VIBRACIN ARMNICA EXCITADA

Ingeniero militar y fsico francs.The Theory of Simple Machines , describe el efecto de la resistencia y la ley de la proporcionalidad de Coulomb entre la friccin y la presin normal.En 1784 obtuvo la solucin correcta a oscilaciones pequeas de un cuerpo.Conocido por sus leyes de fuerzas para cargas electrostticas y magnticas.La unidad de carga lleva su nombre.VIBRACIN ARMNICA EXCITADA

Charles Augustin de Coulomb(1706-1806)

INTRODUCCINEn un sistema mecnico existe vibraciones slo si existe una fuente de energa externa durante la vibracin.Excitacin de desplazamiento puede ser armnica, no armnica pero peridica, no peridica o aleatoria.La respuesta es armnica si la excitacin es armnica.La excitacin no peridica puede ser de larga o corta duracin.La respuesta es transitoria si la excitacin es no peridica y es repentinamente aplicada.Se considerarn sistemas dinmicos de un grado de libertad sometidos a excitacin armnica.Si la frecuencia de excitacin coincide con la frecuencia natural se obtiene una respuesta muy grande.

ECUACIN DE MOVIMIENTO

Segunda ley de Newton para un sistema de masa-resorte viscosamente amortiguado, no homognea.Solucin homognea de la ecuacin homognea, representa la vibracin libre y se reduce con el tiempo en todas las condiciones posibles de amortiguamiento y todas las condiciones iniciales.Fig. 1 Sistema de masa-resorte amortiguadorLa solucin general se reduce a la particular que representa la vibracin en estado estable, que esta presente si la funcin forzada esta presente.[1][2]

La grfica presenta la solucin homognea, particular y general.

xh(t) se reduce y x(t) se transforma en xp(t) despus de un tiempo (representada por t). La parte que se reduce debido al amortiguamiento se llama transitoria. El ritmo al que se reduce el amortiguamiento depende de los factores k, c y m

Fig. 2 Solucin homognea, particular y general en el caso no amortiguado

RESPUESTA DE UN SISTEMA NO AMORTIGUADO SOMETIDO A UNA FURZA AMNICASi se tiene una fuerza F(t)=Fo cos wt, en un sistema no amortiguado, actuando sobre una masa m, la ecuacin [1] se reduce aen la que la ecuacin homognea est dada por

se tiene la solucin particular, en la que w es la frecuencia de F(t) y de xp(t) debido a que las dos son armnicas.

en la que X representa una constante de amplitud de xp(t) y se expresa de la siguiente manera:

[3]

[4]

[5]

[6]

en donde es la desviacin de la masa bajo a fuerza Fo que se la conoce como deflexin esttica debido a que es una fuerza esttica. La solucin total de [3] es

Para las siguientes condiciones iniciales, se tiene la siguiente solucin para x(t)

la amplitud mxima de la ecuacin es

representa la relacin entre la amplitud de movimiento dinmica con la relacin de movimiento esttica, conocida como factor de amplificacin o relacin de amplitud.

[7]

[8]

[9]

La variacin de la relacin de amplitud [9], respecto a la relacin de frecuencia mostrada en la figura por la que se pueden identificar tres tipos de respuesta.

Fig. 3 Factor de amplificacin de un sistema no amortiguado CASO 1: , el denominador de [9] es positivo y [5] da una respuesta sin cambios. La respuesta armnica de xp(t) est en fase con la fuerza.

CASO 2: , el denominador de [9] es negativo y la solucin de estado estable es , donde X es positivo La respuesta est desfasada 180 con la fuerza externa, adems si . Por lo tanto para una fuerza armnica de alta frecuencia, la frecuencia se aproxima a cero.

CASO 3: , X se vuelve infinito. A esta condicin de igualdad entre las dos frecuencias se la conoce como resonancia.

Fig. 4 Respuesta armnica cuando

Fig. 5 Respuesta armnica cuando

Fig. 6 Respuesta armnica cuando

La respuesta para un sistema en resonancia es:[10]De la ecuacin en resonancia [15] se observa que x(t) incrementa indefinidamente, y el ltimo trmino de la ecuacin se muestra en la figura 6 en la que se observa que la amplitud incrementa linealmente con el tiempo.RESPUESTA TOTAL

para

paraFENMENO DE BATIDO: Si la frecuencia forzada se aproxima, pero no es igual a la frecuencia natural del sistema, puede ocurrir un fenmeno de batido

[11][12][13]

Fig. 7 Respuesta TotalFig. 8 Fenmeno de batido

EJEMPLO:

Fig. 9 Placa que soporta una bomba desbalanceada

RESPUESTA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO SOMETIDO A UNA FUERZA ARMNICASi la funcin forzada es F(t)= Fo cos wt, la ecuacin de movimiento es

Y la solucin particular, suponemos que

Donde X y se deben determinar y representan la amplitud y el ngulo de desfase, se tiene

Utilizando relaciones trigonomtricas, se tiene:

Resolviendo la ecuacin [17], se tiene

[14]

[15]

[16][17]

[18]

[19]

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores

Se tiene:

y

[20][21]

RESPUESTA TOTAL: Para un sistema subamortiguado, se tiene

[22][23]

Para resolver las ecuaciones anteriores, se toma en cuenta las condiciones iniciales:

FACTOR DE CALIDAD Y ANCHO DE BANDA: Con valores pequeos de amortiguamiento, es decir z