Dinmica 2015-1

Sesin 07

Tema: Dinmica de los Sistemas Vibratorios

Vibraciones Libres No Amortiguadas

1

VIBRACIONES MECANICAS

Galileo Galilei (1564 1642), un astrnomo italiano, filsofo y profesor

de matemticas en las Universidades de Pisa y Padua, en 1609 se

convirti en el primer hombre en apuntar un telescopio hacia el cielo.

l escribi el primer tratado sobre la dinmica moderna en 1590. Sus

trabajos sobre las oscilaciones de un pndulo simple y la

vibracin de las cuerdas son de importancia fundamental en la

teora de las vibraciones.

(Cortesa de Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics (2 rev.

Ed.), Dover Publications, Inc., Nueva York, 1948.)

TIPOS DE VIBRACIONES MECANICAS

1. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

2. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS

3. VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS

4. VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS

Pitgoras. (Reproducido

con el permiso de L. E. Navia,

Pitgoras: Una bibliografa anotada,

Garland Publishing, Inc., Nueva York, 1990).

Una vibracin libre no amortiguada es el movimiento

peridico de un cuerpo o de un sistema de cuerpos

conectados desplazados desde una posicin de

equilibrio.

El sistema bajo vibracin libre vibrar en una o ms de

sus frecuencias naturales, dependientes de la

distribucin de su masa y rigidez.

Las vibraciones no amortiguadas pueden continuar

indefinidamente debido a que los efectos de la friccin

son despreciados en el anlisis.

Vibracin libre no amortiguada

Analisis del movimiento vibratorio libre no

amortiguado:

En la figura observamos un cuerpo de masa m que oscila con respecto a un punto fijo con una amplitud x=A . La fuerza elastica del resorte que aplica al bloque es una fuerza conservativa . Ley de Hooke para resortes elasticos: Entonces el modulo de la fuerza disminuira hasta cero en el punto de equilibrio. Caso contrario ocurre con la velocidad que adquiere su maximo valor en el punto de equilibrio y es cero cuando la amplitud es maxima.

.F k x=

Superficie sin friccin

n

x

A

v

v v

v

v

x

( )nx ASen tw f= +

2n

t T

q pw = =

x n nv x A Cos tw w= =

2

x n na x A Sen tw w= = -

n nx aSen t bCos tw w= +

Otra forma de expresar X:

2x x n nF ma mx mA Sen tw w= = = -2

nx nnASen t Akx n tF Sek m ww w= = = -- -

2

nk mw=

2

n

k

mw =

n

k

mw =

Energia mecanica = cte

21

2KE mv=

21

2PEE Kx=

La energia mecanica se conserva:

*De la figura

2 21 1.2 2

m v kx

22.( . ) 1

2 2

m w AkA

0 0x A x A x xp c p cE E E E

= = = =+ = +

kw

m=

2

. ( )

.cos( )

( )

x A sen t

x A t

x A sen t

w j

w w j

w w j

= +

= +

= - +

2 21 1

2 2M xE mv Kx cte= + =

Animacin del movimiento.

Segunda ley de Newton:

Ecuacion diferencial del movimiento

Despejando la ecuacion (1)..

0 nwl w= = Frecuencia angular

.s n( . )t nx A e tw j= +

..,, A

2

0

.

. .

. 0

F m a

k x m x

x w x

S =

= -

+ =2.k w m=

Principio de Jean Dalembert

PROBLEMA 2 (3 puntos)

La barra delgada que pesa 15 N,

est en equilibrio en la posicin

horizontal. Si se hace descender

125 mm su extremo C y se suelta

a partir del reposo, determine:

a.- La ecuacin diferencial del

movimiento en funcin del ngulo

.

b.- La frecuencia natural.(rad/s)

c.- La mxima velocidad del

extremo C.(m/s)

PROBLEMA 1 (3 puntos)

La barra delgada de peso despreciable soporta la carga donde q = 500 N/m, en

la posicin horizontal los resortes carecen de deformacin. Se sabe que K1=500

N/m, K2=620 N/m. Si se hace descender 125 mm su extremo C y se suelta a

partir del reposo, determine:

a.- La ecuacin diferencial del movimiento.

b.- La frecuencia natural.(rad/s)

c.- La mxima velocidad del extremo C.(m/s)

Utilizando los diversos mtodos conocidos hallar la ecuacin diferencial del movimiento del

problema dado:

1) Principio de Jean Dalembert

1) Mtodo de Rayleigth

2) Mtodo por impulso y cantidad de movimiento angular

3) Mtodo por la segunda ley de newton

METODO DE LA ENERGIA MECANICA Si sobre un cuerpo o sistema actan solo fuerzas conservativas y fuerzas que

no trabajan entonces se cumple la Conservacin de la Energa Mecnica la

que permanece constante con respecto a un sistema de referencia. Por lo tanto:

Lo que implica:

Denominado mtodo de Rayleigh

PROBLEMA 02

El carrete de 50 libras est unido a dos resortes. Si el carrete se desplaza

una pequea cantidad y se suelta, determine el periodo natural de

vibracin. El radio de giro del carrete es Kg = 1.2 pies. El carrete rueda sin

deslizarse.

RESULTADOS PROBLEMA 2

Rpta VARIABLE EXPRESION NUMERICO UNIDADES EVALUACION (no llenar)

a

b n rad/s

c VC m/s

PROBLEMA 2 (3 puntos)

La barra delgada que pesa 15 N, est en equilibrio en la posicin horizontal.

Si se hace descender 125 mm su extremo C y se suelta a partir del reposo,

determine:

a.- La ecuacin diferencial del movimiento.

b.- La frecuencia natural.(rad/s)

c.- La mxima velocidad del extremo C.(m/s)

L

L

A

B C

Las masas de las barras AB y OD

son de 2 y 4kg , la rigidez de cada

resorte es K=300 N/m. y la

elongacin de los resortes es de

0.1m en la posicin representada.

El miembro oscila en un plano

vertical y la rapidez mxima del

punto D es 0.5 m/s.

01. Cual seria la frecuencia

del movimiento originado.(rad/s)

02. Hallar el periodo (s).

03. Calcule la magnitud de la

tensin mxima en los

resortes(N).

nw

O

Animacin del movimiento

N/mK 300=

kgmAB 2= kgmOD 4=

2.3333.1= mkgIOD

12

2LmI ABAB =

3=

2LmI CDOD

2.04166.0 mkgIAB =

ODAB+III =0

2

0 .375.1 mkgI =

A

B

Ecuacin diferencial del movimiento

0,25=x OI=OM1

Cos

Sen

37,1)5,0()()( SengmxKxxKx OD

375,1)5,0)(8,9(4)25,0(300)25,0(300 22

01,57375,1

sradn /4441,6375,1

1,57

sTn

n 975,02

0 ( )sen wt=q q 0 .cos( )w wt=q q

max 0.5 /DV m s=

00.5 (5.4452).cos(5.4452.0.945)= q

0 0.07757rad=q

0Td d x= + 00.1 0.25( )Td = + q

0.11939Td m=

max ( )TF K d=

max 300(0.11939) 35.817F N= =

RESULTADOS

6.4452 Rad/s

0.9750 s

35.8178 N

nw

T

maxF