Problemas de cónicas

1

Hallar los elementos principales: Coordenadas de los vértices del lado Real y Imaginario, las coordenadas de los focos, los lados rectos, las coordenadas de los extremos de los lados rectos, las directrices, las asíntotas y las gráficas de las siguientes ecuaciones:

2

3

4

SALIR

𝟏𝟔𝒙𝟐−𝟗 𝒚𝟐=𝟐𝟑𝟎𝟒

La Hipérbola

𝟑𝟔𝒚𝟐−𝟐𝟎𝒙𝟐−𝟏𝟒𝟒=𝟎

𝟑𝟔 𝒚𝟐+𝟑𝟔𝟎𝒚 −𝟔𝟒 𝒙𝟐−𝟐𝟓𝟔𝒙−𝟏𝟔𝟔𝟎=𝟎

𝑥2+2𝑥− 3 𝑦2+24 𝑦− 44=0

SOLUCIÓN 1

Datos del problema: Dividimos ambos miembros entre el término independiente, desarrollamos y operamos :

16 𝑦2− 20𝑥2 −144=0 → 16 𝑦2

144− 20 𝑥2

144− 144

144=

0144

𝑦2

14416

− 𝑥2

14420

−1=0 → 𝑦 2

20− 𝑥2

16=1(𝑎)

La ecuación (a) es de la forma: ; que representa la ecuación de una Hipérbola Vertical con centro C(0,0). Donde se tiene: Semieje Real: Semieje Imaginario: A «c» que es la semidistancia focal lo obtenemos con la aplicación del Teorema de Pitágoras para Hipérbolas, es decir: Luego las coordenadas de los vértices son:El Real es: El Imaginario es:

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𝟑𝟔 𝒚𝟐−𝟐𝟎 𝒙𝟐−𝟏𝟒𝟒=𝟎

Las coordenadas de los focos son: La excentricidad es 1,34El lado recto es:

Longitud del Lado Real:

Longitud del Lado Imaginario:

Longitud de la distancia Focal:

Las ecuaciones de las directrices son:

Las Directrices:

Las Asíntotas son:

Los extremos de los lados rectos son:

y y

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La gráfica es la siguiente:

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SOLUCIÓN 2

Datos del problema: tiene la forma , que representa la ecuación de una Hipérbola Horizontal con centro en C(0,0). Donde: El término «c» se halla mediante la relación pitagórica, para las hipérbolas, es decir: Las coordenadas de los vértices Real y Imaginario son: Las coordenadas de los focos son: La excentricidad es Las Directrices es: y

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𝟏𝟔𝒙𝟐−𝟗 𝒚𝟐=𝟐𝟑𝟎𝟒

La distancia del eje Real es:=24 La distancia del Eje Imaginario es: 32La distancia Focal es: ; 40Los lados rectos son: Las coordenadas de los extremos del lado recto de arriba: Las asíntotas son:

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La gráfica es la siguiente:

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SOLUCIÓN 3

Datos del problema:

Dividiendo ambos miembros por el término independiente tenemos:

por tanto, la ecuación es de la forma , que representa una ecuación de la Hipérbola vertical de centro C(h,k), es decir C(4;-1), donde además tenemos que los ejes Real y Imaginario son: y «c» lo obtenemos mediante el teorema de Pitágoras para hipérbolas: Luego obtenemos los siguientes datos: Lado Real: 2Lado Imaginario: La distancia focal: ;

Desarrollamos y operamos, agrupamos términos de una misma variable, se completa cuadrado perfecto y se agrupan las constante hacia el otro miembro:

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𝑥2+2𝑥− 3 𝑦2+24 𝑦− 44=0

Las coordenadas de los vértices reales e imaginarios son: y y y y Las coordenadas de los focos son: y y Las directrices son: Las asíntotas son: Los lados rectos son: Lado recto superior: 6Lado recto inferior:

Las Coordenadas de los extremos de los lados rectos: y; y; y y

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Datos:

La gráfica del problema planteado es:

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SOLUCIÓN 4

Datos del problema: Desarrollamos y operamos, agrupamos términos de una misma variable, se completa cuadrado perfecto y se agrupan las constante hacia el otro miembro:

, que es de la forma , que es una ecuación de la hipérbola vertical y centro C(h,k)=C(-2,-5); h=-2, k=-5. Además se tiene que:; el valor «c» se obtiene mediante la relación pitagórica para las hipérbolas, es decir: c2=a2+b2. Los vértices principales o real y los vértices imaginarios son: Los focos son: Longitud eje real real: Longitud Eje Imaginario: Longitud Eje Focal:

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𝟑𝟔 𝒚𝟐+𝟑𝟔𝟎 𝒚 −𝟔𝟒 𝒙𝟐−𝟐𝟓𝟔𝒙−𝟏𝟔𝟔𝟎=𝟎

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Las directrices de la Hipérbola Vertical son:

Las Asíntotas de la Hipérbola Vertical son:

Los lados rectos son:

Los extremos de los lados rectos son:

y; y y y

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La gráfica del problema planteado es: