precalculo 2009

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INSTITUTO TECNOLOGICO SALESIANO

PRECALCULO

Nombre del Maestro: Ing. Lorenzo Alfredo García Macias.

Nombre del Alumno:..........................................................

2009

INSTITUTO TECNOLOGICO SALESIANO TECNICOS PERFIL FISICO MATEMATICO

Ing. Lorenzo A. García Macías

PRECALCULO invierno 2009

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PRECALCULO

UNIDAD I PREALGEBRA Y ALGEBRA

TEMA: PROPIEDAES DE LOS NUMEROS REALES. TEMA: OPERACIOBNES CON FRACCIONES TEMA: SIMBOLOS DE AGRUPACION Y SUS PRIORIDADES TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA TEMA: EXPONENTES FRACCIONARIOS TEMA: EXPONENTES ENTEROS Y EXPONENTE CERO. TEMA: RACIONALIZACION DE RADICALES. TEMA: INECUACIONES LINEALES. TEMA: TEMA NÚMEROS COMPLEJOS.

UNIDAD II TRIGONOMETRIA

TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICA

UNIDAD III GEOMETRIA ANALITICA

TEMA: LA PARÁBOLA TEMA: LA ELIPSE TEMA: LA HIPÉRBOLA APENDICE I PROBLEMAS DE ARITMETICA APENDICE II PROBLEMAS DE ALGEBRA APENDICE III PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA Y GEOM. APENDICE IV PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALITICA APENDICE V PROBLEMAS DE ESTADISTICA




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PRESENTACIÓN

Una de las preocupaciones de nuestro tiempo es la de disminuir la problemática que se enfrentan los alumnos con la materia de matemáticas al PRESENTAR SU EXAMEN A LA UNIVERSIDAD y reprobar el EXAMEN DE ADMISIÓN, razón por la cual se han elaborado estos apuntes, que tienen el objetivo de auxiliar al alumno en la tarea de repasar los temas significativos al nivel bachillerato en el estudio razonado y significativo del PRECALCULO en matemáticas. Para ello, me he dado a la tarea de reconocer que el alumno construye sus propios saberes a partir de dos condiciones:

Sus conocimientos previos, ya sea formales o producto de sus experiencias cotidianas, y

Secuencias didácticas que despiertan el interés del joven porque le plantean un reto intelectual cuya solución está a su alcance.

La resolución de problemas constituye un acercamiento a la enseñanza y al aprendizaje de matemáticas, y de las ciencias en general, que ha sido profusamente estudiado por investigadores de todo el mundo; se reconoce hasta el momento como un método eficaz para propiciar el aprendizaje efectivo, de largo plazo y susceptible de entender y aplicar en situaciones diversas.

Así mismo a partir de la Reforma Curricular del Bachillerato Tecnológico, y de los mecanismos de apoyo que indica la Reforma Integral de la Educación Media Superior en lo que respecta a la implementación de la evaluación del proceso Enseñanza-Aprendizaje; se anexa en la sección del APENDICE Los problemas desarrollados por DGETI para el desarrollo de habilidades de aprendizaje en las matemáticas, dirigido a los alumnos del último año escolar de Educación Media Superior Tecnológica, por lo tanto, este material, es producto del interés de los actores involucrados en el proceso educativo que analizaron los resultados de la aplicación de la prueba enlace 2008, con la finalidad de contribuir a la mejora de dicho proceso.

El propósito de estos materiales va encaminado a una formación integral de los alumnos tomando en cuenta el contexto, sus saberes previos, así como sus experiencias.

Se sugiere incluir en la metodología y estrategias de enseñanza enfoques en el proceso de aprendizaje de los alumnos, sin dejar a un lado el desarrollo de habilidades para el aprendizaje, mediante la integración, contextualización y relación con los intereses de los alumnos.

Estos materiales se pueden utilizar en el laboratorio y taller de matemáticas, en horas de tutorías,

asesoráis, cursos intersemestrales, elaboración de tareas, ingreso para estudios superiores, elaboración de reactivos para estrategias centradas en el aprendizaje y concursos, dependiendo de los intereses de los alumnos, academias y de cada unidad administrativa.

Finalmente, ponemos a su disposición el presente material a los docentes y directivos, considerando una vez más su práctica docente, fundamental en el logro del objetivo planteado, requiriendo además de su imprescindible análisis en la revisión y enriquecimiento de dicho material.




3

TEMA I ARITMETICA PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES A continuación te propongo que te aprendas estas 16 reglas o propiedades de los números que se aplicaran en el álgebra:

1. Las operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división son operaciones binarias en el conjunto de los números reales.

Se llaman operaciones binarias porque si escogemos 2 números cualesquiera generan un tercer número:

2. La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas.

Operación conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: 7+5 = 5+7

Operación conmutativa: el orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: 7 5 = 5 7

La sustracción no es conmutativa ya que:

3. La adición y la multiplicación son operaciones asociativas. Operación asociativa: Los sumandos de una suma pueden agruparse de cualquier modo.

ejemplo: (7+5)+3= 7+(5+3) Operación asociativa: los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.

ejemplo: (5 3) 7 = 5 (3 7)

La sustracción y la división no son asociativas.

4. Los números reales tienen un elemento neutro aditivo único que es el cero.

0 es el elemento neutro en la adición. Ejemplo: 7+0=7

5. Los números reales, tienen un elemento neutro en la multiplicación.

1 Es el elemento neutro en la multiplicación. Ejemplo: 7 1




4

6. Todo número real tiene un inverso aditivo

- 5 es inverso aditivo de + 5 ya que - 5 + 5 = 0 + 7 es inverso aditivo de - 7 ya que + 7 - 7 = 0

Todo inverso aditivo se llama también opuesto simétrico.

7. Todo número real (n) diferente de cero tiene un inverso multiplicativo único (1/n).

1/6 es inverso multiplicativo de 6, ya que 1/6 * 6 = 1

1/3 es inverso multiplicativo de 3, ya que 1/3 * 3 = 1

2/7 es inverso multiplicativo de 7/2 ya que 2/7 *7/2 = 1

8. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

9. La suma de dos números positivos da como resultado un número positivo.

10. El valor absoluto de un número real cualquiera, es igual al mismo número pero siempre con signo

positivo.

Las dos líneas verticales paralelas indican el valor absoluto del número comprendido.

11. La suma de dos números negativos da como resultado un número negativo.

12. La diferencia (sustracción) de dos números reales se realiza en la forma siguiente:

Se restan los números y al resultado se le da el signo + porque es mayor el valor absoluto de +8 que el de -5.

Se restan los números y al resultado se le da el signo - porque es mayor 10

que 4 .

13. El producto de dos números con idéntico signo es positivo.

14. El producto de dos números de diferente signo es negativo.

15. El cociente de dos números con igual signo es positivo.




5

16. El cociente de dos números de diferente signo es negativo.

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS NO PRIMOS O COMPUESTOS Número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

Número no primo o compuesto es aquel que es divisible por la unidad, por sí mismo y por otros números.

Para descomponer un número no primo en sus factores primos, se divide el número dado por el menor de sus divisores primos y así sucesivamente por los demás cocientes, hasta hallar un cociente primo, que se divida por sí mismo.

Ejemplo

Descomponer 804 en sus factores primos.

Los factores primos de 804 son: 2, 2, 3 y 67.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) El máximo común divisor de dos o más números, es el mayor número que los divide a todos exactamente. Para calcular el m.c.d. utilizaremos el siguiente procedimiento:

1. Se escriben los números en un mismo renglón. 2. Se dividen todos entre los factores primos comunes. 3. El m.c.d. es el producto de los factores primos comunes tomados con su menor exponente.




6

Ejemplo:

Calcular el m.c.d. de 120 y 180

Ejemplo: Calcular el m.c.d. de 1800, 420, 1260 y 108.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que los contiene a todos exactamente. Para calcular el m.c.m. utilizaremos el siguiente procedimiento:

1. Se descomponen, por separado, los números en sus factores primos. 2. El m.c.m. se forma con el producto de los factores primos comunes y NO comunes afectados con

su mayor exponente. Ejemplos Calcula el m.c.m. de 150 y 240.

*Los factores primos comunes y no comunes de mayor exponente son:

2 4

2 4

5 ,2 ,3

. . 5 2 3 25 16 3 1200m c m




7

Ejemplos

Calcula el m.c.m. de 300, 200 y 225.

18009825325 m.c.m 232

Escribe dentro del paréntesis la letra que corresponde a la respuesta correcta: 1. ¿Cuál de los números indicados es primo? ..........................................................( ) a) 6 b) 150 c) 13 d) 30 2. ¿Cuál es la descomposición correcta del número 84 en factores primos?............( ) a) 2

.2

.3

.7 b) 4

.3

.7 c ) 3

.4

.7 d)2

.6

.7

3. El m.c.m. de los números 14, 45, 120 es ............................................................ ..( ) a) 2337 b) 2520 c) 3216 d) 1815 4. El m.c.m. de los números 32, 48, 108 es ...............................................................( ) a) 864 b) 216 c) 380 d) 320 5. El m.c.m. de los números 15, 16, 48, 150 es .........................................................( ) a) 300 b) 225 c) 1200 d) 400 6. El m.c.d. de los números 70, 190, 480, 1120 es..................................................... ( ) a) 7 b) 1 2 c ) 10 d ) 3 7. El m.c.d. de los números 35 271 y 14 302 es.........................................................( ) a) 9 b) 3 c) 6 d ) 1 8. El m.c.d. de 345 y 850 es........................................................................................( ) a) 345 b) 5 c) 25 d) 20 9. El m.c.d. de los números 464, 812, 870 es ............................................................( ) a) 64 b) 42 c) 58 d) 12




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FRACCIONES ORDINARIAS O COMUNES Y DECIMALES Fracción ordinaria. Es la relación entre dos números a los que se les da el nombre de numerador y denominador.

Fracción decimal. Se obtiene al efectuar la división indicada del numerador entre el denominador de la fracción común.

CONVERSIÓN DE FRACCIONES COMUNES A DECIMALES Se efectúa la división indicada en la fracción común:

CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A COMUNES Recordemos la siguiente notación:




9

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES COMUNES + (Definición)

Sean elementosd

cy

b

a de los números racionales, entonces:

Ejemplo

En este ejemplo primero se obtiene un común denominador (21) que es el producto de los números primos 7 y 3 del denominador de cada una de las fracciones luego, se divide entre 3 y se multiplica por 2 para dar como resultado 14. Después se divide 21/7 y se multiplica por 4 para dar como resultado 12. Posteriormente, se suman para dar 26/21 y se convierte en mixto o sea 21/21+5/21 que es igual a 1 + 5/21 para dar como resultado 1 5/21. Ejemplo

En este ejemplo primero se obtiene un mínimo común denominador (40) resultado de los primos 5 y 2

3 o

sea 85 que da como resultado 40; luego, se divide entre 5 y se multiplica por 2 para dar como resultado 16. Después se divide 40/8

y se multiplica por 1 para dar como resultado 5. Posteriormente, se resta 5 a 16

para obtener 11. Por último, escribimos el denominador 40, para dar como resultado final 11/40. Ejemplo

3 2

3 2

2 son los denominadores expresados en números primos comunes.

En este ejemplo primero se obtiene un común denominador (24) que es el producto de los números primos comunes y no comunes de mayor exponente: 3 y 2

3 de los denominadores de cada una de las fracciones;

luego, se divide entre 3 y se multiplica por 2 para dar como resultado 16. Después se divide 24/8 y se

multiplica por 5 para dar como resultado 15. Posteriormente, se divide 24/4 y se multiplica por 3 para

obtener 18. Por último, realizamos las operaciones indicadas para dar como resultado 13/24

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Resuelve las siguientes operaciones. En cada caso hay que simplificar el resultado.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES COMUNES

Seand

cy

b

aelementos de los números racionales, entonces:

Ejemplo

Ejemplo

DIVISIÓN DE FRACCIONES COMUNES Definición

Sean d

cy

b

a elementos de los números racionales, entonces:

Ejemplo

Ejemplo



11

Como puedes darte cuenta es una multiplicación cruzada en la primera división 3 x 5 = 15 y 4 x 6 = 24. En la segunda 5 x 2 = 8 x 9 = 72 Realiza los siguientes ejercicios.



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TEMA II ALGEBRA SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN. PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES Los símbolos de agrupación Es común que, en la práctica, las operaciones numéricas no aparezcan de manera aislada. Pocas veces un problema es resuelto únicamente con una suma o un producto. Es necesario, entonces, introducir símbolos de agrupación para indicar un orden en las operaciones. Los símbolos de agrupación más usuales son los paréntesis redondos ( ), rectangulares [ ] y las llaves { }. En las siguientes expresiones:

Se encuentran involucradas multiplicaciones, sumas y restas, y éstas deben efectuarse siguiendo una secuencia o un orden para obtener el resultado correcto. Eliminación de los símbolos de agrupación. Prioridad en las operaciones: Para eliminar los símbolos de agrupación se ha convenido la siguiente secuencia de ejecución:

1. Simplificamos, partiendo del contenido de los símbolos de agrupamiento más internos, y procediendo así, hasta eliminarlos completamente.

2. Efectuamos primero la multiplicación y la división, antes de la adición y sustracción. Se procede de izquierda a derecha.

Para ilustrar el procedimiento, presentamos los ejemplos:

Ejemplo

Solución: Efectuando las operaciones de los paréntesis redondos y los más internos dentro del paréntesis rectangular.

Resolvemos ahora la suma indicada en los paréntesis rectangulares:



13

Ejemplo

Solución: Procediendo de manera análoga al ejemplo anterior, tenemos



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TEMA : DIVISIÓN ALGEBRAICA Objetivo específico Al término de la sesión el alumno será capaz de : - Dividir dos expresiones cualesquiera utilizando las leyes de los exponentes y el algoritmo de la división. ACTIVIDADES PREVIAS A LA SESIÓN

a) Leer detalladamente y analizar cada uno de los ejemplos mostrados en el resumen de contenidos.

b) Aplicar el algoritmo de la división de polinomio entre polinomio para realizar la siguiente división :

c) Realizar los ejercicios que se indican al final del resumen.

RESUMEN DIVISIÓN ALGEBRAICA Si a y b son dos números y si b ≠ 0, se acostumbra indicar la división de a entre b, por el uso del

signo de, a ÷ b, sea escribiendo los dos números a modo de fracción,a

b. El número a se llama

dividendo, el número b se llama divisor y el resultado de la operación se llama cociente. La división algebraica requiere el uso de las siguientes leyes, las cuales fueron revisadas anteriormente.

Leyes de los Exponentes en la División:



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LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA DIVISIÓN

El cociente de dos números del mismo signo es positivo. El cociente de dos números de signos diferentes es negativo. Para su mejor manejo podemos clasificar la división algebraica en tres tipos:

A).- Monomio entre Monomio. B).- Polinomio entre Monomio. C).- Polinomio entre Polinomio.

A).- MONOMIO ENTRE MONOMIO Para dividir monomio entre monomio se sigue el siguiente orden:

1.- Primero se dividen los signos. 2.- Luego los coeficientes. 3.- Por último las literales ( Se aplica las Leyes de los Exponentes de la división).

Ejemplo 1.-

Ejemplo 2.-

B.- POLINOMIO ENTRE MONOMIO En este caso se divide cada término del polinomio entre el monomio y los resultados se escriben separados por los signos resultantes en cada una de las divisiones. Analizaremos el siguiente ejemplo:

En este ejemplo se dividió cada término del polinomio entre el monomio de la siguiente manera:

Ejemplo 1.-



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NOTA : Cuando los exponentes sean literales hay que tener mucho cuidado al aplicar las leyes y restar los exponentes como se observa en el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.-

Dividir

3 2 1 2 3 3 2 2 3 5

1

2 6 8 4

2

x x y x y x y

x y

a a b a b a b

a b

Lo anterior equivale a :

3 2 1 2 3 3 2 2 3 5

1 1 1 1

2 6 8 4

2 2 2 2

x x y x y x y

x y x y x y x y

a a b a b a b

a b a b a b a b

realizando cada una de las respectivas divisiones se tiene lo siguiente:

Por lo tanto se obtiene finalmente:

3 2 1 2 3 3 2 2 3 5

1

2 6 8 4

2

x x y x y x y

x y

a a b a b a b

a b



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C.- POLINOMIO ENTRE POLINOMIO: A este tipo de división se le conoce como división larga o división de casilla. Los nombres de las partes que intervienen son:

Algoritmo para la división algebraica de polinomio entre polinomio. 1. Se ordenan tanto el polinomio dividendo como el polinomio divisor en orden descendiente de

potencias con respecto a una literal que aparezca en ambos. 2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor. obteniendo así el

primer término del cociente.. 3. Se multiplica el cociente obtenido por cada uno de los términos del divisor y el producto

obtenido se le resta al dividendo (Acomodando debajo de términos semejantes). 4. Se repiten los pasos 2 y 3 hasta obtener un residuo de * grado menor que el divisor.

5. Resultado: cociente + residuo

divisor

NOTA: El mayor exponente de una variable se llama grado del polinomio Ejemplo 1.-

Dividir SOLUCIÓN

1. Se ordenan los polinomios: y se reacomodan dentro del símbolo

de la división: 2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:



18

3.- Se multiplica el cociente por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se le resta al dividendo:

1. Se repite el procedimiento anterior:

Resultado: 3x-4 Ejemplo 2.-

Dividir entre Nota: Cuando los polinomios tienen varias literales se ordenan con respecto a una de ellas, en este caso ordenamos con respecto a la x.

Posteriormente se realiza el procedimiento anterior quedando de la siguiente manera:

Resultado = 5x-4y



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Ejemplo 3.

Dividir entre 4 22 3x x

En este caso se ordena y completa con ceros en las potencias que no aparecen para evitar alguna dificultad en el acomodo de términos.

Resultado = DIVISIÓN SINTÉTICA Resolver una división utilizando el método tradicional de la casilla o división larga puede ser un procedimiento muy laborioso, ya que ésta es una operación donde se emplean todas las operaciones algebraicas: división, multiplicación, suma o resta. Sin embargo existen algunos casos de división de polinomio entre polinomio que se pueden resolver de una manera más sencilla, esta forma de dividir se llama: DIVISIÓN SINTÉTICA. Esta división se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma "x + a" . Ejemplos de divisores en los que se puede usar este método:

3, 2, 1 2, , 2 , 2x x x x y x y x

Ejemplos de divisores en los que no se puede usar este método:

, El símbolo que se usa para la división sintética es:



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Ejemplo 1.- Dividir sintéticamente

ESTRATEGIA: 1.- Se ordena el polinomio en orden de potencias descendentes con respecto a una literal, y de ser

necesario se completa con ceros cuando una potencia no aparece: quedando

2.- Se colocan sobre la primera línea los COEFICIENTES del polinomio ya ordenado:

3.- En el símbolo ∟ se coloca el compañero de la x en el divisor, cambiándole el signo, en este caso es -3 por lo tanto se coloca +3

4.- El primer coeficiente se baja igual hasta el tercer renglón, y posteriormente se multiplica ese coeficiente por el ∟3 , el producto obtenido se coloca en el 2do renglón debajo del segundo término del primer renglón, sumando ambas cantidades como se muestra enseguida:

5.- Se repite el paso anterior hasta terminar.

El último número que se obtuvo en la tercera fila corresponde al residuo. Los otros números corresponden, a los coeficientes del cociente.



21

A esos coeficientes del cociente se le agregan la variables, empezando con un exponente una unidad menor al exponente mayor del polinomio inicial.

Cociente = 3x + 7, Residuo: 17

La respuesta se escribe de la siguiente manera:

Ejemplo 2.-

Dividir sintéticamente

Se ordena y completa con ceros :

Se colocan los coeficientes y se aplica el método de división sintética como sigue:

Cociente: Residuo: 8

La respuesta se escribe de la siguiente manera:

EJERCICIOS DE AUTO VERIFICACIÓN



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EJERCICIO 3.- Divide por división sintética:

TEMA : EXPONENTES FRACCIONARIOS Objetivos específicos. Al término de la sesión el alumno será capaz de : Transformar potencias con exponentes fraccionarios a la forma radical y viceversa por medio de la

comprensión de la definición del símbolo

Resolver problemas que involucren exponentes positivos, negativos, fraccionarios, o cero aplicando las leyes de los exponentes.



23

RESUMEN RAÍCES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS En esta sesión se manejaran expresiones que posean exponentes fraccionarios, llamados también exponentes racionales, por lo que nos daremos cuenta al trabajar con ellos que la aplicación de las leyes de exponentes se realiza de la misma manera como ya se revisó en la sesión de exponentes entero y cero. Pero ¿ Qué significado tiene un exponente fraccionario ? Para entender la idea de exponente, de modo que ésta sea más amplia e incluya a los números

racionales (fracciones), analizaremos el producto de

1 1

2 2a a Si las leyes de los exponentes han de

ser válidas para estos exponentes, entonces

1 1

2 2.a a

deberá ser igual a 1a , o sea igual a a. ¿Porqué?. También sabemos que

.Por lo tanto, se debería definir como Así mismo

1 1 1 3

13 3 3 3a a a a a , por consecuencia se debe definir como

DEFINICIÓN:

1

nna a

Por lo tanto : Para todo número real

1

na equivale a la raíz enésima de a. ”n" es número natural

(entero no negativo) a ≥ 0, cuando n es par. Escribir sin exponentes fraccionarios :

Ejemplo a.- 1

22(64) 64 8

Ejemplo b.-

Ejemplo c.- 1

55xyz xyz

Ejemplo d.- no existe puesto que 4 no existe, ya que n es par y a<0.



24

Dar una expresión equivalente con exponentes fraccionarios

Ejemplo a.- 1

3 34 4a b a b

Ejemplo b.

DEFINICIÓN

m

mn mnna a a

Un número con exponente fraccionario se define como la potencia de un radical. El denominador del exponente es el índice del radical, y el numerador indica la potencia a la cual se eleva el radical. Con la condición de que si n es par, a debe ser positivo Ejemplos : Escribe sin exponentes fraccionarios.

2

233) 8 8 4a

2

32 3 2 233( 27) ( 27) ( 3 ) ( 3) 9b

no existe, ya que no existe pues n es par y a < 0.

DEFINICIÓN: Para todo número racional m

n y todo número real positivo a,

m

na

significa1m

na

NOTA: Los exponentes racionales o fraccionarios negativos tienen un significado similar al de lo exponentes enteros negativos, ya revisados anteriormente Cambiar el signo de un exponente equivale a encontrar su. reciproco, ya sea trasladar aI denominador o subir a numerador la potencia que tenga exponentes negativos, lo que comúnmente le llamamos “acomodar" cambiando con ello a exponentes positivos.

Ejemplos :

1

21

2

1 1 1) 9

399

a



25

3

2

3 3 3

2

4 1 1 1 1b)

825 24412552525

Por último, podemos aplicar la ley de la tortilla y simplificar la expresión la que quedará .

NOTA: Si deseamos abre i r el procedimiento anterior; ya que tenemos que para el caso en que la base de una potencia es una fracción, y esta base esta elevada a un exponente negativo para hacer positivo el exponente basta con invertir los términos: de la fracción para caso anterior tenemos que

=16

TEOREMA : Sean u y v números racionales (fraccionarios) y a cualquier número real. Entonces las siguientes leyes de los exponentes se cumplen para todos los valores de las variables para los cuales las potencias están definidas.

) u u ud ab a b

Como podemos observar las leyes para exponentes racionales, se aplican de la misma forma como ya se revisó anteriormente en la sesión 2, los siguientes ejemplos nos muestran dicha aplicación: Ejemplo 1.-

Sumando exponentes. Ejemplo 2.-

Restando exponentes.



26

Ejemplo 3.- Simplificar:

Ejemplo 4.- Usando la estrategia EAS

1) Elevar 2) Acomodar 3) Simplificar

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

EXPONENTES FRACCIONARIOS EN POLINOMIOS Recuerda que al trabajar con polinomios hay que tener mucho cuidado para realizar una aplicación correcta de las leyes de los exponentes, ya que en este caso se generan fracciones complejas como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 1.- Simplificar:



27

SOLUCIÓN:

2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

1

x y

x y

quedando: Desarrollando el producto notable obtenido se obtiene:

por lo tanto

OJO: No se puede elevar directamente, por lo que primeramente haremos positivo el expo nente 2 invirtiendo los términos de la fracción como ya se mencionó anteriormente.

Se cancelan factores comunes:

Se resuelve la fracción compleja realizando la resta en el denominador, para ello se obtiene el MCD

Se simplifica aplicando la ley de la tortilla (extremos por extremo y medio por medio)

Posteriormente se acomodan los términos en el numerador o denominador como se muestra enseguida



28

Ejemplo 2.- Simplificar:

Ejemplo 3.-

Acomodar

Sacar MCD y realizar la resta indicada

Simplificar términos

Ejercicios de Autoevaluación

1. En cada uno de los incisos, cambiar a una forma equivalente con radical.

1

2 2313 43

ab) 0.01 ) c)

4a b xy

2. En cada uno de los siguientes incisos dar una expresión equivalente con exponentes fraccionarios.

4

5 37 2 3 24a) 6 b) c) 2x x y abc

3. Escribir sin exponentes o radicales los valores de las expresiones siguientes.

31

3 2 23

27 4) b) c) 8

125 25a



29

4. Efectuar las siguientes operaciones indicadas en cada uno de los siguientes ejercicios aplicando las leyes de los exponentes y simplificar dejando las respuestas sin exponentes negativos, fraccionarios o cero.



30

TEMA: EXPONENTES ENTEROS Y EXPONENTE CERO. Objetivos específicos: Al término de la sesión el alumno será capaz de: Conocer el significado de Objetivos específicos:

Al término de la sesión el alumno será capaz de:

Conocer el significado de nx , donde n es entero positivo, negativo o cero.

Conocer y comprender las leyes de los exponentes enteros y exponente cero a través de ejemplos sencillos.

Aplicar las leyes de los exponentes en la resolución de problemas dados.

RESUMEN NOTACIÓN EXPONENCIAL Sea "a" un número real, variable, o expresión algebraica, y sea "n" un entero positivo . Entonces :

Donde "n" es el exponente y "a" es la base . La expresión a

" es llamada "enésima potencia de a"

LEYES DE LOS EXPONENTES

MULTIPLICACIÓN

En la multiplicación de potencias con la misma base los exponentes se suman

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3 : POTENCIA:

una potencia se eleva a un exponente dado, los exponentes se multiplican.

Ejemplo 1.-

Ejemplo 2.-



31

POTENCIA DE UN PRODUCTO:

La potencia de un producto se obtiene elevando cada factor al exponente dado.

Ejemplo:

En este caso al elevar cada uno de los factores, los exponentes se multiplican.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: POTENCIA DE UN COCIENTE: La potencia de un cociente se obtiene elevando numerador y denominador al exponente dado.

Ejemplo: DIVISIÓN: Los exponentes en la división se restan, y dependiendo de como sean dichos exponentes, el resultado se puede expresar en tres formas.

A) Si el exponente del numerador es mayor que el del denominador el resultado es

m na .

Ejemplo 1.

9

12 3

1a

a a



32

Ejemplo 2. B) Si los exponentes son iguales el resultado es igual a 1.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

C) Si el exponente del denominador es mayor que el del numerador el resultado es 1

a m para evitar el manejo de

exponentes negativos.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Observar que solamente los exponentes se restan pero no las bases. De la ley de los exponentes en la división se pueden establecer las siguientes dos leyes adicionales.

EXPONENTE CERO: Todo base elevada al exponente cero es igual a la UNIDAD.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: El exponente cero afecta solamente a la base x.

Ejemplo 3: El exp. cero afecta a “x” y al -4. EXPONENTE NEGATIVO:

Un exponente negativo se convierte en positivo, al bajar su base del numerador al denominador de una fracción. Igualmente un exponente negativo en el denominador, se vuelve positivo al subir su base del denominador al numerador.



33

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: OJO :Observa que -3 no se afecta ya que no es un exponente.

Ejemplo 4: Recuerda que NOTA : Cualquier POTENCIA (que sea un factor) puede trasladarse del numerador al denominador de una fracción y viceversa, SIEMPRE y CUANDO SE LE CAMBIE EL SIGNO AL EXPONENTE. APLICACIÓN DE LAS LEYES DE LOS EXPONENTES Ejemplo 1.- Simplif icar la siguiente expresión dejando su respuesta sin exponentes negativos o cero.

1. Eleva (E) Estrategia para su resolución: 2. Acomodar (A) 3. Simplificar (S) 1) ELEVAR. Se eliminan símbolos de agrupación.

a) aplicación de

b) aplicación de

2) ACOMODAR Trasladar factores con exponentes negativos de numerador a denominador o viceversa

cambiando el signo del exponente.



34

3) SIMPLIFICAR. Realizar operaciones de multiplicación de potencias de la misma base (sumando exponentes) o división de ellas (restando exponentes), según sea el caso. En este ejemplo es necesario simplificar el término (25)

12 de la siguiente manera:

Para obtener la expresión simplificada:

Ejemplo 2.- Resolver Usando la estrategia (EAS) mencionada anteriormente:

1) Elevar

10 4

6 6 4

9

36

x b

x b c

Recuerda que por lo tanto se elimina.

2) Acomodar

4 6

6 10 4

9

36

b b

x x c

3) Simplificar

10

10 44

b

x c

Ejemplo 2: Observar que solamente los exponentes se restan pero no las bases SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS EN LA APLICACIÓN DE LEYES DE LOS EXPONENTES ENTRE MONOMIOS Y POLINOMIO MONOMIOS

2 2

1 1

x y

x y

Se aplican directamente las leyes:



35

POLINOMIOS

1 1

1 1

y x

x y

1 1

1 1

y x

x y

Al trabajar con polinomios con exponentes negativos se forman fracciones complejas

x y

xy

x y

xy

( )( )

( )( )

x y xy

xy x y

Simplificando: x y xy

x y xy

= 1

x y

x y

Finalmente: x y

x y

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACION

Verifica tu comprensión realizando los siguientes ejercicios, dando un resultado numérico sin exponentes negativos o cero, usando las leyes de los exponentes va mencionadas.

El acomodo es dependiente al numerador o denominador ya que en este caso son términos



36

TEMA RACIONALIZACION DE RADICALES Cuando quitamos los radicales del numerador o del denominador de un fraccionario, decimos que estamos racionalizando. En álgebra, normalmente racionalizamos el denominador pero, en cálculo, a veces es importante racionalizar el numerador. El procedimiento de racionalización implica la multiplicación del fraccionario por 1, escrito en forma especial Por ejemplo:

EJEMPLO 1 Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones:

Solución

Nota de advertencia: en el ejemplo 5(b), sería incorrecto tratar de racionalizar

multiplicando el numerador y el denominador por 2 2 .

Si un fraccionario contiene una expresión como x y , usamos el hecho de que el producto de y

su conjugada x y lo contiene radicales:

2 2

=

x y x y x x y y x y

x x x y y x y y

x xy xy y

x y



37

El procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos EJEMPLO 2 Racionalice el denominador de la expresión

Solución. Para eliminar los radicales del denominador, multiplicamos la expresión dada por

Así, EJEMPLO 3

Elimine los radicales en el numerador de

Solución. Ya que la conjugada del numerador es procedemos así:

Ejercicios sobre racionalización: En los ejercicios racionalice el denominador de la expresión

1. 2. 3. Tarea En los ejercicios racionalice el numerador de la expresión

1. 2. 3. 4. [Sugerencia: primero combine los términos en el numerador].



38

TEMA INECUACIONES LINEALES Cualquier inecuación que pueda escribirse de la forma

donde a y b son números reales, se llama inecuación lineal en x. Si el símbolo < en la ecuación se remplaza por ≥, > o ≤, < la inecuación resultante también se llama inecuación lineal. Utilizamos las operaciones (i)-(iii) para encontrar la solución de una inecuación lineal. Las operaciones que producen las inecuaciones equivalentes son: Sea a, b y c números reales.

(i) Si a < b y c es cualquier número real, entonces: a + c < b + c (ii) Si a < b y c es positivo, entonces a. × c < b × c (iii) Si a < b y c es negativo, entonces a. × c > b × c

EJEMPLO 1-

Resuelva Solución. Obtenemos inecuaciones equivalentes, como sigue:

x < 4 por lo tanto las respuestas de 8x + 4 < 16 + 5x son todos los números reales menores que 4. EJEMPLO 2.

Resuelva 1 5

32 2

x

Solución. Las siguientes inecuaciones son equivalentes. (Usted debe ser capaz ( cada paso).

Se deduce que las soluciones de la inecuación dada son todos los números reales mayores o iguales que 2

3 .



39

INECUACIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES Ahora consideramos inecuaciones que incluyen ciertos tipos de expresiones cuadráticas o racionales. INECUACIONES CUADRATICAS Cualquier inecuación que pueda escribirse de la forma

donde a, b y c son números reales, se llama inecuación cuadrática en x. Si el símbolo < en la formula anterior se remplaza por ≤ , > o >, ≥ la inecuación resultante también se denomina inecuación cuadrática. Los siguientes son ejemplos de inecuaciones cuadráticas

puesto que pueden escribirse, respectivamente, como

Para resolver una inecuación cuadrática, encontramos útiles las siguientes propiedades de los números reales.

Propiedades de signos de los productos (i) Si el producto de dos números reales es positivo, entonces los dos números tienen los mismos signos. (ii) Si el producto de dos números reales es negativo, entonces los dos números tienen signos opuestos. Por tanto, para resolver una inecuación como (x + 3) (x — 1) > O, debemos determinar cuándo los dos factores son ambos positivos o ambos negativos, porque entonces su producto será positivo. Una manera de ocuparse de los signos de estos dos factores es haciendo un diagrama de signos (véase figura 1), como sigue.

FIGURA 1

Primero señalamos sobre una recta numérica los puntos para los cuales los factores son cero (en este caso -3 y +1). Como lo muestra la figura 1, estos puntos, llamados números críticos, dividen la recta en intervalos. A continuación determinamos el signo de cada fac tor en cada uno de estos intervalos y utilizamos las propiedades de signos (i) y (ii). Ya que estos factores lineales no pueden cambiar de signo dentro de estos intervalos, basta con obtener el signo de cada factor solamente escogiendo un valor de prueba de cada intervalo.

Por ejemplo, en el intervalo (-∞, -3), si utilizamos x = -10 como valor de prueba, encontramos que tanto (x + 3) como (x - 1) son negativos. Se deduce que su producto es positivo y se satisface la inecuación. Para el intervalo (-3, 1), seleccionamos x = 0 como valor de prueba y encontramos que (x + 3 ) es positivo y (x 1) es negativo. Así, el producto es negativo y la inecuación no se satisface. Para el tercer intervalo (1, ∞), encontramos por un valor de prueba de x = 2 que tanto (x + 3) como (x-1) son positivos. En consecuencia, su producto es positivo. Finalmente, debemos decidir si los números críticos son soluciones. Ya que (x + 3) (x - 1) es igual a cero en los números críticos, la inecuación (x + 3) (x -1) > 0



40

"mayor que" no se satisface. Por tanto, las soluciones las da la unión de los dos intervalos ( -∞, -3) U (1, ∞), que pueden escribirse como (-∞, -3) U(1, ∞).

En la práctica, gran parte de la solución se puede real izar mentalmente y el resultado de cada cómputo registrarse en el diagrama de signos. Puesto que se puede escoger como valor de prueba cualquier número del intervalo, los valores de prueba no se escriben en el diagrama de signos.

En los siguientes ejemplos consideraremos las inecuaciones cuadráticas en las cuales la expresión cuadrática se descompone fácilmente. Para aplicar la propiedad de signo (i) (ii), debemos tener todos los términos diferentes de cero al mismo lado del signo de la inecuación.

EJEMPLO 1

Resuelva x2

+ 2x -15 ≥ 0

Solución. Ya que todos los términos diferentes de cero están a un lado de la inecuación, comenzamos por factorizar:

A continuación desarrollamos un diagrama de signos (figura 2) con los números críticos 3 y -5. Puesto que la inecuación incluye un signo "mayor o igual que

", los números críticos -5 y 3, que hacen el

producto (x - 3) (x + 5) igual a cero, deben incluirse como soluciones. Así, las soluciones son los números de la unión de (-∞,

-5] U [3, ∞).

Figura 2

EJEMPLO 2 .

Resuelva x < 10 – 3x2

Solución. Comenzamos por reescribir la inecuación poniendo todos los términos diferen tes de 0 al mismo lado:

Factorizando nos da

En el diagrama de signos de la figura 3 vemos que las soluciones son los números del intervalo abier to (-2, 5/3). Los números críticos no se incluyen. (¿Por qué?).



41

FIGURA 3 En los siguientes ejercicios resuelva la inecuación y exprese las soluciones utilizando notación de intervalo

TEMA NÚMEROS COMPLEJOS

En la anterior sección vimos que algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución real. Por ejemplo, x

2 +1 = 0 no tiene raíces reales porque no hay número real x tal que x

2 = -1. En esta sección

estudiaremos el conjunto de números complejos, que contiene soluciones ecuaciones tales como x2 +

1 = 0. El conjunto de números complejos C contiene el conjun to de números reales R así como los números cuyos cuadrados son negativos.

Para obtener los números complejos C, comenzamos por definir la unidad imaginaria, denotada con la letra i, como el número que satisfaga.

Es común escribir

Con i podemos definir la raíz cuadrada principal de un número negativo, como sigue:

Si c es un número real positivo, entonces la raíz cuadrada principal de —c,

denotada como c se define como:

1 1c c c i c ci



42

EJEMPLO 1

Halle la raíz cuadrada principal de:

Solución:

El sistema de números complejos contiene la unidad imaginaria i, todos los números reales, productos tales como bi, b real, y sumas tales como a + bi, donde a y b son números reales. En particular, un número complejo se define como cualquier expresión de la forma:

EJEMPLO 2

Exprese en la forma a + bi:

Solución

Para resolver ciertas ecuaciones que incluyen números complejos, es necesario especi ficar cuándo son iguales dos números complejos.

EJEMPLO 3

Despeje x y y:

Solución. Según la definición 1 debemos tener:

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Esto es, si

z1=a1+b1i y z2=a2+b2i entonces

z1 = z2 y sólo si al = a2 y b 1 = b2



43

Estas ecuaciones dan como resultado

La adición y la multiplicación por números complejos se definen como sigue.

EJEMPLO 4

Si z1 = 5- 6i y z2 = 2+ 4i , encentre (a) z1 + z2 y (b) z1 z2.

Solución

(a) Combinando términos semejantes, tenemos

(5 - 6i) + (2 + 4i) = (5 + 2) + (-6 + 4)i = 7 – 2i

(b) Utilizando la ley distributiva, podemos escribir el producto (5 – 6i)(2 + 4i) como

( 5 – 6i)( 2+ 4i) = (5 – 6i)2 + (5 – 6i) 4i

= 10 – 12i + 20i – 24i2

= 10 – 24(-1) + (-12 + 20)i

= 34 + 8i

En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada. Escriba la respuesta de la forma a + bi.

Si , entonces:

,(i) su suma está dada por

(ii) y su producto está dado por 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z a a bb a a bb i



44

TEMA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICA

Recordemos que una ecuación como

que es válida para todos los números reales x, se llama identidad. Una ecuación como

también es llamada identidad, ya que es válida para todos los números reales para los que ambos lados de la ecuación están definidos en este caso, todo x ≠ 0. La ecuación trigonométrica

es una identidad porque

para todos los números reales t para el que t está definido y tan ≠ 0.

Hay muchas identidades que tienen que ver con las funciones trigonométricas. Las más importantes son las identidades fundamentales que se vieron en tu curso de matemáticas II y que se reformulan aquí. En este resumen también incluimos las identidades pares e impares que se analizaron en tu curso anterior. La variable t puede representar en cada identidad un número real o la medida en grados o radianes de un ángulo.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES



45

IDENTIDADES PARES E IMPARES

Estas identidades pueden utilizarse para simplificar expresiones trigonométricas com plicadas

EJEMPLO 1

Escriba como una sola función trigonométrica:

sen t sec t

Solución. Usando la identidad recíproca sec t = 1/cos t, encontramos que

Con frecuencia encontraremos variaciones de las identidades pitagóricas. Por ejemplo, de

obtenemos

y

Formas alternas de escribir las otras identidades pitagóricas son

y

EJEMPLO 2

Simplifique ( 1 + sen t )(1 + sen(-t) )

Solución. Tenemos

EJEMPLO 3

Simplifique

Solución. De vemos que



46

Podemos utilizar las identidades fundamentales y valernos del álgebra para verificar una identidad, demostrando que las expresiones dadas son equivalentes. El método preferido para verificar una identidad es mostrar que un lado de la ecuación es equivalente al otro, como en los siguientes dos ejemplos

EJEMPLO 4

Verifique la identidad

Solución. Demostramos que el lado izquierdo de la ecuación es equivalente al lado derecho:

En el ejemplo 4 está implícita la suposición de que la identidad es válida sólo para aquellos valores de t cuyos lados de la identidad estén definidos. En el ejemplo 4 para un número real t, necesitamos que t ≠ k y t ≠ /2 + k

donde k es un número entero. En los siguientes ejemplos, no mencionaremos las limitaciones de la variable.

EJEMPLO 5

Verifique la identidad

Solución. Demostremos que el lado derecho de la ecuación es equivalente al lado izquierdo. (Usted debe justificar el porqué de cada paso).



47

No hay un método general para demostrar que una ecuación trigonométrica sea una identidad. A continuación enumeramos algunas técnicas que pueden resultar útiles.

En los ejercicios del 1 al 10, simplifique la expresión mediante las identidades fundamentales y las identidades pares e impares.

En los ejercicios del 11 al 20, reduzca la expresión dada a una sola función trigonométrica.

Sugerencias pare verificar identidades

(i) Simplifique el lado mas complicado de la ecuación. (ii) Encuentre el mínimo común denominador para la suma o diferencia de fracciones.

(iii) Si las dos técnicas anteriores fallan exprese todas las funciones trigonometricas en términos de senos y cósenos y luego trate de simplificar. (iv) Si las anteriores fallan, exprese todas las funciones trigonometrícas en términos de senos y cósenos y luego trate de simplificar.



48

TEMA LA PARÁBOLA DEFINICION Una parábola es el conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes a un punto fijo F, llamado foco y una recta fija, llamada directriz ECUACION DE UNA PARABOLA. Ahora deducimos una ecuación de una parábola con foco F(0, p) y la directriz y = p, donde p > 0.

Usando la fórmula de distancia, encontramos la distancia de P al foco:

De la definición 1, se deduce que

Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando, obtenemos

FORMAS ESTANDAR PARA PARABOLAS



49

PARABOLA CON VERTICE EN (h, k) Suponga que la parábola se traslada tanto horizontal como verticalmente, de modo que su vértice está en el punto (h, k) y su eje es la recta vertical x = h. La forma estándar de la ecuación de esta parábola es:



50

EJEMPLO 1

Encuentre el vértice, el foco, el eje y la directriz de la parábola haga la gráfica de la parábola. Solución. Empezamos escribiendo la ecuación en una de las formas estándar. Completando el cuadrado en y, obtenemos:

(1) Comparando esta última ecuación con la (4) concluimos que el vértice es (- 4, 2). También, puesto que 4p = 8, entonces p = 2 > 0 y la parábola se abre hacia la derecha. Localizamos el foco dos unidades a la derecha del vértice en (- 4 + 2, 2) o (- 2, 2). La directriz es la recta vertical dos unidades a la izquierda del vértice:

El eje (la recta horizontal a través del vértice) es y = 2. Usando x = -2 en la ecuación (1), encontramos que y = 6 y y = - 2. Así los puntos (- 2, 2) y (- 2, 6) están en la gráfica de la parábola (véase figura 1).

FIGURA 1



51

TEMA LA ELIPSE DEFINICION 2 Elipse es el conjunto de todos los puntos P en un plano tal que la suma de las distancias entre P y dos puntos fijos FI y F2 es constante. Los dos puntos fijos FI y F2 se llaman focos. El punto medio del segmento de recta que une a los focos se llama centro. Que se muestra una elipse en la figura 2.

figura 2 figura 3 ECUACIÓN DE UNA ELIPSE Para cualquier punto P (x, y) sobre la elipse, tenemos de la definición 2 d(P, F1) + d(P, F2) = 2a Usamos entonces la fórmula de distancia para obtener de la figura 3

o Elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos

Elevando nuevamente al cuadrado obtenemos:

puesto que 2 2 2

b a c se substituye en la ecuación anterior tenemos:

formula 1 Esta es la forma estándar de la elipse:

figura 4.



52

Si la elipse está situada de manera que los focos están en el eje y en FI (0, -c) y F2(0, c), una deducción similar a (2) produce la forma estándar

2 2

2 21

x y

b a

como se muestra en la figura:

figura 5 El cuadro siguiente resume los resultados obtenidos arriba.

ELIPSE CON CENTRÓ EN (h, k) Suponga que el centro de una elipse está en el punto (h, k) y los focos están situados en (h-c, k) y (h+.c, k). La forma estándar de la ecuación de esta elipse es:

Para esta elipse, el eje mayor es horizontal y el eje menor es vertical. De igual forma, la ecuación de la elipse con centro (h, k) y focos situados en (h, k-c) y (h, k+c) es:

Eje focal paralelo a X Analizaremos Caso III:



53

Figura 6

Por lo que, la ecuación de la elipse con eje focal paralelo a X y centro en C (h,k) es :

Además, de acuerdo a la Fig 6, las coordenadas de los focos y vértices, en referencia a los ejes XY, son:

Focos: F'(h-c,k) F(h+c,k) Vertices: V' (h-a,k) V(h+a,k)

En resumen:

TABLA III



54

Figura 7

La obtención de la ecuación con eje focal paralelo a Y sigue con procedimiento análogo. Su orientación se ilustra en la Fig. 7. Percibimos en ella que las coordenadas de vértices y focos son:

F'(h,k-c) y F(h,k+c)

V'(h,k-a) y V(h,k+a) De manera similar al caso III tenemos:

TABLA IV



55

EJEMPLO 2

Encuentre los focos y los vértices de la elipse y haga la grafica. Solución. Para escribir la ecuación en una de las formas estándar caso (III) o (IV), debemos completar el cuadrado en x yen y. Primero factorizamos 4, tanto de x

2 como de x y factorizamos 16, tanto de y

2 como de y (recordemos

que los términos cuadráticos x2 y y

2 deben tener el coeficiente 1 para completar el cuadrado):

Observe que hemos sumado 4(1) y 16(9) a ambos lados de la ecuación. Así obtenemos,

Dividiendo por 64 tenemos

Vemos ahora que el centro de la elipse es (1, 3). El eje mayores horizontal y a= 4 y b = 2. En la figura 8, hemos situado los vértices en (- 3, 3), (5, 3), (1, 1), y (1, 5). Esto se hizo al medir a = 4 unidades tanto a la derecha como a la izquierda del centro, y b = 2 unidades. tanto arriba como abajo del centro. (Como otra alternativa podríamos obtener los vértices estableciendo primero x = 1 en la ecuación obtenida y solucionando.

Figura 8



56

TEMA LA HIPÉRBOLA DEFINICION Hipérbola es el conjunto de todos los puntos P en el plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias entre P y dos puntos fijos FI y F2 es constante. Los dos puntos fijos FI y F2 se llaman focos. El punto medio del segmento de recta que une los focos se llama centro. Se muestra una hipérbola en la figura 9. Observe que la gráfica tiene dos partes distinta llamadas ramas.

FIGURA 9

ECUACIÓN DE UNA HIPERBOLA De la fórmula de la distancia tenemos

o Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando obtenemos

Del triángulo F1PF2 en la figura 10, vemos que:



57

FIGURA 10 Tenemos que:

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación como lo hemos venido haciendo:

ASINTOTAS



58

Y

El anterior rectángulo se conoce como rectángulo auxiliar. Ahora puesto que :

las asíntotas de la hipérbola dada en la ecuación ( es mas fácil recordar como)

El cuadro siguiente y la figura 11 resumen los resultados obtenidos arriba para las hipérbolas:

Figura 11

Nota de advertencia: para la hipérbola (a diferencia de la elipse), no hay relación entre los tamaños relativos de a y b; más bien, a

2 es siempre el denominador del término positivo y los vértices tienen ±a como coordenada.



59

EJEMPLO 3

Encuentre los vértices, los focos y las asíntotas de la hipérbola Haga la gráfica de la hipérbola. Solución. Dividiendo la ecuación por 144, obtenemos

Puesto que el término y

2 tiene el coeficiente positivo, identificamos a = 3 y b = 4. con esto

vemos que:

Así los vértices y los focos son (0, ±3) y (0, ±5), respectivamente. Para encontrar las asíntotas, despejamos y de:

Para hacer la gráfica de la hipérbola, primero hacemos la gráfica de las asíntotas como sigue. Dibujamos un rectángulo de altura 2a y ancho 2b.

con centro en el origen. Las extensiones de las diagonales de este rectángulo son las asíntotas. Ahora dibujamos las ramas de la hipérbola empezando en los vértices (0, 3) y (0, - 3) y trazando una línea hacia las asíntotas. La gráfica resultante se muestra en la figura 12.



60

Figura 12

HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (h, k) Suponga que el centro de una hipérbola está en el punto (h, k) y que los focos están situados a c unidades a la izquierda y a la derecha del centro en (h- c, k) y (h + c, k). La forma estándar de la ecuación de esta hipérbola es:

Como muestra la figura 13(a), esta hipérbola tiene un eje transverso horizontal con vértices a a unidades a la izquierda y a la derecha del centro en (h - a, k) y (h + a, k).

Figura 13(a)

Las asíntotas son las rectas que se obtienen si se despeja y de:

La forma estándar de la ecuación de la hipérbola con centro (h, k) y focos a c unidades arriba y abajo del centro (h, k -c) y (h, k + c) es:



61

Como vemos en la figura 13(b), esta hipérbola tiene un eje transverso vertical y vértices a a unidades arriba y abajo del centro en (h, k - a) y (h, k + a).

Figura 13 (b)

Las asíntotas se encuentran resolviendo

EJEMPLO 4 Encuentre el centro, los vértices, los focos y las asíntotas de la hipérbola 4x

2 - y

2 - 8x -4y - 4 = 0

Solución. Antes de completar el cuadrado en x y y, factorizamos 4 de x

2 y el término x y factorizamos - 1 de y

2 y el

término y, de tal forma que el coeficiente principal de cada expresión sea 1. Entonces, tenemos:

Vemos ahora que el centro es (1, -2). Puesto que el término que incluye a x tiene el coeficiente positivo, el eje transverso es horizontal, e identificamos a = 1 y b = 2. Como se muestra en la figura 13(a), los vértices pueden localizarse al medir una unidad a la izquierda y a la derecha del centro. Así los vértices son (2, -2) y (0, -2). De b

2 =

c2 - a

2, tenemos:

Y así c = 5 . Así los focos están ubicados a 5 unidades a la izquierda y a la derecha del centro (1,-2 ) en (1-

5 , -2) y (1+ 5 , -2).



62

Para encontrar las asíntotas despejamos y de:

Así y = 2x – 4 y y = 2x. La gráfica se dibuja colocando el centro (1, -2) y usando los valores a= 1 y b= 2 para dibujar el rectángulo auxiliar que determina las asíntotas véase figura 14.

Figura 14



63

EJERCICIOS DE CONICAS PARABOLAS: para cada una de las parábolas encuentre el vértice, el foco, la directriz y el eje. Haga la gráfica de la parábola.

2

2

2

2

2

1. 12 4 16 0

12. 5 6 0

4

3. 4 16 6 2 0

4. 3x 30 8 75 0

5. 6y 12 24 42 0

y y x

x x y

y y x

x y

y x

ELIPSES Encuentre el centro, los focos y los vértices de la elipse dada. Haga la grafica de la elipse.

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1. 9 4 36

2. 4 4

3. 25 9 100 18 116 0

4. 3 18 18 0

5. 9 5 18 10 31 0

x y

x y

x y x y

x y y

x y x y

HIPERBOLAS Encuentre el centro, los vértices, los focos y las asíntotas de la hipérbola dada. Hagas la gráfica de la hipérbola.

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1. 2 10 40

2. 9 16 144 0

3. 5 6 20 12 16 0

4. 16 25 256 150 399 0

5. 4 18 20 5 0

y x

x y

x y x y

x y x y

x y x y



64

APENDICE I ARITMÉTICA.

1. De las siguientes expresiones, ¿cuál se considera decimal infinito periódico?

A) 5/7

B) 3/5

C) 6/13

D) 1/1

2. Hallar el valor de la suma 1+2+3+4+6+…+1000000

A) 500001

B) 500000500000

C) 5000000000005

D) 1000000000001

3. ¿A qué es igual ...6666

?

A) 2

B) 7.34

C) 36

D)3

4. Si xy=1 y x es mayor que cero, ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?

A) Cuando x>1< ; y es negativa

B) Cuando x>1; y>1

C) y es decreciente si x es creciente;

D) y es creciente si x es creciente

5. Expertos señalan que el 25% de todos los accidentes serios de bicicleta presentan denuncia, y que de todas las

denuncias, 80 % se pierden. ¿Qué porcentaje de todos los accidentes serios de bicicleta presentan denuncia y pierden?

A) 16%

B) 55%

C) 105%

D) 20%

6. ¿Qué dígitos hay que eliminar en el número 4921508 para obtener el número de tres dígitos más pequeño posible,

respetando el orden en de los dígitos?

A) 4,9,2,1

B) 4,2,1,0

C) 4,9,5,8

D) 4,9,2,5

7. Si haces la división de 1 entre 20005 , ¿Cuál será el último dígito que aparezca antes de llegar a puros ceros?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

8. El entrenador más experimentado del circo necesita 40 minutos para lavar un elefante. Su hijo lleva a cabo la misma

tarea en 2 horas. ¿Cuánto tiempo tomará al entrenador y a su hijo lavar 3 elefantes trabajando juntos?

A) 30 minutos

B) 45 minutos

C) 60 minutos

D) 90 minutos



65

9. ¿Cuál fracción es más pequeña?

A) 6

1

B) 3

2

C) 3

1

D) 2

1

10. Un corredor corre 3000 m exactamente en 8 minutos. ¿Cuál es su promedio de velocidad en metros por segundo?

A) 3.75

B) 16.0

C) 6.25

D) 37.5

11. Realiza las operaciones y simplifica la expresión:

5

2

2

18

3

25

A) 5

413

B) 30

413

C) 15

1113

D) 30

411

12. Mario usa 5 tomates para hacer medio litro de jugo de tomate. ¿Cuánto jugo podrá hacer con 15 tomates?

A). Litro y medio

B). Dos litros

C). Dos litros y medio

D). Tres litros

13. Cada figura representa una fracción: ¿Cuáles dos figuras representan la misma fracción?

A). 1 y 2

B). 1 y 4

C). 2 y 3

D). 3 y 4



66

14. ¿El número sucesor de 900,010 es?

A) 900,011

B) 900,009

C) 900,001

D) 900,020

15-¿En una recta numérica un número es menor que otro si se encuentra colocado?

A) A la izquierda de él

B) Al centro de la recta

C) A la derecha de él

D) No se puede saber

16. ¿De la siguiente figura que fracción de ella esta sombreada?

A) 5/4

B) 4/5

C) 6/9

D) 5/9

17. Si 100 gramos de cierta comida equivalen a 300 calorías, ¿Cuántas calorías son en una porción de comida de 30

gramos?

A). 90

B).100

C). 900

D).1000

18. ¿Cuál figura muestra que 5

2

es equivalente a 10

4

?

A)

B)

C)

D)



67

19. ¿Cuál de los siguientes números esta entre 0.07 y 0.08?

A). 0.00075

B). 0.0075

C). 0.075

D). 0.75

20. La suma 691 +208 es más cercana a la suma.

A). 600 +200

B). 700 +200

C). 700 +300

D). 900 +200

21. Divide 0.003 15.45

A). 0.515

B). 5.15

C). 51.5

D). 5150

22. Cual número es dos centenas seis unidades con 9 decimos.

A). 206.09

B). 206.9

C). 206.910

D). 2006.9

23. ¿Cuál es el valor de 15

1

3

1

5

4

?

A). 5

1

B). 5

2

C).15

7

D). 4

3

24. Una compañía produce 17175 carros en el año de 1996. Para reportar este número debe redondearse lo más cercano

a cientos, ¿Cuál debe ser el número de carros que debe dar el reporte?

A).17,000

B).17,100

C).17,200

D).17,270

25. En cuál lista de fracciones son todas fracciones equivalentes?

A). 6

4,

4

2,

2

1

B). 12

8,

6

4,

3

2

C). 50

8,

10

4,

5

2

D). 8

6,

6

4,

4

3



68

26. Pedro tiene una bolsa de bombones, el dio un tercio de sus bobones a Rebeca y un cuarto de los que tiene a Juan. Si a

Pedro le quedaron 24 bombones en la bolsa. ¿Cuantos bombones tenia en la bolsa al empezar?

A). 36

B). 48

C). 60

D). 96

27. Un pintor tiene 25 litros de pintura. El uso 2.5 litros de pintura en toda una hora. El finaliza su trabajo en 5.5 horas.

¿Cuánta pintura le sobro al terminar de pintar?

A). 10.25 L

B). 11.25 L

C). 12.75 L

D). 13.75 L

28. Un padre de familia, deja como herencia a sus tres hijos un terreno en forma de un paralelogramo con las siguientes

medidas, 60 m de largo y 21 m de ancho ¿Cuánto le corresponde, en fracciones iguales de terreno a cada hijo?

A) 300 m2

B) 42 m2

C) 420 m2

D) 4200 m2

29. En el cumpleaños de Juan, María sirvió 3/4 de un pastel de chocolate más 5/6 del pastel de fresas, si los pasteles eran

geométricamente, similares cuanto sirvió en total?

A) 128

B ) 129

C) 2431

D) 19/12 = 1271

30. Beto fue al mercado y compró: 1/2 Kg de jitomates, 2 1/2 de limones y 5 1/4 de papas, 3 3/4 de zanahorias. ¿Cuántos

kilogramos de verdura compró en total?

A) 8 1/4 Kg.

B) 7 1/2 Kg.

C) 12 Kg.

D) 10 1/2 Kg.

31. Un tren, que mueve madera, va y viene sobre una vía férrea, de acuerdo al siguiente itinerario de recorrido en

kilómetros, 8.6 + (-3.7) + (-4.9) + (9.3) + (-3.2), tomando signo positivo, cuando avanza y negativo, cuando retrocede, al

final se encuentra en el kilómetro:

A) -11.8

B) 10.4

C) 12.16

D) 6.1



69

32. Se tienen dos costales de harina con 60 kg. Cada uno. ¿Cuántas bolsas de 3/4 kg se podrían llenar?

A) 136

B) 161

C) 160

D) 90

33. Dos alumnos de computación tardan en capturar un trabajo 20 horas: ¿En cuanto tiempo lo harán 4 alumnos?

A) 10 horas

B) 5 horas

C) 4 horas x 5 horas

D) 3 horas

34. .- Un agricultor tiene que comprar 7 palas para sus labores, si cada pala cuesta 150 pesos y por considerarse mayoreo

le dan un 8 % de descuento ¿Cuanto tendrá que gastar?:

A) $1000.00

B) $ 966.00

C) $ 1050.00

D) $ 1200.00

35. En un mapa, dos ciudades están separada 5cm; si la escala del mapa es 1cm: 250,000 cm ¿Cuál es la distancia

entre las dos ciudades?:

A) 12.5 km

B) 14 km

C) 10.0 k

D) 11.5 km

36. En la venta de un producto se gano $1,350.00 de comisión lo cual representa el 8% del costo del producto: ¿Cuál es el

precio del producto?

A) $1,687.50

B) $16,875.00

C) $168,750.00

D) $1´678,500.00



70

APENDICE II ÁLGEBRA

1. La expresión: “Juan tiene dos años más que Ana y entre ambos acumulan 17, en el lenguaje algebraico, se escribe:

A) (x+2)+x = 17

B) (x-2)-x = 17

C) 2x+x = 17

D) 2x - x =17

2. El resultado de la suma algebraica de los polinomios (2a +3b + 5c) + (4a + 2b -c) + (4a - 2b -5c), es:

A) 10a +3b -c

B) 8a + 3b - 2c

C) 10a + 4b -c

D) 8a + 3b - c

3. El resultado de restar los polinomios (4m + 3n + 5) - (2m + n - 3) es:

A) 6m +4n - 2

B) 2m +2n + 1

C) 2m +2n + 8

D) -2m - 2n – 8

4. EL resultado del producto (y 2 - 3y) (y

2 + 3y) = siguiente es:

A) y 4 + 9y

B) y 2 - 3y

C) y 2 + 3y

D) y 4 - 9y

2

5. Una unidad deportiva con figura cuadrada de lado x, se le incrementan 2 m en sentido horizontal y 2 m en sentido

vertical, quedando la figura siguiente:

x 2

2

2

Indica que ecuacion representa su superf icie total

A) 2

) 4 4

)

) ( 2)

x

B x x

C x y

D x

6.- El polinomio x2+5x+6 es divisible entre x+2, indique el otro binomio, en que se puede dividir

A) x-1

B) x-3

C) a + b

D) x+3

7. Identifica el binomio conjugado

A) (x +2)+(x-2)

B) (x+2)(x-2)

C) (x+2)(x+2)

D) (x+2)-(x-2)



71

4

62

2

x

x-x )(x

)(x

2

2

)(x

)(x

3

2

)(x

)(x

3

2

)(x

)(x

2

3

8. Un depósito de agua de forma cúbica, mide x+2 por lado, identifique su volumen

A) x2+4x+4

B) x3+2

3

C) x3+6x

2+12x+8

D) x3-6x

2-12x+8

9. Un cubo tiene x3 + 27 m de capacidad, si uno de sus lados, mide x+3 de altura, cuanto mide el área de su base?

A) (x2 + 6 x + 9)

B) (x2 - 3 x + 9)

B) (x2 - 6 x + 9)

D) (x2 + 3 x + 9)

10.- la expresión:

Simplificada es igual a:

A)

B)

C)

D)

11. Simplificar la expresión:

12

2

x

x

A) 22

12

x

x

B) x

x

2

1

C) x

x

2

2

D) 22

2

x

x

12. ¿Cuál de los resultados corresponde al siguiente producto? )10)(10( 2

yyxxx

)101

(10 D)

)101

(10)

)11

(10 B)

)101

(101)

22

222

222

22

xx

xxx

xx

xxxC

xx

xxx

xx

xxA

y

yyy

y

yyy

y

yyy

y

yy

13. Calcular el valor numérico de la siguiente expresión para los valores de b=2 y c=3 y m=1/2

m

cb

2

6433 63

A) 12

B) 1728

C) 216

D) 610



72

14. Escribir por simple inspección el resultado de (a+1)(a-1)(a+2)(a-2):

45D)

45C)

45B)

45)

24

24

24

24

aa

aa

aa

aaA

15. Reduce a su más simple expresión lo siguiente 27

933

23

m

mnnmnm

3

93mD)

3-m

mnC)

n

3-mB)

3

)

2

m

mn

nA

16. La simplificación de la expresión

1

1

2x

x

xx

x

es igual a:

A) 1

B) 1/2

C) -1

D) 1/x.

17. Alicia vende un artículo a $10.00 pesos menos que el precio de lista y recibe y recibe de comisión el 10% de su venta.

Roberto vende otro ejemplar del mismo artículo a $20.00 pesos menos que el precio de lista y recibe el 20% de su venta

de comisión. Si los dos reciben la misma cantidad, cuál es el precio de lista del artículo.

A) $20.00

B) $100.00

C) $30.00

D) $50.00

18. 60 ejemplares del primer volumen de un libro y 75 ejemplares del segundo volumen cuestan un total de 405 dólares.

Sin embargo, un descuento del 15% en el primer volumen y un 10% en el segundo volumen reduciría el precio total a

355.5 dólares. Determinar el precio de cada volumen.

A) Primer volumen a 3 dólares, segundo volumen a 3 dólares.

B) Primer volumen a 85 dólares, segundo volumen a 75 dólares

C) Primer volumen a 60 dólares, segundo volumen a 75 dólares

D) Primer volumen a 15 dólares, segundo volumen a 10 dólares



73

19. El producto de las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones es:

2x+2y+3z=24

4x+5y+2z=35

3x+2y+z=19

A) 12

B) 36

C) -12

D)-36

20. Un tren rápido es obligado a detenerse 16 minutos en un disco rojo y para recuperar este tiempo, viajó en un tramo

de 80 km 10Km/h más rápido que lo normal. ¿Cuál es la velocidad normal del tren?

A) 80 km/h

B) 5 km/h

C) 70 km/h

D) 50 km/h

21. Si a y b son números positivos distintos que cumplen abba 422 al reducir el siguiente cociente 2

obtenemos el valor del cociente que es igual a:a b

a b

A) 4

B) 3

C)1

D) 0

22. El valor numérico de la siguiente expresión 33 2142021420 es:

A) 1

B) 40

C) 4

D 3.9

23. Al descomponer en factores la expresión 3333

zyxzyx obtenemos:

3y)-3x)(z-(y3D)

C)(

y)-z)(z-y)(xB)3(x

))()((3)

222

zx

))(z-z )(y-yx-x

yzxzyxA

24. Si

31

2

rr

al calcular 3

3 1

rr

obtenemos:

A) 1

B) 3

C 0

D) r

25. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales sobre los números reales, donde x, y y z son variables y b es una

constante real.

x+ y + z=0

x+2y + 3z=0

x+ 2y + bz=0



74

Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

I. Solo existe un valor de b para el cual el sistema no tiene solución.

II. Solo existe un valor de b para el cual el sistema tiene exactamente una solución.

III. Solo existe un valor de b para el cual el sistema tiene más de una solución.

A ) II

B) II o III

C) I o II

D) I, II y III

26. Una fabrica compra empaques a $1.10 cada empaque, el gerente de la fabrica se da cuenta que si ellos los fabrican le costara a 60

centavos producir cada uno pero tendrán gastos generales de $3000, ¿cuantos empaques deben consumir como mínimo para que les

convenga fabricar ellos mismos sus empaques?

A) 6000

B) 6001

C) 3001

D) 1800

27. ¿Cuántos términos tiene la expresión [(a+3b)2 (a-3b)

2 ]

2 ?

A) 5

B) 8

C) 6

D) 4

28. Simplifica: a3a

3a

a3a

9a

9a

9a222

A) )9(

18332

2

aa

aa

B) )3(

)2(3

aa

a

C) )9(

18422

2

aa

aa

D) )3(

)2(3

aa

a

29. Encontrar el producto de todos los valores reales de x que satisfacen 155

20922

xx

xx

A) 1

B) 5

C) 10

D) 20

30. Relaciona las columnas de lenguaje común con lenguaje algebraico.

Lenguaje común Lenguaje algebraico

1. La semisuma de dos números cualesquiera. a.

22 yx

A) 1c , 2a , 3d

2. La diferencia de los cuadrados de dos

números cualesquiera.

b. 2

)( 2ba

B) 1b , 2a , 3c

3. El semiproducto de la suma de dos números

por su diferencia c. 2

yx

C) 1a , 2b , 3d

d. 2

))(( yxyx

D) 1c , 2b , 3d



75

31.- Para resolver la siguiente ecuación fraccionaria de primer grado con una incógnita, ¿cual es la secuencia correcta

para la solución? 5

8

4

3

2

x

1. Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita en un miembro y los que no tengan en el otro miembro.

2. Se simplifican los dos miembros, efectuando las operaciones necesarias.

3. Se eliminan denominadores, multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que

aparezcan.

4. Se despeja la incógnita.

A) 1, 3, 2, 4

B) 2, 1, 4, 3

C) 3, 1, 2, 4

D) 3, 2, 1, 4

32.- Para despejar la siguiente formula para convertir grados Fahrenheit a centígrados cuál es la secuencia correcta

para la solución. 32º

5

9º CF

1. CF º9160º5 A) 3, 1, 2, 4

2. )32(º5º9 FC

B) 3, 2, 1, 4

3. 160º9º5 CF C) 2, 3, 1, 4

4. )32(º

9

5º FC

D) 1, 2, 3, 4

33.- El área de un rectángulo es de 120 m2 y su perímetro es 46 m. ¿Cuánto mide de largo y ancho dicho rectángulo?

1. 8 largo, 16 ancho 1. 1 y 2

2. 8 largo, 15 ancho 2. 2 y 3

3. 15 largo, 7 ancho 3. 2 y 4

4. 15 largo, 8 ancho 4. 3 y 4

34.- Por la compra de 7 cajas de taquetes y dos cajas de clavos se pagan $31.00, pero si se compran 5 cajas de taquetes y

tres cajas de clavos se pagan $30.00. ¿Cuánto cuesta cada caja de taquetes y cada caja de clavos?

A) Taquetes $3.00 y clavos $2.00

B) Taquetes $5.00 y clavos $7.00

C) Taquetes $3.00 y clavos $5.00

D) Taquetes $3.00 y clavos $6.00

35.- Un alpinista desea cortar una cuerda que mide 213 metros de longitud en tres tramos. Si cada tramo debe tener dos

metros más que el tramo anterior, ¿Cómo debe hacer los cortes?

A) 65 73 75

B) 69 71 73

C) 64 73 76

D) 68 70 75



76

36.- Una fundación colegial es dueña de acciones de IBC (Industrias Baja California), las cuales tienen un precio de venta

en el mercado de valores de $54.00; de GS (General Sound), con valor comercial de $65.00 cada una y de acciones ATB

(Auto transportes “Tierra Blanca”), con un valor de $105.00 por unidad. La fundación es propietaria de cantidades

iguales de acciones de GS y de IBC, pero tiene 5 veces más acciones de ATB.

Sabiendo que los valores en cartera suman $450,800.00 ¿Cuál es valor total de acciones de cada empresa que posee la

fundación?

A) IBC= $ 64,400.00 GS= $ 64,400.00 ATB= $ 322,000.00

B) IBC= $ 50,000.00 GS= $ 50,000.00 ATB= $ 350,000.00

C) IBC= $ 37,800.00 GS= $ 45,500.00 ATB= $ 367,500.00

D) IBC= $150,268.33 GS= $150,268.33 ATB= $150,273.34

37.- Un granjero dispone de 28 metros de malla ciclónica para cercar un corral de forma rectangular. Por cuestiones de

manejo, el granjero desea que dicho corral mida 6 metros más de largo con respecto al ancho. Determina las

dimensiones del corral.

A) Largo: 17 Ancho: 11

B) Largo: 6 Ancho: 12

C) Largo: 22 Ancho: 6

D) Largo: 10 Ancho: 4

38.- Corte de una tabla. Un carpintero serrucha una tabla de 22 pies de longitud para cortarla en dos partes. Desea que

una de las partes tenga 1 pie más de longitud que la parte más corta. Determina la longitud de cada una de las partes.

A) 12 y 13 pies

B) 10.5 y 11.5 pies

C) 10 y 11 pies

D) 11 y 12 pies

39.- El costo de un par de palos de Golf es de $590.00. Si el palo de acero cuesta $40.00 más que el de madera, determina

el costo del palo de acero.

A) $ 335.00

B) $ 315.00

C) $ 295.00

D) $ 275.00

40.- Una librería pone a la venta dos tipos de calculadora, una de ellas científica y la otra calculadora graficadora. En

total la librería vendió 85 calculadoras que reportaron ingresos por venta equivalentes a $3875.00. Sabiendo que el costo

de las calculadoras es de $15.00 la científica y de $67.00 la graficadora. ¿Cuántas calculadoras de cada tipo vendió la

empresa?

A) 50 Graficadoras y 35 Científicas

B) 67 Graficadoras y 15 Científicas

C) 100 Graficadoras y 85 Científicas

D) 100 Graficadoras y 15 Científicas



77

APENDICE III GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA.

1. ¿Cuál es la altura, en metros de la torre Latinoamericana que proyecta una sombra sobre el piso de 24 m,

cuando el ángulo de elevación del sol es 30°?

A) 14m

B)

C)

D) 13 m

2. De los siguientes triángulos que tienen la misma área y sus bases tienen la misma medida, ¿cuál seria el de

menor perímetro?

A)

B)

C)

D)

3. ¿Cuál es el número máximo de ángulos rectos que puede tener un polígono regular de n número de lados?

A) 360

B) INFINITO

C) 4

D) 2

4. Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, teniendo cada uno de ellos un lado común con el triángulo.

Sabiendo que las superficies respectivas de los tres campos cuadrados son 160000 m2, 90000m

2, y 250000m

2 ¿Cuál es la

superficie del campo triangular?

A) 500000m2

B ) 120000m2

C) 12000m2

D )60000m2

5. La distancia entre dos pinos es de 40 m. Sus alturas son: 31 m y 6 m respectivamente como lo muestra la figura.

Calcular la distancia entre sus cimas.

A) 50.60m

B ) 47.2 m

C) 71m

D ) 44.4 m



78

6. ¿Cuál de las siguientes figuras NO muestra un eje de simetría?

A) B) C) D)

7. ¿Cuál rectángulo no esta dividido en cuatro partes iguales?

A)

B)

C)

D)

8. En la figura la medida del ángulo 110POR ,la medida del ángulo 90QOS y la medida de

140POS , ¿cuál es la medida del ángulo QOR ?

A) 40°

B) 60°

C) 30°

D) 20°

9. ¿Cuál de los siguientes criterios no es criterio de congruencia?

A) LAL

B) LLL

C) ALA

D) LLA



79

10. Un teodolito que se encuentra a 120m. del pie de una antena, inclina su lente a 45º tal que la

parte superior de la antena queda enfocada en la lente, si la altura del teodolito es un metro

¿qué altura tiene la antena?

A) 120m

B) 121m

C) 46m

D) 61m

11. Teorema. Un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso. Juan esta demostrando el Teorema por

contradicción. El empieza asumiendo que en el triángulo ABC, A y B son ángulos obtusos.

¿Cuál teorema podría usar Juan para lograr la contradicción?

A) Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a los ángulos, son iguales.

B) Si dos ángulos suplementarios son iguales, entonces cada ángulo mide 90°.

C) El ángulo más grande en un triángulo está opuesto el lado más largo.

D) La suma de la medida de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

45°

120m.

45°

120m.



80

12. Juan Manuel cortó un cuadrado de papel que tenía 20cm de perímetro y obtuvo dos rectángulos. Si el perímetro

de uno de los rectángulos recortados es 16cm. ¿Cuál es el perímetro del otro?

A) 8 cm

B) 9 cm

C) 16 cm

D) 14 cm

22.. En una hoja de papel de 15cm por 9 cm se cortaron cuadrados en cada una de sus esquinas para obtener una

cruz. Si cada uno de los cuadrados tenía un perímetro de 8 cm, ¿cuál es el perímetro de la cruz?

A) 48 cm

B) 40 cm

C) 32 cm

D) 24 cm

22.. El cilindro de la figura está hecho de dos círculos y un rectángulo de papel. Si el área de cada una de las piezas

es π, ¿cuál es la altura del cilindro?

A) 1/4

B) 1/2

C) 1/π

D) π2

22.. En la figura, ABC y CDE son dos triángulos equiláteros iguales. Si el ángulo ACD mide 80°,

¿cuánto mide el ángulo ABD?

A) 25°

B) 30°

C) 20°

D) 45°

16. ¿Cuál de las siguientes figuras representa un triángulo acutángulo?

A) B) C) D)

a b c d



81

17. En la figura si P es el punto medio del lado AB, la recta PQ recibe el nombre de:

A) mediana

B) altura

C)bisectriz

D)mediatriz

18. Al observar la figura, por el teorema de la desigualdad de triángulo se cumple que:

ac

b

A) a+b>c

B) a+b<c

C) a-b>c

D) b-c>a

19. La suma de los ángulos interiores de un polígono regular de 15 lados es igual a:

A) 2700°

B) 2340°

C) 2160°

D) 1980°

20. El Sen 129600° es igual a:

A) 0.121438

B) -1

C) 1

D) 0

21. La expresión trigonométrica

sen

coscot

x

xx

es equivalente a:

cos

1)

xsenxA

tan) xB

cos) xsenxC

xD cot)

C

A BP

Q



82

22.. Una gimnasta abre su compás en un ángulo de 75° si sus pies medidos desde la cadera miden 78cm. Cada uno cuál es la longitud que abarca la abertura de los pies. La figura ilustra los datos que se tienen, y el triángulo que estos forman. ¿cuál es la abertura de los pies?

A) 94.96cm.

B) 78cm.

C) 100cm.

D) 75.34cm.

23. El valor de x en el siguiente triángulo rectángulo es:

82x

10

A) 9

B) 6

C) 3

D) 18

24. De las siguientes afirmaciones para los rectángulos. ¿Cuál es incorrecta?

A) Los lados opuestos son paralelos

B) Los lados opuestos son iguales

C) Las diagonales son perpendiculares

D) Las diagonales son iguales

25. De los siguientes triángulos dos son semejantes.

a b c d

¿Cuáles son los dos triángulos semejantes? A) a y b

75°

78cm. 78c

mmm

Abertura de los pies

los pies?



83

B) a y c

C) b y c

D) c y d

26 Las bisectrices de los ángulos en los vértices B y C de un triangulo ABC forman entre si un ángulo de 110°, como

se muestra en la figura. ¿Cuánto vale el ángulo del triangulo cuyo vértice es A?

A) 50°

B) 55°

C) 70°

D) 40°

27 En el plano Euclideano. El punto A esta sobre la circunferencia de centro en el punto O, y O esta sobre la

circunferencia de centro en el punto A. Los círculos se intersecan en los puntos B y C. ¿cuál es la medida del ángulo

BAC?

A) 60°

B) 90°

C) 120°

D) 135°

28 El perímetro de un triangulo rectángulo es 24 y la hipotenusa mide 10, al calcular su área obtenemos:

A) 100

B) 34

C) 24

D) 14

29. Un cuadrilátero tiene dos ángulos iguales que miden cada uno 115°, si la medida del tercer ángulo es 70°, ¿cuál

es la medida del ángulo que falta?

A) 70°

B) 130°

C) 60°

D) No se puede saber

30. ¿Cuál ángulo en la figura tiene valor de 45° si la medida del ángulo m es 90°?

A) s

B) r

C) r+n

D) n



84

31. En la figura, los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los del grande. El área del cuadrado mas grande es 16 y el área

del cuadrado chico es 4. ¿Cuál es el área del cuadrado mediano?

A) 8

B) -8.5

C) 10

D) 12

32. Dos triángulos iguales se pegan por un lado. Después todas las esquinas de la figura obtenida se juntan en el centro. ¿Qué

figura se obtiene?

A) un triángulo

B) un rectángulo

C) una estrella

D) un rombo

33. Encontrar el valor de n, dado que AB es paralela a DE, ver figura:

A) 14

B) 8

C) 8.4

D) 6

33. Un cordón es enrollado alrededor de un rodillo circular. El cordón esta enrollado exactamente 4 veces alrededor del

rodillo (como se muestra en la figura de abajo) La circunferencia del rodillo es 4 cm y su longitud es 12 cm. Encontrar la

longitud del cordón.

A) 16cm

B) 20 cm

C) 48cm

D) 24cm

34. El perímetro de un rectángulo es 34 cm, y su área es 60 cm2 . ¿Cuál es el producto de las longitudes de las diagonales

en cm2?

A) 60 cm2

B) 169 cm2

C) 13 cm2

D) 17 cm2



85

35. En la figura de abajo, si 13

5senx

¿Cuál es cosx y tanx?

A) 12

5tan

13

12cos yx

B) 5

12tan

13

12cos yx

C) 12

5tan

12

13cos yx

D) 5

13tan

12

13cos yx

36. Un triangulo es bordeado por tres cuadrados. Si las áreas de los cuadrados son 225, 196 y 169 (ver figura) ¿cuál

es el área del triángulo?

A) 590 cm2

B) 52cm2

C) 84cm2

D) 168 cm2

37. La suma de los ángulos interiores de un polígono es 3060º ¿cuántos lados tiene este polígono?

A) 17

B) 15

C) 21

D) 19

38. En la figura se muestran cuatro círculos de radio 1 dentro de un círculo más grande. ¿Cuál es el área de la figura sombreada?

A)2

2

B) 2

22

C) 1)

2

21(

D)4



86

39. ¿Cuál de las siguientes funciones son positivas en el tercer cuadrante?

A) Tangente, Seno B) Tangente y Coseno C) Tangente y Cotangente D) Seno, Cosecante

40. Un piloto alcanza a ver el aeropuerto de una ciudad con un ángulo de depresión de 32º volando a una altura de 6096m.

Al cabo de un rato mantiene la altura y ve nuevamente el aeropuerto, pero ahora con un ángulo de depresión de 58º. ¿Qué

distancia recorrió entre las dos veces que vio el aeropuerto?

A) 2283.6 m

B) 5946.44 m

C) 1609 m

D) 6096 m

41. En la siguiente figura, determina la medida del ángulo A

A) 15°

B) 41°

C) 68°

D) 71°

42. Simplifica la expresión trigonométrica xxsenx cotcos

A) sen x B) csc x C) 1 D) 2 sen x

43. Una torre da una sombra 33.40 metros, y una persona que mide 1.80 metros da una sombra a la misma hora de 2.40 metros

¿Cuál es la altura de la torre?

A) 25.05m B) 60.12m C)44.53 D) 31.6

44. Un artista se ha comisionado para construir una estatua equidistante de los tres lados de un parque triangular. Si el artista

tiene un dibujo a escala del parque triangular. ¿Cuál de los siguientes trazos debe usar el artista para determinar la

ubicación correcta de la estatua?

A) Bisecando los ángulos dados.

B) Bisecando los segmentos dados.

C) Trazando las alturas.

D) Construyendo las medianas.

45 Un propietario desea saber que superficie tiene en un terreno de forma rectangular. Si solo cuenta con los datos

proporcionados en la figura ¿Cuál es la superficie total?

A) 18 m2

B) 32.5 m2

C) 60 m2

D) 65m2

13 m 5 m



87

46. Un alumno que mide 1.60 m de estatura se encuentra parado a un lado de la base del asta bandera, observa y

mide la sombra del asta que es de 8 m y posteriormente solicita a un amigo que mida la longitud de su sombra

que es de 2 m ¿Qué altura tiene el asta bandera en metros?

A) 6.40

B) 9.60

C) 10.00

D) 16.00

47. Establece la relación entre el punto notable del triángulo y las rectas notables que lo generan.

a) Incentro 1.- Mediatriz A) a1, b3, c4, d2

b) Circuncentro 2.- Alturas B) a3, b1, c4, d2

c) Baricentro 3.- Bisectriz C) a1, b3, c4, d2

d) Ortocentro 4.- Medianas D) a2, b1, c4, d3

48. Establece relación entre columnas de grados sexagesimales y su equivalente en radianes:

GRADOS RADIANES

1. 120o

a.

A) 1.c, 2.d, 3.b, 4.a

2. 150o

b.

B) 1.e, 2.d, 3.b, 4.a

3. 220o

c.

C) 1.e, 2.d, 3.c, 4.a

4. 270 d.

D) 1.e, 2.d, 3.b, 4.c

e.

49. Una persona desciende por un túnel de una mina de 340 m. de longitud con un ángulo de depresión de 18 .

¿Cuál es la expresión para obtener la distancia a la superficie en línea vertical?

A) 340 (cos 18 ) B) 340 (tan 18 ) C) 340 (sec18 ) D) 340 (sen 18°)

50. La escuela cuenta con un terreno de forma triangular con dimensiones de 18m., 18m y 18 m. de longitud por

cada lado. Usa la formula de Herón para determinar el área.

A) 19683 m2

B) 1587.26 m2

C) 972 m2

D) 140.29 m2



88

APENDICE IV GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. La ecuación simétrica de la recta que aparece en la gráfica siguiente es:

-2 0 -1 0 1 0 2 0

2 0

1 0

-1 0

-2 0

4-5xy D)

145

)

145-

a B)

145)

yxC

b

yxA

2. A Juan le cobran 50 pesos por alquilar una computadora y 2 pesos por cada hoja que imprima, escribe una

ecuación que describa el gasto que tuvo Juan por el alquiler de la computadora y la impresión de x número de

hojas. (Si representamos al gasto con la variable y)

A) y=50x+2 B) 50y+x+2=0 C) y=x+52 D) y=2x+50

3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+y-8=0 y 3x-

2y+9=0.

A) 4x+y+10=0

B) 2x-y-10=0

C) 2x+y-10=0

D) 4x+y-10=0

4. ¿Cuál es la fórmula para encontrar la distancia de un punto a una recta?

dbyAx D)

d C)

1

arctan B)

)

11

22

11

12

12

12

12

BA

CByAx

mm

mm

xx

yymA

5. Es la ecuación de la circunferencia en su forma canónica, sabiendo que los extremos de su diámetro son los

puntos A (-3,-5 ) y B(1,3)

A) B) C) D)

201122 yx 2011

22 yx 2011

22 yx 2011

22 yx



89

6. Determinar la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia

0392222 yxyx

en el punto p(4,5),

A) x+y=9 B) x+2y-14=0 c) 5x+4y-40=0 d) x-y+6=0

7. Dados los tres puntos A(0, 2); B(5, 0); C(0, 0), hallar la ecuación de la circunferencia forma canónica que pase

por los puntos anteriores.

A) B) C) D)

8. Siendo la parábola ¿Cuáles son las coordenadas del foco?

A) a) f(6, 5) B) f(-6,5) C) f(6, -5) D) f(-6, -5)

9. ¿Cómo se llama el lugar geométrico de los puntos, cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante?

A) Circunferencia B) Parábola C) Elipse D) Hipérbola

10. En una hipérbola la excentricidad siempre es:

A) igual a cero B) mayor que uno C) menor que uno D) igual a uno

11. El campeón nacional de ciclismo de montaña del año 2000, Ziranda Madrigal, originario de Uruapan

Michoacán, siguió una ruta que tiene tramos con diferentes pendientes como lo muestra la figura

AB

C

D

E

F G

H

Ruta de ciclista con tramos de pendientes distintas.

12. ¿Cuáles tramos de la ruta tiene pendiente negativa?

A) BC y EF B) DE y GH C) EF y GH D) AB, CD y FG

1. Dados dos puntos P(2,3) y Q (-1,0), hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q, perpendicular al segmento PQ.

1

01

012

01

xD)y

yC)x

x-yB)

A) x-y-

4

251

2

5 2

2

yx

4

291

2

5 2

2

yx

4

291

2

5 2

2

yx

4

291

2

5 2

2

yx

0124122 yxx



90

13. La compañía de teléfonos de TELMEX cobra una tarifa de renta mensual de $156.55 y $1.48 el minuto por llamadas de

larga distancia nacional. La compañía UNEFON, ofrece un servicio de telefonía celular, cobrando $230 por concepto

de renta mensual y $1 por minuto en llamadas de larga distancia nacional.

¿Cuál debe ser el consumo en minutos mensual, para que a una familia le convenga (pagar menos) cambiarse de TELMEX a

UNEFON?

A) Más de 153.02 minutos B) Más de 230 minutos C) Más de 156.55 minutos D) Más de 158.03 minutos.

14. Un barco se mueve en el mar en la dirección de la línea recta cuya ecuación es:

053 yx

El vigía observa un faro y por el radar se da cuenta que el faro tiene coordenadas )2,3(

. Si el barco sigue su

trayectoria, ¿cuál será la distancia más corta entre el faro y el barco? Las unidades de longitud consideradas son

kilómetros.

A) 2.5298 km. B) 12 km C) 8 km. D) 14 km

15. La ecuación general de una circunferencia está dada por 04222 yxyx

, de las siguientes ecuaciones

determina cual es su ecuación ordinaria,

A) 10)4(1 22 yx B) 10)2(1 22

yx C) 10)4(1 22 yx D) 5)2(1 22

yx

16. La ecuación general de la parábola mostrada en la figura es:

A) 028842 yxx

B) 028842 yxx

C) 028842 yxx

D) 028842 yxx



91

17. Cuál de las siguientes figuras se forma con la ecuación 04002516 22 yx

.

A) B)

C) D)

16. Por inspección de los coeficientes de las variables al cuadrado, decir qué tipo de cónica puede representar la

ecuación 022 yxyx .


19. ¿Cuál de las siguientes graficas representa 12

1 xy ?

A) B) C) D)

20. Por inspección de los coeficientes de las variables al cuadrado, decir qué tipo de cónica puede representar la ecuación

0123127777777 22 yxyx .


21. Que figura se forma, al unir los puntos medios de cualquier cuadrilátero?

A) Cuadrado B) Rectángulo C) Rombo D) Paralelogramo



92

22. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta que es bisectriz del segundo y cuarto cuadrante?

A)4

B) 135º C) uno D) menos uno

23. ¿Qué figura se forma, al cortar un cono entre su base y vértice?

A) Parábola

B) Circunferencia

C) Elipse

D) Hipérbola

24. Característica de la Ecuación ordinaria de una elipse con centro en el origen

2 2

2 21

x y

a b o

2 2

2 21

x y

b a

A) a = 0 B) a > b > 0 C) b > a D) a y b = 0

25. La hipérbola tiene eje transverso y también tiene…

A) Eje mayor B) Eje menor C) Eje conjugado D) Eje curvo

26. Es uno de los elementos propio y exclusivo de la hipérbola y no de las demás cónicas.

A) Lados recto B) Excentricidad C) Centro D) Asíntotas

27. La ecuación general de la hipérbola mostrada en la figura es:

A) 020101622 yxyx

B) 1416

22

yx

C) 028842 yxx

D) 11625

22

yx

28. Es la tangente del ángulo de inclinación de una recta

A) Distancia entre dos puntos B) Pendiente C) Punto medio D) La razón en que se divide al segmento

29. Cuándo dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es

A) Cero B) Infinito C) Menos uno D) Uno

30. Si una recta es creciente se dice que su pendiente es

A) Cero B) Negativa C) Menos uno D) Positiva



93

31. Si un punto divide a un segmento en una razón negativa este se encuentra en:

A) El punto medio del segmento B) A la derecha del segmento C) A la izquierda del segmento D) Fuera del segmento.

32. Pendiente del siguiente segmento es:

A) 4/3

B) 1/3

C) -4/3

D) -1/3

33. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –2 y cuyo intercepto con el eje Y es 4.

A) -2x+y-4=0 B) 2x+y-4=0 C) x-2y+4=0 D) -2x-y-4=0

34. La ecuación de la línea recta correspondiente a la gráfica siguiente es:

A) y=2x

B) y=3

C) y=2x+3

D) y=x

35. La parábola que tiene p negativa abre hacia:

A) A la derecha o hacia abajo B) A la izquierda o hacia abajo C) A la derecha o hacia arriba D) A la izquierda o hacia arriba

36. La abscisa al origen y la ordenada al origen de la siguiente recta son:

-2 0 -1 0 1 0 2 0

2 0

1 0

-1 0

-2 0

A) 5,-4

B) -5,4

C) 4,5

D) -4,5



94

37. Pedro quiere ingresar a un club privado de tenis. La afiliación al club “La raqueta” cuesta $ 1000.00 por año y da derecho al socio

a utilizar los campos de juego por una cuota de $ 8 pesos por hora.

En el club “El as” la afiliación CUESTA $ 800 pesos por año y el cargo por el uso

de los campos es por $ 12 pesos por hora.

En la gráfica se muestra la relación entre el número de horas por el costo de cada

escuela:

Costo (c)

“EL AS”

“LA RAQUETA”

$ 1000 pesos

$ 800 pesos

I I I I I Horas (h)

10 20 30 40 50

¿Cuál es la expresión algebraica que muestra que el costo sea el mismo en ambas escuelas?

A) 1000 + 800 = ( 8 – 12 )h

B) 1000 + 12h = 800 + 8h

C) 1000 + 8h = 800 + 12h

D) 1000 – 12h = 1000+ 8h

38. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (1, 2) y que pasa por el punto (3, - 1)?

A) ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 13

B) ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 =

C) ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 13

D) ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 13

39. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en ( - 1, 1) y que pasa por el punto (2, - 4)?

A) ( x - 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 34

B) ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 =

C) ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 34 2

D) ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 34

40. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en ( - 3, - 4) y que pasa por el punto (- 9, - 1)?

A) ( x + 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 =

B) ( x - 3 ) 2 + ( y - 4 ) 2 = 45

C) ( x + 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 45

D) ( x + 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 =



95

41.¿Cuál de las siguientes gráficas es la que representa a la parábola con foco en el punto ( - 3, 0 ) y

vértice en ( - 1, 0 )?

a) b)

c) d)

42. ¿Cuál de las siguientes gráficas es la que representa a la parábola con foco en el punto ( 10, 5 ) y vértice en ( 0, 5 )?

a) b)

c) d)



96

43. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a la elipse con centro C ( - 3, - 2 ) y eje mayor comprendido entre ( - 5, - 2 ) y

( - 1, - 2 )?

A)

B)

C)

D)



97

44. Observe la siguiente gráfica:

De acuerdo con los datos de la gráfica, ¿cuál es la distancia entre los puntos A y B?

A)

B)

C)

D)

45. Una antena parabólica, tiene 3.0 m de diámetro y 1.5 m de profundidad, si el receptor debe de colocarse en el foco, cual sería

la distancia respecto del vértice y la ecuación que describe la parábola.

A) 0.375 m, x2 = 6y

B) 0.750 m, x2 = 1.5y

C) 0.500 m, x2 = 6y

D) 0.375 m, x2 = 1.5y

46. Un reflector parabólico, tiene su fuente de luz (foco), a 60 cm del vértice y el diámetro es de 1.50 m, que profundidad debe

tener el reflector.

A) 0.23

B) 0.30

C) 0.60

D) 0.90

47. Las torres que soportan los cables parabólicos de un puente colgante, están separadas 183 m y tienen 30.5 m de altura y el eje

perpendicular al eje de simetría coincide con la superficie de rodamiento de los vehículos, calcule la altura de los cables a una

distancia de 45.75 m de una de las torres?.

A) 7.00 m

B) 7.22 m

C) 7.42 m

D) 7.62 m

48. Un arco elíptico, soporta un puente de 20 m de ancho, si tiene 6 m de altura, del centro del río, diga cual es su ecuación.

A) 9x2 +25y

2 +900 = 0

B) 25x2 +9y

2 -900 = 0

C) 9x2 +25y

2 -900 = 0

D) 25x2 +9y

2 +900 = 0

49. Una galería elíptica murmurante de 30.50 m de longitud, contiene situados sus focos a 7.63 m del centro, calcule a que altura

deberá estar el techo, en el centro, para que se escuchen dos personas situadas en sus focos.

A) 12.60 m

B) 7.22 m

C) 7.42 m

D) 13.20 m

E)



98

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

x

y

-1.5x10^4 -10^4 -5000 0 5000 10^4 1.5x10^4

-100

-50

0

50

100

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

50. La órbita de un planeta alrededor del sol es una elipse, con el sol en uno de los focos. EL AFELSO de un planeta es su mayor

distancia al sol y el PERIHELIO su menor distancia. LA DISTANCIA MEDIA de un planeta al sol es la longitud del

semieje mayor de la órbita elíptica. La distancia media de la tierra al sol es de 93 millones de millas. Si el afelio de la tierra

es de 94.5 millones de millas, ¿Cuánto mide su perihelio? ¿Cuál es la ecuación para la órbita de la tierra alrededor del sol?

A) Perihelio = 91.5 millones de millas; 175.864693 2

2

2

2

xy

B) Perihelio = 91.0 millones de millas; 19375.8646 2

2

2

2

yx

C) Perihelio = 91.5 millones de millas; 175.864693 2

2

2

2

yx

D) Perihelio = 90.0 millones de millas; 175.864693 2

2

2

2

xy

(escala vertical≠horizontal)

51. ¿Cuál es el valor de la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b) de la recta que se muestra en la gráfica?

A) 3

7m ; 3b

B) 7

3m ; 3b

C) 3

7m ; 3b

D) 7

3m ; 3b

52. ¿Cuál es el valor de la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b) de la recta que se muestra en la gráfica?

A) 2m ; 2b

B) 2m ; 4b

C) 2

1m

; 4b

D) 7

3m

; 3b



99

x

y

-400 -200 0 200 400 600 800

0

10^4

2x10^4

3x10^4

x

y

-100 -50 0 50 100 150 200

-2000

0

2000

4000

6000

53. La relación entre grados Celsius y Fahrenheit, es lineal, encuentre la ecuación si 0°C corresponde a 32°F; y 100°C es igual a

212°F

A) )32(

59 FC

B) )32(

95 FC

C )32(

95 FC

D) )32(

59 FC

54. En el verano pasado la CFE suministró, electricidad a $110.30 costo fijo mas 10.819 centavos. Por kw-hr , cual es la

ecuación que relaciona el cargo mensual c, con el número x de kw-hr al mes.?

A) c = 0.10819x + 110.30 B) c = 1.10819x – 110.30 C) c = 10.10819x – 110.30 D) c = 0.10819x + 110.30

55. Un autor recibe honorarios por 15,000 fijos, mas 25 por cada libro vendido, en la gráfica se representan sus honorarios, por

100 y 250 libros vendidos, calcula su pago por 500 libros.

A) 30,000

B) 27500

C) 25000

D) 22500

escala vertical≠horizontal

libros

56. Se colocarán 45,000 pares de zapatos, cuando el precio sea de 320 por par y 50,000 cuando cuesten 300, cual será la

pendiente y ordenada al origen de la ecuación de la oferta, suponiendo una relación lineal.

m = 250; b = 1250000

A) m = 250; b = 125000

B) m = -250; b = -1250000

C) m = -250; b = 1250000

57. El costo variable de fabricar una mesa es de $50 y los costos fijos, son de $250 al día,

con la grafica, obtén el costo de fabricar 100 mesas al día.

(Escala vertical≠horizontal)

A) 5250

B) 6250

C) 4000

D) 5000



100

x

y

-1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

-8

-6

-4

-2

0

2

4

A

58. Observe la siguiente gráfica que produce un avión al descender y diga cual es su expresión algebraica.

A) 42 xy

B) 42 xy

C) 42

1 xy

D) 22

1 xy

59. Las trayectorias que producen dos gaviotas al pescar, se representa en la gráfica, cuales son las expresiones que las satisfacen?

A) 3x-2y = 8; 5x+3y = 10

B) 7x+2y = 8; 5x+3y = 10

C) 3x-2y = 8; 5x+3y = 12

D) x + y = 4; 5x-3y = 12

60. La gráfica siguiente, representa el incremento en las ventas en cierto periodo, de una empresa de ropa, señale, cual es el valor del Angulo A, que forma la recta con el eje x.

A) >45°

B) =45°

C) <45°

D) ≠45°



101

x

y

-6 -4 -2 0 2

0

5

10

15

x

y

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

-100

-50

0

50

100

x+2y-60=0

x+2y+30=0

x+2y-30=0

2x+y-30=0

61. Cuál es la función que representa la tabulación que se indica.

A) 22 xy

B) 22 xy

C) 22 xy

D) 22 xy

62. Un recipiente con 30 litros, se vacía a razón de 1000 ml cada dos minutos, cual es la gráfica que representa la situación problemática?

A) 2x + y – 30 = 0

B) x + 2y – 60 = 0

C) x + 2y – 30 = 0

D) x +2 y + 30 = 0

63. Una variedad (z) de un árbol, crece con respecto al tiempo, de acuerdo a los datos siguientes.

Crecimiento 10 cm 28 46 64 82 100

Tiempo 0 días 4 8 12 16 20

Cual es la expresión matemática, que corresponde al crecimiento del árbol (z)

A) 5x + 7y – 30 = 0

B) 7x - 5y + 20 = 0

C) 9x - 2y + 20 = 0

D) 11x + y + 30 = 0

x y

-3 1

-2 0

-1 1

0 4

1 9

2 16



102

x

y

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

50

100

64. Pedro elaborará gelatinas, para ello debe calentar 5 lt de agua hasta 90°C, agregar la gelatina, disolver y dejar enfriar a temperatura ambiente del lugar (20°C) si la ecuación que

representa el enfriamiento es 3

2702

tT , a que temperatura estará la gelatina a los 60

minutos, si T= temperatura en °C ; t = tiempo en minutos?

A) 80°C

B) 70°C

C) 60°C

D) 50°C



103

APENDICE V PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

1. Un técnico de control de calidad selecciona piezas ensambladas de una línea de montaje y registra la siguiente

información sobre cada pieza: a) defectuosa no defectuosa, b) el peso de la pieza c)el número del trabajador que

ensamblo la pieza. ¿Cuál es la población?

A) El peso B) Defectuoso C) Piezas ensambladas D) El número del trabajador.

2. ¿La mejor forma de organizar los datos es?

A) De mayor a menor. B) De menor a mayor. C) Con una distribución de frecuencias. D) de dos en dos.

3. Es el número de veces que aparece determinado valor de la variable en cuestión en una muestra:

A) Marca de clase B) Frecuencia C) Intervalo D) Amplitud

4. El señor Juan Pérez usó la regresión lineal para comprender su recibo telefónico mensual. La recta que mejor

ajusta es y=23.65+1.28x; x es el número de llamadas de larga distancia efectuadas durante un mes y y es el costo

total telefónico de un mes. El significado de la ordenada 23.65 es:

A) Que se paga 23.65 por cada llamada.

B) Que se paga mensualmente 23.65 cuando no se hacen llamadas de larga distancia.

C) Que se realizan 24 llamadas de larga distancia en un mes.

D) Que el pago mensual nunca será de 23.65.

5. ¿Representa el promedio del cuadrado de las variaciones de los datos con respecto a su media?

A) La desviación estándar B) La desviación absoluta C) Rango D) La varianza

6. En un experimento suceden los eventos A y B estos dos eventos no son excluyentes. ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es cierta?

A) 1BAP B) 0BAP C) 0BAP D) 2BAP

7. Un examen contiene 50 preguntas de opción múltiple y cada pregunta tiene 5 posibles respuestas. Si un estudiante

contesta todas las preguntas, ¿de cuántas formas diferentes puede contestar el estudiante el examen?

A) 550

B) 505 C) 5!X50 D) 5X50!

8. En una urna hay 2 canicas azules, 4 canicas rojas y 2 amarillas. Si dos canicas son extraídas de la urna al azar, ¿cuál

es la probabilidad de que ambas sean del mismo color?

A)7

2 B)

5

2 C)

7

3 D)

2

1



104

9. Se lanzan dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea por lo menos 3?

A)36

1 B)

36

3 C)

36

35 D)

36

34

10. Pedro mala suerte compró una computadora marca “patito” . El sabe que el 5% de esas computadoras tiene un

defecto en el disco duro y el 8% tiene un defecto en el monitor y que 1% tiene tanto el monitor como el disco duro

defectuosos. Al desempacarla se da cuenta que el monitor está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el disco

también este defectuoso?

A) 0.02 B) 0.125 C) 0.2 D) 0.09

11. En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C fabrican 25%, 35% y 40 % de la producción total,

respectivamente. De lo que producen, 5%, 4% y 2% respectivamente son pernos defectuosos. Se escoge un perno al

azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el perno provenga de la máquina A?

A) 0.278 B) 0.362 C) 0.406 D) 0.232

12. Una caja contiene 100 CD de los cuales 10 son defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de que si sacamos al azar 5 CD, los

cinco sean defectuosos?

A) 0.05 B) 0.416 C) 0.0000033 D) 0.583

13. Cuando 20 niños se forman en línea para recibir un regalo de reyes, Pedrito insiste en estar adelante siempre de Juanito. Si

Pedrito es complacido ¿De cuántas maneras diferentes pueden formarse en la línea los niños?

A) 20! B) 19! C) 18! D)2

!20

14. Una caja contiene 25 tornillos en buen estado y 80 defectuosos, cual es la probabilidad de sacar de la caja al azar, un

tornillo en buen estado?

A) 0.23 B) 0.76 C) 0.31 D) 0.04

15. ¿Cuántos números telefónicos de 7 cifras diferentes hay que no empiecen con cero?

A) 181440 B) 544320 C) 151217 D) 5040

16. 3 Caballos intervienen en una carrera sean estos A, B y C, A tiene la doble posibilidad de ganar que B, y B tiene el doble

que C, ¿Cuál es la probabilidad de que gane A?

A) 2/3 B) 4/7 C) 2/7 D) 1/7



105

17. Hay sólo una canica roja en cada una de estas bolsas

Si tienes que sacar una canica de cada bolsa sin mirar dentro. ¿qué bolsa nos ofrece más posibilidades de sacar la canica roja?

A) La bolsa con 10 canicas. B) La bolsa con 100 canicas. C) La bolsa con 1000 canicas. D) En todas las bolsas tenemos las

mismas probabilidades.

18. Cada una de las seis caras de un cubo están pintadas de rojo o azul. Al lanzar el cubo, la probabilidad de

que quede una cara roja arriba es 2/3

¿Cuántas caras son rojas?

A) Una B) Dos C) Tres D) Cuatro

19. Un entrenador de Voliball cuenta con 10 jugadores. ¿Cuántos equipos distintos pueden formar? El problema es

de?

A) Permutaciones B) Ordenaciones C) Combinaciones D) Ninguno

20. Con cinco colores se desea formar banderas de tres colores. ¿Cuántas banderas distintas se pueden formar?

A) 120 B) 30 C) 15 D) 60

21. Al encontrar la probabilidad de que una persona determinada haya nacido en noviembre o diciembre, obtenemos:

A) 1/12 B) 1/6 C) 30/365 D) 2/365

22. El gerente de una tienda de ropa está interesado en estudiar el comportamiento en los hábitos de compra de los

posibles clientes que hacen uso de los probadores. Los resultados extraídos de la bitácora son:

COMPRO NO COMPRO TOTAL

Hombre 60 60 120

Mujer 180 420 600

TOTAL 240 480 720

Si seleccionamos al azar un cliente ¿cuál es la probabilidad de que éste no compre?

A) 120/720

B) 480/600

C) 480/720

D) 240/480



106

23. Las placas de las bicicletas en Juliaca Perú, se forman con un digito del uno al nueve y una letra del abecedario (26

letras) si se solicita una placa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la placa 7F?

A) 1/35 B) 1/2 C) 2/35 D) 1/234

24. En un grupo de expedientes médicos se clasifican a los pacientes por género y por tipo de diabetes (I o II) Los

agrupamientos pueden ser como sigue, en la tabla se muestra el número de pacientes en cada categoría.

TIPO DE DIABETES

GÉNERO I II

MASCULINO 25 20

FEMENINO 35 20

Si aleatoriamente se elige un expediente, encuentra la probabilidad de que la persona seleccionada, padezca diabetes tipo II o

sea mujer.

A) 40/100 B) 75/100 C) 40/55 D) 95/100

25. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un as de una baraja convencional de 52 cartas.?

A) 1/52 B) 13/52 C) 4/52 D) 1/4

26. En un experimento aleatorio se encontró que el evento A tuvo una probabilidad de 0.7 ¿Cuál es la probabilidad del

evento A complemento=A’?

A) P(A’)=0 B) P(A’)=0.93 C) P(A’)=0.35 D) P(A’)= 0.3

27. Una encuesta realizada a 500 alumnos de primer semestre sobre cuanto les dan por día sus padres para gastos de

transporte y alimento mostró los resultados siguientes:

Gastos $35

6.25%

Gastos $20

37.50%

Gastos $10Gastos $40

12.50%

Gastos $15

25.00%

Determine a cuántos alumnos les dan $10 para sus gastos.

A) 97

B) 94

C) 92

D) 90



107

28. En un grupo de 12 niños y niñas de un jardín de infantes, a 6 les gustan las tortas de jamón, a 7 las hamburguesas y

a 4 ambas cosas.

¿A cuantos del grupo no les gusta ninguno de esos alimentos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

29. El concurso semanal de los pronósticos de fútbol en México consta de 14 partidos; cada uno tiene tres resultados

posibles: triunfo para el local o el visitante y empate.

¿De cuantas maneras puede llenarse la lista de los 14 encuentros de fútbol?

A) 14 348 907 B) 4 782 969 C) 59 049 D) 2 744

30. Supón que el futbolista brasileño Ronaldihno anota un promedio de 1.2 goles por partido jugado. Determina la

probabilidad de que en un partido cualquiera, Ronaldihno anote dos goles

A 0.2024 B) 0.2168 C) 0.2205 D) 0.2248

31. Un ama de llaves tiene 10 llaves en un cajón. Acaba de comprarse dos nuevos llaveros circulares y desea poner cinco

llaves en cada uno. ¿De cuántas maneras lo puede hacer si sólo importan las posiciones relativas de las llaves entre

sí?

A) 145152 B) 145245 C) 145307 D) 145454

32. Una señora escribió cuatro cartas y las lleva al correo, donde encuentra que hay tres buzones y cualquiera de ellos

sirve para que deposite sus cartas. ¿De cuantas maneras lo puede hacer?

A) 9 B) 27 C) 64 D) 81

precalculo 2009

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