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1 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8

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MATEMÁTICA

SEMANA 8

FUNCIONES PARTE III


ÍNDICE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................... 4

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4

FUNCIÓN INYECTIVA ........................................................................................................................... 5

FUNCIÓN SOBREYECTIVA .................................................................................................................... 9

FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA ........................................................................................ 11

ÁLGEBRA DE FUNCIONES .................................................................................................................. 15

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ......................................................................................................... 17

COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 21

REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 22


FUNCIONES (PARTE III)

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Aplicar el álgebra de funciones para operarlas.

Determinar la función compuesta entre dos funciones.

Reconocer las condiciones que permiten definir la función inversa.

INTRODUCCIÓN

Las funciones son expresiones tales que al evaluar un número del dominio se obtiene un número

real, luego algunas de las operaciones estudiadas en el conjunto de los números reales se pueden

definir también en las funciones es así que se definirán: la suma, el producto y la división de

funciones. Por otro lado, se estudiará la composición de funciones, la cual de algún modo significa

operar sobre un resultado ya existente.

Se observará en la presente semana que bajo ciertas condiciones se puede invertir el proceso de la

función definida, con esto se obtendrá la función inversa.


FUNCIÓN INYECTIVA

Una función YXf : es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones

equivalentes:

212121 :, xxxfxfXxx o lo que es lo mismo, 21 xxf siempre que

21 xx (Stewart, 1999, p. 65).

En matemáticas, una función YXf : es inyectiva o uno es a uno si cada valor en la imagen de

f le corresponde un único elemento en el dominio. Es decir una imagen no debe estar relacionada

con más de un elemento del dominio.

Por ejemplo, la función de números reales RRf : , dada por 2)( xxf no es inyectiva, ya

que, por ejemplo, la imagen 9 está relacionada con el 3 y el -3, es decir

9)3(3933 22 fyf .

Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función RRg : se tiene una función inyectiva.

Ejemplo de función inyectiva:

1)

2) 32)( xxf


Ejemplo de función no inyectiva:

1)

2) 4)( 2 xxf

Para observar gráficamente si una función es inyectiva se debe graficar la función, luego se grafica

una recta horizontal sobre la gráfica de la función y si esta corta en más de un punto, entonces, no

es inyectiva.

Ejercicios:

1) Determine si la siguiente función es inyectiva:

Solución:

Se grafica una recta horizontal sobre el gráfico de la función:


Luego, según la definición, se observa que la función no es inyectiva, ya que esta recta horizontal

corta en más de un punto a la gráfica de la función.

2) Determine las condiciones para que 242)( 2 xxxf sea inyectiva.

Solución:

Primero se busca el vértice, esto es:

42422)1(4)1(2)1(

122

4

2

fy

x

El valor de a (coeficiente del 2x ) es 2, luego la gráfica es:

Luego no es inyectiva, por lo tanto para restringirla se debe cortar el dominio, luego se pueden

considerar dos funciones inyectivas, estas son:


1) Determine si la siguiente función es inyectiva:

2) Determine las condiciones para que 44)( 2 xxxf sea inyectiva.

242)(;,1:

242)(;1,:

2

22

2

11

xxxfRf

xxxfRf

Ejercicios propuestos

A continuación, se sugiere revisar los videos n° 1 y n° 2 de la semana, que aparece en el apartado

de “Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle los siguientes ejercicios:


FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Una función BAf : se dice epiyectiva o sobreyectiva si y solo si todo elemento de B es

imagen de algún elemento de A (Carreño, 2008, p. 175)

Formalmente, yxfAxBy ,:

Ejemplos:

1)

2) 2)( 2 xxf

Para que una función se convierta en sobreyectiva se debe calcular el recorrido y definirla sobre su

recorrido.

Ejemplo

Dada la función 242)(;: 2 xxxfRRf , determine condiciones para que sea

sobreyectiva.

Solución:

Primero se busca el vértice, esto es:

42422)1(4)1(2)1(

122

4

2

fy

x

El valor de a es 2, luego la gráfica es:


1) Determine la condición para que 44)( 2 xxxf sea sobreyectiva.

Por lo tanto, el recorrido es ,4 , ya que en el eje “y” esos son los valores que tienen asociados

una preimagen. Luego, la función 242)(;,4: 2 xxxfRf es sobreyectiva. Si la

función se considera 242)(;: 2 xxxfRRf no es sobreyectiva.

Ejercicio propuesto

A continuación, se sugiere revisar el video n° 2 de la semana que aparece en el apartado de

“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle el siguiente ejercicio:


FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA

Una función BAf : se dice biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva (Carreño, 2008,

p. 175).

1)

2) 1)( 3 xxf

En los ejemplos siguientes las funciones no son sobreyectivas y no son inyectivas, por lo tanto no

son biyectivas.

1)

2) 24)( xxf

Dada la función BAf : , se define la función inversa ABf :1 , donde xxff ))(( 1 y

xxff ))((1 .

No siempre existe la función inversa, el siguiente teorema entrega la condición que se requiere

para que exista la inversa.

Teorema: Si es una función f es biyectiva, entonces su función inversa 1f existe y también es

biyectiva.

Ejercicios:


1) Demuestre que existe la función inversa de 96)( xxf y encuéntrela.

Solución:

La función es lineal, luego su gráfica es:

Luego, la función es lineal en todo su dominio, es decir R , además el recorrido es R . Por lo tanto,

RRf : es biyectiva, luego tiene inversa. Para determinar la inversa se efectúa el siguiente

proceso:

6

9

96

96

yx

yx

yx

Entonces, 6

9)(;: 11 y

yfRRf

2) Determine las condiciones para que la función 23

7)(

x

xxf

tenga inversa.

Solución:

Primer paso: determinar el dominio.

3

2)( RfDom , pues se debe exigir que 023 x , lo que implica:

3

2

23

023

x

x

x


Segundo paso: determinar el recorrido.

3

1)(Re Rfc , esto se obtiene del siguiente proceso:

Se pasa multiplicando el denominador a la derecha.

Se multiplica y por cada término del paréntesis.

Se trasladan los términos que poseen x y se despejan.

Se factoriza por x .

Se despeja x .

Tercer paso: se determina si la función es inyectiva.

Se multiplica cruzado.

Se multiplica término a término y se reduce.

Luego, la función es inyectiva.

3

1

3

2: RRf es inyectiva y biyectiva, luego por teorema es biyectiva, lo que

implica que posee inversa.

3

2

3

1:1 RRf (esto se obtiene al invertir la información de la función f ).


1) Determine la condición para que 44)( 2 xxxf tenga inversa y determine la

inversa.

y

yyf

31

72)(

(Esto se obtiene del cálculo de recorrido)

Ejercicio propuesto A continuación, se sugiere revisar el video n° 2 de la semana que aparece en el apartado de

“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle el siguiente ejercicio:


ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Las funciones algebraicas son aquellas que pueden expresarse en términos de un número finito de

sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces.

Ejemplo:

32)( xxf

523)( 2 xxxf

1

23)(

x

xxf

2)( xxf

Muchas funciones variadas y complejas se pueden formar a partir de funciones más sencillas:

Supóngase que f y g son funciones y C un número real cualquiera, estas funciones se pueden

combinar de varios modos para crear nuevas funciones como:

)())(( xCfxCf Función escalar

)()())(( xgxfxgf Función suma

)()())(( xgxfxgf Función diferencia

)()())(( xgxfxgf Función producto

0)(,

)(

)()( xgcon

xg

xfx

g

f Función cociente

Ejemplos:

1) Sean 2)( 2 xxf y 3)( xxg , entonces:

a) 63)2(3)(3))(3( 22 xxxfxf

b) 1)3()2()()())(( 22 xxxxxgxfxgf

c) 5)3()2()()())(( 22 xxxxxgxfxgf

d) 623)3)(2()()())(( 232 xxxxxxgxfxgf


e) 3,3

2

)(

)()(

2

x

x

x

xg

xfx

g

f

2) Sean 1

3)(

x

xxf

, 7)( xxg

calcular:

a) )3)(( gf

Solución:

13

103

102

6

7313

33

33)3)((

gfgf

b) )1)(( gf

Solución:

6

61

62

2

7111

31

11)1)((

gfgf


c) 0

g

f

Solución:

7

3

7

3

7

1

3

70

10

30

0

00

g

f

g

f

Otra manera de combinar funciones es mediante la composición de funciones:

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones, f y g , la función dada por ))(())(( xgfxgf , se llama función

compuesta de f con g .

Ejemplo:

Sean 32)( xxf y 1)( 2 xxg , entonces:

123)1(2)1())(())(( 222 xxxfxgfxgf

101241)32()32())(())(( 22 xxxxgxfgxfg


Observación:

El dominio de ))(( xgf es el conjunto formado por todos los elementos del

dominio de g , tales que )(xg está en el dominio de f .

))(())(( xgfxgf existe si y solo si fcgDom Re

a) La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

))(())(( xfgxgf

b) La composición de funciones es asociativa, es decir:

c) La inversa de la composición de dos funciones es:

d) La composición de una función y su inversa es la identidad:

Ixffxff ))(())(( 11

Ejercicio

Sean RRf : ; RRAg : definidas por:

301

01

342

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf ; xx

xxg

4

45)(

3

2

Determine:

a) Dom )(g

b) La gráfica de f

c) )1)(()0)(( gffg o


Solución:

a) Puesto que 045 2 x , solo se debe exigir que:

2,00)4(04 23 xxxxxx

d) Luego el Dom )(g = R-{0,-2,2}

b) La gráfica de

301

01

342

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf es:

c) 03

30

3

3)1()1()1()1()1())0(()1)(()0)((

gfggffggffg


1) Si :determine23x-)(,1

1)(quetal: 2

xxg

xxfRRDf

a) ))(( xgf

b) ))(( xgf

c) ))(/( xgf

d) ))(( xfof

2) Dadas las funciones:

35

312)(

2

xx

xxxxf

13

2

11

;

xx

xx

xg

Calcular:

a) 2 gf

b) 17gof

Ejercicios propuestos:

A continuación, se sugiere revisar el video n° 3 de la semana que aparece en el apartado de

“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle los siguientes ejercicios:


COMENTARIO FINAL

En esta semana se entendió que una función tiene inversa si y sólo si es biyectiva, por lo tanto es

necesario aprender los conceptos de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Por otro lado, se

observó que las funciones se pueden operar y que en esencia dichas operaciones se realizan con

las imágenes.


REFERENCIAS

Carreño, X. y Cruz, X. (2008). Álgebra. Chile: McGraw-Hill.

Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson.

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