dualidad armónica en la musica contemporanea. de j.s.l

juan sebastián lach lau

dualidad armónica

Monday, March 10, 2014

Dos aspectos normalmente se subsumen bajo el término armonía: uno, su lado proporcional, tiene que ver con relaciones entre números enteros, concierne alturas fundamentales y no toma en cuenta timbre y registro; el otro, al que llamaremos su aspecto tímbrico, involucra sensación y constitución acústica. La interrelación o embrollo de estos dos aspectos es tal que ninguno es capaz de persistir sin el otro. Es más bien la perspectiva creada al ponerlos en contexto en música lo que hace que uno de los aspectos destaque. En esta medida, ambas facetas están activas en distintos grados en diferentes músicas y los umbrales y contextos que producen sus mezclas o separaciones son componibles.

‘La música, de hecho, no carece de ambigüedad […] porque es, a la vez, el amor intelectual de un orden y una medida suprasensible, y un placer sensible que se deriva de las vibraciones corporales. Es más, es a la vez melodía horizontal que no cesa de desarrollar todas sus líneas en extensión, y armonía vertical que constituye la unidad espiritual interior o el vértice, sin que sepamos muy bien dónde acaba una y dónde comienza la otra.’

Gilles Deleuze, El Pliegue. Leibniz y el Barroco, 1988

juan sebastián lach lau

dualidad armónica



dualidad armónica


‘La música nos encanta, aunque su belleza sólo consiste en el concierto de los números y en la cuenta de los latidos o vibraciones de los cuerpos sonoros que se siguen a intervalos determinados, cuenta de la que no nos apercibimos y que el alma no deja de realizar.’

Godfried W. Leibniz, Principios de la Naturaleza y de la Gracias Fundados en la Razón, 1714

dualidad armónica


dualidad armónica


‘Si no queremos encarar la eventual escisión del arte de la música en un arte de los sonidos con alturas y un arte separado de los sonidos sin alturas, debemos refinar enormemente nuestra comprensión de las relaciones de altura. Tal comprensión no solamente deberá ser teórica (intelectual) sino también práctica (audible en composiciones musicales reales). Las relaciones entre alturas componentes de sonidos complejos incluyen muchas que nuestro sistema tradicional de alturas no es capaz de abordar. Estamos, por lo tanto, acostumbrados a escuchar, más y más, relaciones que demandan un vocabulario más extenso de intervalos de altura que el que actualmente tenemos.’

Ben Johnston, Proporcionalidad y Relaciones Expandidas de Alturas Musicales 1966

dualidad armónica


dualidad armónica



La hipótesis de la dualidad armónica consiste en postular que los materiales armónicos en la música tienen dos aspectos independientes pero entrelazados que operan simultáneamente: la proporcionalidad y la altura-distancia. La primera se relaciona con los ‘caracteres’ de los intervalos, mientras que la segunda concierne aspectos como ‘agudo’, ‘grave’, ‘brillante’, ‘oscuro’ y por lo tanto es considerada la faceta tímbrica.

dualidad armónica



Hay dos maneras de concebir las cualidades de los intervalos: • derivando de proporciones

(la tradición Pitagórica)

• derivando de distancias(la tradición Aristoxénica)

Esta dicotomía tiene analogías con los principales modelos psicoacústicos de percepción de alturas, es decir, aquellos basados en el tiempo (conmensurabilidad de pulsos y análisis de periodicidad en las formas de onda: autocorrelación) y análisis basados en posición (análisis espectral por medio de resonadores calibrados y detección de patrones).

Ambos relacionan armonía y timbre como dobles componentes de la percepción de alturas.

percepción de alturas


Un sonido de s.. susurrado suena más agudo que un sh.. susurrado; sin embargo no es necesario normalmente reconocer el intervalo entre estas bandas de ruido, ni siquiera notarlo.

Compositores que desean lograr música basada en alturas en la cual la escucha interválica es irrelevante (por ejemplo glissandos extendidos o texturas puntillistas) pueden usar la escala subjetiva de alturas (barks) ya que la extensión de las alturas aparece mucho más pareja.

Desde la antigüedad hasta la fecha, han coexistido dos tipos de modelos teóricos para explicar la percepción de alturas: - Uno que explica la sensación de altura haciendo una analogía del oído como un analizador espectral- Otro que busca encontrar puntos de referencia en la forma de onda, por lo tanto basado en análisis temporal del estímulo



Se le llama ʻequivalencia de octavasʼ al fenómeno en el que se reducen las cualidades interválicas a lo que ocurre dentro de una octava, forma parte del mecanismo de escucha interválica y es mucho más prominente que lo que vendría siendo la equivalencia de quintas o terceras. Se encuentra presente en la práctica y teoría de muchas músicas distintas.

Estos dos componentes pueden ser pensados como las dimensiones de distancia y color en la escucha de alturas (altura y croma). Ambos mecanismos están activos en la percepción y se complementan el uno al otro. El croma provee una base para presentar patrones acústicos (melodías) que no dependen de una fuente sonora en particular. La altura provee una base para la segregación de notas en flujos para separar las fuentes sonoras.

El reconocimiento posicional está relacionado con la fisiología de la cóclea, mientras que el reconocimiento temporal acontece en centros neuronales que van desde la médula hasta la corteza cerebral. Ambas se traslapan en las regiones graves y medias del rango audible , con la escucha posicional tomando preponderancia en las regiones más agudas, donde se carece de sentido armónico. Asimismo, la escucha temporal baja hasta el rango de infra-alturas, interviniendo también en nuestro sentido de percepción rítmica.




“In the human brain, chroma change is specifically represented anterior to primary auditory cortex, whereas height change is specifically represented posterior to primary auditory cortex. Tracking of acoustic information streams occurs in anterior auditory areas, whereas the segregation of sound objects (a crucial aspect of auditory scene analysis) depends on posterior areas.” (Warren et. al, 2003)

10.5

0 2octavas

hertz

4 6 8 10 12

10 100

14

1,000 10,000

detección neuronal de posición

detección neuronal de periodicidad patrón complejo

patrón simple

‘whoosh’ ‘ruido de motor’ pulsadosuave

melódico amelódico

altura puraaltura

+ hiss

hiss repetitivo

Frecuencia de repetición de formas de onda estocásticas (ruido congelado)

‘Infratonos’



Información neuronal disponible para la percepción de iterancia con estímulos periódicos modelados con RFM (ruido congelado):# 1) periodicidad local de patrones complejos que involucran sincronización de descargas en las fibras nerviosas a las características de las formas de onda por interacción de armónicos no resueltos: de 0.5Hz a 2,500Hz)# 2) periodicidad de patrones simples basados en la sincronización de descargas en fibras nerviosas al ángulo de fase de # armónicos resueltos: de 20Hz a 4,500Hz aprox# 3) posición neuronal, requiriendo resolución de la fundamentales y/o armónicos bajos: de 20Hz a 16,000Hz

los armonistas griegos


La ciencia de los armoniké griegos era compañera de la rítmica y la métrica cuya tarea era clasificar y describir los patrones regulares de la forma y la estructura detrás de la diversidad de secuencias métricas, melódicas y rítmicas en la música. La armonía se dedicaba al estudio de las variedades de escalas y afinaciones que podían ser reconocidas como musicales lo que implicaba encontrar representaciones para intervalos y melodías, escalas y sus transformaciones y los principios fundamentales que yacen detrás de estas estructuras. Preguntas concernientes a su enraizamiento en la cultura humana o en algo independiente de los humanos, o en las matemáticas, así como el estátus de su aplicabilidad más allá de la esfera musical eran el tipo de asuntos que discutían.

Las dos doctrinas principales dentro de la ciencia de los armónicos eran la matemática y la empírica. Están fundamental e irreconciliablemente opuestas en sus premisas, métodos y objetivos. El primer grupo es epitomizado por Pitágoras, su premisa es que hay una fuerte conexión entre los intervalos de altura y números enteros, las explicaciones abarcando desde correlaciones directas hasta las cosmológicas. Del lado de los armonistas empíricos la figura importante es Aristógenes, cuyo tratado Elementa Harmonica, es el mayor y más completo tratado existente en armonía empírica. Estudiante de Aristóteles, su objetivo era crear una ciencia tan rigurosa y sistemática como la de los armonistas matemáticos. La característica principal es el énfasis en la música tal y como se escucha, en el oído como máximo árbitro de los materiales musicales (una fenomenología avant la lettre). Los intervalos se miden en un espacio continuo y lineal donde no se asocian las propoedades aritméticas de las proporciones con las consonancias y disonancias, sino que éstas se dan por hecho. Las notas existen como puntos a lo largo del continuo cada una contenida dentro de un rango de tolerancia.

Una diferencia fundamental entre las dos escuelas concierne la medición. Para los empíricos la unidad armónica primordial (el ʻarmonemaʼ) es la diesis (división geométrica de la cuarta en 30 partes, con propiedades algebraicas lineales y aditivas), para los pitagóricos es la octava (que se divide por proporciones aritméticas y armónicas en proporciones con propiedades multiplicativas). Hoy yo diría que los armonemas proporcionales también involucran los número primos y las series de tintes que producen.

Proporciones epímoras, números pequeños.

los armonistas griegosArmonistas matemáticos: Pitágoras, Filolalo, Arquitas, Euclides, Platón, Aristóteles, Ptolomeo, Iámbico, Porfirio, Nicómaco, Boecio, Copérnico, Zarlino, Kepler, Galileo, Leibniz, Euler. Compositores del siglo XX: Augusto Novaro, Joseph Yasser, Ervin Wilson, Harry Partch, Ben Johnston.

Armonistas empíricos: muchos son anónimos, criticados y abordados por Aristóxeno. En algunos sentidos se puede decir que lo siguen Mersenne, Helmholtz e incluso, en el siglo XX Carrillo, Schoenberg, Xenakis, Estrada.

Para los empíricos la unidad armónica primordial (el ‘armonema’)es la diesis (división geométrica de la cuarta en 30 partes, con propiedades algebraicas lineales y aditivas), para los pitagóricos es la octava (que se divide por proporciones aritméticas y armónicas con propiedades algebraicas multiplicativas).


La ciencia de los armoniké griegos era compañera de la rítmica y la métrica cuya tarea era clasificar y describir los patrones regulares de la forma y la estructura detrás de la diversidad de secuencias métricas, melódicas y rítmicas en la música. La armonía se dedicaba al estudio de las variedades de escalas y afinaciones que podían ser reconocidas como musicales lo que implicaba encontrar representaciones para intervalos y melodías, escalas y sus transformaciones y los principios fundamentales que yacen detrás de estas estructuras. Preguntas concernientes a su enraizamiento en la cultura humana o en algo independiente de los humanos, o en las matemáticas, así como el estátus de su aplicabilidad más allá de la esfera musical eran el tipo de asuntos que discutían.

Las dos doctrinas principales dentro de la ciencia de los armónicos eran la matemática y la empírica. Están fundamental e irreconciliablemente opuestas en sus premisas, métodos y objetivos. El primer grupo es epitomizado por Pitágoras, su premisa es que hay una fuerte conexión entre los intervalos de altura y números enteros, las explicaciones abarcando desde correlaciones directas hasta las cosmológicas. Del lado de los armonistas empíricos la figura importante es Aristógenes, cuyo tratado Elementa Harmonica, es el mayor y más completo tratado existente en armonía empírica. Estudiante de Aristóteles, su objetivo era crear una ciencia tan rigurosa y sistemática como la de los armonistas matemáticos. La característica principal es el énfasis en la música tal y como se escucha, en el oído como máximo árbitro de los materiales musicales (una fenomenología avant la lettre). Los intervalos se miden en un espacio continuo y lineal donde no se asocian las propoedades aritméticas de las proporciones con las consonancias y disonancias, sino que éstas se dan por hecho. Las notas existen como puntos a lo largo del continuo cada una contenida dentro de un rango de tolerancia.

Una diferencia fundamental entre las dos escuelas concierne la medición. Para los empíricos la unidad armónica primordial (el ʻarmonemaʼ) es la diesis (división geométrica de la cuarta en 30 partes, con propiedades algebraicas lineales y aditivas), para los pitagóricos es la octava (que se divide por proporciones aritméticas y armónicas en proporciones con propiedades multiplicativas). Hoy yo diría que los armonemas proporcionales también involucran los número primos y las series de tintes que producen.

Proporciones epímoras, números pequeños.

Filolalo identifica la estructura del cosmos con las proporciones de las principales consonancias dentro de la octava, describiendo el mundo como una armonía (harmozein: ‘encajar’) entre lo ilimitado (continuo) y lo limitado (que determina límites a través de estructuras discontinuas).



Arquitas de Tarento (s. 4 BC), descubre la media proporcional armónica y lleva a cabo un análisis de las estructuras escalares de la música de su época con un método que correlaciona números y proporciones interválicas, el sonido tal como es escuchado y practicado así como las primeras explicaciones físicas del sonido, inagurando la psicofísica.



las medias pitagóricas


las medias pitagóricasb es la media de a:b:c (a > b > c)



media geométrica: a/b = b/c



media geométrica: a/b = b/c12/√72 = √72/6 (√72 = 8.48...12/√72 = un tritono temperado)




media aritmética: a - b = b - c




media aritmética: a - b = b - c12 - 9 = 9 - 6; serie 6:9:12 = 2:3:4, una quinta y una cuarta





media armónica: (a - b)/(b - c) = a/c





media armónica: (a - b)/(b - c) = a/c(12 - 8)/(8 - 6) = 12/6; serie 6:8:12 = 3:4:6, cuarta y quinta





media armónica: (a - b)/(b - c) = a/c(12 - 8)/(8 - 6) = 12/6; serie 6:8:12 = 3:4:6, cuarta y quinta

La media aritmética aproxima a la geométrica por exceso, la armónica por defecto. La serie 6:8:9:12 forma la base cosmólogica pitagórica (cf. Timeo de Platón)


proporciones


proporcionesLogos: una definición.


proporcionesLogos: una definición. Una proporción o razón (logos) es el patrón de definición o la forma de un intervalo. La palabra logos es sinónima con estas nociones así como con ‘habla’, ‘discurso’, ‘razón’ y ‘sentido’, dependiendo del contexto.


proporcionesLogos: una definición. Una proporción o razón (logos) es el patrón de definición o la forma de un intervalo. La palabra logos es sinónima con estas nociones así como con ‘habla’, ‘discurso’, ‘razón’ y ‘sentido’, dependiendo del contexto. 2:1, 3:2 y 4:3 son logoi, cada uno combinando números pares y nones.


proporcionesLogos: una definición. Una proporción o razón (logos) es el patrón de definición o la forma de un intervalo. La palabra logos es sinónima con estas nociones así como con ‘habla’, ‘discurso’, ‘razón’ y ‘sentido’, dependiendo del contexto. 2:1, 3:2 y 4:3 son logoi, cada uno combinando números pares y nones. Las únicas cosas que producen un sentido son las proporciones.


Cadmus, inventor del alfabeto fonético, estaba casado con Harmonia

proporcionesLogos: una definición. Una proporción o razón (logos) es el patrón de definición o la forma de un intervalo. La palabra logos es sinónima con estas nociones así como con ‘habla’, ‘discurso’, ‘razón’ y ‘sentido’, dependiendo del contexto. 2:1, 3:2 y 4:3 son logoi, cada uno combinando números pares y nones. Las únicas cosas que producen un sentido son las proporciones.


Cadmus, inventor del alfabeto fonético, estaba casado con Harmonia

proporciones

Quien tenga oídos para escuchar puede seguir a Filolalo y descubrir que una lira no es únicamente un instrumento musical como los que existen en cualquier cultura, sino también una cosa mágica que conecta a las matemáticas con la esfera de los sentidos. Un logos que prescinde de definiciones verbales.

Logos: una definición. Una proporción o razón (logos) es el patrón de definición o la forma de un intervalo. La palabra logos es sinónima con estas nociones así como con ‘habla’, ‘discurso’, ‘razón’ y ‘sentido’, dependiendo del contexto. 2:1, 3:2 y 4:3 son logoi, cada uno combinando números pares y nones. Las únicas cosas que producen un sentido son las proporciones.


proporciones

‘La base misma de la cultura griega presocrática estaba en la alianza entre la música o teoría musical y las matemáticas. Las veinticuatro letras del alfabeto para los sonidos del lenguaje de pronto se vuelven signos numéricos, matemáticos. Alpha se convierte en uno, beta en dos, gamma tres, y así sucesivamente hasta el 999. Un siglo después, alrededor de 500 AC, de este sistema fonológico y matemático inovador emergen las letras como elementos de partituras musicales. De otra manera Esquilo no hubiera podido mandar sus tragedias a Sicilia por barco sin tener que haber viajado él mismo para entrenar a todos.’ Friedrich Kittler


proporciones


α = |ˈælfə| α = 1 α = La


proporciones



escritura

númerotono


proporciones



escritura

númerotono

alfabetos universales


Tetracorde pitagórico:1/1 256/243 81/64 4/3 enarmónico1/1 256/243 9/8 81/64 4/3 diatónico

El sistema de Arquitas:



Aristóxeno: geometrización del espacio musical

3 + 3 + 24 partes1/4 + 1/4 + 2 tonos50 + 50 + 400 cents

6 + 6 + 12 partes1/2 + 1 + 1 tonos100 + 200 + 200 cents



Los Armonistas Griegos

Zarlino: 1558

Senario: 1, 2, 3, 4, 5, 6


‘No hay diferencia entre componer música y pensar en las estrellas’ Karlheinz Stockhausen

pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava.


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava. • Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava. • Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica• ‘El lenguaje de las proporciones’ (Harry Partch)


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava. • Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica• ‘El lenguaje de las proporciones’ (Harry Partch)• Aristógenes: melos, dynamis, aistésis, tolerancia armónica.


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava. • Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica• ‘El lenguaje de las proporciones’ (Harry Partch)• Aristógenes: melos, dynamis, aistésis, tolerancia armónica.• Melos: el aspecto horizontal de la armonía


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava. • Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica• ‘El lenguaje de las proporciones’ (Harry Partch)• Aristógenes: melos, dynamis, aistésis, tolerancia armónica.• Melos: el aspecto horizontal de la armonía• Dynamis: el aspecto funcional de las notas en la armonía (vertical y horizontal)


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava. • Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica• ‘El lenguaje de las proporciones’ (Harry Partch)• Aristógenes: melos, dynamis, aistésis, tolerancia armónica.• Melos: el aspecto horizontal de la armonía• Dynamis: el aspecto funcional de las notas en la armonía (vertical y horizontal)• Aistésis: las causas formales detrás de la percepción


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava. • Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica• ‘El lenguaje de las proporciones’ (Harry Partch)• Aristógenes: melos, dynamis, aistésis, tolerancia armónica.• Melos: el aspecto horizontal de la armonía• Dynamis: el aspecto funcional de las notas en la armonía (vertical y horizontal)• Aistésis: las causas formales detrás de la percepción• Recuperar intervalos olvidados (7/6 - ekbolé, p. ej.) y generar nuevos


pitagorismo


Características que queremos rehabilitar del pitagorismo:• La cuerda como modelo. Provee vínculos entre lo discontinuo y continuo, lo matemático y lo físico y las teorías de percepción• La relación micro-macro (cósmica) musical• La relación entre número y percepción musical: ‘el número es un puente entre la materia y la psique’. Los aspectos cualitativos de los números.• Arquitas y la rama científica del pitagorismo: percepción y observación unidas con deducción y rigor lógico.• Los constituyentes atómicos de la armonía: diesis y octava. • Divisiones por medias: aritmética, armónica y geométrica• ‘El lenguaje de las proporciones’ (Harry Partch)• Aristógenes: melos, dynamis, aistésis, tolerancia armónica.• Melos: el aspecto horizontal de la armonía• Dynamis: el aspecto funcional de las notas en la armonía (vertical y horizontal)• Aistésis: las causas formales detrás de la percepción• Recuperar intervalos olvidados (7/6 - ekbolé, p. ej.) y generar nuevos• Perspectiva metafísica que ha sido ocluida por aproximaciones subjetivas o físicas sin caer en la superstición numerológica


pitagorismo


‘Afinarse [‘sensibilizarse’] a los ruidos no significa detractarse de todos sus movimientos y vibraciones irregulares en el tiempo y la intensidad, sino de darle graduación y tono a las vibraciones más fuertes y predominantes.’

Luigi Russolo, El Arte del Ruido, 1913.

curvas de disonancia


‘Afinarse [‘sensibilizarse’] a los ruidos no significa detractarse de todos sus movimientos y vibraciones irregulares en el tiempo y la intensidad, sino de darle graduación y tono a las vibraciones más fuertes y predominantes.’

Luigi Russolo, El Arte del Ruido, 1913.


Estas curvas derivan de las investigaciones de Hermann von Helmhotz (1862) a partir de la ‘disonancia sensorial’: la aspereza producida por la interacción entre los parciales de un espectro sonoro. Es una concepción tímbrica de la armonía.


• Las curvas de disonancia indican cómo ciertas características tímbricas del sonido se comportan al transponerse



• Las curvas de disonancia indican cómo ciertas características tímbricas del sonido se comportan al transponerse• Proveen un perfil que expresa las transposiciones en las cuales un sonido es máximamente consonante consigo mismo. Muestran el comportamiento de un espectro, dentro de un intervalo interválico determinado, de acuerdo con la aspereza o disonancia-sensorial.



d = Dissonance.make([100,200,300,400,500],[32, 16, 8, 4, 2], 0.49, 4.01, 0.01);

• Las curvas de disonancia indican cómo ciertas características tímbricas del sonido se comportan al transponerse• Proveen un perfil que expresa las transposiciones en las cuales un sonido es máximamente consonante consigo mismo. Muestran el comportamiento de un espectro, dentro de un intervalo interválico determinado, de acuerdo con la aspereza o disonancia-sensorial.• Su implementación toma como entrada un conjunto de parciales (frecuencias y amplitudes) y un rango interválico sobre el cual realizar el análisis. Su salida es un conjunto interválico de proporciones de frecuencias que corresponden a los intervalos en los cuales el perfil de disonancias alcanza un mínimo local. Estos mínimos corresponden a intervalos para los cuales los parciales originales son menos ásperos con respecto a los parciales transpuestos.



• Las curvas de disonancia relacionan tonos compuestos (‘ruidos’) con proporciones de frecuencias. Los picos y valles de sus siluetas ocurren en proporciones que frecuentemente yacen cerca de proporciones armónicas conocidas. Estos intervalos coinciden proporcionalmente desde el punto de vista del timbre.



• Las curvas de disonancia relacionan tonos compuestos (‘ruidos’) con proporciones de frecuencias. Los picos y valles de sus siluetas ocurren en proporciones que frecuentemente yacen cerca de proporciones armónicas conocidas. Estos intervalos coinciden proporcionalmente desde el punto de vista del timbre. • Los conjuntos interválicos tienen el atributo de ‘cooperar’ con el espectro de la fuente. Pueden ser descritos como ‘coherentes’, ‘compatibles’, ‘concordantes’, ‘mínimamente ásperos’ y otras cualidades similares con respecto al espectro fuente.



amplitud

tiempo

señalcurvas de disonancia


intensidad

frecuencia

espectro

amplitud

tiempo

señalcurvas de disonancia


intensidad

frecuencia

espectro

amplitud

tiempo

señal

parciales

sones

barks



intensidad

frecuencia

espectro

amplitud

tiempo

señal

parciales

sones

barks

X

aquilatados

transpuestos



intensidad

frecuencia

espectro

amplitud

tiempo

señal

parciales

sones

barks

X

aquilatados

transpuestos

{ }



aspereza

intervalo

curva de disonancia

intensidad

frecuencia

espectro

amplitud

tiempo

señal

parciales

sones

barks

X

aquilatados

transpuestos

{ }



aspereza

intervalo

curva de disonancia



aspereza

intervalo

curva de disonancia

detección de mínimos locales

1, 1.2, 1.29, 1.35, 1.39, 1.51, 1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06



aspereza

intervalo

curva de disonancia


1, 1.2, 1.29, 1.35, 1.39, 1.51, 1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06 racionalización

1, 1.2, 1.29, 1.35,1.39,1.51,1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06

1/1 6/5 9/7 27/20 7/5 3/2 8/5 12/7 7/4 16/9 27/14 16/7 18/7 64/21



aspereza

intervalo

curva de disonancia


1, 1.2, 1.29, 1.35, 1.39, 1.51, 1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06 racionalización

1, 1.2, 1.29, 1.35,1.39,1.51,1.6, 1.72, 1.74, 1.79, 1.94, 2.3, 2.59, 3.06

1/1 6/5 9/7 27/20 7/5 3/2 8/5 12/7 7/4 16/9 27/14 16/7 18/7 64/21

análisis en el espacio armónico



Dissonance( 32/63, 7/12, 11/18, 21/32, 7/9, 7/8, 1/1, 8/7, 21/16, 32/21, 128/81, 18/11, 12/7, 63/32, 9/4, 12/5, 5/2, 18/7, 11/4, 45/16, 45/16, 16/5, 32/9, 15/4, 63/16, 32/7, 36/7, 35/6, 22/3, 80/9, 10/1, 81/8, 35/3 )



Dissonance( 32/63, 7/12, 11/18, 21/32, 7/9, 7/8, 1/1, 8/7, 21/16, 32/21, 128/81, 18/11, 12/7, 63/32, 9/4, 12/5, 5/2, 18/7, 11/4, 45/16, 45/16, 16/5, 32/9, 15/4, 63/16, 32/7, 36/7, 35/6, 22/3, 80/9, 10/1, 81/8, 35/3 )Harmonic Set[ 81/8, 15/4, 21/32, 32/7, 12/5, 63/16, 10/1, 9/4, 36/7, 1/1, 12/7, 16/5, 63/32, 18/7, 8/7, 5/2, 7/8, 21/16, 45/16 ]Timbral Set[ 22/3, 32/63, 32/21, 7/12, 80/9, 11/18, 7/9, 35/6, 128/81, 11/4, 35/3, 18/11, 32/9 ]



Dissonance( 32/63, 7/12, 11/18, 21/32, 7/9, 7/8, 1/1, 8/7, 21/16, 32/21, 128/81, 18/11, 12/7, 63/32, 9/4, 12/5, 5/2, 18/7, 11/4, 45/16, 45/16, 16/5, 32/9, 15/4, 63/16, 32/7, 36/7, 35/6, 22/3, 80/9, 10/1, 81/8, 35/3 )Harmonic Set[ 81/8, 15/4, 21/32, 32/7, 12/5, 63/16, 10/1, 9/4, 36/7, 1/1, 12/7, 16/5, 63/32, 18/7, 8/7, 5/2, 7/8, 21/16, 45/16 ]Timbral Set[ 22/3, 32/63, 32/21, 7/12, 80/9, 11/18, 7/9, 35/6, 128/81, 11/4, 35/3, 18/11, 32/9 ]HarmonicVector( [ 4, -2, 1 ], 80/9, [ -2, 1 ], 10/9, 182.4¢, 2dM)HarmonicVector( [ -2, 0, 0, 0, 1 ], 11/4, [ 0, 0, 0, 1 ], 11/8, 551.32¢)HarmonicVector( [ -4, 2, 1 ], 45/16, [ 2, 1 ], 45/32, 590.22¢, 2DM)HarmonicVector( [ -4, 2, 0, 1 ], 63/16, [ 2, 0, 1 ], 63/32, 1172.74¢, 2DS)



curvas de disonanciaDissonanceLib: librería de funciones relacionadas con psicoacústica, curvas de disonancia, aritmética armónica y espacio armónico para SuperCollider.




DissonanceLib

Es importante distinguir entre los términos ‘consonancia’ (o ‘disonancia’) y ‘armonicidad’ (o ‘inarmonicidad’): la armonicidad (‘claridad interválica’) surge de la simplicidad de las proporciones entre dos alturas en un intervalo, según el cual el timbre es de importancia secundaria; por ejemplo, la música de cuerdas puede ser reinstrumentada para alientos y/o transpuesta sin perder su significado armónico. Por otro lado, consonancia se refiere a la ‘suavidad’ (disonancia a la ‘aspereza’) de un sonido. En la octava más grave del piano, una cuarta justa es comparable en disonancia a un tritono, un tono a un semitono, debido al mayor tamaño del intervalo de la banda crítica para las frecuencias graves. La armonicidad psicológica se origina en la percepción cerebral de los disparos neuronales; la consonancia fisiológica se origina en las distancias que hay en la membrana basilar del oído.

consonancia y armonicidad


“Mientras que ʻcontrapuntoʼ es un concepto y término de la composición musical, ʻarmoníaʼ es un término tomado de la filosofía que denota menos de lo que interpreta relaciones específicamente musicales” (Dahlhaus)Harmony is the study of that which is intended or at least understood as intervallic. La armonía es el estudio de aquello que es propuesto o al menos entendido como interválico. (Barlow)

armonías tímbricasDurante el siglo XX, los materiales compositivos han experimentado una tendencia hacia lo tímbrico, lo fluido y lo continuo, tanto en las alturas como en ritmos (flotántes y amétricos) y formas. Se enfatiza cada vez más el aspecto tímbrico de la armonía. Los métodos para organizar relaciones de altura, así como el uso de materiales, ritmos y formas juegan un rol en la creación de este efecto general. atonalidad (se ignora la armonicidad), se acopla timbre con altura y armonía (klangfarbenmelodien), privilegia la continuidad de alturas (glissandos, sirenas, theremin, ondes martenot, etc), subdivisiones iguales de la octava (Carrillo), la sonoridad en sí misma, el colo por el color mismo (impresionismo/espectralismo), composición con sonidos/ruidos, percusión, música electrónica, etc etc etc. El desarrollo armónico se ‘pospone’ (Schoenberg, Tratado de Armonía), mientras que el aspecto temporal/rítmico y la exploración tímbrica se desarrolla como nunca antes. El mismo proceso también ocurre en las formas musicales, cada vez más plásticas y fluidas (forma abierta, momente, ergódicas; la tendencia de utilizar todos los materiales de manera ‘democrática’)


En términos generales podemos atestiguar una tendencia en la mayor parte de la música contemporánea hacia lo continuo y fluido. La altura es absorbida por el timbre y los timbres se orientan cada vez más hacia la complejidad sonora en lugar de notas individuales. La acción sonora, gestualidad y el movimiento tienen sentido por encima de la especificidad de las alturas. A otras escalas encontramos ritmos amétricos y ʻflotantesʼ, procesos dinámicos de la forma, complejidad y saturación, contrapuntos en distintos aspectos sonoros que producen sensaciones de flujo y efectos de índole tímbrica. Muchas técnicas de alturas en música atonal y electroacústica tratan con relaciones que tienen que ver con ʻagudoʼ y ʻgraveʼ: las series emplean alturas en términos de distancias y en la electroacústica las propiedades armónicas de los materiales son resultado de tratar la altura como parte del ʻobjeto sonoroʼ. Los métodos espectrales, al derivar sus alturas de series de armónicos, también favorecen el aspecto tímbrico. Incluso mucha música propiamente armónica no va mucho más allá de los procedimientos armónicos del periodo modernista temprano. Existen excepcionas a estas tendencias, por supuesto, y nuestra intención no es invalidar estos aspectos sino preservar la verdad perteneciente a cada lado de la oposición. Evadir la proporcionalidad no es lo mismo que ignorarla y reconociendo estas tendencias puede vislumbrarse la pertinencia de incorporar elementos discontinuos. Lo que se busca son los nodos o resonancias que surgen en medio de las hebras de continuidad. Se trata de recobrar la importancia cualitativa de las alturas y, a escalas medias y globales, acoplar ritmo con textura, estructura con proceso.

armonicidad

‘Establecer una conexión entre lo conocido, racional y familiar, por un lado, y lo desconocido, irracional e impredecible, por el otro, requiere que sean sujetos a una misma medida. La proporcionalidad es tal medida común, si tomamos en cuenta los principios de variación y aproximación. No es incompatible con otros modos de organización tales como el ordenamiento serial. Se aplica igualmente a organizaciones formales, rítmicas y de alturas. Puede ser llevada a cabo de oído, en el caso de las alturas; por percepción kinestética, en el caso del ritmo; y por cadencia y coordinación de tiempo intuitiva, en el caso de las divisiones formales. Sin embargo, puede ser manipulada y formulada intelectualmente. Aun más importante, esta técnica reestablece una conexión que ha sido rota, una conexión de orden estético con tradiciones antiguas y mundiales.’

Ben Johnston, Scalar Order as a Compositional Resource, 1963.


armonicidad


Kepler (1619): congruencia (sólidos geométricos, fenómenos físicos, armonía de las esferas)

armonicidad


‘La regularidad [de la consonancia] consiste en el hecho de que los pulsos emitidos por los dos tonos, en el mismo

intervalo de tiempo, serán numéricamente conmensurables’ (Galileo Galilei, 1630’s)


armonicidad


‘Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.’ (Leibniz, 1712)

‘La música es un ejercicio aritmético oculto del espíritu, inconsciente de la enumeración’

‘La regularidad [de la consonancia] consiste en el hecho de que los pulsos emitidos por los dos tonos, en el mismo

intervalo de tiempo, serán numéricamente conmensurables’ (Galileo Galilei, 1630’s)


armonicidad


Leonhard Euler, Tentamen Novae Theoriae Musicae (1739)(Intento de una Nueva Teoría Musical)

armonicidad


12:1

3:1

4:1

3:2

4:3

5:4

5:3

6:5:4


armonicidad



armonicidad


Γ(a) = 1 +�n

k=1 ek(pk − 1)

a =�n

k=1 pekk

Gradus Suavitatis

armonicidad


Clarence Barlow, 1980:N =

�∞r=1 p

nrr

N , n, p ∈ Np ∈ primo

ξ(N ) = 2�∞

r=1

�nr(pr−1)2

pr

�Indigestibilidad:

Armonicidad:

H(P,Q) = sgn(ξ(Q)−ξ(P))ξ(Q)+ξ(P)

armonicidad


espacio armónico


Normalmente el eje del número primo 2 (la octava) es ignorado de tal manera en que se puedan visualizar intervalos armónicamente más interesantes (debido a que la equivalencia de octavas es un fenómeno tan intenso en nuestra escucha, lo que hace a las octavas ʻarmónicamente superfluasʼ).

Los espacios armónicos son espacios vectoriales enteros. Cada entero se representa por un vector (por ejemplo, <1, 0, -1> en espacio 3,5,7) y la aritmética de vectores armónicos permite la clasificación de intervalos de acuerdo a la zona en la que pertenecen así como la derivación de unos intervalos mediante otros.

representación de proporciones interválicas

espacio armónico


Normalmente el eje del número primo 2 (la octava) es ignorado de tal manera en que se puedan visualizar intervalos armónicamente más interesantes (debido a que la equivalencia de octavas es un fenómeno tan intenso en nuestra escucha, lo que hace a las octavas ʻarmónicamente superfluasʼ).

Los espacios armónicos son espacios vectoriales enteros. Cada entero se representa por un vector (por ejemplo, <1, 0, -1> en espacio 3,5,7) y la aritmética de vectores armónicos permite la clasificación de intervalos de acuerdo a la zona en la que pertenecen así como la derivación de unos intervalos mediante otros.

representación deproporciones interválicas

espacio armónico


Los ciclos de octavas, quintas, terceras, séptimas (2, 3, 5, 7...). Estos ciclos no se cierran: son como espirales. Cada nuevo brazo espiral reptite los cromas a una coma de distancia (una coma para cada 2, 3, 5, 7...más una para cada combinación 2-3, 2-5, 2-7, 3-5, 3-7 y 5*7...).

Para un cierto conjunto de intervalos, a partir de 3 de comas (ortogonales) se pueden formar bloques de periodicidad (o ʻislas armónicasʼ). Una isla armónica está rodeada de islas tímbricas que encasillan todos los intervalos que equivalen armónicamente dentro de esas comas. Una isla armónica está rodeada de islas tímbricas. Los intervalos dentro de una isla pueden ser tratados armónicamente, mientras que intervalos entre islas se pueden componer de manera tímbrica.

representación deproporciones interválicas

terceras

séptimas

quintas

espacio armónico




James Tenney (1984)

Hd(fa, fb) ∝ log (a) + log (b) = k logx (ab)Distancia armónica:

a = fa/ gcd (fa, fb), b = fb/ gcd (fa, fb), and a ≥ b

armonicidad


armonicidad




espacio armónico




armonicidad


análisis multidimensional


campos armónicos


tempo/densidad

fisión: acorde

fusión: timbre

disonancia

consonancia

antitonalidad tonalidad

fuerza-1 1

campos armónicos

Monday, March 10, 2014el plano aspereza-armonicidad es dependiente de la velocidad, el grado de disparidad, el tamaño y la cantidad de los elementos (partículas) que lo componen. Se requiere mayor investigación al respecto para llegar a controlar texturas que transicionen de armonía a timbre y viceversa. Está también el análisis de las proporciones para determinar cuáles deben ser tratados de manera armónica y cuáles de manera tímbrica Algunas armonías generarán ciertos timbres (armonía-timbre) de acuerdo a su modo de presentación así como ciertas colecciones tímbricas generarán armonías (timbre-armonía) si se presentan con la velocidad y textura adecuada.

tempo/densidad

fisión: acorde

fusión: timbre

disonancia

consonancia

aspe

reza

armonicidadantitonalidad tonalidad

fuerza-1 1

campos armónicos

Monday, March 10, 2014el plano aspereza-armonicidad es dependiente de la velocidad, el grado de disparidad, el tamaño y la cantidad de los elementos (partículas) que lo componen. Se requiere mayor investigación al respecto para llegar a controlar texturas que transicionen de armonía a timbre y viceversa. Está también el análisis de las proporciones para determinar cuáles deben ser tratados de manera armónica y cuáles de manera tímbrica Algunas armonías generarán ciertos timbres (armonía-timbre) de acuerdo a su modo de presentación así como ciertas colecciones tímbricas generarán armonías (timbre-armonía) si se presentan con la velocidad y textura adecuada.

relación entre textura y sistemas armónicos

CCD* Textura Afinación

1: melódica heterofonía, monodía genera, aristogénica

2: difónica organum, bourdon pitagórica

3: contrapuntística polifonía justa

4: funcional homofonía temperamentos

5: tímbrica holofoníamicrotonalidad

extendida, grados de (dis)sonancia

* Concepto de Consonancia y Disonancia

Monday, March 10, 2014A partir de J. Tenney, AHOC&D, irse rápido en esto...

ritmo = armonía

Monday, March 10, 20141) la escala de Hertz. 2) octavas 3) ahora psicológico (ʻtiempo espaciosoʼ William James). 4) las transiciones de fase perceptiales no coinciden con los registros de los sentidos. La percepción coclear y la propriocepción (la confusa y fragmentaria demarcación entre ser y el otro, adentro y afuera), memoria. 5) Integración y diferenciación como procesos perceptuales que determinan los umbrales. “Toda consciencia es un asunto de umbrales. Sin embargo, si tomamos los umbrales como tantas unidades mínimas de pequeñas unidades mínimas de consciencia, las pequeñas percepciones son en cada instancia más pequeñas que el mínimo virtual y, en este sentido, infinitamente pequeñas. Las que se seleccionan en cada órden son aquellas ocupadas en relaciones diferenciales, y por lo tanto producen la cualidad emitida en un umbral de conciencia dado (por ejemplo, el color verde)” (Deleuze, El pliegue). “Las relaciones diferenciales intervienen sólo para extraer una percepción clara a partir de percepciones diminutas y oscuras”. La integración colecta percepciones micro en macro, formando individuos. La diferenciación separa y selecciona (por lo tanto constituyendo la atención) micro percepciones en multiplicidades. 6) una definición de la fenomenología de la música.7) music material: contextual materials: form, melody. 8) tenneyʼs categories from the article ʻForm in XX century musicʼ (1969)9) harmonic metaphor

-6 -4octavas(0≃C0)

-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))

ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))

ahora psicológico

ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))

memoria: (pro y) re-tensión propriocepción percepcióncoclear‘transiciones de fase’

perceptuales ahora psicológico

ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))

integracióndiferenciación



ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))




forma melodía/frasematerialmusical

ritmo = armonía


tremolo aspereza disonancia


-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))




forma melodía/frasematerialmusical

ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))




articulación alturaforma melodía/frasematerialmusical

ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))





contexto contenido

ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))





pieza secuencia clang elementocontexto contenido

ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))





pieza secuencia clang elementocontexto contenido

materialmétodo

ritmo = armonía



-2 0 8 10-8-10-12-∞

1/1281/512hertz 1/16 1/20 1/64 1/32 1/8 1/4 1 2 4 8 16 32 4096 16384(1 Hz = 9 192 631 770 ν(Cs))





métrica armonía acorde nota espectrotonalidad

ritmo = armonía


¿qué es la armonía?

‘El mundo no es respetable, es mortal, atormentado, confuso, para siempre engañado, pero está atravezado por belleza, con amor, con destellos de valentía y de risa: y en éstos, el espíritu florece tímidamente y lucha hacia la luz en medio de las espinas.’

George Santayana


¿qué es la armonía?

• Harmos significa juntar; armonioso denota enganchar, entretejer, concerniendo más la relacionalidad de los elementos que a los elementos mismos.

• Leibniz, armonía universal: ‘identidad compensada por diversidad’; ‘hay mayor armonía cuando hay mayor diversidad, que sin embargo es reducida a identidad’ John Cage (1992): ‘la simple fraternidad [togetherness] del arte — quiero decir, de los sonidos — produce armonía. La armonía significa que hay varios sonidos ... siendo percibidos al mismo tiempo, hmm? Es casi imposible no tener armonía, hmm?’. Armonía es ‘semejanza y diferencia coexistiendo.’

• James Tenney: ‘La armonía es aquel aspecto de la percepción musical que depende de las relaciones armónicas entre alturas -- es decir, relaciones diferentes a ‘agudo’ o ‘grave’. Así definida, la armonía incluirá los aspectos que ya incluye

• Marc Sabat: ‘Armonía es cómo se combinan las alturas’


dualidad armónica en la musica contemporanea. de j.s.l

Education