Prueba de Hipótesis

Contenidos

• Establecimiento de una hipótesis nula y alterna

• Errores tipo I y II• Pruebas uni y bilaterales sobre la media• Prueba de hipótesis y toma de decisiones

Tipos de hipótesis

• En la prueba de hipótesis se comienza proponiendo una hipótesis tentativa acerca de un parámetro poblacional

• A la hipótesis tentativa se le denomina hipótesis nula (H0)

• La hipótesis alternativa es la opuesta de lo que se afirma en H0 y se representa por Ha

• El procedimiento de prueba de hipótesis comprende el uso de datos de una muestra para probar las 2 aseveraciones propuestas

• Es necesario practicar para poder formular hipótesis en forma correcta

• Las formas de H0 y Ha van a depender de la aplicación en la cual deseamos realizar la prueba

• La prueba de hipótesis es una demostración de contradicción

• Se presentan generalmente 3 tipos de situaciones en los cuales debemos establecer hipótesis:– Prueba de hipótesis en Investigación– Prueba de validez de una afirmación– Prueba en casos de toma de decisiones

• Resumen de formas para hipótesis nula y alterna ( valor de interés)

– La igualdad siempre aparece vinculada al la hipótesis nula

– Una forma de facilitar la selección de la forma adecuada de las hipótesis es asignando lo que se quiere demostrar a la Ha

0 0:H

0:aH

0 0:H

0:aH

0 0:H

0:aH

Una operación en una línea de producción debe llenar cajas con detergente hasta un peso promedio de 300 gr. Periódicamente se selecciona una muestra de cajas llenas. Si los datos de la muestra llevan a la conclusión de que les falta o sobra detergente, se debe parar la línea de producción, y hacer los ajustes necesarios

1.Formule la hipótesis nula y alterna

2.Comente la conclusión y la decisión cuando no se puede rechazar H0

Error tipo I y II

• Las hipótesis nula y alterna son aseveraciones sobre la población que compiten entre sí

• No siempre es posible que las conclusiones sean verdaderas o correctas

H0 verdadera Ha verdadera

Aceptar H0Conclusión Correcta

Error tipo II

Rechazar H0 Error tipo IConclusión Correcta

• No se puede eliminar la posibilidad de errores en la prueba de hipótesis, pero si es posible considerar su probabilidad

• Se define como:

=probabilidad de cometer un error tipo I

=probabilidad de cometer error tipo II• La máxima probabilidad permisible se le llama nivel

de significancia para la prueba. Los valores acostumbrados son de 0.05 y 0.01

• En la mayoría de las aplicaciones se controla la probabilidad de cometer error tipo I, luego existe la incertidumbre con respecto al error tipo II

• Si los datos muestrales son consistentes con H0 se adopta en la práctica la conclusión de “no rechazar H0”, ya que de esta forma evitamos el riesgo de cometer error tipo II

• La conclusión de “aceptar H0” se toma sólo cuando se haya determinado el error tipo II

Suponga que se va a implantar un nuevo método de producción si una prueba de hipótesis respalda la conclusión de que con ese método se reduce la media del costo de operación por hora1.Enuncie las hipótesis nula y alterna si la media del costo para el método actual de producción es de $220 por hora

2.¿Cuál es el error de tipo I en este caso y sus consecuencias?

3.¿Cuál es el error tipo II en este caso y sus consecuencias?

Pruebas unilaterales para la mediaMuestra Grande• En este caso (n>30) se asume distribución normal• Para pruebas de hipótesis acerca de la media de una

población se emplea el estadígrafo z

• Se determina si la desviación del valor numérico en estudio es lo suficiente para justificar el rechazo de la hipótesis nula

/

Xz

n

• La probabilidades 0.05 y 0.01 de cometer error tipo I están relacionadas con un valor de z de –1.645 y –2.33 respectivamente

• Luego se debe rechazar H0 si el valor de z es menor a –1.645 o –2.33 dependiendo del nivel de significancia

• El valor z establece el límite de la región de rechazo denominada valor crítico

0-1.645 2.33

=0.05 =0.01

X n

z

Rechazar H0 Rechazar H0

• Resumen de pruebas unilaterales sobre media de una población. Si n30

0 0

0

0 0

0

:

:

; / /

Rechazar H si

a

H

H

X Xz z

n s n

z z

0 0

0

0 0

0

:

:

; / /

Rechazar H si

a

H

H

X Xz z

n s n

z z

• Valor p– Es el valor de probabilidad de obtener un

resultado de la muestra que sea al menos tan improbable como lo que se observa

– Este valor corresponde al valor de la probabilidad asignada al z calculado a partir del valor numérico sometido a la prueba de hipótesis

– Si p es menor al nivel de significancia predefinido se debe rechazar H0

Muestra Pequeña• En este caso (n < 30) se asume que la población

tiene una distribución normal• Con distribución t se pueden hacer inferencias

acerca de la media de la población

• Para este estadígrafo se debe considerar los grados de libertad asociados al tamaño de la muestra (n-1) para definir el valor crítico que llevará al rechazo de H0. Por las características de la tabla resulta complicado calcular el valor de p por lo que se expresa en intervalos

0

/

Xt

s n

Pruebas bilaterales para la mediaMuestra grande• La diferencia de esta prueba con respecto a las

unilaterales está en que la región de rechazo está ubicada simultáneamente en ambas colas

• En las pruebas bilaterales de hipótesis siempre se determina la región de rechazo colocando un área de probabilidad igual a /2 en cada cola de distribución

• Para este caso el valor de z para un nivel de significancia de 0.05 corresponderá a 1.96

z-z

/2=0.025

0-1.96 1.96

/2=0.025

• Resumen de pruebas bilaterales sobre media de una población. Si n30

0 0

0

0 0

0 / 2 / 2

:

:

; / /

Rechazar H si

a

H

H

X Xz z

n s n

z z z z

• Valor p– En una prueba bilateral se determina el p

duplicando el área en la cola– Esta multiplicación busca comparar el

valor de p directamente con y poder mantener la misma regla de rechazo

Muestra pequeña• Con una prueba bilateral y un nivel de

significancia definido se debe considerar al estadígrafo t para determinar el área de probabilidad asociado a los grados de libertad de la muestra

Relación entre estimación por intervalo y prueba de hipótesis

• En la determinación del intervalo de confianza para medias se empleo un coeficiente definido por 1- , como una forma de definir si nuestros promedios muestrales contenían al parámetro poblacional

• Ahora para una prueba bilateral de hipótesis se puede rechazar H0 si el intervalo de confianza para la media de la población no abarca el promedio poblacional

/ 2X zn

Prueba de hipótesis y toma de decisiones

• Siempre que se emplee una prueba de hipótesis en la toma de decisiones estará involucrada una acción

• El no emprender acciones cuando “no se rechaza H0” está dado por el riesgo de cometer error tipo II

• Para disminuir esta incertidumbre se debe calcular este error. Otra forma descrita tiene relación con el tamaño de la muestra a estudiar

• Error tipo II (Aceptar H0 cuando es falsa)– Formular las hipótesis nula y alterna– Usar el nivel de significancia a para establecer una

regla de rechazo basado en el estadístico de prueba (z)

– De acuerdo con la regla de rechazo, despejar el valor de la media de la muestra que identifique la región de rechazo de la prueba

– Usar el resultado del paso anterior para establecer los valores de la media de muestra que conduzcan a la aceptación de H0 ( darse medias más bajas y estimar la probabilidad de que le punto medio muestral real sea mayor)

– La probabilidad de rechazar correctamente H0 cuando es falsa se llama potencia de la prueba (1-)

0Rechazar H si 1.645z

Darse un promedio menorRecalcular z

Despejar media muestral

x2 xCalcular

0

/

Xz

n

0

H0 falsa

Prob

abil

idad

de

rech

azar

co

rrec

tam

ente

H0

Curva de Potencia

• Tamaño de la muestra• Controlando el tamaño de la muestra es posible

manejar la probabilidad de cometer error tipo I y II

Rechazar H0

0

a

C

H0:0

Ha:<0

H0 verdadero =0

H0 falsa a<0

0

0

2 2

2

0

a

a

a

c z c zn n

z zn n

z zn

Pasos de la prueba de hipótesis:1. Definir la hipótesis nula y alterna para el caso2. Seleccionar el estadístico de prueba que se

usará para decidir rechazar o no H0

3. Especificar el nivel de significancia, , para la prueba

4. Usar el nivel de significancia para establecer la regla de rechazo que indique los valores que llevarán al rechazo de H0

5. Reunir los datos de la muestra y calcular el valor del estadístico de prueba

6. Comparar el valor estadístico con los valores críticos o calcular el valor de p