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1 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 3

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NIVELACIÓN MATEMÁTICA

SEMANA 3

NÚMEROS REALES

(PARTE II)


ÍNDICE

NÚMEROS REALES (PARTE II) .............................................................................................................. 4

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................................... 4

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4

RAÍCES ................................................................................................................................................. 5

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES.............................................................................................................. 6

RACIONALIZACIÓN .............................................................................................................................. 8

TIPOS DE RACIONALIZACIONES ........................................................................................................... 9

PROBLEMAS DE APLICACIÓN ............................................................................................................ 11

COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 16

REFERENCIAS ........................................................................................................................................ 17


NÚMEROS REALES (PARTE II)

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Operar en el conjunto de raíces.

Aplicar racionalización en fracciones que involucran raíces.

INTRODUCCIÓN

En la semana anterior se estudió la definición de una raíz, que corresponde a Raíz n-ésima:

nn a b b a , en que " "a recibe el nombre de radical y " "n se denomina índice de la raíz.

Durante esta semana se estudiará este concepto con mayor profundidad y se conocerán

propiedades que permiten resolver ejercicios que involucran raíces.

Las raíces son números reales o complejos, no siempre se pueden escribir a través de un entero.

Estos números satisfacen modelos reales de la física, biología, astronomía, etc. La radicación es el

proceso inverso de la potenciación.

Por ejemplo, si se sabe que la fórmula que permite determinar el volumen de una esfera es 34

3r

en que “ ” representa al real 3,14 y “ r ” corresponde al radio (distancia entre el centro de la

esfera y un punto es su casquete), se puede resolver el siguiente problema:

Una persona requiere mandar a construir una esfera de mármol que colocará en su jardín, ésta

conoce el volumen de la esfera que requiere, el que es 36 . Los encargados de construir la

esfera necesitan el radio de ella, ¿cuál es el radio de dicha esfera?

Solución:

Para resolver el problema, se realiza el siguiente procedimiento:

Paso 1: Para obtener el radio debemos igualar la fórmula del volumen de una esfera expuesta en

la página anterior con la información entregada en el ejercicio, el volumen de la esfera que se

quiere construir para colocar en el jardín )36(

3*3

436 r


Paso 2: Una vez planteada la ecuación, se debe despejar la variable “r”, para obtener el valor del

radio de la esfera.

3

*4

3*36r

3

4

3*36r

327 r

r3 27

Luego se requiere saber lo que significa 3 27 .

RAÍCES

Se sabe que 32 es igual a 8, pues 32 2 2 2 . Ahora es de interés conocer el número que

multiplicado por sí mismo 3 veces da como resultado 8. La respuesta es 2. Esto se interpreta a

través del símbolo de raíz, tal como se muestra a continuación:

3 8 2 , porque 2 2 2 8 .

Luego la raíz cúbica de un número “ x ”, es otro número “ y ”, tal que 3y x , esto se anota

3 x y .

Con este concepto nacen todas las raíces, en particular la raíz cuadrada de un número se anota

x . Se observa que en este caso no se coloca el índice de la raíz.

Si se considera por ejemplo 16 , al pensar en la solución, se debe analizar la interrogante sobre

qué número real multiplicado por sí mismo da como resultado -16. La respuesta es que no existe

tal número, porque cualquier número real al cuadrado es mayor e igual a cero. En este caso la

solución pertenece al conjunto de los números complejos. Estos números no se estudian en esta

semana.

Se deduce que si el índice es un número par, entonces el radical debe ser positivo, para que el

resultado pertenezca al conjunto de los números reales.


En este curso, si la raíz no es exacta, entonces se aplica una de las siguientes propiedades para

descomponer la raíz, con el objetivo de simplificar. Sin embargo, no siempre se determina su

cálculo.

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

1. nnn abba se multiplican las cantidades radicales y se conserva el índice.

Ejemplo: 44 4 4 42 8 2 8 16 2 (pues 2 16)

2. ;n

nn

a a

bb 0b se dividen las cantidades radicales y se conserva el índice.

Ejemplo: 3

3333

54 5427 3 (pues 3 27 )

22

3. nmm n aa se conserva la cantidad radical y se multiplican los índices.

Ejemplo: 3 5 3 5 152 2 2

4. mn mnmn aaa

Ejemplo: 2 4 8 62 4 43 3 3 3

5. n

n m m n

m

aa

a

, 0a

Ejemplo: 2 3 3 2 6 1 6

3

55 5 5

5

6. n nn abab

Ejemplo: 3 33 35 4 5 4 500


7. nm nm n nm n ababab

Ejemplo: 3 23 3 2 6 4 3 4 3 16 3 48

8. m n

m nm n

aaa

1 1

, 0a

Ejemplo: 1

5 5 3 3

55 3

1 12 2

82

9. n na a

Ejemplo: 2( 3) 3 3

A continuación, se resuelven ejercicios en los cuales se aplican las propiedades.

1. Reduzca términos semejantes.3 2 4 12 2 75 2 8

Solución:

Paso 1: Lo primero que se realizará es entender a qué es equivalente esta expresión para poder

reducir las raíces

4*223*2523*44238275212423

Paso 2: A continuación, se aplica la propiedad N°1

)2*4(*2)3*25(*2)3*4(*4234*223*2523*4423

Observación: NO EXISTE LA PROPIEDAD EN LA QUE SE PUEDA SEPARA LA SUMA O

RESTA DE RAÍCES, luego distinto

n n na b a b


Paso 3: De esta forma, se puede reducir a la siguiente expresión, es importante recordar que

24 y 525

2*2*23*5*23*2*423)2*4(*2)3*25(*2)3*4(*423

Paso 4: Se agrupan términos semejantes:

2431038232*2*23*5*23*2*423

2. Exprese como una sola raíz 3 84 2 3 2 6

Solución:

Paso 1: Lo primero que se debe realizar es aplicar la propiedad N°6 para poder reducir las raíces.

De esta forma se obtiene

8 24 33 384 3 6*2*3*26*2*3*2

Paso 2: A continuación, se aplica la propiedad N°1 que indica que al multiplicar raíces con el

mismo índice, se multiplica las cantidades radicales manteniendo el mismo índice. De esta forma

se obtiene:

84 384 38 24 3 38 24 33 3 24*246*4*3*86*2*3*26*2*3*2


161284 3 24*2424*24


192 2816*12 16121612 242424*24

RACIONALIZACIÓN

La racionalización de radicales es un proceso que se aplica a una fracción cuyo denominador es un

término radical o suma (resta) de términos radicales. El objetivo es eliminar el radical o los

radicales que están en el denominador de la fracción. Racionalizar una fracción con raíces en el


denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador.

Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada (amplificar).

TIPOS DE RACIONALIZACIONES

1. Si el denominador contiene una única raíz, esto es:

)(, nr

p

A

n r

Se debe amplificar la fracción por el término n rnp , es decir:

n r n r n r n rn n n n

r n r n r nn n n n n

p A p A p A pA

p p p p p p

Ejercicio 1.

Racionalizar 3 2

1x

x

Solución

Paso 1: Lo primero que se debe hacer para racionalizar es amplificar la fracción por el término

n rnx , tal como se aprecia a continuación:

3 23

3 23

3 23 2*

11

x

x

x

x

x

x

Paso 2: De esta forma se multiplica el numerador y denominador y se obtiene lo siguiente

3 3

3 1

3 23

3 23

3 2

*)1(*

1

x

xx

x

x

x

x

Paso 3: Dado que xx 3 3 se obtiene:

x

xx

x

xx 3

3 3

3 1 *)1(*)1(


2. Si la fracción es de la forma : ba

A

, se debe amplificar por ba

Ejercicio 2

Racionalizar 2 1

3

x

x y

Solución Paso 1: Lo primero que se debe realizar es multiplicar por lo que se denomina el conjugado, es decir, se multiplica la fracción completa por la primera raíz del denominador, menos la segunda raíz del denominador (el signo menos es porque en la fracción original se encuentran sumando ambas raíces en el denominador, si hubiesen estado restando tendríamos que multiplicar por la suma de ambas raíces).

yx

yx

yx

x

yx

x

3

3*

3

12

3

12

Paso 2: Se realiza la multiplicación, tanto en el denominador como en el numerador y se obtiene el siguiente resultado:

yx

yxx

yx

yxx

yx

yx

yx

x

3

)3(*)12(

)3()(

)3(*)12(

3

3*

3

1222

Paso 3: Se multiplican en el numerador, el primer paréntesis por el segundo paréntesis, todos sus

términos tal como se aprecia a continuación, obteniendo el resultado final:

yx

yxyxxx

yx

yxx

3

)3*1()*1()3*2()*2(

3

)3(*)12(


A continuación, revise el video N°2 “Racionalizar” de la semana que aparece en el apartado de

“Videos de la semana” y luego realice el siguiente ejercicio.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. El área de una circunferencia se calcula a través de la fórmula 2r , en que r es el radio de la

circunferencia. Utilizando esta fórmula se resolverá el siguiente problema: un individuo debe

cubrir con un material especial la cubierta de una mesa circular, utilizada para reuniones en una

oficina. Determine la cantidad de material que necesita si se sabe que el radio de la mesa es 2

2

m.

3.- Racionalice 232

3

xx

x


Solución:

Paso 1: Dado que el ejercicio indica que la fórmula para calcular el área de una circunferencia es 2r , se reemplaza el valor del radio en la fórmula. De esta forma se obtiene:

22

1*

4

2*

2

2**

2

2

r

Para cubrir la superficie de la mesa, es necesario obtener 2

2m

de material. Como es sabido, es

un número y corresponde aproximadamente a 3,1415, por ende, es necesario obtener

aproximadamente 257,12

1415,3m de material.

2. De acuerdo con la teoría de la relatividad de Einstein, la masa m de un objeto que se mueve a

una velocidad v es dada por la fórmula 0

2

21

mm

v

c

, en que 0m corresponde a la masa del

objeto en reposo y v es la velocidad de la luz. Determine la masa de un electrón que viaja a la

velocidad de 0,6c si su masa en reposo es 319,1 10 Kg

Solución:

Paso 1: Reemplazando los datos en la fórmula en que 31

0 101,9 m y cv 6,0

31 31 31 31 31 30

30

12

2

9,1 10 9,1 10 9,1 10 9,1 10 9,1 10 9,1 101.1375 10

0.8 8 10 81 0.36 0.64(0.6 )1

mc

c

La masa del electrón es de kg30101375,1


3. Se desea colocar un papel adhesivo en la hipotenusa de una escuadra

Fuente: http://goo.gl/fqxRUx

Si se sabe que la longitud de la hipotenusa corresponde a 2 2a b , en que ,a b corresponde a la

longitud de los otro dos lados de la escuadra (catetos), determine la longitud del papel adhesivo

que se necesita si los catetos miden 3 y 4 cm respectivamente.

Solución:

Tal como indica el problema, la hipotenusa corresponde a 2 2a b . Lo que es necesario realizar

es reemplazar los valores de a y b en la fórmula para encontrar el valor de la hipotenusa. De

acuerdo con los datos del problema, es sabido que a=3 y b=4, por ende se reemplazan en la

fórmula como se puede apreciar a continuación:

2 23 4 9 16 25 5

Hipotenusa

Cateto

Cateto

http://goo.gl/fqxRUx


La longitud de la hipotenusa es 5 cm.

4. Carlos desea realizar un proyecto. Para tal caso su jefe le ha designado un presupuesto el cual

asciende a 35.000 (dólares). El proyecto involucra diferentes tipos de gastos, algunos tienen que

ser costeado por el proyecto y otros, son costeados con dinero de otros fondos. Los gastos totales

que Carlos debe costear con el proyecto se pueden ver representados en la siguiente fórmula.

Gastos Totales del proyecto (GT), agcGT 2*3 , si “c” representa a todos los gastos

relacionados con proveedores y actualmente su valor es de 4.000.000 (dólares), “g” son gastos

asociados a permisos y patentes y actualmente corresponde a 170 (dólares) en tanto “a”

representa los gastos relacionados con mano de obra directa del proyecto que actualmente

ascienden a 3000 (dólares). ¿Está Carlos cumpliendo con el presupuesto entregado por su jefe? En

caso de que estuviera su proyecto actualmente fuera de presupuesto, ¿a cuánto es necesario

disminuir los gastos relacionados con los proveedores (c) para no pasarse del presupuesto

entregado?

Solución:

Paso 1: Primero se evaluará si actualmente Carlos se está o no pasando del presupuesto

entregado por su jefe. Para esto es necesario reemplazar los datos entregados en el ejercicio en la

fórmula

900.37

000.3900.28000.6000.3900.28000.2*3

000.3)170(000.000.4*3*3 22

agcGT

El gastos total actual del proyecto es de 37.900 (dólares), por ende Carlos efectivamente se está

pasando del presupuesto entregado por su jefe y es necesario disminuir algunos costos.

Paso 2: Dado que el presupuesto máximo de Carlos es de 35.000 y actualmente está gastando

37.900, es necesario disminuir uno de los gastos. De acuerdo al enunciado del problema, se debe

ver cuánto es el valor máximo que Carlos puede gastar en proveedores para no pasarse de los

35.000 dólares totales. Es por esto que a continuación se determina la ecuación para obtener el

máximo valor de c para no pasarse de los 35.000 dólares.

000.35*3 2 agcGT

000.3)170(*3000.35 2 c

900.31*3000.328900*3000.35 cc

c*3900.31000.35

c*3100.3


c3

100.3

22

3

100.3c

c

9

000.610.9

c

9

000.610.9

777.067.1c

Es necesario disminuir los gastos de proveedores a un máximo de 1.067.777 (dólares) para poder

cumplir con el presupuesto

A continuación, revise el video N°3 “Aplicación de raíces” de la semana que aparece en el apartado

de “Videos de la semana” y luego realice el siguiente ejercicio.

5.- Una fábrica de cigarrillos produce “c” unidades diarias, producidas con “a” unidades

de materia prima y “b” unidades de mano de obra, lo que se encuentra representado

en:

5

3

3

2

*4

3),( bayxC

Estime cuántas unidades de cigarrillos diarios se pueden producir con 15 unidades de

materia prima y 23 unidades de mano de obra.


COMENTARIO FINAL

Las raíces son números reales o complejos, no siempre se pueden escribir a través de un entero.

Estos números satisfacen modelos reales de la física, biología, astronomía, etc. La radicación es el

proceso inverso de la potenciación.

La racionalización de radicales es un proceso que se aplica a una fracción cuyo denominador es un

término radical o suma (resta) de términos radicales, el objetivo es eliminar el radical o los

radicales que están en el denominador de la fracción. Racionalizar una fracción con raíces en el

denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador.

Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada (amplificar).


REFERENCIAS

Baldor, A. (2004). Álgebra. México D. F.: Publicaciones Cultural S. A.

Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson.

Stewart, J.; Redlin, L. y Watson, S. (2001). Precálculo. México: Thomson.

Swokowski, E. y Cole, J. (2011). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México:

CENGAGE Learning.

Zill, D. y Dewar, J. (1999). Álgebra y Trigonometría. Mc Graw Hill.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE:

IACC (2014). Números Reales (Parte II). Nivelación Matemática. Semana 3.

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