sesion 24 2015 2 vibracion libre amortiguada

8/20/2019 Sesion 24 2015 2 Vibracion Libre Amortiguada

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Dinámica 2015-1

Sesión 24

Tema:

Vibraciones Libres Amortiguadas

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• Movimiento sobreamortiguado

• Movimiento en estado critico

•Movimiento subamortiguado.

• Decremento logarítmico.

• Disipación de la energía.

TEMARIO


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Competencias a lograr en la clase

2.- Determinar la frecuencia

en una vibración libre

subamortiguada con un solo

grado de libertad.

1.- Aplicar la ecuación

diferencial del movimiento en

una vibración libre

subamortiguada con un solo

grado de libertad.

3.- Trabaja en equipo en la

solución de problemas

participando asertivamente.


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El sistema no oscila peroretorna a su posición deequilibrio lentamente por tal

motivo es denominadosistema sobre

amortiguamiento.

TRES CASOS QUE SE PRESENTAN EN

LA VIBRACION AMORTIGUADA


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0mx cx kx

VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA

Marco teórico de las vibraciones libres amortiguadas

Ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado:

0n

k

m 2

n

c

m

22 0n n x x x

Si > 1 Vibración sobreamortiguada Si < 1 Vibración subamortiguada Si = 1 Estado crítico de la vibración

21

d n

24 0c km 2 4 0c km

24 0c km

21

d n


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Este documento presenta los resultados experimentales

que pretenden validar el valor teórico de la razón deamortiguamiento para el acero del 5% recomendada pordiferentes autores.

Fuente: http://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.html

http://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.html


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Ecuación diferencial:

Sabemos:

0mx cx kx 2 20nk

m

2 4 0c km

2

c

m

2 .critico n

c c

c k m

: Coeficiente de atenuación


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En ausencia de fuerzas la respuesta decrece con el tiempo hasta la posición de equilibrio x(t)=0.

No obstante, la magnitud del desplazamiento no oscila con respecto a la posición de equilibrio

cuando se acerca a esta.

Raíces de la ecuación

General:

1,2 = − ± ,ℛ+

( ) ( )

1 2( ) t t x t A e A e

2 n

c

m

2 2 2 1d n n


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( ) ( ) nt

x t B Ct e


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Solución X(t) de la ecuación diferencial de una vibración libre subamortiguada

( )nt d x Ce Sen t

1 2(A A ( )nt

d d x e Cos t Sen t

También:

Donde:

2 21 2( ) ( )C A A

1

2

Atg

A


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Decremento logarítmico (DL)

1

1

1

( )

2

n

n d

n d

t

t x Ce e x Ce

1

2

2ln

L n d n

d

x D

x

2

2

(1 ) L n

n

D

También:

2 2(2 ) ( )

L

L

D

D

Luego:

= 21 −

1/2


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La gráfica que describe el movimiento de la vibración sub-amortiguada es:


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= − = − = − = − = ⋯ = . Conceptualmente:

(ciclos/s)

La amortiguación es crítica cuando = 1

Por lo cual en = 1 =í

∴

Cuya solución será: = + ;

= 2ω

=1 =

ω2

∴ í= 2 .


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PROBLEMA:El siguiente sistema tiene unafrecuencia natural = 5 , paralos siguientes datos: = 10 ,

= 5 . ,

= 10 ,

= 25 . Cuando el sistema esperturbado hacia la derecha a travésde un pequeño desplazamientoinicial, la amplitud de la vibraciónlibre se reduce a un 80% en 10 ciclos.

Determinar los valores de rigidez K yla cte de amortiguamiento c:

ANIMACIÓN


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RESOLUCIÓN: Según el enunciado del problema se trata de una vibraciónsubamortiguada, después de reconocer el tipo de vibración,procedemos a resolver el problema utilizando los conceptosrelacionados a este tipo de vibración.Hacemos un bosquejo para comprender mejor el movimiento:


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Según el problema. =0.8

=1.25

Luego: =

.

.

.

.

.

.

.

.

ln = .

.

.

.

.

.

.

.

ln = ln + ln

+ ln + ln

+ ln + ln

+ ln + ln

+

ln 1.25 = 9 ln

ln =19 ln 1.25


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Por el concepto de decremento logarítmico:

=

: = ln

=

19 ln 1.25

=2.47937×10;

Ahora usamos la relación del decremento logarítmico con la razón deamortiguamiento ():

=21 −

=

2 −


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Reemplazando el valor del decremento logarítmico, tenemos: = 3 . 9 4 6 × 1 0;

Ahora utilizamos lo estudiado sobre cinética del cuerpo rígido en 2D y usamos

todos sus conceptos para obtener la ecuación del movimiento:() Graficamos el diagrama de fuerzas en el bloque:

Usamos la ecuación:

=

Tenemos:− − =

Luego: + + = 0 …(*)


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Ahora analizamos la polea:

Usamos la ecuación: =


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Aplicando en el problema: − =

− =

− = − = = : …(**)

Reemplazando (**) en (*):

+ + + = 0 + + + = 0

Como = → = → =

+ + + = 0 + + + = 0


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Reemplazamos la ecuación diferencial con los datos del problema:5.625 +0.01 +0.0625=0

Ahora usamos la ecuación de la frecuencia angular normal ():

=

= 0.06255.625 Como =2

Entonces:

2 5 = 0.06255.625

= 88826.439


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También, del concepto de la razón de amortiguamiento:

= 2

= (2)

0.01 = 3.946 × 10; 2 0.0625 88826.439 5.625

= 139.463 .


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TABLA DE RESPUESTAS:

Pregunta

Respuesta

Cantidad

escalar

Valor

Numérico

Unidades

a 88826.439

b 139.463 .


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BLOQUE C (4 puntos)

Un auto de 79,8 kg de ensayo se mueve con una rapidez de 7,33 m/s y choca contra un

muro de contención en t = 0. Como resultado del comportamiento del parachoques en la

absorción de energía, la respuesta del vehículo a la colisión puede ser simulada como un

oscilador de masa y resorte amortiguado que se muestra con K = 8000 N / m y c = 3000 N.s/ m. Considere que la masa se mueve hacia la izquierda con rapidez inicial de v0 = 7,33 m /

s, y el resorte no está estirado en t = 0. Para t = 0,04 s determine:

a.- La frecuencia circular natural.(rad/s)

b.- La frecuencia de la vibración amortiguada.(rad/s)

c.- La razón de amortiguamiento.

d.- Indique si la vibración es subamortiguada.

Fundamente su respuesta


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0mx cx kx

0c k

x x xm m

3000 80000

79,8 79,8 x x x

300018,8

2 2(79, 8)

c

m

800010 /

79,8n rad s

(supe )n ramortiguado

2n

c

m

Si > 1 Vibración sobreamortiguada


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PROBLEMA (4 puntos)

Dos barras esbeltas y uniformes están soldadas según se indica en la figura. La

barra ABC pesa 10 N y en la posición de equilibrio esta horizontal: la barra BD pesa

15 N y en la posición de equilibrio esta vertical; el pivote B está exento de

rozamiento y el resorte no tienen deformación. Determine:a.- La ecuación diferencial del movimiento

b.- El índice de amortiguamiento.

c.- Que tipo de vibración sucede (subamortiguado, amortiguamiento critico o

sobreamortiguado).

d. La frecuencia del movimiento (si procede).(rad/s)

20 N.s/m


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TALLER


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ProblemaUn carrito de peso 100 N rueda por una superficie horizontal plana,

según se indica en la figura. se empuja el carrito hacia la derecha 375mm y se suelta con una velocidad de 4,5 m/s hacia la izquierda en elinstante t = 0 . Si la constante del resorte es K = 667 N/m y elcoeficiente de amortiguamiento corresponde al amortiguamientocrítico, determinar:

a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento C.(N.s/m)b.- ¿El carrito superará la posición de equilibrio antes de quedar enreposo?


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1.- 6,4096rad/s

2.- 9,6144 m/s3.- 714,24 N

4.- 30 N

5.- 2 rad/s2


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Solucion

En la figura puede observarse eldiagrama del cuerpo libre delcarrito para una posiciónarbitraria.

Luego la pulsación propia será:

Y la razón de amortiguamiento:

−cx − kx = mx

100/9.81x + cx + 667x = 0

ωn = 667100 9.81 = 8.089 rad/s

ζ = 2

100

9.818.089

= 1

=

= 164.9 N. s/m


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En el caso crítico, el desplazamiento y la velocidaddel carrito vienen dados por:

Pero conocemos los siguientes datos:

,

() =

( +

)− = (

+

)

−8.089

() = − 8.089( + )−8.089

= 0 = 375 = −1466.6 /

() = (375 − 1466.6)−8.089 1 = 375 1466.6 s


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Si analizamos dicha ecuación habrá un instante donde el

cuerpo pasara por la posición de equilibrio (x = 0) Es decir: El cuerpo superara la posición de equilibrio,

luego seguirá moviéndose hasta que, eventualmente, suposición tienda a cero.


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Tareas1.- Resolver el problemas: 4 , pagina 30 de la Guía de Dinámica N 2

El problema del bloque D analizarlo y discutirlo en su grupo de trabajo.

2.- Revisar en el libro de R. C. Hibbeler en la pagina 661, Beer and Johnstonpagina 1086.el libro de T.R. Vilchez en la pagina 313 y traten de resolver el problema 01

Tema: Vibraciones libres amortiguadas


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P bl


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ProblemaUna barra esbelta uniforme de 3 Kg tiene una longitud de 150mm yesta en equilibrio en la posición horizontal que se indica en la figura.

Cuando se desciende un poco E y se suelta se observa que laamplitud de cada pico de la oscilaciones es un 90% de la amplituddel pico anterior. Si la constante del resorte es K = 400 N/m,determinar:

a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento

b.- El periodo amortiguado, la frecuencia amortiguada y la pulsaciónamortiguada de la vibración resultante.


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Solución Se determina el decremento logarítmico a partir del

cociente entre amplitudes sucesivas:

Luego la razón de amortiguamiento será:

Coeficientes de laecuacióndiferencial delmovimiento

DL = δ = ln x1x2

= 10.9

= 0.10536

ζ = 22 + 2 = 0.01677 = 2 … ()


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Para el estado de equilibrio tendríamos lo siguiente:

Cuando se gira la barra en sentido anti horario elalargamiento del resorte sería:

↺ + = 0

−0.075

−0.025

= 0

→ = −24.53mm

+ ≅ 0.075

A ál t l ti d i i á


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Análogamente el amortiguador se comprimirá arazón:

Por tanto, la ecuación del movimiento seria lasiguiente:

Donde:

≅ 0.050

−0.025− 0.075 + − 0.050 =

+ (0.050)2

+ (0.075)2

=

−0.075

−0.025

= 112 . 3. (0.15)2 + 3. (0.025)2 = 7.5(10−3)kg. m2

+ 0.0333 + 300 = 0


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Sustituyendo en la ecuación “a” los valores de loscoeficientes de la ecuación diferencial, obtenemos:

Entonces la pulsación propia, la frecuencia

amortiguada y la pulsación amortiguada serán:

= 0.016770.3333 (2) 300 = 1.743N. s/m

ωn = 300 = 17.321 rad/s

ωd =

ωn

1

− ζ2 = 17.318rad/s

f d = ωd 2π = 2.756Hz τ = 1 f d = 0.363s


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Ejemplo:Hallar la ecuación diferencial del movimiento de la varilla que se muestra

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