Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular. Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no , es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección.

Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Vector posición.

Como la posición de un punto cualquiera en una ecuación de segundo grado como una parábola, la elipse , este cambia con el tiempo. En el instante t, del punto cualquiera se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. Diremos que el punto cualquiera se ha desplazado Δr=r’-r en el intervalo de tiempo Δt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media(o velocidad más o menos ), se define como el cociente entre el vector desplazamiento Δr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Δt.

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.

El vector velocidad instantanea, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero(0.0000001).

Medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2, tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el punto cualquiera se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

En el instante t el punto cualquiera se encuentra en P y tiene una velocidadv cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el punto cualquiera se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El punto cualquiera ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Δv=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Δvy el intervalo de tiempo Δt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo dela horizontal ( eje X), la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo vertical (eje Y), ecuaciones de un movimiento rectilíneo ortogonal (eje z)

Radio de curvatura

El radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cual quiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el

punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos

El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleración

El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario utson

Ut=cosθ·i+sinθ·j

Su derivada es

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que exista una variación de tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad

Al cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.

Cambiando la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.

Al variar el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal.

VARIABLES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

POSICIÓN ANGULAR, θ

En el instante t de un punto cualquiera se encuentra P. Su posición angular viene dada por el ángulo ө, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo ө, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, ө=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

VELOCIDAD ANGULAR,ω

En el instante tel móvil se encontrará en la posición P1 dada por el ángulo θ. El móvil se habrá

desplazado Δθ =θ −θ en el intervalo de tiempo comprendido entre.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

ACELERACIÓN ANGULAR α

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es ω y en el instante 1 t la velocidad angular del móvil es ω1. La velocidad angular del móvil ha cambiado.

En el intervalo de tiempo.

Comprendido entre t0 y t1.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES ANGULARES Y LINEALES

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

Derivando s=rq respecto del tiempo obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial

Aceleración tangencial

Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.

dvdt

=r dωdta t=r α

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

ACELERACIÓN NORMAL

En el instante t la velocidad del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.

En el instante t' la velocidad del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección ha cambiado.

Calculemos el cambio de velocidad ∆v=v’-v que experimenta el móvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector ∆v tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relación

∆ sr

=∆vv

Donde la cuerda Δs es el módulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t'

Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo ∆t=t'-t

∆v∆ t

= v ∆ sr ∆ t

Cuando el intervalo de tiempo ∆t tiende a cero, la cuerda ∆s se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,

an= lim∆t →0

∆ v∆ t

= vrlim∆t →0

∆ s∆ t

= vdsrdt

= v2

r

La aceleración normal an tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:

an=v2

r=ω2 r

Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal".

RESUMEN:

MOVIMIENTO CIRCULAR

BIBLIOGRAFÍA:

Torres, M. (2010)”Relaciones entre movimiento circular y lineal”, online. Disponible en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_//cinematica/curvilineo/curvilineo/curvilineo1.html

Movimiento circular uniformemente variado. Disponible URL. http://www.fisicapractica.com/mcuv.php.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO CIRCULAR

Un movimiento circular sigue una trayectoria previamente conocida (la circunferencia que describe). Por tanto, el punto cualquiera tiene un solo grado de libertad y para dar su posición es suficiente una cantidad (posición sobre la trayectoria o ángulo)

Ecuaciones que relacional al MCUC VS MRUV

Elementos Lineales Elementos Angulares Además

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4.

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