DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICATRANSFERENCIA DE CALOR

INFORME N° 2 DE TRANSFERENCIA DE CALOR

ANÁLISIS Y ESTUDIO DE PROBLEMASRELACIONADOS CON LA MECÁNICA

DE LOS FLUIDOS Y TRANSFERENCIA DE CALOR

APLICANDO MÉTODOSCOMPUTACIONALES (CFD)

Resumen

El siguiente informe muestra la resolución de 2 problemas que relacionan la mecánica de los fluidos con la transferencia de calor, particularmente la parte de convección natural y forzada de aire en espacios cerrados como cavidades cuadradas o habitaciones, con y sin obstáculos, en los cuales varían ciertos parámetros como la densidad para lograr simular y resolver problemas convectivos de transferencia de calor.

Abstract.

The following report shows the resolution of two issues that relate fluid mechanics with heat transfer, particularly of natural and forced convection of air in enclosed cavities or as square rooms, with and without obstacles, spaces which vary certain parameters simulate density and resolving to achieve convective heat transfer problems.

Introducción.

La convección natural y la convección forzada son una de las variadas formas que existen en la transferencia de calor, en las cuales están relacionados con la mecánica de fluidos, que son los medios para lograr transferir energía en forma de calor.

Esta transferencia de calor tiene la particularidad de transferir calor de una zona

de mayor temperatura a una de menor temperatura y viceversa cuando existe contacto con un medio sólido, lo cual se logra gracias a la circulación debido a las diferencias de densidades que resultan del gradiente de temperaturas en el fluido.

PROBLEMA 2

Este problema describe 2 sub-problemas, en el cual la primera parte corresponde a desarrollar una convección natural en una cavidad cuadrada permanente, con un Ra igual a 104. La segunda parte resuelve un problema de convección forzada en una expansión brusca, donde el fluido es aire y se resuelve de manera simétrica.

Para su resolución se utilizan los programas SIMPLE 2D y Ansys Fluent ® v 14.5.

Caso 1: convección natural en cavidad cuadrada.

Situación Física

Para la primera parte es una cavidad cuadrada con las paredes superior e inferior adiabáticas y la pared izquierda tiene una temperatura TH, y la pared derecha una temperatura TC, como muestra la figura 2.1.1.

Figura 2.1.1: situación física de la cavidad cuadrada.

Modelo matemático.

El modelo matemático queda definido por las siguientes ecuaciones que gobiernan el problema:

(2.1)

Donde las ecuaciones 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4 representan la ecuación de continuidad, momento lineal en X y en Y, y la ecuación de la energía respectivamente.

Las condiciones de borde están dadas por las ecuaciones siguientes:

Los supuestos para resolver el problema son los siguientes:

Proceso permanente. Flujo hidrodinámicamente

desarrollado y térmicamente desarrollado.

Fluido incompresible. Fluido newtoniano. Problema en 2D.

Para la transferencia de calor se utiliza el modelo de Boussinesq (ec. 2.9):

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)(2.6)

(2.7)(2.8)

(2.9)

Resultados.

Para resolver el problema se realiza el mallado en ambos programas, simple 2D y fluent con un mallado de 100x100 para ambos casos como muestra la figura 2.1.2 y 2.1.3 respectivamente:

Figura 2.1.2: mallado de 100x100 en simple 2D

Figura 2.1.3: mallado de 100x100 en ansys fluent 14.5

Para el caso de análisis utilizando el programa Fluent, el método de cálculo para resolver el problema es simplec, con las ecuaciones de momento y energía utilizando power law.

Los tiempos de cálculo en el simple 2D y de fluent, para resolver el problema fueron de 9 segundos y 83 segundos respectivamente.

Los resultados en cuanto a los contornos de las isotermas se muestran a continuación en las figuras 2.1.4 y 2.1.5.

Figura 2.1.4: contorno de velocidad calculada por el programa Fluent.

Figura 2.1.5: contorno de velocidad calculada por el programa simple 2D.

En cuanto a las isotermas y contornos de temperatura los resultados son los siguientes:

Figura 2.1.6: isotermas calculadas por simple 2D

Figura 1.1.7: isotermas calculadas por Fluent

Caso 2: Convección forzada en expansión brusca.

Situación física.

Para el segundo caso se tiene una situación física descrita por la figura 2.2.1, en donde se tiene un ducto horizontal de 3 metros de ancho y 30 metros de largo. Por el ducto pasa aire a flujo constante y velocidad constante, existen dos casos de trabajo, de acuerdo a las condiciones de borde.

De acuerdo a la geometría este problema es simétrico con respecto al eje x en la acara superior.

Figura 2.2.1: situación física expansión brusca.

Modelo Matemático.

Las ecuaciones siguientes describen el modelo matemático que gobierna el problema explicado:

Los supuestos que se asumen en el desarrollo del problema son los siguientes:

Proceso permanente. Flujo hidrodinámicamente

desarrollado. Fluido incompresible. Fluido newtoniano. Problema 2D

Resultados.

in

(2.10)

(2.11)

(2.10)

Simetría

∂∂ x i

(ui )=0

( τ ij )turb=μ( ∂u i∂ x j

+∂ u j∂ x i )− ρui' u j'

∂∂ t

(T )+ ∂∂ x j

(u jT )= ∂∂ x j (α

∂T∂ x j

−u j' T ' )

Los resultados arrojados mediante el programa saint se muestran en las siguientes figuras:

Figura 2.2.2: Mallado utilizando Saint, de 100x50

El mallado para este problema consta de dos partes como se describe en las siguientes figuras:

Figura 2.2.3: Malla en la entrada (0 a 10 metros)

Los resultados en cuanto a las líneas de corrientes de velocidad son las siguientes:

Figura 2.2.5: líneas de corriente de velocidad

Figura 2.2.5: Líneas de corriente de las velocidades en la entrada (0 a 10 metros)

Figura 2.2.5: Líneas de corriente de las velocidades en la salida (20 a 30 metros).

Análisis y Discusiones.

En la parte 1 del problema 2 se establece que la densidad varia con la aproximación de Boussinesq, por lo que con el número de Ra, se puede determinar junto al parámetro β las características para definir las condiciones de borde. Adicional a ello, se puede ver que la variación en tiempos de cálculo utilizando programas que requieren por interfaz una mayor demanda gráfica, en comparación a los programas de código libre, es notoria y por tanto es recomendable implementar este tipo de programas, ya que adicional a ello, son códigos modificables y de acceso libre. Sin embargo, es necesario para ello conocer el lenguaje fortran, que es el implementado en este caso.

Para el segundo caso, si bien se utiliza un solo programa, el tiempo de cálculo también es bajo y se puede inferir que los resultados no son diferentes a los que puede entregar un programa comercial.

Conclusiones.

Como conclusión, se puede establecer que para el caso 1 las líneas de corriente en ambos programas son similares, así como también en los contornos de temperatura. Dada la gráfica se puede inferir que la temperatura varía de derecha a izquierda y se mueve con mayor velocidad en las

Figura 2.2.4: Malla en la salida (20 a 30 metros)

paredes superior e inferior desde la temperatura más alta a la más baja. Esto puede ser un efecto de la densidad del fluido, pues es variable con la temperatura mediante la aproximación de boussinesq, por lo que a mayor temperatura, mayor velocidad, produciendo una suerte de vorticidad dentro de la cavidad. Para la situación 2, se puede observar que el flujo de corriente es lineal, y logra desarrollarse a lo largo de la tubería. En la zona de la expansión estas líneas forman vorticidad, encerrándose bajo la expansión creando una superficie por la cual el aire recircula de manera cíclica y el aire que no es atrapado por la vorticidad, fluye sobre esta y logra seguir el trayecto establecido antes de la expansión. Por consiguiente, la expansión produce una pérdida de carga y un bucle de aire bajo la expansión que funciona como suavizado de la expansión haciendo que la función de corriente sea lo más aproximado a una función lineal.

Problema 3.

En el problema 3 se plantea una habitación de dimensiones conocidas, en donde existe una temperatura TC al interior, la cual es calentada por un sistema de aire acondicionado el cual está 10° C más alta (TH), ubicado en una esquina con una salida al otro costado de la habitación.

Situación Física.

La situación física describe una habitación en donde existe un sistema de aire acondicionado que calienta el aire de la sala en 10° de temperatura. En el interior de la sala existe un sillón al medio. Esta situación queda graficada en la figura 3.1.

Figura 3.1: situación física problema 3

Para este problema se establecen propiedades termo físicas, las cuales son ν=10-5 m2/s, β=0.0034, Pr=1 y g=9.81 m/s2.

Como condición inicial, la temperatura de entrada del aire acondicionado es de 10 grados mayor que la temperatura de la habitación, y esta entra a una velocidad de 1 m/s, por lo cual se puede determinar un Reynold de 105, y dada las condiciones descritas también se determina un numero de Grashof de 3.3x108.

Modelo Matemático.

Las ecuaciones que se describen a continuación, describen la situación para resolver este problema, las cuales son la ecuación de continuidad, las de momento lineal en X e Y, la ecuación de energía y el problema al ser turbulento, dado el número de Re calculado, también existe la ecuación de energía cinética turbulenta y la rapidez de disipación de energía cinética turbulenta, descritas por las ecuaciones 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6 respectivamente:

∂u∂ x

+ ∂ v∂ y

=0 (3.1)

∂ u∂ t

+u∂u∂ x

+v∂ u∂ y

=−1ρ

∂ p∂ x

+(∂∂ x ((υ+υt )∂u∂ x )+∂

∂ y ((υ+υt )∂u∂ y ))

+(υ+υt )(∂2u∂ x2+∂∂ y (∂ v∂ x ))

(3.2)

∂ u∂ t

+u∂ v∂ x

+v∂ v∂ y

=−1ρ

∂ p∂ y

+(∂∂ x ((υ+υt )∂ v∂ x )+∂

∂ y ((υ+υt )∂v∂ y ))

+(υ+υt )(∂∂ x (∂u∂ y )+∂2 v∂ y2 )+gβ

(3.3)

∂T∂ t

+u∂T∂ x

+v ∂T∂ y

=∂∂ x ((υPr +υtσT )∂T∂ x )

+∂∂ y ((υPr +υtσ T )∂T∂ y )

(3.4)

∂ k∂ t

+u∂ k∂ x

+v ∂k∂ y

=(∂∂ x ((υ+υtσ e )∂ k∂ x )+∂∂ y ((υ+υtσe )∂ k∂ y ))

−gβυtσT

∂T∂ y

+υt (2((∂u∂ x )2

+(∂ v∂ y )2)+(∂ v∂ x

+∂ u∂ y )

2)(3.5)

∂ ε∂ t

+u∂ ε∂ x

+v ∂ ε∂ y

=(∂∂ x ((υ+υtσε )∂ ε∂ x )+∂∂ y ((υ+υtσ ε )∂ ε∂ y ))

+(C1 (υt (2((∂u∂ x )2

+(∂ v∂ y )2)+(∂ v∂ x

+∂ u∂ y )

2)−gβυtσ T ∂T∂ y )−C2ε )

(3.6)

Resultados.

Para resolver el problema, se utilizan 2 programas. Uno descrito por el libro Nakayama y además por ansys luent.

Para comenzar se realizan mallados de la situación física, las cuales se describen en las figuras 3.2 y 3.3.

Figura 3.2: mallado realizado en ansys fluent.

Figura 3.3: mallado realizado por el programa SAINTS

En el caso del programa fluent, se utiliza un método de cálculo simple, con el modelo de turbulencia k-épsilon estándar, resuelta por el método de power law. El problema es permanente, por lo cual el tiempo de cálculo en dicho programa es de 203 segundos, mientras que en SAINTS el tiempo fue de 47 segundos.

Los resultados son los siguientes:

Figura 3.4: comparación de resultados de vectores de velocidad obtenidos en SAINTS (en verde) con los

resultados graficados en libro Nakayama (en negro)

Figura 3.5: comparación de resultados de energía cinética turbulenta obtenidos en SAINTS (en color) con los resultados graficados en libro Nakayama (en negro)

(a)

(b)

Figura 3.6: contorno de energía cinetica turbulenta (a) y vectores de velocidad (b) obtenida en fluent

Análisis y Discusión.

Si bien el problema puede ser resuelto con otros programas, es complejo el procedimiento de mallado utilizando SAINTS, el cual requiere que el investigador tenga conocimientos sobre dicho programa.

Conclusiones.

Como se logra ver en los resultados, los contornos de energía cinética turbulenta y los vectores de velocidad son similares a los que se muestra en el libro, sin embargo estos difieren por el mallado, lo cual indica que el mallado más refinado puede generar una variación en los resultados.

En cuanto a los tiempos de cálculo se repite, al igual que en el problema anterior, que los programas de código libre son más económicos en cuanto a costos de tiempo de cálculo. Sin embargo, los resultados son muy

similares a los que están en el libro Nakayama.

Dado los gráficos se puede inferir que la silla al medio de la sala produce interferencia en cuanto al desarrollo del flujo de aire caliente al interior de la sala, sin embargo este flujo logra desarrollarse en la tubería de salida.

Conclusiones generales.

En general, el desarrollo y la utilización de varios programas que son de libre acceso versus programas pagados, los tiempos de costo son menores en los de código libre, aun cuando los resultaos son muy similares a los realizados por programas comerciales, por tanto se puede validar el uso de estos programas.

En cuanto a los cambios de geometría, se deben variar las mallas para resolver los problemas, ya sean más o menos refinados según sean las necesidades de los estudios a realizar, como por ejemplo en la expansión brusca.

Otra conclusión es que la densidad es una propiedad que varía con la temperatura, por lo consiguiente es un parámetro que produce cambios en una convección natural, y por tanto depende del fluido que se utilice para estudiar este caso.

Finalmente todos los casos fueron analizados de forma permanente, por lo que los resultados varían, lo que produce que estos no sean completamente correctos, aun cuando estén validados con ejemplos resueltos en publicaciones o libros.

Referencia

[1] Akira Nakayama, PC-Aided Numerical Heat Transfer and Convective Flow, 1995.

[2] Suhas V. Patankar, Computation of Conduction and Duct Flow Heat Transfer, 1991.

[3] T. Pesso, S. Piva, Laminar natural convection in a square cavity: Low Prandtl numbers and large density differences, International Journal of Heat and Mass Transfer, 2008

[4] G. Huelsz, R. Rechtman, Heat transfer due to natural convection in an inclined square cavity using the lattice Boltzmann equation method, International Journal of Thermal Sciences, 2012.