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MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DE REVOLUCIÓN EN NUESTRA VIDA DIARIA

Los conos de seguridad sirven para la

señalización vial, representando un elemento

de seguridad para transeúntes o conductores.

Asimismo, sirven para indicar desvíos, pozos,

obras en caminos, calles y carreteras;

debiendo tener como mínimo una altura de 47,5

cm. Estos conos pueden fabricarse de diversos

materiales como goma, plástico, PVC, entre

otros materiales que permitan soportar el

impacto evitando que se dañen los vehículos o

dañen a otros. Los conos de mayor tamaño son

empleados cuando el volumen de tránsito,

velocidad u otros factores lo requieren. Los

conos de seguridad son de color naranja y en

las noches deben ser reflectantes o equiparse con dispositivos luminosos para que

tengan buena visibilidad.

1. ¿Qué función tienen los conos en las imágenes observadas?

____________________________________________________________________________________

______________________________________________________

2. ¿En tu escuela utilizan los conos de seguridad? Da ejemplos concretos. ____________________________________________________________________________________

______________________________________________________

3. ¿Qué tipos de conos representan estos sólidos geométricos que son utilizados para la señalización vial?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________

4. La municipalidad ha adquirido conos de seguridad de color naranja de 48cm de altura y los diámetros de la base mayor y menor son 36cm y 8cm respectivamente, para el

desvió del tránsito deben de tener una banda reflexiva de 10cm aprox. de ancho.

¿Cuál es la superficie cubierta por la banda reflexiva?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

________________________

Aprendemos:

Respecto a la situación planteada “Sólidos geométricos de revolución en nuestra vida

cotidiana”, se observa que en nuestro entorno encontramos cuerpos geométricos de

diferentes formas, como son los sólidos de revolución cono y cilindro, los cuales

muchas veces son truncados con una determinada finalidad. De ellos, podemos calcular

su área y volumen, asimismo, obtener su desarrollo y las proyecciones en tres vistas:

de frente, de arriba y lateral.

CUERPOS GEOMÉTRICOS TRUNCADOS

TRONCO DE CONO

El tronco del cono recto o cono truncado recto es una

superficie de revolución generada al girar un trapecio

rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases.

También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a

la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.

ÁREAS Y VOLUMEN DE UN CONO TRUNCADO Área lateral de un cono truncado

Tronco de

cono

Donde:

R: Radio de la

base mayor

r: Radio de la

base menor

h: Altura

g: Generatriz

𝐴𝐿 = 𝜋 (𝑅 + 𝑟) 𝑔

Gira 360°

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Área de un cono truncado

Volumen de un cono truncado

TRONCO DE CILINDRO O CILINDRO TRUNCADO

El tronco de cilindro es el sólido que se obtiene al cortar el cilindro de revolución

por un plano no paralelo a sus bases.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO TRUNCADO

Área lateral de un cilindro truncado

Área del cilindro truncado

Volumen del cilindro truncado

Analizamos

1. Los estudiantes de quinto grado realizan un proyecto

de investigación sobre el volcán de la región.

Para ello, representan sus medidas en una maqueta a

escala de 1: 2000, tomando en cuenta la

siguiente información: Diámetro del cráter

de 840m, diámetro de la base del volcán de

1800m y el ángulo de inclinación del

volcán de 37°. Para la elaboración del

tronco de cono utilizaron arcilla de color

marrón y para la chimenea, la cual tiene

forma de cilindro, utilizaron arcilla de

color naranja, tal como se muestra en la

figura. Ayuda a determinar a los

estudiantes en cuánto excede la cantidad

de arcilla de color marrón a la arcilla de

color naranja utilizada en la elaboración

de la maqueta.

RESOLUCIÓN

A partir de la escala 1: 2000, determinamos las medidas que se utilizan en la

elaboración de la maqueta.

Diámetro del cráter: 840 𝑚 = (840 ) (100)

2000 = 42 𝑐𝑚

Diámetro de la base del volcán: 1800 𝑚 =

=

Se construye un gráfico para ubicar la información proporcionada en el problema.

Tronco del cilindro

Área

lateral

Área de

la

elipse

Área del

círculo

Donde:

R: Radio del

círculo

G: Generatriz

mayor

g: Generatriz

menor

a: Semieje

mayor

b: Semieje

menor

𝐴𝑇 = 𝜋 [ 𝑔 (𝑅 + 𝑟) + 𝑅2 + 𝑟2 ]

h

AB

C

𝑉 = 1

3𝜋 ℎ[𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟 ]

𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔)

𝐴𝑇 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔) + 𝜋𝑅2 + 𝜋𝑎𝑏

𝑉 = 𝜋 𝑅2 (𝐺 + 𝑔

2)

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Calculamos:

Volumen de la cantidad de arcilla

color naranja

Volumen de la cantidad de arcilla color marrón

𝑉 = 𝜋 𝑅2ℎ 𝑉 = 1

3𝜋 ℎ[𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟 ] − 𝜋 𝑅2ℎ

La cantidad de arcilla de color marrón excede a la cantidad de arcilla de color

naranja en ___________________

2. Se quiere elaborar cuñas de acero en forma de cono truncado con un agujero central

que sirva para ajustar los torones que son alambres de acero enrollados

helicoidalmente empleados en la construcción de puentes, entre otros. Las cuñas se

elaboraran a partir de un cono recto cuya altura mide 12cm y el radio de su base 12

cm. Se taladra un agujero cilíndrico de diámetro 6cm en el cono a lo largo de eje,

resultando un sólido como el que se muestra en la figura. Calcular el volumen de la

cuña.

RESOLUCIÓN

Se construye un gráfico para ubicar la

información proporcionada en el problema.

Por semejanza de conos:

( 𝐶𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

) (𝑀𝐵𝑁) ~ (𝐶𝑜𝑛𝑜

𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟) (𝐴𝐵𝐶)

Entonces todos sus elementos homólogos son proporcionales.

Razón de sus bases:

𝐵𝑎𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝐵𝑎𝑠𝑒𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

= = 1

4

En Conos semejantes se

cumple:

𝑉1

𝑉=

ℎ13

ℎ3 = 𝑟3

𝑅3 = 𝑔1

3

𝑔3

Torón

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Entonces:

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

= =

Establecemos la relación entre el volumen del Cono MBN y el cilindro, cuyas base

son iguales:

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜=

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ

3

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . 3ℎ→

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜=

1

9

Comparamos volumen total con el volumen de las partes:

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑀𝐵𝑁 + 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑥

64V =

Luego: 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 1

3(32 .𝜋) 18 =

Entonces: 64V = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

64V = ________

V = ________

Reemplazamos en el 𝑉𝑥 :

𝑉𝑥 = 54 𝑉

El volumen del sólido es ___________________________

3. Los niños desde muy pequeños son estimulados con actividades lúdicas, con

rompecabezas, piezas de madera de encajes, para armado de casas, carros y otros

objetos, que permitan desarrollar la imaginación y creatividad de los niños. En

este sentido un diseñador de estos materiales propuso la elaboración de una nueva

pieza como se muestra en la figura. Representa las vistas de frente (proyección

vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral) de esta

nueva pieza.

4. Los estudiantes en el área de EPT elaboraron un porta

cuchillos con la forma de tronco de cilindro, utilizando un

pedazo de madera forrado de una lámina de aluminio, como se

muestra en la figura.

a) Calcular el volumen de la madera, si el diámetro de la

circunferencia es 10 cm.

RESOLUCIÓN

Ubicamos los datos en el gráfico.

El volumen del tronco de cilindro es:

20cm

15cm

Vista de frente

Vista de

arriba

Vista lateral

𝑉 = 𝜋 𝑅2 𝐻

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Calculamos el volumen reemplazando los datos en la fórmula:

b) Si los estudiantes elaboran 8 porta cuchillos con las mismas características,

¿cuántos centímetros cuadrados de láminas de aluminio se necesita?

RESOLUCIÓN

Reemplazamos los datos en la fórmula:

El área lateral de un porta cuchillos es ________________

Como se elaboran 8 porta cuchillos serán necesarias ________________________

Practicamos

1. Relaciona cada sólido geométrico con su respectivo desarrollo.

GgH

B

C

DA

𝑉 = 𝜋 𝑅2 (𝐺 + 𝑔

2)

La altura (H) del tronco de cilindro es el

segmento que une el centro de la elipse con el

centro de circunferencia.

Como se observa en el grafico la altura es la

base media del trapecio ABCD. 𝐻 = 𝐺 +𝑔

2

Entonces el volumen del tronco de cono es:

𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔)

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2. El profesor de arte realiza el taller de dibujo técnico con la finalidad de

reforzar la orientación espacial de sus estudiantes, para ello propone a sus

estudiantes que a partir del sólido geométrico mostrado realicen la vista de frente

(proyección vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección

lateral). Según tu apreciación ¿cómo serían las vistas del sólido mostrado?

Vista de Frente Vista de arriba Vista latera

3. Existen diversos tipos de tuberías las cuales se adaptan a la necesidad de cada

industria, así también existen diversos tipos de accesorios y conexiones

específicas para éstas. Dentro de esta gama se encuentra el HF dúctil en modelo T

de fierro fundido como se muestra en la figura. Del siguiente accesorio construye

la vista de frente (proyección vertical), de arriba (proyección horizontal) y

lateral (proyección lateral).

Vista de Frente Vista de arriba Vista lateral

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4. En la clase de Historia, Geografía y Economía, el profesor Christian mostró unas

cerámicas de las culturas incaicas, como se muestra en la figura. “Algunas de estas

cerámicas se pueden construir a partir de la rotación de una región en el plano”,

manifestó un estudiante. Según la afirmación del estudiante, ¿cuáles son las

cerámicas que cumplen la condición manifestada por el estudiante?. Represéntalo en

la cuadrícula mostrada.

Pieza automotriz

Un mecánico automotriz diseña piezas que permiten la generación y transmisión del

movimiento en sistemas automotrices, como se encuentran en los vehículos de tracción

mecánica. En tal sentido, diseña dos piezas automotrices de acero, a partir de la

rotación de la región del plano alrededor del eje M y N, como se muestra en la figura.

Con esta información responde las

preguntas 5 y 6.

5. Representa los sólidos de revolución al rotar en cada uno de los ejes.

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6. ¿Cuál es la relación entre el volumen de sólidos geométricos generados por M y N?

a)31/17

b)10/17

c) 8/15

d) 15/31

LA FÁBRICA DE MERMELADAS

Los dueños de una fábrica de mermeladas de aguaymanto desean incrementar sus ventas,

promocionando su producto en nuevos tamaños de recipientes con etiquetas novedosas,

para lo cual, le presentan dos propuestas de diseños de recipientes como se muestra en

la imagen.

Envase 1

Envase 2

Con esta información responde a las preguntas 7 y 8.

7. ¿Cuál de los dos recipientes tiene mayor capacidad?

a) Envase 1= 144𝜋𝑐𝑚3

b) Envase 2 = 296 𝜋𝑐𝑚3

c) Envase 1 = 48 𝜋𝑐𝑚3

d) Envase 2 = 98,67 𝜋𝑐𝑚3

8. Si en cada recipiente la etiqueta cubre toda la superficie lateral, ¿en cuál de los

dos envases se emplea la mayor cantidad de etiquetas?

a) Envase 2 = 96,72𝑐𝑚2

b) Envase 1 = 48 𝜋𝑐𝑚2

c) Envase 2 = 56,42𝜋𝑐𝑚2

d) Envase 1 = 24 𝜋𝑐𝑚2

9. En la heladería “Sabores Naturales”, los vasos de helado tienen

como medida: 6cm de profundidad, 8cm de diámetro superior y 6cm

de diámetro inferior. Si se colocan en el vaso tres porciones

de helado de forma esférica, cuyo diámetro es 6 cm y el helado

se derrite dentro del vaso, ¿este se rebasará?¿Por qué?

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l

a) 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 < 𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂

b) 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 > 𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂

c) 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 = 𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂

d) 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 − 𝑉𝑉𝐴𝑆𝑂 = 34 𝑐𝑚3

10. Una banda de músicos ha adquirido tres ashikos,

instrumentos de percusión de forma de cono truncado,

cuyas dimensiones son de 40 centímetros de alto por 26

centímetros de diámetro superior y 8 centímetros de

diámetro en la boca inferior. ¿Cuántos centímetros

cuadrados de tela con diseños incaicos serán necesarios

para cubrir el contorno de los tres ashikos? Considerar

𝜋= 3,14

a) 6565,74 𝑐𝑚2

b) 6405,60𝑐𝑚2

c) 2188,58 𝑐𝑚2

d) 248,06𝑐𝑚2

11. La IE ha recibido una donación de 30 macetas en forma de cono truncado para su proyecto “Arborizando y

oxigenando mi medio ambiente”. Los radios de las bases

de estas macetas miden 9 cm y 27 cm respectivamente, y

su generatriz 30 cm; si se llenará la ⅔ partes de la

generatriz de la maceta con tierra preparada ¿Cuántas

bolsas de 5kg serán necesarios para habilitar todas las

macetas?

a) 3 bolsas b) 11 bolsas c) 71 bolsas d) 72 bolsas

12. ¿Cuál de las figuras se pueden armar al plegar el siguiente desarrollo?

Jóvenes emprendedores

Los estudiantes de la IE Miguel Grau en el área de Gestión empresarial elaboran

lámparas en forma de cono truncado con papel reciclado, colocando un armazón de

alambre, como base para el bombillo, en la mitad de la altura del cono truncado.

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Con esta información responde las preguntas 13 y 14.

13. ¿Cuántos centímetros de papel reciclado se requiere para la confección de la

pantalla, si se considera una pestaña rectangular de 2cm en uno de sus extremos, y

sus radios miden 8,5cm y 15,5 cm?

a) 50(12𝜋+1)cm b) 24(24𝜋+1)cm

c) 25(23𝜋+2)cm

d) 175𝜋cm

14. ¿Cuántos centímetros de alambre se requiere para el armazón del bombillo, si los radios están en relación de 1 a 6?

a) 28𝜋cm b) 88𝜋cm

c) 2(14𝜋-30)cm d) 4(7𝜋+15)cm

15. En el parque municipal de la comunidad se van a instalar tachos de basura y se

tienen dos modelos como se muestra en la figura. El alcalde desea saber cuál de los

dos modelos será más conveniente adquirir en relación a su capacidad. Ayuda al

alcalde a determinar cuál de los tachos tiene la mayor capacidad.

a) Tacho 1, 260 cm3

b) Tacho 2, 12636 cm3

c) Tacho 1, 9880 cm3

d) Tacho 2, 363 cm3