cap3-vibracion libre amortiguada

Capítulo IiI.Capítulo IiI.Vibraciones libres amortiguadas de Vibraciones libres amortiguadas de un sistema de un grado de libertad.un sistema de un grado de libertad.

Capítulo IiI.Capítulo IiI.Vibraciones libres amortiguadas de Vibraciones libres amortiguadas de un sistema de un grado de libertad.un sistema de un grado de libertad.

† † Péndulo de FocaultPéndulo de Focault

UANL-FIME-DIM-DSM, UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis MecánicoAcademia de Análisis Mecánico, , Vibraciones MecánicasVibraciones Mecánicas

II.1.- VIBRACIÓN LIBREII.1.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADAAMORTIGUADA

II.1.- VIBRACIÓN LIBREII.1.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADAAMORTIGUADA

UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas

Según el tipo de Según el tipo de movimiento del movimiento del

sistemasistema

PeriódicoPeriódico

No PeriódicoNo Periódico

SinusoidalSinusoidal

ComplejoComplejo

TransitorioTransitorio

CuasiperiódicaCuasiperiódica

LibreLibre

ForzadoForzado

Sin AmortiguamientoSin Amortiguamiento

AmortiguadoAmortiguado

Sin AmortiguamientoSin Amortiguamiento

AmortiguadoAmortiguado

Ubicación de las Ubicación de las Vibraciones Libres Vibraciones Libres con amortiguamientocon amortiguamiento

Amortiguamiento.-Amortiguamiento.- Capacidad de disipar energía de un sistema.Capacidad de disipar energía de un sistema.

Tipos de Tipos de amortiguamientoamortiguamiento

Fricción seca (Coulomb)

Fluido

Histéresis

Viscoso

Turbulento

II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.


cvFc

Dónde:Fc = Fuerza de reacción del amortiguador.v = velocidad de aplicación de la carga.c = constante de amortiguamiento real.

Si la velocidad de aplicación de la carga es alta, el amortiguador reacciona con fuerza alta, y si es baja, reacciona con fuerza baja.

Figura 2.18. Amortiguadores de uso automotriz.


hvyyu

Densidad (Densidad ())Viscosidad SAE (Viscosidad SAE ())

yy

Fluido viscosoFluido viscoso

Cuerpo de Cuerpo de área A A

El esfuerzo de corte desarrollado en el cuerpo deslizante esta determinado por la Ley de la Viscosidad de Newton:

La Fuerza viscosa que está actuando en el cuerpo es:

Usando: tendremos que:

vhA

AF

cvF

hv

dydu

hA

c

dtdx

v

F, Fuerza de amortiguamiento

Figura 2.19. Placas paralelas con fluido viscoso entre ellas.†

† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.


Figura 2.20. Amortiguamientos equivalentes viscosos.†

Movimiento entre superficies paralelas.

hA

ceq

Dd

dlD

ceq

21

43

3

3

h

Dd

hDceq 322

1 22

Movimiento axial de un pistón y un cilindro.

Amortiguador torsional.

Amortiguamiento por fricción seca. x

Fc N

eq 4

μ = viscosidad SAE.A = área de la placa.

ω = Frecuencia.Fn = Fuerza de fricción.X = Amplitud.



m

k c

0

kxxcxm

xmkxxc

xmWckxckx

xmxcxkW

xmFFW

FF

cR

IEXT

II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.

Figura 2.22. Representación Gráfica delPrincipio de D´Alembert por medio del

Diagrama de Cuerpo Libre.

m m

W

FR

xm

Fc

Figura 2.21. Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Análisis de Fuerzas por el Método de Newton.

Ecuación diferencial característica de un sistema

masa-resorte de un grado de libertad con

amortiguamieto.

+


SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

nc

n

n

tSts

mc

mc

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

cs

m

kmccs

BeAex

kcDmD

kxdt

dxc

dt

xdm

2

4

4

04

04

42

2

4

:Donde

:esecuación la de general massolución la

0

0

22

22

2

2

2

2

2

2

2

12

2

12

2

2

2

21

Coeficiente de amortiguamiento crítico.

La relación entre el amortiguamiento real y La relación entre el amortiguamiento real y el coeficiente de amortiguamiento crítico, se el coeficiente de amortiguamiento crítico, se conoce como relación de amortiguamiento y conoce como relación de amortiguamiento y se representa como sigue:se representa como sigue:

ccc

Dependiendo de los valores que tomen c y Dependiendo de los valores que tomen c y cccc, podemos encontrar los siguientes , podemos encontrar los siguientes

casos:casos:

•Si Si c<cSi Si c<ccc, , ζζ<1, el sistema es <1, el sistema es Sub-amortiguado.Sub-amortiguado.

•Si Si c=cSi Si c=ccc, , ζζ=1, el sistema es =1, el sistema es Crítico- amortiguado.Crítico- amortiguado.

•Si Si c>cSi Si c>ccc, , ζζ>1, el sistema es >1, el sistema es Sobre- amortiguado.Sobre- amortiguado.

Continuación…Continuación…


n

n

n

nn

nnn

n

nc

c

s

s

s

s

s

mk

mc

mc

s

mc

mc

cc

mc

cc

1

1

1

1

22

ecuación la de raíces las

en valor este ssustituimo ,2

Si

22

22

21

212

212

2212

2

12

tSts BeAex 21

Si sustituimos en ella los valores de las raíces, tenemos lo siguiente:

tt nn BeAex 11 22

Recordando la solución mas general de los sistemas amortiguados:

Raíces de la ecuación.

Ecuación más general de la amplitud del desplazamiento de vibración libre

amortiguada.

Continuación…Continuación…


Tipos de Tipos de sistemas sistemas mecánicos mecánicos según el valor según el valor de c con de c con respecto a crespecto a ccc..

Sub-amortiguado†.

Crítico amortiguado†.

Sobre-amortiguado†.



SISTEMAS SOBRE-AMORTIGUADOS.

•Si c>cc, Si c>cc, ζζ>1, el sistema es >1, el sistema es Sobre- amortiguado.Sobre- amortiguado.

tt nn BeAex 11 22

Características de un sistema Características de un sistema sobre-amortiguado.sobre-amortiguado.

•La amplitud disminuye suave La amplitud disminuye suave y lentamente.y lentamente.

•No hay oscilaciones.No hay oscilaciones.

•Si existe frecuencia natural.Si existe frecuencia natural.

•No existe frecuencia natural No existe frecuencia natural amortiguada amortiguada (ωd).


Figura 2.23. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sobre-amortiguado.


Si c<cSi c<ccc, , ζζ<1, el sistema es <1, el sistema es Sub-amortiguado.Sub-amortiguado.

SISTEMAS SUB-AMORTIGUADOS.SISTEMAS SUB-AMORTIGUADOS.

)( tCosAex dtn

Características de un sistema Características de un sistema sub-amortiguado.sub-amortiguado.

•Cada ciclo disminuye la oscilación Cada ciclo disminuye la oscilación en forma logarítmica.en forma logarítmica.

•Tiene oscilaciones.Tiene oscilaciones.

•Si existe frecuencia natural y Si existe frecuencia natural y

frecuencia natural amortiguada frecuencia natural amortiguada ωωd.d.

•ωωdd y T y Td d dependen de c y dependen de c y ζζ..


Figura 2.24. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sub-amortiguado.


n

tnAex 21cos

A = Constante calculada por lasA = Constante calculada por las condiciones iniciales.condiciones iniciales.= Relación de amortiguamiento.= Relación de amortiguamiento.ΦΦ = Ángulo de desfase. = Ángulo de desfase.X = Amplitud de vibración amortiguadaX = Amplitud de vibración amortiguada (respuesta del sistema).(respuesta del sistema).


Figura 2.25. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sub-amortiguado por medio ecuación en forma trigonométrica.


SISTEMAS CRÍTICO-AMORTIGUADOS.

•Si c=cSi c=ccc, , ζζ=1, el sistema es =1, el sistema es Crítico- amortiguado.Crítico- amortiguado.

t

tt

n

nn

eBtAx

BeAex

Características de un sistema Características de un sistema Crítico-amortiguado.Crítico-amortiguado.

•La amplitud disminuye La amplitud disminuye rápidamente.rápidamente.

•No Tiene oscilaciones.No Tiene oscilaciones.

•Si existe frecuencia natural.Si existe frecuencia natural.

•No existe No existe ωωd.d.


Figura 2.26. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema crítico amortiguado.


Figura 2.27. Comparación entre los distintos tipos de sistemas amortiguados.Figura 2.27. Comparación entre los distintos tipos de sistemas amortiguados.



MÉTODO DEL DECREMENTO LOGARÍTMICO PARA EL CÁLCULO DEL AMORTIGUAMIENTO.

Donde:n = Número del ciclo seleccionado.x1 y x2 = Amplitudes de ciclos consecutivos.

xd = Amplitud del primer ciclo.

xn = Amplitud del ciclo seleccionado.

n

D

xx

nxx ln1

; ln2

1

dd

dd

d

dd

TT

Tf

2 ;

2

21

El decremento logarítmico se obtiene con las amplitudes de la señal amortiguada.

El periodo y la frecuencia de trabajo se obtiene también con la ayuda de la señal amortiguada.



22

2222

22222

2222

222

2

4

4

4

41

21

1

2

dd

nd

T

2

1 2

Utilizando el decremento logarítmico Utilizando el decremento logarítmico , se , se obtiene la razón de amortiguamiento obtiene la razón de amortiguamiento ..

Conociendo la frecuencia natural Conociendo la frecuencia natural nn y y

ya habiendo obtenido la razón de ya habiendo obtenido la razón de amortiguamiento amortiguamiento , se puede calcular , se puede calcular la frecuencia natural amortiguada la frecuencia natural amortiguada dd..


cap3-vibracion libre amortiguada

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