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8/8/2019 PROBLEMA 13.docx

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PROBLEMA 13

Un fabricante elabora un producto en tres plantas y lo distribuye a travs de cuatro almacenes

de servicio al mercado.

Almacn

Precio de venta

(por unidad)

Demanda anual

(unidades)

1

2

3

4

$ 1.00

$1.10

$1.00

$0.60

40,000

10,000

20,000

25,000

PlantaCosto variable de produccin

(por unidad)

Capacidad

(unidades)

A

B

C

$ 0.40

$ 0.35

$ 0.45

40,000

30,000

45,000

A

De

Almacn

1 2 3 4

Planta A

Planta B

Planta C

$ 0.20

$ 0.20

$ 0.45

$ 0.20

$ 0.10

$ 0.30

$ 0.30

$ 0.35

$ 0.20

$ 0.30

$ 0.40

$ 0.20

a. Suponga que el gerente de mercadotecnia quiere cumplir con toda la demanda acosto mnimo. Elabore una formulacin de programacin lineal de este problema que

genere las decisiones de produccin y envos.

Use XA1 para representar la cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al

almacn 1; emplee notacin para otros casos. No resuelva el problema.

b. Suponga que el vicepresidente de grupo solo desea las demandas que generenbeneficios, es decir, quiere maximizar los beneficios (los ingresos menos los costos de

produccin y transporte). Modifique su formulacin de programacin lineal de (a.)

para resolver este problema en forma ptima. No resuelva el problema.


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Solucin del problema

Lo que hacemos, en primer lugar, es declarar todas las variables que vamso a necesitar para la

resolucin de nuestro problema:

XA1: Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 1

XA2 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 2XA3 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 3

XA4 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 4

XB1 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 1




XC1 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 1




Parte a

1. Lo que nos pide el problema es minimizar costos (min z).Costo de produccin del Producto en la Planta A: 0.40 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4)

Costo de produccin del Producto en la Planta B: 0.35 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4)

Costo de produccin del Producto en la Planta C: 0.45 (XC1 + XC2 + XC3 + XC4)

Costos de almacenaje de cada 0.20(XA1) + 0.20(XA2) + 0.30(XA3) + 0.30(XA4)

producto en cada almacn: 0.20(XB1) + 0.10(XB2) + 0.35(XB3) + 0.40(XB4)

0.45(XC1) + 0.30(XC2) + 0.20(XC3) + 0.20(XC4)

---------------------------------------------------------------

Costo Total Z = 0.60(XA1) + 0.60(XA2) + 0.70(XA3) + 0.70(XA4) + 0.55(XB1) + 0.45(XB2) +

0.70(XB3) + 0.75(XB4) + 0.90(XC1) + 0.75(XC2) + 0.65(XC3) + 0.65(XC4)

Lo que el problema nos pide es minimizar esta funcin Z.

2. Una de las restricciones que nos plantea el problema es que debemos cumplir con toda lademanda; con esto nos quiere decir que debe existir restricciones de igualdades (=):

Demanda anual en el almacn 1: XA1 + XB1 + XC1 = 40,000




3. Tambin debemos cumplir con las restricciones de produccin que el mismo problemanos plantea:

Capacidad anual de produccin en la planta A: XA1 + XA2 + XA3+ XA4 40,000Capacidad anual de produccin en la planta B: XB1 + XB2 + XB3+ XB4 30,000

Capacidad anual de produccin en la planta C: XC1 + XC2+ XC3 + XC4 45,000

4. Aparte de estas restricciones debemos contar tambin con las restricciones de nonegatividad de cada variable:

XA1 0 XA2 0 XA3 0 XA4 0

XB1 0 XB2 0 XB3 0 XB4 0

XC1 0 XC2 0 XC3 0 XC4 0


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Por lo tanto nuestra formulacin de programacin lineal seria la siguiente:

XA1: Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 1XA2 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 2











Min: z = 0.60(XA1) + 0.60(XA2) + 0.70(XA3) + 0.70(XA4) + 0.55(XB1) + 0.45(XB2) + 0.70(XB3) +

0.75(XB4) + 0.90(XC1) + 0.75(XC2) + 0.65(XC3) + 0.65(XC4)

Sujeto a:

XA1 + XA2 + XA3+ XA4 40,000

XB1 + XB2 + XB3+ XB4 30,000

XC1 + XC2+ XC3 + XC4 40,000

XA1 + XB1 + XC1 = 40,000

XA2 + XB2 + XC2 = 10,000

XA3 + XB3 + XC3 = 20,000

XA4 + XB4 + XC4 = 25,000

XA1 0 XA2 0 XA3 0 XA4 0

XB1 0 XB2 0 XB3 0 XB4 0

XC1 0 XC2 0 XC3 0 XC4 0


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Solucin con el programa LINDO

1. Ingresamos la funcin que queremos optimizar. En nuestro caso ingresamos laecuacin Z con la intencin de minimizarla. Luego de esto ingresaremos cada

restriccin hallada para poder resolver el problema:

2. Luego de haber ingresado esto, indicamos al programa para que la resuelva:

Al mandar solucionar el programa nos sale esta pantalla. La informacin que nos

brinda esta pantalla es, principalmente:

El numero de Iteraciones = 5

La solucin = z = 56750


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3. Luego de esto, nos aparecer otra pantalla con lo siguiente:


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La tabla nos dice que:

VARIABLE VALUE

XA1 = 20000.000000

XA2 = 0.000000

XA3 = 0.000000

XA4 = 0.000000XB1 = 20000.000000

XB2 = 10000.000000

XB3 = 0.000000

XB4 = 0.000000

XC1 = 0.000000

XC2 = 0.000000

XC3 = 20000.000000

XC4 = 25000.000000

Rangos:

XA1: [0.55;0.70]

XA2: [0.50;INFINITY]

XA3: [0.65;I

NFI

NITY

]XA4: [0.65;INFINITY]

XB1: [0.45;0.60]

XB2: [-0.50;0.55]

XB3: [0.60;INFINITY]


XC1: [0.60;INFINITY]

XC2: [0.50;INFINITY]

XC3: [0.00;0.70]

XC4: [0.00;0.70]

Rangos:

Capacidad anual de produccin en la planta A: [20,000;INFINITY]

Capacidad anual de produccin en la planta B: [10,000;50,000]

Capacidad anual de produccin en la planta C: [45,000;INFINITY]

Demanda anual en el almacn 1: [20,000;60,000]

Demanda anual en el almacn 2: [0;30,000]




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Parte b

5. Lo que nos pide el problema es maximizar utilidades (max z), que es la diferencia de losingresos con los costos.

Costo de produccin del Producto en la Planta A: 0.40 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4)

Costo de produccin del Producto en la Planta B: 0.35 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4)

Costo de produccin del Producto en la Planta C: 0.45 (XC1 + XC2 + XC3 + XC4)

Costos de almacenaje de cada 0.20(XA1) + 0.20(XA2) + 0.30(XA3) + 0.30(XA4)producto en cada almacn: 0.20(XB1) + 0.10(XB2) + 0.35(XB3) + 0.40(XB4)

0.45(XC1) + 0.30(XC2) + 0.20(XC3) + 0.20(XC4)

---------------------------------------------------------------

Costo Total Z = 0.60(XA1) + 0.60(XA2) + 0.70(XA3) + 0.70(XA4) + 0.55(XB1) + 0.45(XB2) +

0.70(XB3) + 0.75(XB4) + 0.90(XC1) + 0.75(XC2) + 0.65(XC3) + 0.65(XC4)

Lo que el problema nos pide es minimizar esta funcin Z.

6. Ahora calculamos los ingresos:Ingreso por la venta en el almacn 1: 1.00 (XA1 + XB1 + XC1)

Ingreso por la venta en el almacn 2: 1.10 (XA2 + XB2 + XC2)Ingreso por la venta en el almacn 3: 1.00 (XA3 + XB3 + XC3)

Ingreso por la venta en el almacn 4: 0.60 (XA4 + XB4 + XC4)

------------------------------------

Ingreso total 1.00 (XA1 + XB1 + XC1) + 1.10 (XA2 + XB2 + XC2) +

1.00 (XA3 + XB3 + XC3) + 0.60 (XA4 + XB4 + XC4)

7. Calculamos la utilidad:Utilidad total: z= 0.40(XA1) + 0.50(XA2) + 0.30(XA3) -0.10(XA4) + 0.45(XB1) + 0.65(XB2) +

0.30(XB3) - 0.15(XB4) + 0.10(XC1) + 0.35(XC2) + 0.35(XC3) 0.05(XC4)

8. Una de las restricciones que nos plantea el problema es que debemos cumplir lademanda que nos da beneficios; con esto nos quiere decir que debe existir restricciones:

Demanda anual en el almacn 1: XA1 + XB1 + XC1 40,000




9. Tambin debemos cumplir con las restricciones de produccin que el mismo problemanos plantea:

Capacidad anual de produccin en la planta A: XA1 + XA2 + XA3+ XA4 40,000

Capacidad anual de produccin en la planta B: XB1 + XB2 + XB3+ XB4 30,000Capacidad anual de produccin en la planta C: XC1 + XC2+ XC3 + XC4 40,000

10.Aparte de estas restricciones debemos contar tambin con las restricciones de nonegatividad de cada variable:

XA1 0 XA2 0 XA3 0 XA4 0

XB1 0 XB2 0 XB3 0 XB4 0

XC1 0 XC2 0 XC3 0 XC4 0


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Por lo tanto nuestra formulacin de programacin lineal seria la siguiente:

XA1: Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 1

XA2 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 2XA3 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 3










Max: z = 0.40(XA1) + 0.50(XA2) + 0.30(XA3) -0.10(XA4) + 0.45(XB1) + 0.65(XB2) + 0.30(XB3)

0.15(XB4) + 0.10(XC1) + 0.35(XC2) + 0.35(XC3) 0.05(XC4)

Sujeto a:

XA1 + XA2 + XA3+ XA4 40,000

XB1 + XB2 + XB3+ XB4 30,000

XC1 + XC2+ XC3 + XC4 40,000

XA1 + XB1 + XC1 40,000

XA2 + XB2 + XC2 10,000

XA3 + XB3 + XC3 20,000

XA4 + XB4 + XC4 25,000

XA1 0 XA2 0 XA3 0 XA4 0

XB1 0 XB2 0 XB3 0 XB4 0

XC1 0 XC2 0 XC3 0 XC4 0


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Solucin con el programa LINDO

4. Ingresamos la funcin que queremos optimizar. En nuestro caso ingresamos laecuacin Z con la intencin de maximizarla. Luego de esto ingresaremos cada

restriccin hallada para poder resolver el problema:

5. Luego de haber ingresado esto, indicamos al programa para que la resuelva:

Al mandar solucionar el programa nos sale esta pantalla. La informacin que nos

brinda esta pantalla es, principalmente:

La solucin = z = 30500


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6. Luego de esto, nos aparecer otra pantalla con lo siguiente:


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La tabla nos dice que:

VARIABLE VALUE

XA1 = 20000.000000

XA2 = 0.000000

XA3 = 0.000000

XA4 = 0.000000XB1 = 20000.000000

XB2 = 1000 0.000000

XB3 = 0.000000

XB4 = 0.000000

XC1 = 0.000000

XC2 = 0.000000

XC3 = 20000.000000

XC4 = 0.000000

Rangos:

XA1: [0.30;0.45]

XA2: [-INFINITY;0.6]

XA3: [-I

NFI

NITY

;0.35]XA4: [-INFINITY;0.00]

XB1: [0.40;0.55]


XB3: [-INFINITY;0.40]

XB4: [-INFINITY;0.05]

XC1: [-INFINITY;0.40]


XC3: [0.3;INFINITY]


Rangos:

Capacidad anual de produccin en la planta A: [20,000;INFINITY]

Capacidad anual de produccin en la planta B: [10,000;50,000]

Capacidad anual de produccin en la planta C: [20,000;INFINITY]

Demanda anual en el almacn 1: [20,000;60,000]



Demanda anual en el almacn 4: [0;INFINITY]

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