valores y vectores propios. diagonalización por semejanza. introducción valores y vectores propios...

Valores y vectores propios.Diagonalización por semejanza.

• Introducción

• Valores y vectores propios:

– Definición

– Cálculo y propiedades

– Caso particular: valores y vectores propios de matrices simétricas reales

– Aplicaciones

• Diagonalización de matrices:

– Planteamiento y resolución del problema

– Caso particular: diagonalización de matrices simétricas reales.

– Aplicaciones

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU

Los valores y vectores propios están presentes en gran parte de nuestra vida

Pueden buscarse por sus efectos beneficiosos o perjudiciales.

Su cálculo es complicado salvo en sistemas simples o especiales.


Valores y vectores propios.

Diagonalización por semejanza.

• Introducción


– Definición


– Caso particular: matrices simétricas reales

– Aplicaciones


– Planteamiento y resolución

– Caso particular: matrices simétricas reales.

– Aplicaciones

Ejemplo:

1 2 1 3 13

2 1 1 3 1

es un autovector de A asociado a = 3, ya que1

1x

1 2

2 1A

Cualquier otro vector αx también será autovector de A asociado a = 3 Dem

K es autovalor de A x ≠ 0 Kn / A x = x

x Kn es autovector de A K / A x = x



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones

Sea A Mnxn (K)


Obtener los valores propios de A es equivalente a obtener los valores propios de f

Ejemplo: simetría respecto al eje OX

Los vectores del eje OX son vectores propiosasociados a = 1, ya que f(y) = 1· y

Los vectores del eje OY son vectores propiosasociados a = -1, ya quef(z) = -1· z

x

f(y)

z

f(z)

f(x)

y

Utilizando la matriz A2x2 que representa esta simetría se obtiene el mismo resultado Ver



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones

Anxn representa una aplicación lineal f: Rn → Rn


>0 alarga o encoje cualquier vector propio x asociado a

y también cualquier combinación lineal de vectores propios asociados a

Los valores propios nos dan la llave para entender cómo funcionaun operador.



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones


Ax x ( ) 0A I x sol trivial

0A I

Después, para cada valor propio i obtenido, se calcula el subespacio propio:

V(i) = {xKn / (A-iI) x = 0}

Primero se obtienen los valores propios: i

(polinomio de grado n en )

Ecuación característica: pA()=0

Polinomio característico: pA()

K es autovalor de AMnxn(K) es solución de la ecuación característica

Si K= C A posee exactamente n autovalores

Si K= R A posee a lo sumo n autovalores

Valores propios: ejemplos de cálculo Ejs. 1, 2 y 3 Vectores propios: ejemplos de cálculo Ej. 1 Ej. 2 Ej. 3



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones


Se llama multiplicidad algebraica, mi, de un autovalor i, a la multiplicidad

de i como raíz de la ecuación característica.

Se llama multiplicidad geométrica, μi, de un autovalor i, a la dimensión del

subespacio propio asociado a él: dim V(i)

1 i im

Ejemplos: Ej. 1 Ej. 2 Ej. 3 Ej. 4 Ej. 5

Los autovalores pueden ser repetidos o no.



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones


Un autovector de una matriz cuadrada está asociado a un único autovalor

Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes

Matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos autovalores.

Vectores propios: propiedades

Tr (A) = 1 +2 +3 + … + n

|A|= 1· 2 · 3 · … · nEjs.

Valores propios: propiedades



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones


A tiene n autovalores

Autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales

Sea A M nxn (R) simétrica; entonces:Valores y vectores propios.


• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones

Ej.


Resolución de ecuaciones diferenciales (evolución de sistemas continuos)



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones

Pero las ecs. diferenciales no son algo puramente matemático. Surgen en todos los campos de las Ciencias:

• Vibraciones (libres y forzadas)

• Estructuras (cargas críticas)

• Problemas de mezclas

• Problemas de crecimiento y competición de poblaciones

• Transmisión de fotografías

Aplicaciones:


A M nxn (K) es diagonalizable D diagonal semejante a A

P regular / D = P-1 ·A· P siendo D diagonal

O considerando el endomorfismo representado por A:

E

B

fE

B

B’ B’

A

DAlgunas ventajas y aplicaciones.

Cálculo de la inversa: A-1 = ( P ·D· P-1)-1 = (P ·D· P-1)-1 = P ·D-1· P

Si A es diagonalizable A = P ·D· P-1

Cálculo de potencias: AK = ( P ·D· P-1)K = (P ·D· P-1) · (P ·D· P-1)· … · (P ·D· P-1) = P ·DK· P-1



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones un endomorfismo es diagonalizable una base en la que la matriz del endomorfismo es diagonal

Diagonalización por semejanza:


Diagonalización:

Condición necesaria: Si A es diagonalizable A tiene n valores propios

Condición necesaria y suficiente: A es diagonalizable tiene n vectores propios lin. independientes

Condición suficiente: Si A tiene n valores propios distintos A es diagonalizable

1 2 3 nv v v v

P

1

2

3

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 n

D

V( 1

)V

( 2)

V( n

)

n vectores propios de A l.i

Valores propios de A

¡No todas las matrices son diagonalizables!

Las matrices no diagonalizables se dice que son defectivas

D es única, salvo permutaciones de los valores propios P no es única



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones

Si A es diagonalizable

Ejemplos: Ej.1 Ej.2 Ej.4 Ej.5


Caso particular: diagonalización de matrices simétricas reales por semejanza ortogonal

A M nxn (R) es diagonalizable ortogonalmente

es semejante a una matriz diagonal por medio de una matriz ortogonal

P ortogonal (P-1 = PT) / D = P-1 ·A· P = PT ·A· P

Ej.

A M nxn (R) es simétrica es diagonalizable ortogonalmente



• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones




• Introducción


– Definición



– Aplicaciones




– Aplicaciones

Ecuaciones en diferencias (evolución de sistemas discretos)

Diagonalización de formas cuadráticas

Desacoplar sistemas de ecuaciones

Aplicaciones:


x

f(y)

z

f(z)

f(x)

y

1 0 1 1 11

0 1 0 0 0

1 0 0 0 01

0 1 1 1 1

La matriz que representa esta simetría en la base canónica es:1 0

0 1A


2 2

1 2;

2 1xA

21 2( ) 2 3 ;

2 1Ap A I

( ) 0Ap

1 = -1

2 = 3

3 3

1 0 2

1 2 4 ;

2 0 1xA

3 2

1 0 2

( ) 1 2 4 4 11 24;

2 0 1Ap A I

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 23 = 3

3 3

1 0 1

0 4 0 ;

1 0 2xA

3 2

1 0 1

( ) 0 4 0 7 15 12;

1 0 2Ap A I

( ) 0Ap 1 = 4

2

3 3

2 2i

3

3 3

2 2i

¡Si A(R) → un único valor propio!

Si A(C) → tres valores propios

2 valores propios

3 valores propios

pA() = 0Cálculo de valores propios: ejemplos

Ej. 1

Ej. 2

Ej. 3


( ) 0A I x

2 2

1 2;

2 1xA

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 3

1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}

1

2

2 2 0

2 2 0

x

x

1 2

1 2

2 2 0

2 2 0

x x

x x

Resolviendo: 2 1x x

1 1( 1)T

x V x x x ( 1) 1 1T

VB Obsérvese que dim V(-1) = dim K2 - nº ecs. l.i== 2 - 1 = 1

rg (A+1·I) 2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}

1

2

2 2 0

2 2 0

x

x

Resolviendo: 2 1x x

1 1(3)T

x V x x x (3) 1 1T

VB Obsérvese que dim V(3) = dim K2 - nº ecs. l.i== 2 - 1 = 1

rg (A-3·I)

1 2

1 2

2 2 0

2 2 0

x x

x x

Cálculo de vectores propios: Ej. 1


1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0}

1

2

3

2 0 2 0

1 3 4 0

2 0 2 0

x

x

x

1 3

1 2 3

1 3

2 2 0

3 4 0

2 2 0

x x

x x x

x x

Resolviendo:3 1

2 1

5

3

x x

x x

1 1 1

5( 1)

3

T

x V x x x x

( 1)

51 1

3

T

VB

dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 - 2 = 1

rg (A+1·I)

3 3

1 0 2

1 2 4 ;

2 0 1xA

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 23 = 3

2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}

2(2) 0 0T

x V x x (2) 0 1 0T

VB dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 -2 = 1

3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}

1 1 1(3) 3T

x V x x x x (3) 1 3 1T


rg (A+2·I)

rg (A-3·I)

Cálculo de vectores propios: Ej. 2 ( ) 0A I x

Resolviendo:

Resolviendo:


3

3 3

2 2i

V(2)={xK3 / A·x = 2 ·x } ={xK3 / (A- 2·I)·x = 0}

1

2

3

1 30 1

2 20

5 30 0 0

2 20

1 31 0

2 2

ix

xi

xi

Res:1 3

2

1 3

2 2

0

x i x

x

3 3

3 3 1 3( ) 02 2 2 2

T

x V i x i x x

2( )

1 30 1

2 2

T

VB i

3 3

1 0 1

0 4 0 ;

1 0 2xA

1 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} (4) 0 1 0

T

VB

( ) 0Ap 1 = 4

2

3 3

2 2i

3

3 3

2 2i

2

3 3

2 2i

V(3)={xK3 / A·x = 3 ·x } ={xK3 / (A- 3·I)·x = 0}

3 3

3 3 1 3( ) 02 2 2 2

T

x V i x i x x

3( )

1 30 1

2 2

T

VB i

2(4) 0 0T

x V x x Res:

Res:



μ1 = 1 = m1

m1 = 1

m2 = 1

( ) 0A I x

2 2

1 2;

2 1xA

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 3

1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}

1

2

2 2 0

2 2 0

x

x

1 2

1 2

2 2 0

2 2 0

x x

x x

Resolviendo: 2 1x x

1 1( 1)T

x V x x x ( 1) 1 1T

VB Obsérvese que dim V(-1) = dim K2 - nº ecs. l.i== 2 - 1 = 1

rg (A+1·I) 2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}

1

2

2 2 0

2 2 0

x

x

Resolviendo: 2 1x x

1 1(3)T

x V x x x (3) 1 1T

VB Obsérvese que dim V(3) = dim K2 - nº ecs. l.i== 2 - 1 = 1

rg (A-3·I)

1 2

1 2

2 2 0

2 2 0

x x

x x

Cálculo de vectores propios: Ej. 1

μ2 = 1 = m2


m1 = 1

1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0}

1

2

3

2 0 2 0

1 3 4 0

2 0 2 0

x

x

x

1 3

1 2 3

1 3

2 2 0

3 4 0

2 2 0

x x

x x x

x x

Resolviendo:3 1

2 1

5

3

x x

x x

1 1 1

5( 1)

3

T

x V x x x x

( 1)

51 1

3

T

VB

dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 - 2 = 1

rg (A+1·I)

3 3

1 0 2

1 2 4 ;

2 0 1xA

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 23 = 3

2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}

2(2) 0 0T

x V x x (2) 0 1 0T


3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}

1 1 1(3) 3T

x V x x x x (3) 1 3 1T


rg (A+2·I)

rg (A-3·I)


Resolviendo:

Resolviendo:

m2 = 1 m3 = 1

μ1 = 1 = m1

μ2 = 1 = m2

μ3 = 1 = m3


3

3 3

2 2i

V(2)={xK3 / A·x = 2 ·x } ={xK3 / (A- 2·I)·x = 0}

1

2

3

1 30 1

2 20

5 30 0 0

2 20

1 31 0

2 2

i

x

xi

xi

Res:1 3

2

1 3

2 2

0

x i x

x

3 3

3 3 1 3( ) 02 2 2 2

T

x V i x i x x

2( )

1 30 1

2 2

T

VB i

3 3

1 0 1

0 4 0 ;

1 0 2xA

1 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} (4) 0 1 0

T

VB

( ) 0Ap 1 = 4

2

3 3

2 2i

3

3 3

2 2i

2

3 3

2 2i

V(3)={xK3 / A·x = 3 ·x } ={xK3 / (A- 3·I)·x = 0}

3 3

3 3 1 3( ) 02 2 2 2

T

x V i x i x x

3( )

1 30 1

2 2

T

VB i

2(4) 0 0T

x V x x Res:

Res:


m1 = 1

m3 = 1

μ1 = 1 = m1

μ2 = 1 = m2

μ3 = 1 = m3

m2 = 1


3 2 2( ) 6 32 ( 2) ( 4) 0Ap 1 = -2 , m1 = 1

2 = 4 , m2 = 2

1 = -2 V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x = 0} 2 2 2( 2) 6 6

Tx V x x x x

Res: ( 2) 6 1 6

T

VB

2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}

1

2

3

4 0 2 0

1 0 0 0

4 0 2 0

x

x

x

Resolviendo: 3 1 0x x

2(4) 0 0T

x V x x (4) 0 1 0T

VB dim V(4) = dim K3 - nº ecs. l.i== 3 - 2 = 1

rg (A-4·I)

1 3

1

1 3

4 2 0

0

4 2 0

x x

x

x x

μ1 = 1= m1

μ2 = 1< m2

3 3

0 0 2

1 4 0 ;

4 0 2xA

Ej. 4


2 3 6 3

0 5 6 6;

6 3 10 3

6 6 0 7

A

4 3 2 2 2( ) 10 33 40 16 ( 1) ( 4) 0Ap 1 = 1 , m1 = 2

2 = 4 , m2 = 2

1 = 1 V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0}

2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}

3 3 4 3 4(1)T

x V x x x x x x

(1) 0 1 0 1 , 1 1 1 0T T

VB

dim V(1) = dim K4 - nº ecs. l.i= 4 – rg (A-1 I)= 4 – 2= 2

1

2

3

4

3 3 6 3 0

0 6 6 6 0

6 3 9 3 0

6 6 0 6 0

x

xA

x

x

μ1 = 2 = m1

3 4 3 4 3 4

2 1 2 2(4)

3 6 3 3

T

x V x x x x x x x

dim V(4) = dim K4 - nº ecs. l.i= 4 – rg (A-4 I)= 4 – 2= 2

1

2

3

4

6 3 6 3 0

0 9 6 6 0

6 3 6 3 0

6 6 0 3 0

x

xA

x

x

(4)

2 2 1 21 0 , 0 1

3 3 6 3

T T

VB

μ2 = 2 = m2

Res:

Res:

Ej. 5


Tr(A) = 2 = -1+3

|A| = -3 = -1·3

Tr(A) = 4 = -1+2+3

|A| = -6 = -1·2·3

2 2

1 2;

2 1xA

21 2( ) 2 3 ;

2 1Ap A I

( ) 0Ap

1 = -1

2 = 3

3 3

1 0 2

1 2 4 ;

2 0 1xA

3 2

1 0 2

( ) 1 2 4 4 11 24;

2 0 1Ap A I

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 23 = 3

3 3

1 0 1

0 4 0 ;

1 0 2xA

3 2

1 0 1

( ) 0 4 0 7 15 12;

1 0 2Ap A I

( ) 0Ap 1 = 4

2

3 3

2 2i

3

3 3

2 2i

¡Si A(R) → un único valor propio!

Si A(C) → tres valores propios

2 valores propios

3 valores propios

pA() = 0Cálculo de valores propios: ejemplos

Ej. 1

Ej. 2

Ej. 3


1 2 2 0 0

2 1 2 0 0

2 2 1 0 0

0 0 0 5 0

0 0 0 0 5

A

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 5

1 = -1 V(-1)={x5 / A·x = -1·x } ={xR5 / (A+1·I)·x = 0}

( 1) 1 0 1 0 0 , 1 1 0 0 0T T

VB

2 = 5 V(5)={x5 / A·x = 5·x } ={xR5 / (A-5·I)·x = 0}

(5) 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0T T T

VB

m1 = 2

m2 = 3

μ1 = 2 = m1

μ2 = 3 = m2

Valores y vectores propios de matrices simétricas reales: ejemplo


μ1 = 1 = m1

m1 = 1

m2 = 1

2 2

1 2;

2 1xA

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 3

1 = -1 V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}

1 1( 1)T

x V x x x ( 1) 1 1T

VB

2 = 3 V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}

1 1(3)T

x V x x x (3) 1 1T

VB

Diagonalización: Ej. 1

μ2 = 1 = m2

A diagonalizable

1 0

0 3D

1 1

1 1P

V( 1

)V

( 2)

1

2

D = P-1 · A · P


1 = -1 V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0}

1 1 1

5( 1)

3

T

x V x x x x ( 1)

51 1

3

T

VB

3 3

1 0 2

1 2 4 ;

2 0 1xA

( ) 0Ap 1 = -1

2 = 23 = 3

2 = 2 V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}

2(2) 0 0T

x V x x (2) 0 1 0T

VB

3 = 3 V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}

1 1 1(3) 3T

x V x x x x (3) 1 3 1T

VB


m1 = 1

m3 = 1 m2 = 1 A diagonalizable

μ1 = 1 = m1

μ2 = 1 = m2

μ3 = 1 = m3

1 0 0

0 2 0

0 0 3

D

1 0 1

51 3

31 0 1

P

V( 1

)V

( 2)

1 2 3

V( 3

)

D = P-1 · A · P


( ) 0Ap 1 = -2 , m1 = 1

2 = 4 , m2 = 2

1 = -2 V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x = 0} 2 2 2( 2) 6 6

Tx V x x x x

Res: ( 2) 6 1 6

T

VB

2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}

2(4) 0 0T

x V x x (4) 0 1 0T

VB

μ1 = 1= m1

3 3

0 0 2

1 4 0 ;

4 0 2xA


μ2 = 1< m2

A diagonalizable dim V(4)=2

¡A no es diagonalizable!


2 3 6 3

0 5 6 6;

6 3 10 3

6 6 0 7

A

2 2( ) ( 1) ( 4) 0Ap 1 = 1 , m1 = 2

2 = 4 , m2 = 2

1 = 1 V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0}

2 = 4 V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}

3 3 4 3 4(1)T

x V x x x x x x (1) 0 1 0 1 , 1 1 1 0T T

VB

μ1 = 2 = m1

3 4 3 4 3 4

2 1 2 2(4)

3 6 3 3

T

x V x x x x x x x

(4)

2 2 1 21 0 , 0 1

3 3 6 3

T T

VB

μ2 = 2 = m2

A diagonalizable dim V(1)=2 ^ dim V(4)=2

A es diagonalizable

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 4 0

0 0 0 4

D

1

1

2

2 2 10 1

3 62 2

1 13 3

0 1 1 0

1 0 0 1

P

V(2)V(2

)V( 1)

V( 1)

D = P-1 · A · P



1 2 2 0 0

2 1 2 0 0

2 2 1 0 0

0 0 0 5 0

0 0 0 0 5

A

1 = -1

2 = 5

1 = -1 V(-1)={x5 / A·x = -1·x } ={xR5 / (A+1·I)·x = 0}

( 1) 1 0 1 0 0 , 1 1 0 0 0T T

VB

1 = 5 V(5)={x5 / A·x = 5·x } ={xR5 / (A-5·I)·x = 0}

(5) 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0T T T

VB

m1 = 2

m2 = 3

μ1 = 2 = m1

μ2 = 3 = m2

v1 v2

v3 v4 v5

A diagonalizable

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 5 0 0

0 0 0 5 0

0 0 0 0 5

D

1 1 0 0 1

0 1 0 0 1

1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

P

D = P-1 · A · P

1

1 2

2

2

V( 1

)

V( 1

)

V( 2

)

V( 2

)V

( 2)

Pero además, A es diagonalizable ortogonalmente; es decir, podemos conseguiruna matriz P ortogonal tal que D= P-1 · A · P = PT · A · P.

Diagonalización de matrices simétricas por semejanza ortogonal: ejemplo


Para ello se necesita una base de vectores propios ortonormada. Por ser A simétrica estetipo de base existe.

( 1) 1 0 1 0 0 , 1 1 0 0 0T T

VB

v1 v2

(5) 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0T T T

VB

v3 v4 v5

Teníamos: B= {v1, v2, v3, v4, v5} base de vectores propios

2º Normalizando cada vector, se obtiene B’’= {v’’1, v’’2, v’’3, v’’4, v’’5} base ortonormada de vectores propios

D = P-1 · A · P = PT · A · P

Para cada subespacio propio se puede conseguir una base ortogonal

Además, todos los vectores pertenecientes a V(-1) son ortogonales a los vectores pertenecientes a V(5), por ser A simétrica.

( 1)

1 1' 1 0 1 0 0 , 1 0 0

2 2

TT

VB

V’1 V’2

En este caso BV(5) ya era ortogonal

(5) (5)' 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0T T T

V VB B

V’3 V’4 V’5

1º Buscamos una base ortogonal de vectores propios: B’= {v’1, v’2, v’3, v’4, v’5}

1 2 1 1 1'' 1 0 1 0 0 , 1 0 0 , 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 , 1 1 1 0 0

3 2 22 3

TT T T T

B

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 5 0 0

0 0 0 5 0

0 0 0 0 5

D

1 1 10 0

62 3

2 10 0 0

3 3

1 1 10 0

62 30 0 0 1 0

0 0 1 0 0

P

1

1

2 2

2

V( 1

)

V( 1

)

V( 2

)

V( 2

)

V( 2

)


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