Una de las demostraciones que a mí más me gusta de la divergencia de la serie armónica se debe a Pietro Mengoli sobre 1647.

Partiendo del hecho trivial , para , Mengoli razona por reducción al absurdo del modo siguiente:

si fuese un número (finito)

entonces por la acotación anterior se tendría que

,

que es imposible si es finito.

Tres cosas más:

1) Hasta hace poco desconocía el motivo de que a dicha serie se le denominase

“armónica”. Ignorante de mí, resulta que todo se debe a que el término ésimo ( ) es

igual a la media armónica de los términos contiguos ( y ).

2) No quisiera discrepar, pero me parece a mí que la clasificación en convergente-divergente-oscilante no es muy rigurosa. Cauchy en su Course d’analyse define la convergencia de una serie e indica que una serie no convergente es divergente. Otra cosa es que queramos dar ejemplos ilustrativos de diferentes tipos de divergencia (divergencia a infinito, oscilación,…), lo cual tiene una muy diversa casuística.

3) El hecho de que la serie de los inversos de los primos gemelos converja, se debe a

que el número de primos gemelos inferiores a un natural dado es del orden

Serie armónica (matemática)De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsquedaPara el concepto musical relacionado con éste véase serie armónica (música).

En matemáticas, la serie armónica es la serie infinita La serie armónica es un tipo de Serie "p" (donde k esta elevado a un número p), la serie armónica es cuando p=1, de ahi se deriva que:

Se llama así porque la longitud de onda de los sobretonos de una cuerda que vibra es proporcional a 1, 1/2, 1/3, 1/4...

Diverge, aunque sea lentamente, tendiendo a infinito. Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

que está claro que diverge. Incluso la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es mucho más difícil de demostrar (véase la demostración de que la suma de los inversos de los números primos diverge).

La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

Si definimos el n-ésimo número armónico como

entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

cuyo valor es ln(n).

Con más precisión, tenemos el límite:

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Se puede demostrar que:

1. El único Hn que es entero es H1.2. La diferencia Hm - Hn donde m>n nunca es entera.

Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación

donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n. (Véase, en inglés, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volumen 109 (2002), páginas 534--543.)

La serie armónica generalizada, o p-serie, es (cualquiera de) las series

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.