LA HIPERBOLALA HIPERBOLA

Profesora: Eva Saavedra G.Profesora: Eva Saavedra G.

La HipérbolaLa HipérbolaAPLICACIONES EN EL MUNDO REAL

Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.

Puede ser definida como una curva plana que es el camino Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro

punto fijo (directriz), es constante mayor a uno. La punto fijo (directriz), es constante mayor a uno. La hipérbola por su simetría, tiene dos focos.hipérbola por su simetría, tiene dos focos.

La HipérbolaLa Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de todos los La hipérbola es el lugar geométrico de todos los

puntos P(x,y) del plano ubicados de tal manera, que puntos P(x,y) del plano ubicados de tal manera, que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de él, es constanteél, es constante

teconsFPdFPd tan),(),( 12

Elementos de la hipérbolaElementos de la hipérbola FocosFocos: Los puntos y: Los puntos y

Recta FocalRecta Focal: La recta a la que pertenecen : La recta a la que pertenecen los focos. los focos.

Recta Secundaria o imaginariaRecta Secundaria o imaginaria: La simetral del : La simetral del segmento .segmento .

Centro:Centro: El punto de intersección de las rectas El punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos.focal y secundaria y que equidista de los focos.

VérticesVértices: Son los puntos de intersección de la : Son los puntos de intersección de la hipérbola con la recta focal. Se designan: yhipérbola con la recta focal. Se designan: y

1F 2F

21VV

21FF

1V

2V

Eje realEje real: El segmento , que se considera de : El segmento , que se considera de longitud longitud 2a2a; ; aa es el valor del semieje real . es el valor del semieje real .

Eje imaginarioEje imaginario: El segmento que se : El segmento que se considera de longitud considera de longitud 2b2b; ; bb es el valor del es el valor del semieje imaginario.semieje imaginario.

Distancia focalDistancia focal: La medida del segmento que : La medida del segmento que se considera de longitud se considera de longitud 2c.2c.

Lado rectoLado recto: La cuerda focal perpendicular al : La cuerda focal perpendicular al eje focal o eje de simetría, cuya medida eseje focal o eje de simetría, cuya medida es

. .

21VV

21BB

21FF

21CC

a

b22

AsíntotasAsíntotas: Rectas y que limitan a la : Rectas y que limitan a la curva. Se acercan paulatinamente a la curva sin curva. Se acercan paulatinamente a la curva sin llegar a intersectarla. llegar a intersectarla.

1A 2A

1A 2A

Valor de la constante y excentricidad de la Valor de la constante y excentricidad de la hipérbolahipérbola

aFPdFPd 2),(),( 12

222 cba

a

ce

Valor de la constante= 2a

Ecuación canónica de la hipérbolaEcuación canónica de la hipérbola

Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje X, sus Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje X, sus focos son los pares ordenados (c,0) y (-c,0).focos son los pares ordenados (c,0) y (-c,0).

12

2

2

2

b

y

a

x

Ecuaciones de las asíntotas:

xa

by x

a

by

Ecuación canónica de la hipérbolaEcuación canónica de la hipérbola

Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje Y, sus focos Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje Y, sus focos son los pares ordenados (0,c) y (0,-c).son los pares ordenados (0,c) y (0,-c).

12

2

2

2

b

x

a

y

Ejemplo 1Ejemplo 1 Determinemos los elementos de la hipérbola de Determinemos los elementos de la hipérbola de

ecuaciónecuación

Como la ecuación es de la forma Como la ecuación es de la forma

1169

22

yx

12

2

2

2

b

y

a

x

392 aa

4162 bb

5252222 ccbac

Por ser el eje focal coincidente con el eje X, las coordenadas Por ser el eje focal coincidente con el eje X, las coordenadas de los focos sonde los focos son

y y

Eje realEje real: 2a = 2·3=6: 2a = 2·3=6

Eje imaginarioEje imaginario: 2b=2·4=8: 2b=2·4=8

Lado rectoLado recto: :

Excentricidad: Excentricidad:

Vértices: Vértices: (3,0) y (-3,0) (3,0) y (-3,0)

)0,5(1F )0,5(2 F

3

32

3

16·22 2

a

b

3

5

a

ce

Ecuaciones de las Asíntotas:Ecuaciones de las Asíntotas:

xyA3

4:1 xyA

3

4:2

Ejemplo 2Ejemplo 2 Determinemos la ecuación de la hipérbola de Determinemos la ecuación de la hipérbola de

focos (0,10) y (0,-10) y semieje imaginario 6.focos (0,10) y (0,-10) y semieje imaginario 6. Solución: Solución: Eje focal coincide con el eje YEje focal coincide con el eje Y

Ecuación hipérbola: Ecuación hipérbola:

c =10, b= 6 a= 8c =10, b= 6 a= 8

Luego, la ecuación pedida es:Luego, la ecuación pedida es:

12

2

2

2

b

x

a

y

13664

22

xy

Ecuación principal y general de la hipérbolaEcuación principal y general de la hipérbola

Consideremos el centro de la hipérbola el par ordenado Consideremos el centro de la hipérbola el par ordenado C(h,k)C(h,k)

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Ecuación Principal de la hipérbola con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje X

Ecuación General de la Hipérbola

022 FDyCxByAx

Ecuación principal y general de la hipérbolaEcuación principal y general de la hipérbola Eje focal paralelo al eje YEje focal paralelo al eje Y

1

2

2

2

2

b

hx

a

ky

Ecuación Principal de la Hipérbola

Ecuación General de la Hipérbola

022 FDyCxBxAy

Ejemplo 1Ejemplo 1

Determinemos los elementos de la hipérbola de Determinemos los elementos de la hipérbola de ecuaciónecuación

01243236169 22 yxyx

Solución:

19

1

16

2 22

yx

Luego, h=2 y k=-1, C(2,-1)

525

39

416

2

2

2

cc

bb

aa

La hipérbola ha sido trasladada con respecto a su posición La hipérbola ha sido trasladada con respecto a su posición canónica, su eje focal también se ha trasladado en canónica, su eje focal también se ha trasladado en h = 2h = 2 unidades, las coordenadas de los unidades, las coordenadas de los focos focos son :son :

)1,3(),1,7(1,21,2 2121 FFcyFcF

Vértices :

Eje real:

Eje imaginario:

Lado recto:

)1,2();1,6( 21 VV

84·22 a

63·22 b

2

9

4

18

4

9·22 2

a

b

ExcentricidadExcentricidad::

Asíntotas:Asíntotas:

4

5

a

ce

2

5

4

3:)( 1 xyAhx

a

bky

2

1

4

3:2 xyA

Ejemplo 2Ejemplo 2 Determinemos la ecuación de la hipérbola con Determinemos la ecuación de la hipérbola con

centro (1,-2), uno de los vértices en (-3,-2) y centro (1,-2), uno de los vértices en (-3,-2) y excentricidadexcentricidad

Ubicamos el punto centro y el vértice . El eje focal Ubicamos el punto centro y el vértice . El eje focal es paralelo al eje X, la ecuación es de la formaes paralelo al eje X, la ecuación es de la forma

4

5

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

a =4

9

54

5

222

acb

ca

ce

La ecuación pedida es:La ecuación pedida es:

Ecuación general Ecuación general

de la hipérbolade la hipérbola

1

9

2

16

1 22

yx

Ecuación Principal de la hipérbola

01996418169 22 yxyx