PARCELADOR DE MATEMTICASGRADO 8MO

lIC. aLEXNDER HOYOS PORTELA.

NMEROS NATURALES (N):Es el primer conjunto numrico que conocimos y en aos escolares inferiores nos decan son los nmeros que nos sirven para contar. N = { 1, 2, 3, ...}, en ellos aprendimos a sumar restar multiplicar y dividir.

NMEROS ENTEROS (Z):Formados por los enteros positivos (naturales), los enteros negativos y el cero. Z = {... - 3, - 2, - 1, 0,1, 2, 3, ...}

NMEROS RACIONALES (Q):Son los que se pueden expresar como cociente de dos nmeros enteros, es decir, en forma de fraccin. Los nmeros enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los nmeros racionales no enteros se llaman fraccionarios.Al expresar un nmero racional, no entero, en forma decimal se obtiene un nmero decimal exacto o bien un nmero decimal infinito peridico puro o mixto.NMEROS IRRACIONALES (Q*):Un nmero irracional es un nmero no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos nmeros enteros. Son aquellos decimales infinitos no peridicos., que son producidos por races de nmeros primos entre otros.NMEROS REALES (R):Es la unin de los nmeros racionales y de los nmeros irracionales. R = QUQ*

CONJUNTO DE NMEROS ENTEROS.El conjunto de los nmeros enterosest formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.= {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes:Enteros positivos o nmeros naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a losnmeros naturalesson unsubconjuntode los nmeros enteros.

Valor absoluto de un nmero entero.

Elvalor absolutode unnmero enteroes elnmero naturalque resulta alsuprimir su signo.|a| = a |a| = a

El valor absoluto es la distancia que hay desde el cero (0) hasta el nmero, por tal razn este valor nunca ser negativo.

El opuesto de un nmero entero.Es el mismo nmero pero con signo cambiado, ejemplo:

El opuesto del 2 es -2, El opuesto del -4 es 4.

Criterios para ordenar los nmeros enteros

Todo nmero negativo es menor que cero. 7 < 0 Todo nmero positivo es mayor que cero. 7 > 0

De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.7 > 10 |7| < |10|

De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7|10| > |7|

Recta numrica.

Operaciones con nmeros enteros

Suma de nmeros enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo comn.

3 + 5 = 8(3) + (5) = 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del nmero de mayor valor absoluto.

3 + 5 = 23 + (5) = 2

Propiedades de la suma de nmeros enteros

1. Clausurativa:

a + b3 + (5)

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)(2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)]

5 5 = 2 + ( 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + ( 5) = ( 5) + 2

3 = 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(5) + 0 = 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (5) = 0

(5) = 5

Resta de nmeros enteros

Ladiferenciade losnmeros enterosse obtiene sumando alminuendoel opuesto delsustraendo.a - b = a + (-b)7 5 = 27 (5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de nmeros enteros

1.Clausurativa:a b10 (5)

2..No es Conmutativa:

a - b b - a5 2 2 5

Multiplicacin de nmeros enteros

Lamultiplicacinde variosnmeros enteroses otronmero entero, que tiene comovalor absoluto el producto de los valores absolutosy, comosigno, el que se obtiene de la aplicacin de laregla de los signos.Ley de los signos

2 5 = 10(2) (5) = 102 (5) = 10(2) 5 = 10

Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros

1. clausurativa:

a b2 (5)

2.Asociativa:

(a b) c = a (b c)

(2 3) (5) = 2 [(3 (5)]

6 (5) = 2 (15) -30 = -30

3.Conmutativa:

a b = b a

2 (5) = (5) 2 -10 = -10

4.Elemento neutro:a 1 = a

(5) 1 = (5)

5.Distributiva:

a (b + c) = a b + a c

(2) (3 + 5) = (2) 3 + (2) 5 (2) 8 =- 6 - 10 -16 = -16

6.Sacar factor comn:

a b + a c = a (b + c)(2) 3 + (2) 5 = (2) (3 + 5)Divisin de nmeros enteros

La divisin de dos nmeros enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicacin de la regla de los signos. 10 : 5 = 2(10) : (5) = 2 10 : (5) = 2(10) : 5 = 2

Propiedades de la divisin de nmeros enteros1.No es una operacin Clausurativa:(2) : 6

2.No es Conmutativo:a : b b : a6 : (2) (2) : 6

Potencia de nmeros enteros

Lapotencia de exponente natural de un nmero enteroes otronmero entero, cuyo valorabsoluto es el valor absoluto de la potenciay cuyosignoes el que se deduce de la aplicacin de las siguientesreglas:

1.Las potencias de exponente par son siempre positivas.2.Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a0= 1 a1= a

am an= am+n(2)5(2)2= (2)5+2= (2)7= 128

am: an= am - n(2)5: (2)2= (2)5 - 2= (2)3= 8

(am)n= am n[(2)3]2= (2)6= 64

an bn= (a b)n(2)3 (3)3= (6)3= 216

an: bn= (a : b)n(6)3: 33= (2)3= 8

Potencias de exponente entero negativo

Raz cuadrada de un nmero entero

Las races cuadradas de nmeros enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un nmero positivo o igual a cero,ya que se trata del cuadrado nmero.

Operaciones combinadas:

24 : (2) 3 4 6 : 2 (3) (2) =

6 {3 [13 + 3 (2)2]5} [4 (2)] + 6 =

NMEROS RACIONALES:Unnmero racionales todonmeroque puede representarse como elcocientededos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por.

Representacin de nmeros racionales

Losnmeros racionalesse representan en la recta junto a losnmeros enteros.

Pararepresentarcon precisin losnmeros racionales:1Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.

2Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.

3Unimos el ltimo punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la particin del segmento auxiliar.

En la prctica se utilizannmero racionalyfraccincomosinnimos.

Operaciones con nmeros racionales:Suma y resta de nmeros racionales Con el mismo denominadorSe suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador:En primer lugarsereducen los denominadores a comn denominador, yse suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades de la suma de nmeros racionales

Clausurativa:a + b

Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa:

a + b = b + a

Elemento neutro:a + 0 = a

Elemento opuestoa + (a) = 0

El opuesto del opuesto de un nmero es igual al mismo nmero.

Multiplicacin de nmeros racionales

Propiedades de la multiplicacin de nmeros racionales

Clausurativa:a b

Asociativa:

(a b) c = a (b c)

Conmutativa:a b = b a

Elemento neutro:a 1 = a

Elemento inverso:

Distributiva:a (b + c) = a b + a c

Sacar factor comn:a b + a c = a (b + c)

Divisin de nmeros racionales

.Nmeros irracionales.

Unnmero irracionales un nmero queno se puedeescribir en fraccin - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo:Pies un nmero irracional. El valor de Pi es 3,1415926535897932384626433832795 (y ms...)

Los decimales no siguen ningn patrn, yno se puedeescribir ninguna fraccin que tenga el valor Pi.

Nmeros como22/7= 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llamairracionalporque no se puede escribir en forma derazn(o fraccin),no porque est loco!

Racional o irracional

Pero si un nmerose puedeescribir en forma de fraccin se le llamanmero racional:Ejemplo:9,5se puede escribir en forma de fraccin as:

19/2= 9,5

As quenoes irracional (es unnmero racional)Aqu tienes ms ejemplos:

NmerosEn fraccinRacional oirracional?

55/1Racional

1,757/4Racional

.0011/1000Racional

2(raz cuadrada de 2)?Irracional!

Ejemplo: La raz cuadrada de 2 es un nmero irracional?Mi calculadora dice que la raz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los nmeros se repitan.

No se puedeescribir una fraccin que sea igual a la raz de 2.As que la raz de 2 es unnmero irracionalNmeros irracionales famososPies un nmero irracional famoso. Se han calculado ms de un milln de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El nmeroe(elnmero de Euler) es otro nmero irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales deesin encontrar ningn patrn. Los primeros decimales son:2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

Larazn de oroes un nmero irracional. Sus primeros dgitos son:1,61803398874989484820... (y ms...)

Muchas races cuadradas, cbicas, etc. tambin son irracionales. Ejemplos:31,7320508075688772935274463415059 (etc)

999,9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero 4 = 2, y 9 = 3, as queno todaslas races son irracionales.

Los nmeros realesLa unin de los racionales y los irracionales forma el conjunto de losnmeros reales..El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en, y es un conjunto totalmente ordenado.Teniendo eso en cuenta, se puede representar grficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un nmero.Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntoseson heredadas por.Como ya se ha visto,es denso en. Tambines denso en.Podemos considerarcomo el conjunto de todos los lmites de sucesiones cuyos trminos son nmeros racionales. A diferencia de lo visto para,y, el conjunto de los reales no es numerable.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Definicin:Unaexpresin algebraicaes un conjunto de cantidades numricas y literales relacionadas entre s por los signos de las operaciones aritmticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extraccin de races.Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:o

Sixes una variable, entonces unmonomioenxes una expresin de la formaaxn, en dondeaes un nmero real ynes un entero no negativo.Unbinomioes la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y untrinomioes la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.monomiobinomiotrinomio

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un trmino, un binomio dos trminos y un trinomio tres trminos.

PolinomiosDefinicin:Un polinomio enxes una suma de la forma:anxn+ an-1xn-1+ + a2x2+ a1x + a0Dondenes un entero no negativo y cada coeficiente dexes un numero real. Sianes un numero diferente de cero, se dice que el polinomio es de gradon.

El coeficienteade la mayor potencia dexes elcoeficiente principaldel polinomio.Ejemplos de polinomios:EjemploCoeficiente principalGrado

34

18

-52

880

71

Suma y Resta de Polinomios:Suma:Sumamos trminos semejantes es decir sumamos aquellos trminos cuyas variables y exponentes sean iguales.Los pasos para hacer las suma son:Paso 1:Elimine los parntesisPaso 2. Agrupe trminos semejantesPaso 3. Sume y reste los trminos semejantes.Ejemplo:Halla la suma de:=

=

=

=

Resta:Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los parntesis cambia el signo de los trminos dentro del parntesis.Ejemplo:Resta los siguientes polinomios:

Paso 1: Si un parntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del parntesis se afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo antepuesto al parntesis pasa a ser positivo.

Paso 2: Eliminelos parntesis.Para hacerlo slo escriba los trminos que estn dentro del parntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los dos parntesis.Paso 3: Agrupe los trminos semejantes; es decir los trminos con iguales variables e iguales exponentes.Paso 4: Sume y reste los trminos semejantes.As que aplicando este concepto a la expresin original tendramos:====

MULTIPLICACIN

Multiplicacin:Operacin en la que dos expresiones denominadas multiplicando y multiplicador dan como resultado un producto. Al multiplicando y multiplicador se les denomina factores.

La multiplicacin consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda o primera cantidad

Por ejemplo:

(9)*(5) = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 o bien (9)*(5) = 5+5+5+5+5+5+5+5+5 = 45

ELEMENTOS DE UNA MULTIPLICACIN

1. FACTORES: Son las cantidades que se multiplican2. PRODUCTO: Es el resultado de multiplicar los factores.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN

Regla de los signos:

(+)(+) = +(-)(+) = -

(+)(-) = -(-)(-) = +

Para la multiplicacin, debemos tener en cuenta la siguienteley de exponentes:En la multiplicacin de bases iguales, los exponentes se suman:

En la multiplicacin de expresiones algebraicas se pueden distinguir tres casos: Multiplicacin de un monomio por un monomio Multiplicacin de un polinomios por un monomio Multiplicacin de un polinomio por otro polinomio

Multiplicacin de un:Procedimiento:Ejemplo:

Monomio por un monomioDeterminar el signo del producto.Multiplica los coeficientes numricos.Multiplica las partes literales utilizando las leyes de los exponentes correspondientes

Monomio por un polinomioSe utiliza la propiedad distributiva de la multiplicacin; es decir se multiplica cada trmino del polinomio por el monomio.

Polinomio por un polinomioCada trmino del primer polinomio se debe multiplicar por cada uno de los trminos del segundo polinomio y despus se deben agrupar los trminos semejantes, ya que son los que se pueden sumar o restar.

DIVISION DE POLINOMIOS.Divisin:Operacin en la que dos expresiones denominadas dividendo y divisor dan como resultado un cociente.

La divisin se regula por las siguientes leyes de los signos:

Para la divisin, debemos tener en cuenta la siguienteley de exponentes:En la divisin de bases iguales, los exponentes se restan y si el exponente es cero, recuerda que todo nmero o expresin elevada a la apotencia cero es igual a la unidad (1)

Por ejemplo:

ELEMENTOS DE UNA DIVISIN

Con respecto a la divisin y en relacin con los polinomios distinguiremos tres casos:Divisin de un:Procedimiento:Ejemplo:

Monomio entre un monomioDeterminar el signo del cocienteDividir los coeficientes numricos.Aplicar las leyes de los exponentes correspondientes

Polinomio entre monomioSe utiliza la propiedad distributiva de la divisin, Sedivide cada trmino del polinomio entre el monomio y se suman o restan segn sea el caso los cocientes obtenidos.

Polinomio entre polinomioSe ordenan los dos polinomios en orden decrecienteSe divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor.Se multiplica el primer trmino del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos dos y tres hasta que el resultado sea cero o de menor exponente que el divisor.