UNIVERSIDAD ALBERT EINSTEIN

UNIVERSIDAD ALBERT EINSTEINMATEMATICA I

ELIPSE E HIPERBOLA

ESQUEMA DE LAS CUATRO SECCIONES CNICAS.En coordenadas cartesianas, las cnicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadrticas de dos variables (x,y) de la forma:

en la que, en funcin de los valores de los parmetros, se tendr:

h = ab: parbola.

h < ab: elipse.

a = b y h = 0: circunferencia.

h > ab: hiprbola.

a + b = 0, la ecuacin representar una hiprbola rectangular.

PropiedadesLas curvas cnicas son siempre suaves. Ms precisamente, no tienen puntos de inflexin en su desarrollo. Esto es muy importante sobre todo en las aplicaciones.AplicacinLas curvas cnicas son importantes en astronoma: dos cuerpos masivos que interactan segn la ley universal de la gravitacin describen secciones cnicas si su centro de masa se considera en reposo. Si estn muy juntas describirn elipses, si se alejan demasiado describirn hiprbolas o parbolas. Tambin son importantes en aerodinmica y en su aplicabilidad industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecnicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

......

Elipse

Existen al menos tres maneras equivalentes de definir las elipses:

Definicin 1:Un elipse es una curva cerrada, simtrica respecto a dos ejes perpendiculares entre s, que resulta de cortar la superfcie de un cono de revolucin por un plano oblicuo y que corta todas sus generatrices.

Definicin 2: una elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F y F' dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia FF'. Un punto M pertenece a la elipse de focos F y F' si:

donde es el semieje mayor de la elipse.

Definicin 3: en un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuacin:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Ecuacin de una elipse La ecuacin de una elipse centrada en coordenadas cartesianas es simplemente:

En coordenadas polares una elipse viene definida por la ecuacin:

Y finalmente, en ecuaciones paramtricas las expresiones son:

con , y donde el ngulo se puede interpretar como el ngulo polar.

PropiedadesTangente a la elipseLa recta tangente a la elipse centrada en (h, k) en el punto M (X1,Y1) tiene como ecuacin: Otras propiedades

La excentricidad de una elipse es = c/a. *E= MENOR QUE 1

El rea interior a la elipse es ab

La circunferencia es una elipse en la que a = b.

En mecnica celeste, un cuerpo sometido a la atraccin gravitatoria de otro y que gira a su alrededor, describe una rbita elptica. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales.

la formula para el lado recto es 2b^2/a Propiedades notables

Las propiedades de la elipse como herramienta para la anamorfosis

Las propiedades de la elipse como herramienta para la anamorfosis

Segn se explic precedentemente, la elipse posee un eje mayor trazo AB y un eje menor trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de semieje, de tal manera que se los denomina semieje mayor y semieje menor, respectivamente.

Sobre el eje mayor existen dos puntos y que se llaman focos.

El punto puede estar ubicado en cualquier lugar del permetro de la elipse.

La longitud desde al punto sumada a la longitud desde a ese mismo punto , es una cantidad constante que siempre ser igual a la longitud del eje mayor trazo AB.

A las rectas correspondientes a los trazos y , se las llama radios vectores. Los dos focos equidistan del centro .

El rea de la elipse es:

El clculo del permetro de una elipse por el contrario no tiene una expresin sencilla y requiere del clculo de integrales elpticas de segunda especie.

Elipse: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuacin analtica de la elipse: para simplificar la explicacin ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' ( c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitgoras tenemos que:

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las races y desarrollamos los cuadrados (ver operacin) queda finalmente:

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuacin debera de ser: Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 2xpb2 2yqa2 + p2b2 + q2a2 a2b2 = 0

Si hacemos: A = b2B = a2

C = 2pb2D = 2qa2E = p2b2 + q2a2 a2b2tendremos la ecuacin: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los trminos A y B no tienen porqu ser iguales.

Ejemplo:Si tenemos la ecuacin 4x2 + 9y2 + 24x 8y + 81 = 0

Entonces tenemos que: A = 4 4 = b2 b = 2; B = 9 9 = a2 a = 3

Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2. Hallemos en centro (p, q).

C = 24 24 = 2pb2 p = 3

D = 54 54 = 2qa2 q = 3

El centro es, entonces, (p, q) = ( 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos E que debe tener el valor de 81. E = p2b2 + q2a2 a2b2 = 81

La ecuacin de la elipse queda: LA ELIPSE2 LA ELIPSEDefiniciones:

i. Sean F y F dos puntos de un plano (F. Se define la ELIPSE de focos F y F como el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmento se llaman EJES DE SIMETRA DE LA ELIPSE.

iii. El punto de interseccin O de los dos ejes de simetra, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A, A, B y B se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.

Si el segmento es mayor que el segmento , ambos segmentos se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.

fig. 6.2.1.Observaciones:

i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarn inicialmente aquellos casos en los cuales los focos estn en el mismo eje (eje x, eje y) y son simtricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.2.2.).

ii. Ntese tambin que como , se sigue que (teorema de Pitgoras).

fig. 6.2.2.6.2.1. Ecuaciones Analticas de la Elipse

Caso 1. Elipses con focos. F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0

Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)

TEOREMA:

La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por: (1)

fig. 6.2.3. fig. 6.2.4.

Demostracin

Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definicin i que, o equivalentemente,(frmula de distancia entre dos puntos)

Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene:

Simplificando la ltima igualdad se llega a:

Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima ecuacin, se obtiene:

La cual se reduce a:

Recordando adems que y al dividir ambos miembros de la ltima igualdad por, se obtiene finalmente: que corresponde a la ecuacin pedida. Caso 2. Elipses con focos F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 Eje mayor: Longitud 2a (a > 0) Eje menor: Longitud 2b (b > 0)

TEOREMA:

La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:

(2)

Demostracin:

Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

NOTA:

Ntese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la ecuacin de una circunferencia de centro en el origen y radio a.

Caso 3. (Caso General).

Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuacin de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en:

(3)

Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k) Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)

fig. 6.2.5. (a) (x-h)+ (y-k)

b(x-h)+ (y-k) ab

ba

Observaciones:

i. La ecuacin (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.

ii. Si a > b, la ecuacin (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x (fig. 6.2.5. a).

Si b > a, la ecuacin (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y (fig. 6.2.5. b).

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ELIPSE1. Halle la ecuacin de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F(-3, 0), adems el intercepto de la grfica con el eje x es el punto (5, 0).

Solucin:

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto .

De esta forma, los vrtices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4). Adems, su ecuacin viene dada por :

2. Trazar la elipse cuya ecuacin viene dada por:

25x2 + 4y2 = 100

Solucin:

La ecuacin: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x 2 + y 2= 1 (porqu?) 4 25

La ltima ecuacin corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Adems, los focos de la elipse estn localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y .

Adems, los vrtices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

La figura 6.5.9. recoge toda la informacin obtenida.

fig. 6.5.9.3. Determine el centro, los vrtices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuacin:

4x2 + y2 16x + 2y + 13 = 0

Solucin:

La ecuacin dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(completacin de cuadrado)

(factorizacin y simplificacin)

(dividiendo por 4) Esta ltima ecuacin corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes; a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuacin x = 2 (ver fig. 6.5.10.).

Los vrtices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como , se tiene que los focos estn localizados en los puntos y .

fig. 6.5.10.4. Propiedad ptica de la Elipse

En geometra plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un tringulo ABC y un punto D sobre BC (ver figura 6.5.11), entonces:

es Bisectriz del ngulo .

Esta propiedad permite construir la normal y por ende la tangente en un punto cualquiera de la elipse.

Al unir el punto P1 de la elipse con F y con F, puede demostrarse que la bisectriz del ngulo FP1F es la normal nn a la curva por P1 (fig. 6.5.12.).fig. 6.5.11.Esta propiedad se conoce como la propiedad ptica o focal de la elipse y tiene interesantsimas aplicaciones:

fig. 6.5.12.1) Considrese un rayo de luz que se enfoca desde un foco hacia un punto P1 de la curva. Como nn es bisectriz del ngulo FP1F, entonces, ngulo de incidencia = ngulo de reflexin y por tanto el rayo se reflejar pasando por el otro foco. Este hecho es utilizado en la construccin de conchas acsticas.

Supongamos que la elipse se hace rotar alrededor del eje x formando una superficie de revolucin e imaginemos un saln cuyos techos y paredes son la superficie anterior. Cuando una persona habla desde un foco F, puede ser escuchada en el otro foco a pesar de estar muy lejos del anterior y puede no ser audible en otros puntos intermedios a causa de que las ondas de sonido chocan contra las paredes y son reflejadas en el segundo foco y llegan a l en el mismo tiempo ya que ellas viajan el mismo tiempo.

2) Estudiando una gran cantidad de datos experimentales, Kepler (1571 1630) determin empricamente los tres siguientes hechos sobre el movimiento de los planetas conocidos como las leyes de Kepler:

1. La rbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos.

2. El radio vector trazado desde el sol barre reas iguales en tiempos iguales.

3. Los cuadrados de los perodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la rbita elptica.Newton (1642 1727) partiendo de estas tres leyes empricas y utilizando elementos del clculo diferencial e integral pudo deducir la ley de gravitacin universal: "la fuerza que ejerce el sol sobre un planeta es una fuerza de atraccin radial e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos centros del sol y del planeta y viene dada por donde m: masa del planeta, M: masa del sol y constante de gravitacin universal".

Fijadas la directriz, el foco F y la excentricidad , sabemos que si llamamos p: distancia foco - directriz, la ecuacin de la elipse es (1) donde y donde como se puede demostrar fcilmente que a > b.

Ahora, cuando , dejando fijos los dems elementos; directriz, foco y p, la elipse se aproxima a una circunferencia y por tanto la rbita es cada vez mas cercana a una circunferencia En efecto:

.

Si y y por tanto, a y b se acercan al mismo valor y la ecuacin (1) tiende a ser la ecuacin de una circunferencia.

Esto puede verse tambin en el siguiente cuadro.

p = 1

0.50.66660.57735

0.40.4762 0.4364

0.20.2083 0.2041

0.10.1010 0.1005

0.010.0100 0.0100

0.0020.002 0.002

0.0010.0010.001

Muchos de los planetas incluyendo la tierra tienen rbitas que son aproximadamente circulares: Mercurio0.21Saturno0.06

Venus0.01Urano0.05

Tierra0.02Neptuno0.01

Marte0.09Plutn0.25

Jpiter0.05

Uno de los objetos ms importantes del sistema solar es el cometa Halley que tiene una excentricidad de y una rbita de alrededor de 7 U.A. de ancho x 35 U.A. de largo (1 U.A.: 150 millones de kilmetros = semieje mayor de la rbita de la tierra distancia tierra sol). El perodo de revolucin de este cometa es de 76 aos. Fue observado por el astrnomo Edmund Halley en 1682 el cual predijo que volvera a aparecer en 1758. Asi efectivamente fue pero Halley no pudo ver verificada su prediccin ya que muri en 1742. Esta periodicidad de la rbita del Halley fue uno de los sucesos ms convincentes a favor de la teora de Gravitacin de Newton.

Hiprbola: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hiprbola .

Ecuacin analtica de la hiprbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = ( c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hiprbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la interseccin de la hiprbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF PF' = 2a

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemticamente podemos llegar a esta expresin: (c2 a2). x2 a2y2 (c2 a2) a2 = 0 (los clculos los efectan ustedes pero pueden guiarse con el desarrollo que se hizo para la elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitgoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuacin nos queda: b2x2 a2y2 = a2b2. Dividiendo cada trmino por a2b2 obtenemos:

Si la hiprbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuacin debera de ser:Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 a2y2 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 q2a2 a2b2 = 0

Si hacemos: A = b2B = a2

C = 2pb2D = 2qa2E = p2b2 q2a2 a2b2tendremos la ecuacin: Ax2 By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los trminos A y B no tienen porqu ser iguales.

Asntotas: son rectas que jams cortan a la hiprbola, aunque se acercan lo ms posible a ella.Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)

Las ecuaciones de las asntotas son: LA HIPERBOLA

Definiciones

i. Sean F y F dos puntos de un plano (FF). Se define la hiprbola de focos F y F como el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmento FF se llaman: Ejes de simetra de la hiprbola.

iii. El punto de interseccin 0 de dos ejes de simetra, se llama CENTRO de la hiprbola. Los puntos A y A se llaman: VERTICES de la hiprbola.

fig. 6.3.1.Observaciones:

i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hiprbola. Por simplicidad, solo se considerarn inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos estn en el mismo eje (eje x eje y) y son simtricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.).

ii. Si se obtiene la rama derecha de la hiprbola; mientras que si se obtiene la otra rama.

iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un tringulo siempre es menor que el tercer lado. Adems, se toma.

6.3.1. Ecuaciones Analticas de la Hiprbola

caso 1. Hiprbola con focos F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:

(1).Demostracin:

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hiprbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definicin i. que:

De donde,

Es decir,

Equivalentemente, usando la frmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y despus de simplificar y factorizar se puede escribir:

Recordando adems que (observacin iii.) y al dividir ambos miembros de la ltima igualdad por, se obtiene finalmente, que corresponde a la ecuacin pedida.

Caso 2. Hiprbola con focos en F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(0, -c) y F(0, c) viene dada por:

(1).

fig. 6.3.2.La demostracin es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

Caso 3. (Caso General)

Si en vez de considerar el centro de la hiprbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hiprbola correspondiente, se transformarn utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en:

(3)

(4)Segn que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente.

Observaciones:

i. En la figura 6.3.3., se ha trazado la hiprbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vrtices de la hiprbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas:M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b).

El rectngulo MNPQ recibe el nombre de rectngulo auxiliar de la hiprbola.

fig. 6.3.3.ii. La grfica de la hiprbola es simtrica con respecto al eje x y con respecto al eje y.

iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asntotas oblicuas de la hiprbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por:

yUna forma "nemotcnica" de obtener las ecuaciones de las los asntotas de la hiprbola es la siguiente: En la ecuacin de la hiprbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero).

As, en el caso particular de la hiprbola,

Hacemos: (factorizando)

Estas son las ecuaciones de las asntotas

iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hiprbola se transforman en:

En ambos, la hiprbola se llama: Hiprbola Equiltera y tienen como asntotas las rectas y = x e y = -x 6.5.3EJERCICIOS SOBRE LA HIPERBOLA

1. Los focos y los vrtices de una hiprbola son los puntos: F(5, 0), F(-5, 0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuacin de la hiprbola. Dibujar su grfica e indicar las asntotas. Como los focos estn sobre el eje x, la ecuacin de la hiprbola es de la forma:.

fig. 6.5.13.En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En consecuencia, la ecuacin de la hiprbola es:.

Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asntotas son las rectas:, y,

2. Dada la hiprbola cuya ecuacin viene dada por:. Determine: coordenadas de los focos, de los vrtices, ecuaciones de las asntotas. Trazar la grfica.La ecuacin:, puede escribirse en las formas equivalentes:

La ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo eje focal coincide con el eje y (fig. 6.5.14.)

fig. 6.5.14.En este caso:. Luego,.

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Adems de la ecuacin:, se deduce que las ecuaciones de las asntotas son las rectas de ecuacin: e.

..

3. Una hiprbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Adems, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vrtices es 8 unidades. Trazar la grfica y determine: coordenadas de los vrtices, focos y ecuaciones de las asntotas.

Como la distancia entre los vrtices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).

fig. 6.5.15.Ahora, puesto que los focos estn sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuacin de la hiprbola pedida tiene la forma:

Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F(-3, 3).Igualmente, las coordenadas de los vrtices son: y y = 3. Esto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3).

Adems, de la ecuacin:, se deduce que:; y

son las ecuaciones de las asntotas. 4. Dada la hiprbola, cuya ecuacin en su forma general es: 3y2 x2 + 4x 6y 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vrtices y ecuaciones de las asntotas. La ecuacin general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.)

fig. 6.5.16.Adems, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual:.

Las coordenadas de los focos son: x = 2 e. Esto es F(2, 5) y F(2, -3). Igualmente, las coordenadas de los vrtices son: x = 2 e. Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1).

Las ecuaciones de las asntotas son las rectas:, e,.

5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en ingls), una estacin principal de radio y una estacin secundaria emiten seales que pueden ser recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dos seales, por lo regular se halla mas cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las distancias que recorren las dos seales, lo cual se traduce en una pequea diferencia de tiempo entre las seales registradas. Mientras la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias tambin ser constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguir la trayectoria de una hiprbola cuyos focos estn localizados en las posiciones de las dos estaciones de radio.

fig. 6.5.17.Asi que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperblica diferente, cada una llevando al barco a una posicin distinta en la costa. Las cartas de navegacin muestran las diferentes rutas hiperblicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas.

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MATEMATICA I

EJERCICIOS SOBRE ELIPSE (2012)1. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando adems los vrtices y los focos:

a. 16x2 + 25y2 = 100 b. 9x2 + 4y2 = 36 c. 4x2 + y2 = 16 d. x2 + 9y2 = 18 e. 4y2 + x2 = 8 f. 4x2 + 9y2 = 36

2. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su grfica.

Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vrtice en (5, 0).

Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vrtice en (3, 0).

Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vrtice en (0, -2).

Focos en ( 2, 0); longitud del eje mayor 6.

Focos en (0, 3); las intersecciones con el eje x son 2.

Centro en (0, 0), vrtice en (0, 4); b = 1.

Vrtices en ( 5, 0); c = 2.

Centro en (2, -2), vrtice en (7, -2); focos en (4, -2).

Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8.

Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2).

Centro en (2,5) , foco en (5,5) y un vrtice en (9,5).

Focos en (5,-3) y (12,-3) y un vrtice en (16,-2).

Centro en (7,1), vrtice en (7,4) con un extremo del eje menor en (5,1)

Vrtice en (9,3) y focos en (-6,3) y (6,3)

Vrtices en (-2,4) y (6,4), y medida del eje menor: 4 unidades.

Focos en (-7,0) y (7,0) y eje menor de 10 unidades de longitud

3. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vrtices de cada elipse. Trace la grfica correspondiente. 1)

2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10) 11) x (5x -10) + y (9y -54) = -41.

4. La excentricidad e de una elipse se define: e = c/a donde c y a son los nmeros dados en las ecuaciones de la elipse. Escriba un prrafo breve acerca de la forma general de cada una de las siguientes elipses. Justifique sus conclusiones.

a. e cercana a 0.

b. e = 0.5

c. e = 1

5. Determina el centro, los semiejes, los vrtices, los focos, los Lados Rectos y las excentricidades de las elipses siguientes:

a) x2 + 4y2 - 6x - 2 = 0

b) 25x2 + 9y2 - 10x - 12y - 220 = 0

c) 3x2 + 4y2 - 12x + 24y = 0

6. Encuentra la ecuacin de la elipse cuyo centro est en (0,0) y que pasa por los puntos (5,-1) y (-1,2).

7. Graficar las siguientes elipses

a) 2x2 + y2 = 4.

b) 9(x + 2)2 + 4(y - 1)2 -36 = 0.

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MATEMATICA I

EJERCICIOS SOBRE HIPERBOLA (2012)1. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hiprboles, se pide dibujarlas, determinando adems los vrtices, los focos y las ecuaciones de las asntotas. a. 16x2 25y2 = 100 b. 9x2 4y2 = 36 c. 4x2 y2 = 16

d. x2 9y2 = 18 e. 4y2 x2 = 8

f. 4y2 9x2 = 36

2. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la hiprbola que satisface las condiciones dadas. Trace su grfica y las asntotas.

Centro en (0, 0); vrtice en (3, 0); foco en (5, 0).

Centro en (0, 0); vrtice en (-1, 0); foco en (-3, 0).

Centro en (0, 0); vrtice en (0, -1); foco en (0, -3).

Centro en (0, 0); vrtice en (0, 3); foco en (0, 5).

V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6.

F(-7, 3), F(-1, 3); 2a = 4.

V1(4, 0), V2(-4, 0); asntota la recta y = 2x.

3. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vrtices y las ecuaciones de las asntotas de cada hiprbola. Trace la grfica correspondiente.

4. La excentricidad e de una hiprbola se define como el nmero e = c/a, donde c y a son los nmeros dados en las ecuaciones de la hiprbola. Como c > a, se deduce que e > 1. Describa la forma general de una hiprbola cuya excentricidad es cercana a 1. Cul ser la forma si e es muy grande?.

5. En cada uno de los ejercicios siguientes identificar la curva que representa cada una de las ecuaciones dadas. Trazar la grfica con todos sus elementos:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

Ejercicios de Aplicacin, Elipse e Hiprbola (2012)1.- La rbita que describe la tierra es una elipse con el sol en uno de sus focos. La longitud del eje mayor de la elipse es 148 millones de kilmetros y su excentricidad es 0.0168. Durante el movimiento de traslacin Cul es la mayor distancia de la tierra al Sol? Cul es la menor distancia de la tierra al sol?

2.- El rea de una elipse donde a>b, se puede calcular mediante la frmula ab.

a) Calcular el rea que encierra una malla elptica cuyo eje mayor mide 18 m. y cuyo eje menor mide 12 m.

b) Encontrar el rea que encierra una elipse cuya ecuacin general es

x2 + 5y2 + 2x 30y + 36 = 0

3.- Una pista de atletismo tiene forma de elipse de 100 m de largo y 50 m, de ancho. Qu ancho tiene a 20 metros del extremo en el semieje mayor?

4.- Una persona se sita en un foco de una galera de susurros a 6 m. de la pared ms cercana y otra persona est en el otro foco a 100 m. de distancia. Cul es la longitud l de la galera? Qu altura tiene el techo en el centro?

5.- En algn lugar se produjo una explosin. La explosin se registr mediante dos micrfonos M y N separados un kilmetro entre si. Cuando el micrfono N recibi el sonido, el micrfono M ya lo haba recibido dos segundos antes. En dnde se produjo la explosin? Considerar la velocidad del sonido en el aire como 340 m/s

6.- Hallar el rea del crculo encerrado por la circunferencia cuyo centro coincide con el centro de la hiprbola determinada por la ecuacin general 9x2 4y2 18x + 16y 11 = 0 y su radio equivale a la longitud del eje transverso de esa hiprbola.

En el SISTEMA DE NAVEGACIN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en ingls), una estacin principal de radio y una estacin secundaria emiten seales que pueden ser recibidas por un barco en el mar (ver fig.1) Aunque un barco recibe siempre las dos seales, por lo regular se halla ms cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las distancias que recorren las dos seales, lo cual se traduce en una pequea diferencia de tiempo entre las seales registradas. Mientras la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias tambin ser constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguir la trayectoria de una hiprbola cuyos focos estn localizados en las posiciones de las dos estaciones de radio.

fig.1

As que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperblica diferente, cada una llevando al barco a una posicin distinta en la costa. Las cartas de navegacin muestran las diferentes rutas hiperblicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas.

Dos estaciones LORAN estn separadas 250 millas a lo largo de una costa recta. a) Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las seales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el barco alcanzar la costa si contina sobre la trayectoria de la hiprbola correspondiente a esta diferencia de tiempo. b) Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde la estacin principal, qu diferencia de tiempo debe observar?.

c) Si el barco est a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada, cul es su ubicacin exacta? (Nota: la velocidad de cada seal de radio es de 186.000 millas/seg.).

a. Se puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares de tal forma que las dos estaciones estn sobre el eje x y el origen de coordenadas en la mitad del camino entre ellas (Ver fig.2). fig. 2

Como la diferencia de tiempo constante de las seales desde cada estacin implica una diferencia constante en la distancia del barco a cada una de las estaciones, se deduce entonces que el barco est localizado sobre una hiprbola cuyos focos son las estaciones e radio.Ahora, dif. dist. = Veloc. (dif. de tiempos)= 186.000 x 0.00086 = 160 millas.Esto indique que 2a = 160 (recordar la definicin de la hiprbola) y de aqu a = 80, lo que indica que uno de los vrtices de la hiprbola est en el punto V1(80, 0). Ahora, como uno de los focos est en el punto F(125, 0) se deduce entonces que el barco siguiendo la trayectoria hiperblica alcanzar la costa a 125 80 = 45 millas de la estacin principal.

b. Si el barco desea entrar sobre la costa a 25 millas de la estacin principal, esto indica que debe seguir una trayectoria hiperblica cuyo vrtice es el punto V(100, 0). Asi que 2a = 200 (diferencia constante entre las distancias del barco a cada estacin).De esta forma:.

c. Para encontrar la ubicacin exacta del barco, se necesita determinar la ecuacin de la hiprbola cuyo vrtice es V(100, 0) y uno de sus focos es F(125, 0).Asi que a = 100, c = 125. Con lo cual, b2 = c2 a2 = 5625.De esta forma, la ecuacin de la hiprbola viene dada por:Como el barco est a 80 millas sobre la costa, quiere decir que est en el punto

(x, 80) sobre la hiprbola. En consecuencia,, de donde

x = 146. Por lo tanto, la ubicacin exacta del barco es sobre la hiprbola en el punto P(146, 80).7.- Dos estaciones LORAN estn separadas 200 millas a lo largo de una costa recta:

a. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00038 seg. entre las seales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares para determinar donde alcanzar el barco la costa si sigue la trayectoria de la hiprbola correspondiente a esta diferencia de tiempo.

b. Si el barco quiere entrar al puerto localizado entre las dos estaciones a 20 millas de la estacin central, Qu diferencia de tiempo est buscando?.

c. Si el barco se encuentra a 50 millas mar adentro al obtener la diferencia de tiempo deseada, cul es la ubicacin exacta del barco? (Nota: la velocidad de cada seal de radio es de 186.000 millas/seg.).

Otra Aplicacin de la elipse

La elipse tiene una propiedad muy interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la elipse con sus focos, el ngulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto son iguales.

Esta propiedad se utiliza en la construccin de espejos (de luz y sonido), pues la emisin, de luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro foco. UNIVERSIDAD ALBERT EINSTEIN

MATEMATICA I

EJERCICIOS ADICIONALES (2012)LA HIPRBOLA

1. Determina la ecuacin de las asntotas, las coordenadas de los vrtices y de los focos de las hiprbolas cuyas ecuaciones son.

a) x2 - y2 = 1

b) x2/16 - y2/16 = 1

c) 5y2 - y2 = 10

2. Encuentra el centro, los vrtices, la excentricidad y el latus rectum de las siguientes hiprbolas:

a) 8x2 - 90y2 = 360

b) 12y2 - 15x2 = 180

c) x2 - y2 = 8

3. Encuentra la ecuacin de la hiprbola de focos (5,0); (-5,0) y de vrtices (4,0); (-4,0).

4. Encuentra la ecuacin de la hiprbola de eje real 8 y focos (6,0), (-6,0).

5. Encuentra la ecuacin de la hiprbola de eje imaginario 18 y focos (0,8) y (0,-8).

6. Encuentra la ecuacin de la hiprbola de centro en el origen, un foco en (8,0) y un vrtice en (6,0).

7. Determina la ecuacin de la hiprbola conjugada de 4x2 - 9y2 = 36.

8. Determinar la ecuacin de la hiprbola de centro en el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, longitud del latus rectum 36 y distancia entre los focos igual a 24.

9. Determinar la ecuacin de la hiprbola de centro en el origen, un vrtice en (5,0) y ecuacin de una asntota 4x - 5y = 0.

10. Encuentra las coordenadas del centro, los focos, los vrtices y las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola 3x2 - 4y2 + 3x + 16y - 18 = 0.

11.- i) Qu lugar geomtrico en el plano representan las siguientes ecuaciones?

a)

b)

ii) Qu lugar geomtrico en el plano representa la siguiente ecuacin?

Grafquela Qu sentido tienen los nmeros 9 y 4 en su grfica?

12. Cules son las ecuaciones de las elipses del siguiente dibujo?

13. Analiza las siguientes parbolas y extrae alguna conclusin.LAS SECCIONES CNICAS

1. Determina el tipo de cnicas representado por las siguientes ecuaciones y escribe la forma ordinaria de cada una:

a) y(y + 6) = -4x - 1

b) x2 + 4x + 4(3y - 8) = 0

c) 9x2 + 25y2 - 54x - 100y = 44

d) 16x2 + 9y2 - 64x + 18y - 71 = 0

2. Encuentra el valor de la excentricidad y la clase de cnica representada por cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x2 - y2 + 2x - 1 = 0

b) 2x2 + y2 -4y +2 = 0

c) 4x2 + 9y2 -8x -18y = 23

d) 9x2 + 8y2 -72y +144 = 0UNIVERSIDAD ALBERT EINSTEIN

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EJERCICIOS SOBRE ELIPSE (2012)Elipse: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuaciones Analticas de la Elipse Caso 1. Elipses con focos. F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0

Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)

TEOREMA:

La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por: (1)

Caso 2. Elipses con focos F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 Eje mayor: Longitud 2a (a > 0) Eje menor: Longitud 2b (b > 0) TEOREMA:

La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:

(2)

EJERCICIOS1. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando adems los vrtices y los focos:

a. 16x2 + 25y2 = 100 b. 9x2 + 4y2 = 36 c. 4x2 + y2 = 16 d. x2 + 9y2 = 18 e. 4y2 + x2 = 8 f. 4x2 + 9y2 = 36

2. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su grfica.

Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vrtice en (5, 0).

Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vrtice en (3, 0).

Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vrtice en (0, -2).

Focos en ( 2, 0); longitud del eje mayor 6.

Focos en (0, 3); las intersecciones con el eje x son 2.

Centro en (0, 0), vrtice en (0, 4); b = 1.

Vrtices en ( 5, 0); c = 2.