matematica hiperbola

8/6/2019 Matematica HIPERBOLA

1/62

Hiprbola

Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los

puntos fijos llamados focos es constante.

Elementosdelahiprbola

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Ejefocal

Es la recta que pasa por los focos.

Ejesecundariooimaginari

Es la mediatriz del segmento .

o

Centro


2/62

Es el punto de interseccin de los ejes.Vrtices

Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con lacircunferencia que tiene por centro uno de los focos y de radio c.

Radiosvectores

Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.

Distanciafocal

Es el segmento de longitud 2c.

Ejemayor

Es el segmento de longitud 2a.

Ejemenor


3/62

Es el segmento de longitud 2b.Ejesdesimetra

Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asntotas

Son las rectas de ecuaciones:

Relacinentrelossemiejes

Excentricidad

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hiprbola.

Ecuacinreducidadelahiprbola


4/62

Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:F'( c,0)yF(c,0)

EcuacindelahiprbolaconlosfocosenelejeOY

Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(0, c)yF(0,c)

Ecua elahiprbolacon aleloaOX,ycentrodistintoalorige

Si el centro de la hiprbola es C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, losfocos tienen de coordenadas F(X0+c,y0)yF'(X0 c,y0). Y la ecuacin de lahiprbola ser:

cind ejepar n


5/62

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una

ecuacin de la forma:

DondeAyBtienensignosopuestos.

Ecua elahiprbolac araleloaOY,ycentrodistintoalori

Si el centro de la hiprbola C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focostienen de coordenadas F(X0,y0+c)yF'(X0,y0 c). Y la ecuacin de la hiprbola

ser:

cind onejep gen




6/62


Ecuacindelahiprbolaequiltera

Lashiprbolasenlasquelossemiejessonigualessellamanequilteras,portantoa= b. Y su ecuacin es:

Las asntotas tienen por ecuacin:

,

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

La excentricidad es:

Ecuacindelahiprboleequilterareferidaasusasntotas


7/62

Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asntotas, bastar dar un

girode 45 alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuacin como:

Si efectuamos ungirode45 en los ejes, la hiprbola que queda en el segundo ycuarto cuadrante y su ecuacin ser:


8/62



9/62


10/62


11/62

Se llama ecuacin reducida a la ecuacin de la hiprbola

cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por

tanto, el centro de hiprbola con el origen decoordenadas.

Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de

los focos son:

)F'(c,0)yF(c,0

Cualquier punto de la hiprbola cumple:


12/62

Esta expresin da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(4, 0), de vrtice A(2, 0) y de centro

C(0, 0).


13/62

Hallar la ecuacin y la excentricidad de la hiprbola que tiene como focos los

puntos F'(5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

Hallar las coordenadas de los vrtices y de los focos, las ecuaciones de las

asntotas y la excentricidad de la hiprbola 9x2 16y2 = 144.


14/62


15/62

F'(0,

c)

y

F(0,

c)La ecuacin ser:

Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(0, 5), de vrtice A(0, 3) y de centroC(0, 0).


16/62

Ecuacin

de

la

hiprbola

con

eje

paralelo

a

OX,

y

centro

distinto

al

origen

Si el centro de la hiprbola esC(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, losfocos tienen de coordenadas F(x0+c,y0)yF'(x0 c,y0). Y la ecuacin de lahiprbola ser:


17/62



DondeA

y

B

tienen

signos

opuestos.

Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(7, 2), de vrtice A (5,2) y de centro

C(3, 2).


18/62


19/62

EcuacindelahiprbolaconejeparaleloaOY,ycentrodistintoalorigen

Si el centro de la hiprbola C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focostienen de coordenadas F(x0,y0+c)yF'(x0,y0 c). Y la ecuacin de la hiprbolaser:


20/62

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, unaecuacin de la forma:


Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(2, 5), de vrtice A (2, 3) y de centro

C(2, 5).


21/62


22/62

Lashiprbolasenlasquelossemiejesson

igualessellamanequilteras,portantoa=

b. Y su ecuacin es:

Las tienen por ecuacin:asntotas

,



23/62


Ecuacindelahiprbolaequilterareferidaasusasntotas


giro

de

45 alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuacin como:


24/62

Si efectuamos ungirode45 en los ejes,

la hiprbola que queda en el segundo ycuarto cuadrante y su ecuacin ser:


25/62

La ecuacin representa una hiprbola equiltera, calcular sus vrtices y

focos.

Como las coordenadas de los vrtices se encuentran en la bisectriz del primer y

tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es

decir, x = y. Y como adems el punto A pertenece a la curva, tendremos:


26/62


27/62

Hiprbola

Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los

puntos fijos llamados focos es constante.

Elementosdelahiprbola

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Ejefocal

Es la recta que pasa por los focos.

Ejesecundariooimaginari

Es la mediatriz del segmento .

o

Centro


28/62

Es el punto de interseccin de los ejes.

Vrtices

Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con lacircunferencia que tiene por centro uno de los focos y de radio c.

Radiosvectores

Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.

Distanciafocal

Es el segmento de longitud 2c.

Ejemayor

Es el segmento de longitud 2a.

Ejemenor


29/62

Es el segmento de longitud 2b.

Ejesdesimetra

Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asntotas

Son las rectas de ecuaciones:

Relacinentrelossemiejes

Excentricidad


Ecuacinreducidadelahiprbola


30/62


F'( c,0)yF(c,0)

EcuacindelahiprbolaconlosfocosenelejeOY


F'(0, c)yF(0,c)

Ecua elahiprbolacon aleloaOX,ycentrodistintoalorige

Si el centro de la hiprbola es C(x0,

y0) y el eje principal es paralelo a OX, losfocos tienen de coordenadas F(X0+c,y0)yF'(X0 c,y0). Y la ecuacin de lahiprbola ser:

cind ejepar n


31/62




Ecua elahiprbolac araleloaOY,ycentrodistintoalori

Si el centro de la hiprbola C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focostienen de coordenadas F(X0,y0+c)yF'(X0,y0 c). Y la ecuacin de la hiprbola

ser:

cind onejep gen




32/62


Ecuacindelahiprbolaequiltera

Las

hiprbolas

en

las

que

los

semiejes

son

iguales

se

llaman

equilteras,

por

tantoa= b. Y su ecuacin es:

Las asntotas tienen por ecuacin:

,



Ecuacindelahiprboleequilterareferidaasusasntotas


33/62


girode 45 alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuacin como:

Si efectuamos ungirode45 en los ejes, la hiprbola que queda en el segundo ycuarto cuadrante y su ecuacin ser:


34/62

Ecuacindelahiprbola.Ejercicios

1Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los

vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas.

1

2

3

4

2Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos,

de los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas:

1

2


35/62

3Hallar la ecuacin de una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.

4El eje focal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14).

Hallar su ecuacin.

5 Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la

distancia de un foco al vrtice ms prximo es 2.

6 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por los puntos

.

7 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por el punto ysu excentricidad es .

8 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola sabiendo que un foco dista de

los vrtices de la hiprbola 50 y 2.

9 Determina la posicin relativa de la recta x + y 1 = 0 con respecto a la

hiprbola x2 2y2 = 1.


36/62

10 Una hiprbola equiltera pasa por el punto (4, 1/2). Halla su ecuacin referida

a sus asntotas como ejes, y las coordenadas de los vrtices y los focos.


37/62

Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos

1

Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices

y la excentricidad de las siguientes hiprbolas.

1


38/62

2


39/62


40/62

3


41/62

4


42/62


43/62


44/62


2

Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de

los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas:

1


45/62

2


46/62


47/62


48/62


3

Hallar la ecuacin de una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.


49/62


4

El eje focal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar

su ecuacin.


50/62


5

Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la

distancia de un foco al vrtice ms prximo es 2.


51/62


6

Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por los puntos

.


52/62


53/62


54/62


8

Determina la ecuacin reducida de una hiprbola sabiendo que un foco dista de

los vrtices de la hiprbola 50 y 2.


55/62


9

Determina la posicin relativa de la recta x + y 1 =0 con respecto a la hiprbola

x2 2y2 = 1.


56/62


10

Una hiprbola equiltera pasa por el punto (4, 1/2). Halla su ecuacin referida a

sus asntotas como ejes, y las coordenadas de los vrtices y los focos.


57/62


58/62


59/62

Ecuacindelahiprbola.Ejercicios

1El eje focal de una hiprbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la

ecuacin de la hiprbola.

2Calcular la ecuacin de una hiprbola equiltera sabiendo que su distancia focal

es .

3El eje no focal de una hiprbola mide 8 y las ecuaciones de las asntotas son:

. Calcular la ecuacin de la hiprbola, sus ejes, focos y vrtices.


60/62

1

El eje focal de una hiprbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la

ecuacin de la hiprbola.


61/62

2

Calcular la ecuacin de una hiprbola equiltera sabiendo que su distancia focal

es .


62/62

3

El eje no focal de una hiprbola mide 8 y las ecuaciones de las asntotas son:

. Calcular la ecuacin de la hiprbola, sus ejes, focos y vrtices.

matematica hiperbola

Documents