Prueba de Hipotesis

Estimacin puntual e intervalo de confianza para la proporcin( Inferencia de la proporcin)

Formula para el intervalo de proporciones

En una encuesta hecha por los alumnos de un Instituto de 100 votantes elegidos al azar, se indica que el 55% volvera a votar por el alcalde actual. Calcular un intervalo de confianza al 99% para la proporcin de votantes favorables al alcalde actual.En nuestro caso 1- = 0,99 y /2 = 0.01/2 = 0,005

En una encuesta a 360 alumnos de un centro de estudios elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la poltica del actual equipo directivo. Cul es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporcin de alumnos que apoyan a esta direccin?Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporcin, donde resulta que el valor del parmetro en la muestra elegida es p^ = 190/360 = 0,5278.De este modo resulta el intervalo de confianza para un nivel de confianza 1- el siguiente:

Para estimar el nmero de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar 30, y las marcamos con un anillo, devolvindolas al estanque. Transcurridos unos das volvemos a pescar otro montn y observamos qu proporcin estn marcadas con el anillo. En esta ltima pesca obtenemos 100 ranas de las cuales 7 estn marcadas. Calcular un intervalo al 90% de confianza para la proporcin de ranas marcadas.

Prueba o contraste de hiptesis

de la media y de la proporcinContraste de hiptesisUna hiptesis estadstica es una asuncin relativa a una o varias poblaciones, que puede ser cierta o no.

Las hiptesis estadsticas se pueden contrastar con la informacin extrada de las muestras y tanto si se aceptan como si se rechazan se puede cometer un error.

La hiptesis formulada con intencin de rechazarla se llama hiptesis nula y se representa por H0. Rechazar H0 implica aceptar una hiptesis alternativa, H1.

Contraste de hipotesisLa prueba de hipotesis es un metodo esencial para la toma de decisiones

La decision relaciona la eleccion entre dos enunciados competitivos y mutuamente excluyentes y los enunciados se conocen como:

Ho: Hipotesis NulaHa: Hipotesis Alterna

13Contraste de hipotesisAfirmamos que la media poblacional es igual a algun valor dado o (211 mg/dl).

hipotesis nula Ho: = o ( 211 mg/dl.)La hipotesis alterna Ha: 211 mg/dl.

Juntos la Ho y la Ha cubren todas las posibles valores de la media poblacional.

Una afirmacion es falsa y la otra verdadera.

14Pasos para el contraste de hiptesisCuando se conoce la media y desviacion estandar poblacional, se realiza la prueba z

Ejemplo. Despues de ensear un curso en la Univeridad, la nota promedio poblacional es 82 (o) y la DE es 6.

En una clase actual, la media final es 86

Los estudiantes en esta clase (86), es significativamente diferente al de la media poblacional (82) ? Con un nivel de significancia de = 0.05)

Pasos para el contraste de hiptesisPaso 1: establecer la hipotesis

Hipotesis nula H0 = o = 82Hipotesis alternaHa 82

Paso 2: calcular es estadistico Z de la distribucion muestral.

= = = 4

Contraste de hiptesis con ZPaso 3: comparar el estadistico con un valor critico indicado previamente ( = 0.05, z= 1.96)

Paso 4: aceptar o rechazar HoYa que el estadistico encontrado es 4, el cual es mas grande que el especificado por el valor critico. Entonces se rechaza la Ho y aceptamos la Ha.

Paso 5: conclusion.Los estudiantes son significativamente diferentes con relacion a la poblacion .

1.964Pasos para el contraste de hiptesis1 Establecer la hiptesis nula en trminos de igualdad

Establecer la hiptesis alternativa, que puede hacerse de tres maneras, dependiendo del inters del investigador

en el primer caso se habla de contraste bilateral o de dos colas, y en los otros dos unilateral (derecho en el 2 caso, o izquierdo en el 3) o una cola.

2. Elegir un nivel de significacin: nivel crtico para

Pasos para el contraste de hiptesis3. Elegir un estadstico de contraste: estadstico cuya distribucin muestral se conozca y en base a dicha distribucin, la regin crtica.

4.- Si el estadstico de contraste tiene una probabilidad menor que si H0 fuera cierta y, en contrario, si el estadstico cayera en la misma regin critica, se rechazara H0.

5. Conclusin: Cuando no se rechaza, no se ha demostrado nada, simplemente no se ha podido rechazar.

1.96-1.96

Pruebas de hipotesis unilateralesAntes de realizar una prueba de hipotesis, debemos decidir si nos interesa desviaciones de o que pudieran ocurrir en ambas direcciones, lo cual significa mas altas o mas bajas que o.

De otro lado, nos interesa en una sola direccion.

La decision debe tomarse antes de elegir la muestra aleatoria.

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BILATERALUNILATERALConsiderar la distribucion de Hb en nios menores de 6 aos expuestos a plomo. Esta distribucion tiene un media desconocida y supone un desviacion estandar es de 0.85

Deseariamos saber si el nivel medio de la Hb de esta poblacion es igual a la media de la poblacion general de ninos menores de 6 aos (o = 12. 29).

Se considera los niveles de Hb de nios expuestos a plomo difieren (menor) de los que no estan expuestos.

Por lo tanto nos interesa las desviaciones menores de o.

La hipotesis nula es Ho: >= 12.29

La hipotesis alterna es Ha: < 12.29

29La Ho se rechazaria para valores menores de 12.29, pero no para valores altos. Se lleva a cabo la hipotesis unilateral con un nivel de significancia de =0.05

Se toma una muestra de 74 nios expuestos a plomo con nivel de Hb = 10.6 gr/dl.

El estadistico es Z = (Xp- o)/(/sqrt(n)) = 10.6-12.29/(0.85/sqrt(74) = -17.10,

y de acuerdo a la tabla de la distribucion Z, es -17.10

Puesto que el valor de Z es menor -1.96, entonces rechazamos la Ho, que Ho: >= 12.29

Valores de Alfa ()

Tipos de errorEl primero se denomina Error tipo I conocido como error de rechazo o error alfa ().

Se comete si rechazamos la Hipotesis nula (Ho: = o) cuando Ho es verdadera.

La probabilidad de cometer un error tipo I se determina por el nivel de significancia de la prueba. Entonces:

= P(rechazar Ho | Ho es verdadera)

32Tipos de errorEl segundo tipo de error que se puede cometer en una prueba de hipotesis, es un error tipo II, tambien conocido como error de aceptacion o error .

Un error tipo II se comete si al no rechazar la Hipotesis nula. (Ho: =o) Cuando Ho es falsa.

La probabilidad de cometer un error tipo II se representa por medio de la letra griega , donde

= P(no rechaza Ho | Ho falsa )33Conclusiones posibles DecisinHo es VerdaderaHo es falsa

Aceptar Ho CorrectoError IIRechazar Ho Error ICorrecto= p(rechazar H0|H0 cierta) = p(aceptar H0|H0 falsa)

Potencia =1- = p(rechazar H0|H0 falsa) 1 y estn inversamente relacionadas.2 Slo pueden disminuirse las dos, aumentando n.Contraste de hiptesis De la proporcin