependientes o indepen-dientes? Estos vectores son linealmente independientes.Para probarlo, suponga que no lo son, entonces cualquiera de ellos puede
representarse como la combinación lineal de los otros dos y por lo tanto existenconstantes c1; c2; c2; no todas cero tales que
c1[(A� �I)]0�=�2 v+c2[(A� �I)]1�=�2 v+c3[(A� �I)]
2�=�2 v = 0
14
supóngase sin pérdida de generalidad que c2 6= 0; entonces
c2[(A� �I)]1�=�2 v = �c1[(A� �I)]0�=�2 v�c3[(A� �I)]
2�=�2 v
[(A� �I)]1�=�2 v = �c1c2[(A� �I)]0�=�2 v�
c3c2[(A� �I)]2�=�2 v
[(A� �I)]1�=�2 v = c01[(A� �I)]0�=�2 v + c
02 [(A� �I)]
2�=�2 v
multiplicando esta última expresión por [(A� �I)]2�=�2 se tiene
[(A� �I)]3�=�2 v = c01 [(A� �I)]
2�=�2 v + c
02 [(A� �I)]
4�=�2 v
el primer miembro y el segundo sumando del segundo miembro de esta igual-dad, son iguales a cero por (21), lo que implica que [(A� �I)]2�=�2 v = 0 peroesto es una contradicción como lo indica la satisfacción de (21). Se pudo pro-ceder de manera análoga con cualquiera de los otros dos vectores y la contradic-ción hubiera sido la misma, por lo tanto la suposición de que estos vectores sonlinealmente dependientes es falsa y se concluye que son linealmente independi-entes.Por otro lado obsérvese que
A[(A� �I)]2�=�2 v = [A� �I+ �I] [(A� �I)]2�=�2 v =
= [(A� �I)]3�=�2 v + � [(A� �I)]2�=�2 v =
= � [(A� �I)]2�=�2 v
Esto es, el vector [(A� �I)]2�=�2 v es un vector propio de A con valor pro-pio correspondiente � = �2 , pero ya hemos calculado al único vector pro-pio correspondiente al valor propio � = �2 y este vector es el vector v2 =[(A� �I)]2�=�2 v
v2 =
26641�1�11
3775Se requiere entonces calcular a los vectores v3 , [(A� �I)]1�=�2 v y v4 ,
[(A� �I)]0�=�2 v = v . Estos vectores pueden calcularse a partir de la siguienteexpresión:
A[(A� �I)]k�=�2 v= [A� �I+ �I][(A� �I)]k�=�2 v =
= [(A� �I)]k+1�=�2 v + � [(A� �I)]k�=�2 v (22)
8k < 3
15
para k = 2; 1; 0 en la expresión anterior, se tiene
Av2 = �v2
Av3 = �v3 + v2
Av4 = �v4 + v3
Los vectores que se están buscando son v3 y v4 porque el vector v2 ya secalculó previamente. Haciendo � = �2 y calculando a v3 y a v4 se tiene2664
�1 0 0:5 �0:5�1 �1 �0:5 1:50 1 �2:5 0:51 0 0:5 �2:5
3775v3 = �2v3 + v22664�1 0 0:5 �0:5�1 �1 �0:5 1:50 1 �2:5 0:51 0 0:5 �2:5
3775v4 = �2v4 + v3Resolviendo estas dos ecuaciones para v3 y v4 , resultan dos sistemas de
ecuaciones cuyas incógnitas son las componentes de estos dos vectores. Estos dossistemas de ecuaciones solo tienen tres ecuaciones útiles , porque rank [(A� 2I)] =3: El resultado es:
v3 =
26641�111
3775y
v4 =
266411�1�1
3775Los vectores v1;v2;v3;v4 son vectores linealmente inndependientes y por lo
tanto forman una base para R4.
Estos ejemplos sugieren el siguiente procedimiento general para tratar el casode valores propios repetidos.
Como se asentó en el Resultado 14, el número de vectores propios asociadosal valor propio �i repetido � veces está dado por (18). Supóngase ahora querank (A� �iI) = n � p, es decir, supóngase que el valor propio �i que estárepetido � veces, hace caer el rango de la matriz A � �iI en p unidades, endonde 1 � p � �: De acuerdo a (18), asociados al valor propio �i, se tendránp vectores propios. La cuestión es que faltan q = � � p vectores asociados alvalor propio �i (Nótese que si p = �, entonces q = 0, es decir, no faltan vectorespropios asociados al valor propio �i y hay entonces � vectores propios asociados
16
al valor propio �i repetido � veces). Para tratar este caso se requiere de lasiguiente de�nición:
De�nición 20 Vectores Propios GeneralizadosSea A 2 Rn�n: Si para algún valor � 2 C y algún entero q � 1 existe un
vector v 2 Rn ; v 6= 0 ; tal que
(A� �I)q v = 0 pero (A� �I)q�1 v 6= 0 (23)
entonces se dice que v es un vector propio generalizado con índice q corre-spondiente al valor propio generalizado � de la matriz A:
Nótese que cuando q = 1, � es un valor propio y v 6= 0 es el vector propiocorrespondiente.Nótese también que por de�nición, los vectores propios generalizados, se
encuentran en el nulo de la matriz (A� �I)q y que
(A� �I)k v 6= 0 8k < q y (A� �I)k v = 0 8k � q (24)
Así que los vectores
v1 = (A� �I)q�1 v 6= 0 (25)
v2 = (A� �I)q�2 v 6= 0:::::::::::
vq�1 = (A� �I)v 6= 0vq = (A� �I)0 v 6= 0
se encuentran en el nulo de la matriz (A� �I)q ; y son por tanto vectoresgeneralizados y además el vector v1 = (A� �I)q�1 v 6= 0 es vector propio de A:
Que los vectores v1;v2; ::;vp se encuentran en el nulo de la matriz (A� �I)qy son por lo tanto vectores propios generalizados se puede ver fácilmente:
(A� �I)q vk = (A� �I)q (A� �I)k v;8k =0;q� 1
ya que de acuerdo a (24) (A� �I)k v = 0 8k � q:Por otro lado,
A(A� �iI)q�1v = (A� �iI + �iI)(A� �iI)q�1v = (26)
= (A� �iI)qv + �i(A� �iI)q�1v == �i(A� �iI)q�1v
17
lo que demuestra que el vector v1 = (A � �iI)q�1v es vector propio de A,con valor propio correspondiente �i. En la expresión anterior se hizo uso de(24). Este resultado implica que los vectores propios correspondientes al valorpropio �i, son también vectores propios generalizados y que por lo tanto elespacio propio correspondiente al valor propio �i , está contenido en el espacioque contiene a los vectores propios generalizados de �i.
Lema 21 Los vectores propios generalizados de�nidos en (25) son un conjuntode q vectores linealmente independientes
Prueba. Se demostrará el lema por contradicción:
Supóngase que los vectoresn(A� �I)0 v; (A� �I)1 v; ::: (A� �I)k�1 v
oson linealmente dependientes, entonces cualquiera de los vectores, digamos
el vector (A� �I)k v para algún k (0 � k < q� 1) se puede expresar como unacombinación lineal del resto de los vectores:
(A� �iI)k v =p�1Pj=k+1
cj(A� �i)jv
Puesto que (A� �iI)kv = 0 para k � q; premultiplicando ambos miembrosde esta ecuación por (A��iI)q�1�k da como resultado que (A��iI)q�1v = 0,pero esto es una contradicción, lo que prueba que los vectores en cuestión, sonlinealmente independientes.
Por los resultados presentados, para calcular los q vectores propios general-izados se procede de la siguiente manera:
El primer vector generalizado es el vector v1 = (A� �I)q�1 v , que comomuestra (26), es uno de los vectores propios de la matriz A. De hecho, se puedetomar cualquiera de los vectores propios de la matriz. El resto de los vectoresse calculan de acuerdo a la siguiente iteración:
A(A� �iI)kv = (A� �iI)k+1v + �i(A� �iI)kv (27)
8k = 0; q � 1
que se obtiene de manera análoga a (26), o sustituyendo en ésta a q� 1 pork y haciendo uso de (24).
Empleando en (27) la de�nición de los vectores v1, v2, :::;vq dada por (25),se tiene que (27) se reduce a:
18
Av1 = �iv1 (28)
Av2 = �iv2 + v1
:::::::
Avq�1 = �ivq�1 + vq�2
Avq = �ivq + vq�1
y es a partir de este sistema de ecuaciones que se calculan los q vectores pro-pios generalizados, que eran los vectores que faltaban para completar el conjuntode � vectores asociados al valor propio �i que está repetido � veces.
Resumen 22 Para el caso de una matriz con valores propios repetidos, se puedeentonces seguir el siguiente procedimiento para el cálculo de los vectores propiosy vectores propios generalizados correspondientes:Sea A 2 Rn�n con polinomio característico dado por (17), en donde sin
pérdida de generalidad, se considera que solamente el valor propio i � �esimoestá repetido � veces.i) Para cada uno de los valores propios diferentes, calcúlense los vectores
propios correspondientes de acuerdo al procedimiento descrito líneas arriba: paracada valor propio diferentte, hágase uso de la de�nición de vector propio dadapor (1) (o por (2) o por (3)), que resulta en un sistemas de n�1 ecuaciones conn incógnitas ya que cada valor propio diferente hace caer el rango de la matriz(A� �I) en una unidad.ii) Para el valor propio repetido:
a)Sea rank [(A� �iI)] = n� p; 1 � p � � lo que implica que asociadosal valor propio �i se pueden calcular p vectores propios.
b) Calcúlense los p vectores propios asociados al valor propio �i, deacuerdo al procedimiento referido en i).
c) Asociados al valor propio �i ,se tienen q = � � p vectores propiosgeneralizados, el primero de los cuales es cualquiera de los vectores propioscorrespondientes a �i. Nótese que si p = �, entonces se tienen � vectores propiosasociados al valor propio �i ,que se calculan de acuerdo al procedimiento i).
Los q vectores propios generalizados asociados al valor propio �i se calculan deacuerdo a (28), esto es:
Av1 = �iv1 (29)
Av2 = �iv2 + v1
:::::::
Avq�1 = �ivq�1 + vq�2
Avq = �ivq + vq�1
19
en donde puede observarse que v1 es vector propio (cualquiera previamentecalculado) correspondiente a �i: El conjunto de vectores propios generalizadosfv1;v2; :::;vqg es un conjunto linealmente independiente de vectores y por lotanto forman una base para el subespacio Rq � Rn:Fin de procedimiento.
Ejemplo 23 Sea la matriz
A =
2664�1:5 0:5 0 0�0:5 �1:5 0 10:5 0:5 �2 00:5 0:5 0 �2
3775Obtenga el polinomio característico de la matriz, obtenga los valores propios
de la matriz y los vectores propios y propios generalizados correspondientes.
Solución 24 Obtenga la matriz (�I �A) :
(�I �A) =
2664�+ 1:5 �0:5 0 00:5 �+ 1:5 0 �1�0:5 �0:5 �+ 2 0�0:5 �0:5 0 �+ 2
3775Su polinomio característico está dado por:
�(�) = det(�I �A) == �4 + 7�3 + 18�2 + 20�+ 8 =
= (�+ 1)(�+ 2)3
Los valores propios son: �1 = �1; �2 = �2; con el valor propio �2 = �2repetido tres veces.Para � = �1 :Cálculo del vector propio v1 :
(�I �A)j�=�1 =
26640:5 �0:5 0 00:5 0:5 0 �1�0:5 �0:5 1 0�0:5 �0:5 0 1
3775Utilizando la de�nición de vector propio dada por (2), se tiene
(�I �A)j�=�1 v1 =
26640:5 �0:5 0 00:5 0:5 0 �1�0:5 �0:5 1 0�0:5 �0:5 0 1
37752664v1v2v3v4
3775 = 020
Lo que resulta en un sistema de 4 ecuaciones, una de las cuales es redun-dante, con cuatro incógnitas. Resolviendo para v1, se obtiene:
v1 =
26641111
3775Para � = �2 :Cálculo de los vectores propios y propios generalizados:
(�I �A)j�=�2 =
2664�0:5 �0:5 0 00:5 �0:5 0 �1�0:5 �0:5 0 0�0:5 �0:5 0 0
3775El cálculo del rango de esta matriz da
rank�(�I �A)j�=�2
�= 2
en donde puede observarse que la primera, tercera y cuarta �las, son iguales.Esto implica que dim
�N( (�I �A)j�=�2)
�= 4�2 = 2; así que existen 2 vectores
propios asociados al valor propio � = �2. En este ejemplo, de acuerdo alprocedimiento que se suministró líneas arriba, se tiene que n = 4; � = 3; p = 2 yq = 2: Lo que quiere decir que correspondientes al valor propio � = �2; se tienendos vectores propios generalizados, uno de los cuales es también vector propiode la matriz A correspondiente al valor propio � = �2: Así que la situación esque se tienen que calcular los vectores v2;v3;v4 que satisfagan las siguientesecuaciones:
Av2 = �2v2
Av3 = �2v3
Av4 = �2v4 + v3
Resolviendo estas tres ecuaciones para v2;v3;v4, se obtiene (los detalles delcálculo se dejan al lector):
v2 =
26641�1�11
3775 v3 =
26641�111
3775 v4 =
266411�1�1
37753 Forma canónica de Jordan de una matriz
Toda matriz A 2 Rn�n es algebraicamente equivalente o similar a una matriz� 2 Rn que es diagonal o diagonal por bloques y que en su diagonal pincipal
21
despliega a los valores propios de la matriz A 2 Rn�n:Esto es, existe T 2 Rn�n, det(T ) 6= 0; tal que
� = T�1AT
La matriz de tranformación T 2 Rn�n que genera la forma canónica deJordan � de la matriz A; es la matriz T cuyas columnas son los vectores propiosy los vectores propios generalizados de la matriz A correspondientes a sus valorespropios y a sus valores propios generalizados.
Como se anotó en la sección anterior cuando se trataron los conceptos devalor y vector propio de una matriz y su extensión a los consceptos de valory vector propio generalizados, se presentan dos casos: el caso en que todoslos valores propios son diferentes y el caso en el que se tienen valores propiosrepetidos. A continuación se tratarán estos dos casos.
3.1 Valores propios diferentes
Sea A 2 Rn�n, sea �(�) = det [A� �I] = �n + an�1�n�1 + ::: + a1� + a0; su
polinomio característico y sean todos sus valores propios diferentes, esto es:
�(�) = (�� �1)(�� �2):::(�� �n)
Correspondientes a estos n valores propios diferentes, existen n vectorespropios que son linealmente independientes, y que por lo tanto forman unabase de Rn . La matriz A expresada en esta base es precisamente la formacanónica de Jordan de la matriz en cuestión:
Tómese la expresión
Av1 = �1v1 (30)
Av2 = �2v2
:::::::
Avn�1 = �n�1vn�1
Avn = �nvn
Este sistema de ecuaciones puede expresarse en forma compacta de la sigu-iente manera:
A [v1 v2 ::: vn] = [v1 v2 ::: vn]
26666664�1 0 0 0 0 00 �2 0 0 0 00 0 � 0 0 00 0 0 � 0 00 0 0 0 � 00 0 0 0 0 �n
3777777522
o de la siguiente manera:AT = T�
en dondeT = [v1 v2 ::: vn]
y
� =
26666664�1 0 � � � 00 �2 � � � �� 0 � � � �� � � � � �� � � � � 00 0 0 0 0 �n
37777775� es la forma canónica de la matriz A y T es la matriz de transformación
o cambio de coordenadas, cuyas columnas son los vectores propios de la matrizA.
3.2 Valores propios repetidos
Sea A 2 Rn�n, sea �(�) = det [A� �I] = �n + an�1�n�1 + ::: + a1� + a0; su
polinomio característico en el que, sin pérdida de generalidad, se considera quesolo el valor propio �i se encuentra repetido � veces, esto es:
�(�) = (�� �1):::(�� �i)� :::(�� �n)
Correspondientes a los n�� valores propios diferentes, existen n�� vectorespropios correspondientes, que son linealmente independientes, y que se calculancomo ya se indicó en el caso de valores propios diferentes, por lo tanto formanuna base para el subespacio Rn�� � Rn :
Av1 = �1v1
Av2 = �2v2... (31)
Avi�1 = �i�1vi�1 (32)
Avi+1 = �i+1vi+1 (33)... (34)
Avn���1 = �n���1vn��
Avn�� = �n��vn��
Los � vectores faltantes, asociados al valor propio �i; se calculan de acuerdoal procedimiento descrito líneas arriba correspondiente al caso de valores propiosrepetidos:
23
Searank [A� �iI] = n� p
entonces, correspondientes al valor propio�i repetido � veces, se tienen pvectores propios y q = �� p vectores propios generalizados, uno de los cuales esuno de los vectores propios correspondientes a �i :
Avi1 = �i vi1
Avi2 = �i vi1
...
Avip = �i vip
Avip+1 = �ivip+1 + v
ip
Avip+2 = �ivip+2 + v
ip+1
...
Aviq�1 = �i viq�1 + v
iq�2
Aviq = �iviq + v
iq�1
24