Mecánica 2015-1

Sesión 7

Tema:

Momento de una Fuerza con

Respecto a un Eje Específico

Emprendedores sin fronteras

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Sumario

Momento de una fuerza con respecto a uneje específico: formulación vectorial.

Momento de un par.

Simplificación de un sistema de fuerza y par.

Simplificación adicional de un sistema defuerza y par.

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Formulación Vectorial

Para encontrar el momento de la fuerza F conrespecto al eje y, primero debemos determinar elmomento de la fuerza con respecto a cualquier puntoO sobre el eje y. La componente del momento a lolargo del eje y es la proyección de M sobre y.

y OM j M j r F

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Generalizando:

ˆa aM u r F L

e = u

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Aplicamos la fórmula del triple producto escalar:

ˆ

a a ax y z

a a x y z

x y z

u u u

M r r r

F F F

u r F

Donde:a a aa x y z

x y z

x y z

u u u

r r r

F F F

u i j k

r i j k

F i j k

Problema:

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Problema:

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Momento de un Par

Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienenla misma magnitud, con direcciones opuestas y queestán separadas por una distancia perpendicular d.Como la fuerza resultante es cero, el único efecto deun par es producir una rotación en una direcciónespecífica.

El momento producido por unpar se denomina momento de par.

ParM d F

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El Momento de Par calculado con respecto al puntoO es:

B A

B A

M r F r F

r r F

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Entonces: M r F

Note que el momento de un par es un vector libre. Esdecir, puede actuar en cualquier punto ya que dependede r que está dirigido entre las fuerzas.

La ecuación de arriba puede entenderse fácilmente sise piensa tomar momentos de ambas fuerzas conrespecto a un punto que se encuentre en la línea deacción de una de ellas.

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Dos pares de momentos son equivalentes si producenun momento con la misma magnitud y dirección.

Par equivalente

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Momento de par resultante:

R M r F

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• El momento de par es producido por dos fuerzas nocolineales que son iguales en magnitud pero opuestas endirección. Su efecto es producir una rotación pura.

• El momento de par es un vector libre. El efecto que producees el mismo independientemente de donde se aplique alcuerpo.

• En tres dimensiones, el momento de par se determina amenudo por la formulación vectorial donde r está dirigidodesde cualquier punto sobre la línea de acción de una de lasfuerzas a cualquier punto sobre la otra fuerza.

• Un momento de par resultante es simplemente la sumavectorial de todos los momentos de par del sistema.

Puntos importantes

Problema:

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Problema:

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3m 200N

10m

100 N.mB

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Sistema equivalente de Fuerza y Par

Un sistema de fuerzas y momentos puede reducirse aun sistema equivalente que sea más simple. Unsistema es equivalente si los efectos externos queproduce sobre el cuerpo son los mismos que loscausados por el sistema de fuerzas y momento de par.

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Note que los efectos externos de un sistema se refierenal movimiento de traslación y rotación del cuerpo siestá libre de moverse o a las fuerzas reactivas en losapoyos si el cuerpo se mantiene fijo.

Problema:

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El método para simplificar un sistemade fuerzas y momentos de par puedegeneralizarse mediante la aplicaciónde las dos ecuaciones siguientes:

Sistema de fuerzas y momentosde par

( )O

R

R O

F F

M M M

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Si el sistema de fuerzas se encuentra en el plano x-y ylos momentos de par son perpendiculares a este plano,tenemos:

( )

( )

( )

R x x

R y y

R O O

F F

F F

M M M

Problema:

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Simplificación adicional

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Un sistema de fuerza y momento de par puede reducirse aún más a una sola fuerza resultante siempre que la línea de acción de sean perpendiculares entre sí.

y ( )R R OF M

Debido a esta condición, solamente los sistemas concurrentes, coplanares y paralelos se pueden simplificar aún más.

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Sistema de fuerzas concurrentes

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Sistema de fuerzas coplanares

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Sistema de fuerzas paralelas

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Caso generalEn el caso general, el sistema se reduce a un sistemadenominado llave o tornillo que consiste en una fuerzaresultante y un momento de par colineal con dicha.fuerza que tenderá a trasladar y rotar el cuerpo conrespecto a su eje.

Problema:

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Reemplace el sistema de fuerza y momento de par que actúa sobre la viga, por una fuerza resultante equivalente y encuentre la distancia, medida desde el punto O, en la que su línea de acción interseca con la viga.

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Simplificando:

Problema:

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Reemplace las cargas de la viga de la figura por una fuerza resultante equivalente y encuentre el punto de su línea de acción que interseca a la columna AB y a la viga BC.

31

Simplificando:

Elementos de dos y tres fuerzas

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Ocurre cuando el cuerpo está apoyado en dospasadores. Para conservar el equilibrio, las fuerzas FAy FB de la figura, deben ser iguales en magnitud peroopuestas en dirección y compartir la misma línea deacción.

Elementos de dos fuerzas

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Para un elemento de tres fuerzas, el equilibrio demomento se puede satisfacer sólo si las fuerzas formanun sistema de fuerzas concurrentes o paralelas.

Elemento de tres fuerzas

THE END!

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Let’s make it all that it can be and needs to be!Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!

Profesor: M.Sc Tito Vilchez