Preparandonos para Bachillerato

Prof. Edward Parra Salazar (Editor)

Universidad de Costa Rica.Colegio Cientfico Costarricense, Puntarenas

Sobre este texto

Este pequeno folleto o manual, surge hace algunos anos en Colegio Cientfico Costarricense, Sede Puntarenas. Nacecomo una forma de ensenar LATEX a un grupo de estudiantes y que a su vez sirviera de gua y practica para las pruebasnacionales. As empieza esa pequena aventura que hoy se convierte en papel o un pdf.Ha sido elaborada por mis estudiantes y mi aporte significativo ha sido la edicion y supervision a lo largo de estos anos. Deah, es un trabajo en constante evolucion, que trata de complementar los aspectos teoricos relacionados con el examende Matematicas del Ministerio de Educacion Publica, de Costa Rica.Pero tambien, su principal funcion es ser un referente para precalculo. Es as como este material es un refuerzo, no unlibro de texto. Aqu se encuentran algunos conceptos claves, pero simplificados de los contenidos de precalculo, de ahque se debera considerar como complemento al estudio de las matematicas de secundaria.Este material es una recopilacion bibliografica, los libros que se usaron se encuentran en su respectiva seccion, noprecisamente dentro del texto. Dado que es un manual de referencia para estudio, no se usan las citas correspondientes,pero no se pretende por ningun motivo quitar el credito correspondiente a los autores citados.Un agradecimiento muy especial a las diversas generaciones del CCC de Puntarenas, a la generacion 2013 por su granapoyo y a la generacion 2015 por sus aportes, a la Coordinacion de Accion Social de la Universidad de Costa Rica,as como mis asistentes Oldemar Ramrez, Carolina Vargas y Lisseth Lopez, por sus valiosas observaciones. Graciasmuchachos por seguirme la corriente en este loco viaje.

Edward Parra SalazarPuntarenas, 17 de febrero de 2015

Digitado en pdfLATEX, usando el formato del libro: Edicion de Textos Cientficos con LaTeX. Composicion, Graficos, Inkscape yPresentaciones Beamer del Instituto Tecnologico de Costa Rica.

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Contenido

I Repaso de aspectos teoricos 1

1 Algebra 31.1 Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Factorizacion de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Ecuaciones e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Ecuaciones lineales o de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Ecuaciones cuadraticas o de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.4 Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.5 Inecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Funciones 132.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Transformaciones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Clases de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Operaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Funcion Lineal 233.1 La pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Que representa m? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Funcion Cuadratica 274.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Grafica de una funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1 Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.2 Vertice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.3 Eje de simetra: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.4 Intersecciones con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iv CONTENIDO

4.2.5 Ambito de una funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.6 Analisis de la funcion cuadratica a partir de la grafica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Funciones exponenciales y logartmicas 315.1 Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1 Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1.2 Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.1.3 Caractersticas de la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.1.4 Graficas de Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.1.5 Exponencial natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Funcion logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2.2 Graficas de funciones logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.3 Logaritmos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.4 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4 Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Geometra 436.1 Crculo y circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.2 Posiciones relativas entre dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.3 Proposiciones y teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.4 Angulos del circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.5 Proposiciones y teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.1.6 Regiones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2.1 Paralelogramos y no paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3 Clasificacion de Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4 Elementos de un polgono convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5 Polgonos inscritos y circunscritos en una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.6 Teoremas sobre polgonos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.7 Polgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.8 Angulo central de un polgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.9 Regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.10 Areas de triangulo y cuadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.10.1 Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.11 Area de un polgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.12 Razones entre lneas y areas de polgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.13 Solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.13.1 El cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.13.2 El paraleleppedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.13.3 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.13.4 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.13.5 Conos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.13.6 Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.13.7 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

CONTENIDO v

7 Trigonometra 597.1 Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1.1 Angulos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.1.2 Angulos Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.1.3 Medida de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.1.4 Sistema de radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.1.5 Angulos Cuadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.1.6 Angulos Coterminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.1.7 Medida de un angulo en grados o radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2 Circunferencia Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2.1 Angulos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3 Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3.1 Transformaciones de graficas seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4 Funciones Trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.4.1 Funcion seno inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4.2 Funcion coseno inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4.3 Funcion tangente inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.5 Identidades Triginometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.1 Identidades trigonometricas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.2 Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.3 Paridad de las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5.4 Imagen de una suma o de una resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5.5 Imagen doble de un numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5.6 Imagen de la mitad de un numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5.7 Ecuaciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

II Anexos: Examenes del Bachillerato de MEP y del proyecto MATEM de la Universidad deCosta Rica y el Instituto Tecnologico de Costa Rica. 69

8 Examenes y practica 71

Parte I

Repaso de aspectos teoricos

1 AlgebraLa palabra algebra procede de al-jabr1, que es una de las dos operaciones utilizadas en el libro de al-Khwarizmi pararesolver ecuaciones lineales y cuadraticas.El algebra tuvo sus primeros avances en Babilonia, unos 1000 aec. Ellos usaban el algebra para resolver ecuaciones deprimer y segundo grado. Mientras que la mayora de los egipcios de esta epoca resolvan ese tipo de ecuaciones pormetodos geometricos.Los griegos usaban el algebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitagoras. Losmatematicos mas destacados en este tiempo fueron Arqumedes, Heron y sobre todo Diofanto de Alejandra.Luego, los matematicos arabes desarrollaron metodos algebraicos mas complejos. Al-Khwarizmi fue el primero en resolverecuaciones usando metodos generales.Un avance importante en el algebra fue la introduccion, en el siglo XVI, de smbolos para las incognitas y para las opera-ciones y potencias algebraicas.En el siglo XVII aparece el Libro III de la Geometra (1637), escrito por el frances Rene Descartes, el cual se parece aun texto moderno de algebra. Otra contribucion importante de Descartes a las matematicas, fue el descubrimiento de lageometra analtica, que reduce la resolucion de problemas geometricos a la resolucion de problemas algebraicos.Durante el siglo XVIII se continuo trabajando en la teora de ecuaciones y en 1799 con el matematico aleman Carl F.Gauss, el algebra haba entrado en su etapa moderna.Ya en el siglo XIX el algebra se unio con exito con otras ramas de las matematicas como la Logica (Algebra de Boole), elAnalisis Matematico y la Topologa ( Algebra Topologica), entre otras.

1.1 Expresiones algebraicas

Una expresion algebraica es la representacion de cantidades utilizando variables o constantes, as como numeros realesen determinadas situaciones.

Leyes de potencias para expresiones algebraicas

an am = an+m

an

am= anm

a0 = 1

(an)m = anm

(ab)n = an bn

ab

n=

an

bn

1Para al-Khwarizmi, es el metodo en el que se pueden eliminar cantidades negativas de una ecuacion, sumando la misma cantidad a cada lado.Se puede reducir x2 = 50x5x2 a 6x2 = 50x sumando 5x2 a ambos lados.

4 Algebra

a1 =1a;ab

1=

ba a

n =1an

;ab

n=

ba

n a

nm = m

pan = ( m

pa)n

Simplificar una expresion algebraica

Simplificar una expresion algebraica significa expresarla de manera que cada variable tenga un unico exponente positivo.Para simplificar expresiones algebraicas, se debe utilizar las leyes de potencias, y resolver las operaciones aritmeticasnecesarias.Para calcular una raz nesima de una expresion algebraica debe dividirse los exponentes de las variables involucradasentre el ndice. Por ejemplo: p

x16 = x162 = x8

Siempre que aparece un radical, debemos tener presente que esto restringe los valores que puede tomar la variable quetenemos. Por ejemplo,

px tiene valor numerico real unicamente si x 0.

Racionalizacion de expresiones algebraicas

Racionalizar una expresion radical significa expresarla sin radicales en su denominador.Para racionalizar una expresion de la forma

apxse multiplica el numerador y el denominador de la fraccion por

px.

Operaciones con expresiones algebraicas

La multiplicacion y la division de expresiones algebraicas se realizan siguiendo el mismo procedimiento que con numerosreales:

Para multiplicar expresiones algebraicas se multiplican los numeradores y tambien los denominadores:ab pq=

a pb q

Para dividir expresiones algebraicas se multiplica la primera fraccion por el recproco de la segunda:ab p

q=

a qb p

Para la suma y resta de expresiones algebraicas debemos tener en cuenta la siguientes definiciones:

Un termino es una expresion algebraica que no se puede descomponer como la suma o resta de expresionesalgebraicas mas simples.

El coeficiente numerico es la parte de un termino formada por las constantes y numeros reales mientras que el

factor literal esta constitudo por variables. Por ejemplo, en2xpy3

el coeficiente numerico es23, mientras que el

factor literal es xpy. Dos terminos se dicen semejantes si sus factores literales son identicos.

Para sumar o restar terminos es indispensable que sean semejantes y el procedimiento para hacerlo es similar al de lasexpresiones radicales: se conserva el factor literal y se operan los coeficientes.Por ejemplo: 2x+4x= 6x o bien 3y

px ypx= 2ypx.

51.2 Polinomios

Monomios

Definicion 1.1 Un monomio es un termino algebraico, donde cada variable tiene exponente entero positivo.

Una de las propiedades mas importantes de los monomios es que al encontrar el valor numerico al sustituir las variablespor numeros reales siempre es un numero real.

Observemos que la expresionx2

xno puede considerarse un monomio, ya que el valor numerico de

x2

xpara x = 0 es in-

definido. Recordemos que la simplificacionx2

x= x es posible unicamente si asumimos que x 6= 0, y una de las propiedades

de los monomios es que no sera nesesaria ninguna restriccion para simplificar expresiones.El grado de cada variable es el exponente respectivo en el monomio, mientras que el grado global es la suma de los gradosde cada variable. Por ejemplo: En 5x5y, el grado de cada variable: x es 5, y es 1 y el grado global del termino es 6.

Clasificacion de polinomios

Un polinomio es la suma o resta de monomios que no son semejantes. Un polinomio se dice que esta expresado en laforma estandar si los grados de los monomios que lo forman estan decreciendo. Por ejemplo: 5x4+ x32xy+2.

Los polinomios se clasifican de 3 formas:

Clasificacion por numero de variables: Es la cantidad de variables distintas que aparecen en el polinomio. Por

ejemplo: 12x3+ xy z tiene 3 variables, y x+2y3

tiene 2.

Clasificacion por numero de terminos: Es el numero de monomios no semejantes que lo conforman: si el polinomiotiene 1 termino se llama monomio, si tiene 2 se le llama binomio, si tiene 3 es un trinomio, de 4 en adelante se llamapolinomio.

Clasificacion por grado: El grado de un polinomio lo definimos como el grado del monomio de mayor grado global.Por ejemplo: x2+2 tiene grado 2 y 2x2y23x3+2 tiene grado 4.

1.2.1 Operaciones con polinomios

Suma y resta de polinomios Debemos tener en cuenta que cuando una constante multiplica a un polinomio debemosaplicar la ley distributiva: k (a+b) = ka+ kb.Suma de polinomios Para sumar polinomios se suman los monomios semejantes que contengan.

Cuando unicamente un + antecede a un parentesis se elimina dejando los signos de los coeficientes como estan.

Para distinguir entre los monomios semejantes los marcamos de alguna manera: puede ser con colores diferentespara cada factor literal o bien subrayandolos de manera distinta.

Resta de polinomios Para restar polinomios se debe reescribir el sustraendo (polinomio a ser restado) con los signosopuestos, luego se suman los polinomios obtenidos.

Cuando unicamente un antecede un parentesis se debe cambiar todos los signos del polinomio dentro delparentesis.

6 Algebra

Multiplicacion de polinomios

Monomio por monomio Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes numericos y se suman los expo-nentes de las variables iguales.

En una variable se sigue la siguiente ley: axn bxm = (ab)xn+m

Monomio por polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de losmonomios que conforman el polinomio. Se sigue la ley de distribucion: a(b+ c) = ab+ac

Binomio por binomio Para multiplicar dos binomios se multiplica cada uno de los monomios del primer binomio porcada uno de los monomios del segundo binomio:

(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd

Formulas notables

Sean a,b 2 R o bien expresiones algebraicas. Entonces, se cumple la siguiente formula:1. (a+b)2 = a2+2ab+b2

2. (ab)2 = a22ab+b2

3. (a+b)(ab) = a2b2

Racionalizacion de denominadores binomios Dos binomios se dicen conjugados si son de la forma: (a+b) y (ab).Por ejemplo: El conjugado de 2

p3 x es 2p3+ x.

Para racionalizar una expresion cuyo denominador es un binomio con races cuadradas, se debe multiplicar el numeradory el denominador por el conjugado del denominador.

Division de polinomios

Division monomio entre monomio Para dividir un monomio entre un monomio se restan los exponentes de las variablesiguales y se simplifican los coeficientes numericos.

Division polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los terminos delpolinomio entre el monomio.

Division polinomio entre polinomio Para dividir un polinomio entre otro polinomio se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se escriben en forma estandar los polinomios, completando con ceros si falta algun termino.

2. Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

3. Se multiplica ese resultado por cada termino del divisor.

4. Se resta el resultado de los monomios semejantes (La resta equivale a cambiar los signos).

5. Se baja el siguiente monomio y se repite el proceso hasta que ya no se pueda dividir mas (Esto es cuando el gradodel residuo es menor que el grado del divisor).

71.2.2 Operaciones combinadas

Para resolver operaciones combinadas entre monomios se siguen los siguientes pasos:

1. Parentesis, siempre de adentro hacia afuera.

2. Exponentes.

3. Multiplicaciones y divisiones, en el orden que aparezcan.

4. Sumas y restas, en el orden que aparezcan.

1.3 Factorizacion de Polinomios

Factor comun

El factor comun es un monomio o polinomio que esta presente en todos los terminos del polinomio que queremos factorizar.

El factor comun de un polinomio esta compuesto por:

El maximo comun divisor (MCD) de los coeficientes numericos de los terminos del polinomio.

Los factores literales que estan repetidos en todos los terminos, elevados al menor exponente con que aparece enel polinomio.

Para factorizar un polinomio por medio del factor comun se debe seguir los siguientes pasos:

1. Se identifican los factores repetidos, para encontrar el factor comun.

2. Se divide cada uno de los terminos del polinomio entre el factor comun.

3. Se escriben dentro de un parentesis, los terminos que se obtienen en el paso 2.

4. El factor comun queda multiplicando fuera del parentesis.

Trinomios cuadraticos perfectos

Los trinomios cuadraticos perfectos son el resultado de expandir la I o II formula notable. Recuerde que: (a b)2 =a22ab+b2.

Caractersticas Los polinomios, ya ordenados que se pueden factorizar mediante la I o II formula notable tienen lassiguientes tres caractersticas:

Tienen tres terminos y estos no tienen ningun factor comun.

El primer y el tercer termino son cuadrados perfectos, de coeficientes positivos.

CONDICION DEL SEGUNDO TERMINO: El resultado de multiplicar las races cuadradas del primer y el tercertermino por 2 es igual al segundo termino

Para factorizar trinomios cuadraticos perfectos se debe seguir los siguientes pasos:

8 Algebra

1. Se encuentran a y b. Estos deben ser las races cuadradas del primer y el tercer termino.

2. Se verifica que cumplan con la condicion del segundo termino.

3. Por ultimo, se identifica si es la I o II formula notable, dependiendo del signo del segundo termino, y se escriben losterminos en la formula notable correspondiente:

a22ab+b2 = (ab)2

Factorizacion por diferencia de cuadrados

Los binomios que son una diferencia de cuadrados son el resultado de expandir la III formula notable, la cual estableceque: (ab)(a+b) = a2b2

Caractersticas Los polinomios, ya ordenados, que se pueden factorizar por medio de la III formula notable tiene lassiguientes caractersticas:

Tienen dos terminos y estos no tienen ningun factor comun.

Ambos son cuadrados perfectos.

Los terminos son de diferente signo.

Para factorizar diferencias de cuadrados se extraen las races cuadradas de los terminos y se utiliza la formula:

(ab)(a+b) = a2b2

Factorizacion por suma y resta de cubos

Para factorizar la diferencia o suma de dos cubos, extraemos la raz cubica a cada termino y expresamos la factorizacionutilizando las formulas:

a3+b3 = (a+b)(a22ab+b2)a3b3 = (ab)(a2+2ab+b2)

Factorizacion por formula general

La formula general se utiliza para resolver ecuaciones de segundo grado con una incognita pero tambien es util para lafactorizacion de un polinomio de la forma ax2+bx+ c, con a,b,c 2 R y a 6= 0.

Formula general para ecuaciones cuadraticas:

x=bpb24ac

2a

Formula alternativa: x1 =b+pb24ac

2ay x2 =

bpb24ac2a

La expresion b24ac recibe el nombre de discriminante y se denota con el smbolo D. es decir:D= b24ac

Por lo tanto, la formula general tambien se puede expresar de la siguiente manera:

x=bpD

2a

9Por ultimo, para presentar la factorizacion de un polinomio es necesario igualar a cero la formula general alternativa y asdeterminar los factores del polinomio.

Nota: Cuando el discriminante es negativo (D < 0) el polinomio no tiene factorizacion porque la raz cuadrada de unnumero negativo no existe en el conjunto de los numeros reales R.

Factorizacion por inspeccion

La factorizacon por inspeccion, se utiliza para polinomios de la forma ax2+bx+ c, con a,b,c 2 R y a 6= 0, donde la razcuadrada del discriminante es un numero entero (o sea, es una raz exacta).

La factorizacion debe ser de la forma ax2+bx+c= (Ax+B)(Cx+D), donde A,B,C 2 Z. Se deduce que A C= a, B D=c, A D+B C = b.

Nota: Este metodo tambien es aplicable a trinomios de la forma ax2+bxy+cy2, en cuyo caso la factorizacion debe ser dela forma (Ax+By)(Cx+Dy).

Factorizacion por agrupamiento

En algunas ocasiones, dado un polinomio, se pueden agrupar sus terminos, factorizar cada grupo y luego aplicar el metodode factor comun, para obtener una factorizacion del polinomio dado.

Se deben seguir los siguientes pasos:

Factorizar la expresion: ac+bd+ad+bd

1. Agrupamos utilizando la propiedad asociativa: (ac+bc)+(ad+bd)

2. Factorizamos cada grupo de terminos aplicando el metodo del factor comun en ambos: c(a+b)+d(a+b)

3. Factorizamos nuevamente aplicando el metodo del factor comun y obtenemos: (a+b)(c+d)

1.4 Ecuaciones e Inecuaciones

1.4.1 Conceptos basicos

Una ecuacion es una igualdad entre expresiones algebraicas.

Una identidad es una igualdad que es verdadera siempre.

Una solucion de la ecuacion, es un valor que al sustituirse en la igualdad, la convierte en una identidad.

El conjunto solucion de una ecuacion es el conjunto de todos los valores que son solucion de la ecuacion.

Resolver la ecuacion significa encontrar su conjunto de solucion.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de solucion.

10 Algebra

Ecuaciones equivalentes y ecuaciones de un paso

Al sumar o restar una ecuacion por un numero real se obtiene una ecuacion equivalente. Al multiplicar o dividir unaecuacion por un numero real distinto de cero se obtiene una ecuacion equivalente. Por ejemplo:

Operacion: Operacion inversa: Ecuacion: Es equivalente a: Obtenemos:

Suma Resta x+3= 4 x+33= 43 x= 1

Resta Suma x5= 10 x5+5= 10+5 x= 15

Multiplicacion Division 12x= 2412x12

=2412

x= 2

Division Multiplicacionx3= 2 3 x

3= 2 3 x= 6

1.4.2 Ecuaciones lineales o de primer grado

Una ecuacion lineal en una variable, es una ecuacion que es equivalente a una de la forma: mx+ b = 0, donde m y brepresentan numeros reales. Para reducir una ecuacion, pasaremos todas las variables de un lado del igual y los numerosdel otro.

1.4.3 Ecuaciones cuadraticas o de segundo grado

Una ecuacion cuadratica en una variable con coeficientes reales es una ecuacion que puede escribirse como ax2+bx+c,con a,b,c 2 R y a 6= 0.

I caso Son las ecuaciones que se pueden expresar de la forma ax2 = c.

Se resuelven simplemente despejando x2 y luego calculando la raz cuadrada a ambos lados de la igualdad. En sintesis:

x=r

ca

Nota: En este caso b= 0.

II caso Son las ecuaciones que se pueden expresar de la forma ax2+bx= 0.

Se resuelven simplemente factorizando el polinomio ax2+ bx = 0, y luego, igualando cada factor a 0 para determinar elvalor de cada una de las souciones. En sntesis:

x(ax+b) = 0) x= 0,ax+b= 0

Nota: En este caso c= 0

11

III caso Son las ecuaciones que se pueden expresar de la forma ax2+bx+ c= 0.

Se pueden resolver por el metodo de inspeccion o por formula general.

Ecuaciones fraccionarias Una ecuacion fraccionaria de primer grado es una ecuacion de la formaax+bcx+d

= e, dondea,b,c,d, y e son numeros reales.

Para que una ecuacion de esta forma este definida, es indispensable que su denominador no sea 0 ya que no es posibledividir ente 0. Los valores que anulan el denominador de una fraccion algebraica se llaman restricciones y no pueden sersoluciones de una ecuacion.

Para resolver una ecuacion de este tipo, primero se debe encontrar la restriccion, luego pasar a multiplicar el denominador.Despues, se resuelve la ecuacion resultante y se compara la solucion con la restriccion.

1.4.4 Ecuaciones con radicales

Se resuelven elevando al cuadrado a ambos lados del igual, pero es nesesario sustitur el resultado obtenido en la ecuacionoriginal, para comprobar que el resultado es una solucion de la ecuacion.

1.4.5 Inecuaciones lineales

Las desigualdades son proposiciones que establecen relaciones de orden entre numeros reales, tienen muchas propiedadessimilares a las igualdades:

Al sumar (o restar) a ambos lados de una desigualdad una constante o una expresion algebraica se conserva ladesigualdad.

Al multiplicar (o dividir) ambos lados de la desigualdad por una constante positiva se conserva la desigualdad. Perosi multiplicamos (o dividimos) por una constante negativa es nesesario invertirla.

Una inecuacion es una desigualdad entre expresiones algebraicas y resolverla significa encontrar los valores de las varia-bles que hacen verdadera la desigualdad. El procedimiento para resolver inecuaciones lineales es similar al de ecuacioneslineales, pero tomando en cuenta que al pasar a multiplicar o a dividir un numero negativo se debe invertir el orden de ladesigualdad.

12 Algebra

2 Funciones2.1 Introduccion

Una funcion, en matematicas, es el termino usado para indicar la relacion o correspondencia entre dos o mas cantidades.El termino funcion fue usado por primera vez en 1637 por el matematico frances Rene Descartes1 para designar unapotencia xn de la variable x.En 1694 el matematico aleman Gottfried Wilhelm Leibniz2 utilizo el termino para referirse a varios aspectos de una curva,como su pendiente. Hasta recientemente, su uso mas generalizado ha sido el definido en 1829 por el matematico aleman,Lejeune-Dirichlet3, quien escribio: Una variable es un smbolo que representa un numero dentro de un conjunto de ellos.Muchas cantidades dependen de otras, por ejemplo:

Los costos totales de produccion, C, depende de la cantidad q de artculos a producir.

El nivel de contaminacion en una determinada region puede depender del numero de vehculos circulando en la va.

El area de un crculo depende del radio.

La presion depende de la temperatura.

Para describir como una cantidad depende o es determinada por otra se usa el concepto de funcion.El estudio de las propiedades de las funciones esta presente en todo tipo de fenomenos que acontecen a nuestro alrede-dor. As, podemos nombrar fenomenos sociales relacionados con crecimientos demograficos, con aspectos economicos,como la inflacion o la evolucion de los valores bursatiles, con todo tipo de fenomenos fsicos, qumicos o naturales, comola variacion de la presion atmosferica, la velocidad y la aceleracion, la gravitacion universal, las leyes del movimiento, lafuncion de onda de una partcula a escala cuantica, la desintegracion de sustancias radiactivas o la reproduccion de es-pecies vegetales y animales. Casi todo es susceptible de ser tratado a traves del planteamiento y estudio de una o variasfunciones que gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles.

1Rene Descartes (La Haye, Turena francesa, 31 de marzo de 1596 - Estocolmo, Suecia, 11 de febrero de 1650), tambien llamado Renatus Cartesius,fue un filosofo, matematico y fsico frances, considerado como el padre de la geometra analtica y de la filosofa moderna, as como uno de los nombresmas destacados de la revolucion cientfica.

2Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filosofo, logico, matematico,jurista, bibliotecario y poltico aleman. Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como el ultimo genio universal.Realizo profundas e importantes contribuciones en las areas de metafsica, epistemologa, logica, filosofa de la religion, as como a la matematica,fsica, geologa, jurisprudencia e historia.

3Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Duren, actual Alemania, 13 de febrero de 1805 - Gotinga, actual Alemania, 5 de mayo de 1859) fue unmatematico aleman al que se le atribuye la definicion formal moderna de una funcion. Fue educado en Alemania, y despues en Francia, donde aprendiode muchos de los mas renombrados matematicos del tiempo, relacionandose con algunos como Fourier. Sus metodos proporcionaron una perspectivacompletamente nueva y sus resultados se encuentran entre los mas importantes de las matematicas.

14 Funciones

2.2 Conceptos Basicos

Variable La variable y es una variable dependiente de la variable x si existe una relacion, que puede estar dado por unaecuacion, en donde el valor de x interviene directamente en el valor y. La variable x es una variable no relacionada con lavariable y si el valor de una no afecta directamente a la otra.

Funcion Sea A el conjunto de valores que puede tomar una variable independiente, y sea B el conjunto de valores parala variable dependiente. Si f es una regla de asociacion entre los elementos de A y B, entonces A, B y f determinan unafuncion, si f asigna a cada elemento x 2 A un unico elemento y 2 B llamado f (x) o imagen de x bajo f .

f : A! Bx! f (x)

Dominio y Codominio Si se tiene una funcion f definida de un conjunto A en un conjunto B, es decir: f : A! B,entonces al conjunto A se le llama dominio, y al conjunto B se le llama codominio de la funcion.

Ambito Es el conjunto formado por las imagenes de los elementos del dominio. Se puede denominar por Amb( f ) elambito de la funcion f .

Preimagenes e imagenes A los elementos de A se les llama preimagenes; y a los elementos de Amb( f ) se les llamaimagenes. La imagen es unica; no as la preimagen.

Grafico Es el conjunto de pares ordenados (x,y).

Grafica Es el conjunto de puntos representados en el plano cartesiano.

Criterio Es una regla de asociacion entre los elementos A y B.

Monotona

Una funcion f : A! B es estrictamente creciente en un intervalo ]x1,x2[ A si para cualquier par de numeros a,ben ]x1,x2[ tal que a< b, entonces f (a)< f (b).

Una funcion f : A! B es estrictamente decreciente en un intervalo ]x1,x2[ A si para cualquier par de numerosa,b en ]x1,x2[ tal que a< b, entonces f (a)> f (b).

Una funcion f : A! B es constante en un intervalo ]x1,x2[ A si para cualquier par de numeros a,b en ]x1,x2[ talque a< b, entonces f (a) = f (b).

Los intervalos en los cuales una funcion es estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante se conocencomo intervalos de monotona.

Positividad y negatividad de una funcion

f (x) es positiva en un subconjuntoM de A si para todos los valores x 2M , f (x)> 0.

f (x) es negativa en un subconjuntoM de A si para todos los valores x 2M , f (x)< 0.

15

Paridad de una funcion

Una funcion f (x) con dominio A es:1. Par si f (x) = f (x), 8x 2 A2. Impar si f (x) = f (x), 8x 2 A

Interpretacion de una Grafica

Dada la grafica de una funcion es posible determinar su dominio, ambito, intervalos de monotona y su signo.

1. En el eje x se puede observar el dominio de una funcion, y en el eje y su ambito.

2. Una funcion es estrictamente creciente si conforme x se desplaza a la derecha, f (x) se desplaza hacia arriba.

3. Una funcion es estrictamente decreciente si conforme x se desplaza a la derecha, f (x) se desplaza hacia abajo.

4. Una funcion es constante si su grafica se mantiene paralela al eje x

5. Una funcion es positiva para los valores de x tales que f (x) se encuentra sobre el eje x

6. Una funcion es negativa para los valores de x tales que f (x) se encuentra bajo el eje x

Dominio Maximo

El dominio maximo real es el mayor subconjunto de R en el cual f (x) esta definida.

2.2.1 Transformaciones de funciones

2.2.1.1 Traslacion vertical

1. La grafica de y= f (x)+ c; c> 0 consiste en trasladar f (x), c unidades hacia arriba.

2. La grafica de y= f (x) c; c> 0 consiste en trasladar f (x), c unidades hacia abajo.2.2.1.2 Traslacion Horizontal

1. La grafica de y= f (x+ c); c> 0 consiste en trasladar horizontalmente a f (x), c unidades hacia la izquierda.

2. La grafica de y= f (x c); c> 0 consiste en trasladar horizontalmente a f (x), c unidades hacia la derecha.2.2.1.3 Elongacion o compresion vertical

1. La grafica de y= c f (x); c> 1 consiste en una elongacion vertical en un factor c de la grafica de y= f (x).

2. La grafica de y= c f (x); 0< c< 1 consiste en una compresion vertical en un factor 1/c de la grafica de y= f (x).

2.2.1.4 Reflexion

1. La grafica de y= f (x) consiste en una reflexion con respecto al eje x de la grafica de y= f (x)2. Si la grafica de y= f (x) pasa por el punto (a,b) entonces la grafica de y= f (x) pasa por el punto (a,b)3. La grafica de y= f (x) consiste en una reflexion con respecto al eje y de la grafica de y= f (x)4. Si la grafica de y= f (x) pasa por el punto (a,b) entonces la grafica de y= f (x) pasa por el punto (a,b)

2.2.2 Clases de funciones

2.2.2.1 Funcion Lineal

16 Funciones

Sea f : R! R; f (x) = mx+b donde m indica la pendientey b el punto de interseccion mejor llamado como intercepto.Su grafica es:

2.2.2.2 Funcion Cuadratica Sea f :R!R; f (x)= (x+a)2+b. Su grafica es:

2.2.2.3 Funcion Cubica Sea f : R! R; f (x) = x3 Sugrafica es:

2.2.2.4 Funcion radical Sea f : [0,+[! R; f (x) =px. Su grafica es:

17

Valor absoluto La grafica de y = | f (x)| consiste en lagrafica de:

f (x) =

8>>>:f (x), six 0

f (x), six< 0

Como se puede ver se trata basicamente de una reflexionparcial de la grafica de y= f (x): el trazo por abajo del eje xse refleja con respecto al eje y.

Funcion Inyectiva

Sea f : A ! B , se dice que f es inyectiva si y solo si cada elemento del ambito tiene una y solo una preimagen. Se dice que si f es creciente en todo su dominio, entonces f es inyectiva.

Se dice que si f es decreciente en todo su dominio, entonces f es inyectiva.

Funcion Sobreyectiva

Sea f : A ! B , se dice que f es sobreyectiva si y solo si el ambito de f es igual a su codominio.

Funcion biyectiva

Se dice que una funcion f : A ! B es biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva.

2.3 Operaciones con funciones

2.3.1 Operaciones fundamentales

Sean f : A1 ! R y g : A2 ! R funciones. A1 y A2 subconjuntos de R. Se denota f +g una nueva funcion que asocia acada x 2 A1\A1 con un unico elemento f (x)+g(x). Es decir

f g(x) = f (x)g(x)

De igual manera se define la resta, multiplicacion.

Division Sean las funciones f (x) y g(x) definidas en su dominio maximo, entonces

fg

(x) =

f (x)g(x)

; y su dominio: A

\ B siempre que g(x) 6= 0

2.3.1.1 Composicion de Funciones Sean f : A ! B , y g : B ! C dos funciones reales. La funcion compuestaf g : A ! C esta definida como la funcion.

(g f )(x) = g( f (x))

18 Funciones

2.3.2 Funcion Inversa

Toda funcion f : A ! B posee una relacion inversa de B en A . Esta relacion no es necesariamente una funcion

Si f : A ! B es una funcion real; la funcion inversa f1 existe s y solo s f es biyectva.8 funcion biyectiva se cumple que

f ( f1(x)) = x

yf1( f (x)) = x

2.4 Ejercicios Resueltos

2.1 Para la funcion f : [5,5]! R definida por f (x) = x23x+2, determine f (0), f (1), f (4) y f (5).

Solucion. Para determinar f (0) se reemplaza x por 0 en la regla establecida, en este caso

f (0) = 0230+2= 00+2

= 0

de igual manera con los otros numeros

f (1) = 1231+2= 0f (4) = (4)234+2= 30

f (5) = 5235+2= 122.2 Considere la funcion definida por

h(x) =

8>>>>>>>>>:

x2+3x1, six2

2x, si2< x< 1

4, six 1Determine los siguientes valores de la variable dependiente: h(4),h(5),h(3)h(1)Nota: Cuando una funcion esta definida de esta forma se dice que esta definida en trozos.

Dado que la funcion h esta definida por una regla que vara segun la posicion del valor independiente de la variable conrespecto a 2 y 1. Para calcular el valor de la variable independiente: x2, 2< x o x 1.Para calcular h(4) observamos que: (4) (2) entonces cumple la primera de las condiciones y por la tanto h(4)

h(4) = (4)2+3(4)1= 16+121

= 3

Para el caso de h(5) observamos que 5 1 entoncesh(5) = 4

19

Por ultimo para el caso h(3)h(1) observe que 3 1 y 2< 1< 1 entoncesh(3)h(1) = 42(1)

= 4+2= 6

2.3 Considere la funcion f : R6! R, f (x) = x+3x6 y responda:

a . El punto (2,5) pertenece al grafico de f?

b . Si f (x) = 4, Cual es el valor de x?

c . Cual es la imagen de 0?

d . Cual es la preimagen de 0?

e . Cual es la imagen de 6?

a. f (2) =2+326

) 5 6= 5/4)En x= 5 el punto asociado de la grafica es (2,5/4))el punto (2,5) no pertenece a la grafica de f (x)

b. Se iguala la funcion a 4 y posteriormente se despeja x:

4=x+3x6) 4x24= x+3

) 4x x= 24+3) 3x= 27) x= 9

c. Para encontrar la imagen de 0 se sustituye este mismo en lugar de las x: se vera de la siguiente forma :0+306=1

2, por tanto 1

2es la imagen de 0.

d. Para encontrar la imagen de 0 se iguala este mismo en el criterio que define la funcion y se vera as:x+3x6 = 0) x=3Por tanto -3 es la preimagen de 0.

e. Una vez mas se evalua el valor de x en el criterio de la funcion y queda:6+066=60

Queda una fraccion con cociente 0 lo cual no esta definido por tanto no tiene respuesta

2.4 Sea O(x) un funcion tal que O(x) =r

4x33x5 , determine el dominio maximo de la funcion.

20 Funciones

Ya que se esta analizando un raz de ndice par entonces se cumple que el valor de la funcion siempre debe ser mayorque 0; entonces para determinar el dominio maximo se debe resolver la inecuacion:

4x33x5 0

Se procede a resolver, la mejor manera es con un cuadro de signos se resuelve:

1. Factorizar: En nuestro caso no es necesario porque los terminos ya estan factorizados.

2. Encontrar ceros, estos son los valores para que los factores dan 0.

3. Hacer el cuadro de signos:

34 53 +4x3 - + +3x5 - - +4x33x5 + - +

Entonces el dominio de la funcion es:

],3/4[[]5/3,+[2.5 Un hombre esta parado en el punto A, a la orilla de un ro de 2 km de ancho y debe cruzar hasta alcanzar el punto Bque esta a 7 km corriente abajo sobre la orilla opuesta. Primero remarca en su barca hasta el punto P de la orilla opuestay despues caminara la distancia restante x hasta B. El hombre puede remar a 2 km/h y caminar a 5 km/h. Exprese eltiempo total t que necesita para hacer el recorrido completo en funcion de x.

En la siguiente figura se presenta la situacion planteada.Si la distancia de C a B es 7 km y de P a B es x km entonces la distancia deC a P es 7-x km.Dado el triangulo

aACP es rectangulo, entonces por el teorema de Pitagoras:

!AP=

p4+(7 x)

El recorrido se hace en dos etapas; de A a P y luego de P a B. La distancia recorrida d es el tiempo t y la velocidad~v. Sepresenta en el siguiente cuadro:

b ~v t = d/~vDe A a P

p4+(7 x)2 2 p4+(7 x/2

De P a B x 5 x/5

Total x+p

4+(7 x)2 p

4+(7 x)22

+x5

la funcion solicitada es:t :]0,7[!]0,+[

t(x) =p

4+(7 x)22

+x5

2.6 Considere las funciones f (x) =px+1 y g(x) =

p1 x definidas en sus dominios maximos. Determine las funciones

f +g, f g, f g, f/g.

21

Solucion Primero determinaremos el dominio maximo de f y el de gAhora determinaremos las funciones solicitadas

( f +g)(x) = f (x)+g(x) =px+1+

p1 x; Dominio: A \ B = [1,1]

( f g)(x) = f (x)g(x) =px1p1 x; Dominio: A \ B = [1,1]( f g)(x) = f (x) g(x) =px1 p1 x; Dominio: A \ B = [1,1](fg)(x) =

f (x)g(x)

=

px1p1 x ; Dominio: x 2 A \ B g(x) 6= 0= [1,1]

2.7 Considere las funciones f (x) =px,g(x) =

xx1 y h(x) =

3px definidas en su dominio maximo. Determine la funcion

h ( f g).

Solucion

h ( f g) = h

(x

x1

= h

xx1

= hr

xx1

= 3

srx

x1

= 6r

xx1

Para determinar el dominio primero observe que: Df =]0,+[,Dg = R1yDh = RLa funcion h ( f g) esta definida si x 6= 1, ademas g(x) 0. Esta ultima condicion se cumple si y solo si

xx1 > 0

es decir, si x pertenece al conjunto ],0][]1,+[ y como h esta definida para cualquier numero real entonces:Dh( fg) =],0][]1,+[

2.8 Verifique que las funciones biyectivas f (x) = 3x3 1 y g(x) = 3r

x+13

ambas definidas de R en R, son inversosentre s.

Solucion Como ya se sabe que ambas funciones son biyectivas definidas de R en R entonces basta verificar que lacomposicion entre ellas es la funcion identidad, es decir f (x) = x.

f (g(x)) = f ( 3r

x+13

= 3( 3r

x+13

)31

= 3x+13

1= x+11= x

22 Funciones

Tambien se prueba en sentido opuestog( f (x)) = g(3x31)

=3

r3x31+1

3

=3px3

= x

Por lo tanto se cumple quef1(x) = g(x);g1(x) = f (x) (2.1)

2.9 Si f (x) = 5x+45 esta definida de manera tal que sea biyectiva, halle f1(x)

Solucion

y= 5x+45y45= 5x

y145

f1(x) =x45

5

3 Funcion LinealDefinicion 3.1 Una funcion lineal es una funcion cuyo dominio son todos los numeros reales y cuya expresion analiticaes un polinomio de primer grado.

f : R! R / f (x) = mx+b 8 a,b 2 R

El ultimo renglon se lee: f de R en R, tal que, f de equis es igual a mx+b

f : R! R, f (x) = 4x+8 m= 4, b= 8f : R! R, f (x) = 12x m= 12 , b= 0f : R! R, f (x) = 13 m= 0, b= 13

Ejemplo 3.1

La funcion f :R!R, f (x) = x, conocida como funcion identidad tiene por grafica la recta que contiene al origen y bisecalos cuadrantes II y III.

La grafica de una funcion de la forma y= mx, se puede obtener, a partir de la grafica de la funcion y= x, mutiplicando lacoordenada y de cada uno de los puntos de la grafica y= x por el factor m.

24 Funcion Lineal

Grafique, en el mismo plano cartesiano, las funciones:

f : R! R, f (x) = px h : R! R, h(x) = 2x

Ejemplo 3.2

SOLUCION:Se sabe que las graficas de h y de f contienen al origen ademas tenemos que la grafica de h es la recta que con-tiene los puntos en los cuales la cordenada y es el doble de la coordenada x, algunos puntos de esta grafica son(1,2), (1,2), (2,4).La grafica de f se puede obtener como vimos anteriormente, multiplicando la segunda coordenada de la recta y = x porp. Por la tanto la grafica de f contiene a los puntos (1,p),(2,2p),(p,p2).Las graficas de estas funciones son:

3.1 La pendiente de una recta

Cuando se conocen dos puntos de una recta (x1,y1) y (x2,y2) con x1 6= x2, y1 = f (x1), y2 = f (x2) se cumple

y1 = mx1 + b ) y1 mx1 = b y y2 = mx2 + b) y2mx2 = b.De lo anterior se tiene

y1mx1 = y2mx2

mx2mx1 = y2 y1m(x2 x1) = y2 y1

m= y2y1x2x1

m es una constante para cualquier par de puntos distintos (x1,y1) y (x2,y2) m se llama pendiente de la recta.

25

En general se puede afirmar que las graficas de las funcion, f : R ! R, f (x) = mx, tienen alguna de las siguientesformas:

3.1.1 Que representa m?

Considere la recta de ecuacion y= 5x+1. La pendiente de la recta es m= 5. Algunos valores de (x, f (x)) se representanen la tabla.

x -2 -1 0 1 2 3f (x) -9 -4 1 6 11 16

Los valores de y aumentan 5 unidadesel incremento en x es Dx= 1el incremento en y es Dy= 5

En general:Por cada unidad de incremento en la variable x, la variable y aumenta m unidades.Simbolicamente:

f (x+1) f (x) = m

m=DxDy

A partir de la grafica y = mx, se puede construir la grafica y = mx+ b, para ello basta hacer un traslacion vertical de |b|unidades hacia arriba, si b> 0, y hacia abajo si b< 0.

3.2 Rectas paralelas

Dos rectas `1 : y1 = m1x+b1 y `2 : y2 = m2x+b2 son par-alelas si sus pendientes son iguales.

`1 y `2 k , m1 = m2

Como `1 y `2 tienen igual pendiente entonces las rectas nose intersecan, es decir, son paralelas.

26 Funcion Lineal

`1 : y= 4x3 y `2 : y= 4x+1 son rectas paralelas.

Ejemplo 3.3

3.3 Rectas perpendiculares

Dos rectas `1 : y1 = m1x+b1 y `2 : y2 = m2x+b2 son perpendiculares si m1 m2 =1

`1 y `2 ?, m1 m2 =1

`1 : y= 23 x+6 y `2 : y=32x7 son rectas perpendiculares.

Ejemplo 3.4

4 Funcion Cuadratica4.1 Definiciones

Se llama funcion cuadratica a la funcion: f : R! R / f (x) = ax2+bx+ c donde a,b,c 2 R y a 6= 0Definicion 4.1

f : R! R, f (x) = 4x2+8x2f : R! R, f (x) = 12x2+7xf : R! R, f (x) = 13x2p

Ejemplo 4.1

Otra forma de expresar la funcion cuadratica:La expresion y= ax2+bx+ c tambien se puede expresar en la forma:

y= ax+

b2

b24ac

4a

Algunas caractersticas de la funcion cuadratica se pueden estudiar mas facilmente gracias a esta expresion (omi-tiremos los pasos para llegar a esta expresion pero se puede obtener completando cuadrados).

4.2 Grafica de una funcion cuadratica

La grafica de una funcion cuadratica se llama parabola. Es el conjunto de puntos del plano (x,y) dondey = ax2 + bx+ c. Para representar la funcion cuadratica se tienen que considerar las siguientes caractersticas de laparabola:

4.2.1 Concavidad

Una manera sencilla de referirnos a la concavidad es hacia donde abre la parabola.

28 Funcion Cuadratica

a> 0 a< 0

4.2.2 Vertice

Es el punto extremo de la grafica. Puede decirse que es el punto mas bajo o mas alto de la grafica.

Las coordenadas del vertice estan dadas por el punto:

V=b2a

,b24ac

4a

Ademas si la parabola es concava hacia arriba (a > 0) el vertice es un punto mnimo de esta curva, mientras que si laparabola es concava hacia abajo (a< 0 el vertice es un punto maximo.Se llama discriminante de la ecuacion ax2+ bx+ c = 0 a la expresion b2 4ac y se representa por D, as D = b2 4acpor tanto el vertice esta dado por el punto:

V =b2a

,D4a

En resumen:

a> 0 Concava hacia arriba V =b2a

,D4a

es el punto mnimo.

a< 0 Concava hacia abajo V =b2a

,D4a

es el punto maximo.

29

El vertice de la parabola que corresponde a la funcion f : RtoR, f (x) = 2x2+3x27 esta dado por:

V= 32 2 ,

(324 2 27)4 2

=

34,2258

Como la parabola es concava hacia arriba pues a= 2> 0, entonces el punto V =3

4,2258

es su punto mnimo.

Ejemplo 4.2

4.2.3 Eje de simetra:

Se dice entonces que la recta x=b2a

es un eje que divide a la parabola en dos partes simetricas.

Eje de simetra x=b2a

4.2.4 Intersecciones con los ejes

4.2.4.1 Interseccion con el eje Y El punto de interseccion de la grafica de una funcion con el eje Y es (0,y). Dadoque f (0) = c entonces el punto de interseccion es (0,c).

La parabola corta al eje Y en (0,c)

4.2.4.2 Interseccion con el ejeX: El punto de interseccion de la grafica de una funcion con el eje X es un punto dondef (x) = 0 por tanto hay que resolver la ecuacion:

0= ax2+bx+ c

Esta ecuacion es de grado 2 y puede tener en los numeros reales 2 soluciones, 1 solucion o ninguna solucion.

1. Si D< 0 entonces la ecuacion no tiene solucion y la parabola no corta al eje X .

2. Si D= 0 la unica solucion es x= b2a

. Por tanto el punto de interseccion esb

2a,0

que tambien es el vertice de

la parabola.

3. Si D= 0 la ecuacion tiene dos soluciones x1 =bpD

2ay x2 =

b+pD2a

.

4.2.5 Ambito de una funcion cuadratica

Como se analizo antes el vertice es un punto maximo o mnimo segun la parabola sea concava hacia arriba o hacia abajo.

Por esto cualquier imagen se compara conD4a

que es el valor de la ordenada en V =b

2a,D4a

.

Entonces:

Concavidad Vertice Ambito

a> 0 hacia arriba V =b

2a,D4a

D4a

,+

a< 0 hacia abajo V =b

2a,D4a

,D

4a

30 Funcion Cuadratica

4.2.6 Analisis de la funcion cuadratica a partir de la grafica.

f (x) = ax2+bx+ c, con a> 0

Ambito : D

4a,+

Creciente : b

2a,+

Decreciente:,b

2a

V: punto mnimo.

f (x)< 0 si x 2]x1,x2[f (x)> 0 si x 2],x1[[]x2,[f (x) = 0 si x 2 {x1,x2}

f (x) = ax2+bx+ c, con a< 0

Ambito :,D

4a

Creciente :,b

2a

Decreciente: b

2a,+

V: punto maximo.

f (x)< 0 si x 2],x1[[]x2,[f (x)> 0 si x 2]x1,x2[f (x) = 0 si x 2 {x1,x2}

5 Funciones exponenciales ylogartmicas5.1 Funcion exponencial

5.1.1 Previos

Antes de iniciar este tema es importante recordar las leyes de potencias:

1. Todo numero elevado a 1 es igual al mismo numero.

x1 = x

2. Todo numero elevado a 0 es 1.x0 = 1

3. Todo numero elevado a un numero negativo es igual a 1 entre la base elevada al mismo exponente, pero positivo.

xn =1xn

4. En la multiplicacion de numeros de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

xnxm = xn+m

5. En la division de numeros de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes (el resultado de la resta secoloca donde estaba el numero de mayor grado)

xm

xn= xmn

6. Potencia de una potencia: Se multiplican los exponentes.

(xn)m = xn.m

7. Un numero elevado a una fraccion puede transformarse a una raz; el denominador se convierte en el ndice de laraz y el numerador en el exponente de la base.

xmn = n

pxm

32 Funciones exponenciales y logartmicas

5.1.2 Funcion exponencial

La funcion exponencial esta definida por la ecuacion f (x) = ax, a > 0 y a 6= 0 donde la constante a, se llama base y elexponente x, es una variable.

f (x) = ax,a> 1 No interseca al eje xInterseca a y en (0,1)Es crecienteAsntota en x por la izquierdaDominio: R Ambito: R+Biyectiva

f (x) = ax,0< a< 1No interseca al eje xInterseca a y en (0,1)Es decrecienteAsntota en x por la derechaDominio: R Ambito: R+Biyectiva

5.1.3 Caractersticas de la funcion exponencial

1. f recorre todo el eje x, su dominio maximo es R

2. El ambito de f es R+. Es decir, ax > 0; 8x 2 R3. f interseca el eje y en 1. Es decir, la grafica de f pasa por el punto (0,1), dado que a0 = 1; 8a 6= 04. f no interseca el eje x dado que f (x)> 0; 8x 2 R5. f posee asntota horizontal y = 0. Es decir, cuando x! , f (x)! 0. Esto significa que cuando x es suficiente-

mente grande o pequena, su imagen tiende a cero.

6. Para a> 1, f es estrictamente creciente y para 0< a< 1, f es estrictamente decreciente. Esto significa que f esinyectiva.

5.1.4 Graficas de Funciones exponenciales

A partir de la funcion exponencial estandar y de los conocimientos sobre transformaciones de graficas, podemos obtenerbuenos bosquejos de otras exponenciales.

33

Transformacion una unidad hacia la izquierda, y= (x+1) =ax+1, a> 1

Transformacion una unidad hacia la derecha, y = f (x) =ax1, a> 0

Note que cuando la suma o resta esta elevada, junto a la x, las transformaciones son hacia la izquierda y derecha respec-tivamente, sobre el eje x.

Traslacion una unidad hacia arriba,y= f (x)+1= ax+1, a> 1

Traslacion una unidad hacia abajo,y= f (x)1= ax1, a> 1

34 Funciones exponenciales y logartmicas

Note que cuando la suma o resta esta junto a la x, sin estar elevado, las transformaciones son hacia arriba y abajo respec-tivamente, sobre el eje x.

Reflexion de una grafica y= ax,ax, a> 1

Cuando f (x) tiene un menos adelante, la funcion se refleja.

5.1.5 Exponencial natural

La funcion exponencial con base e es:

f : R! R, tal que f (x) = ex

Donde e 2,7182828Dado que 2< e< 3 la grafica satisface todas las caractersticas de las funciones exponenciales con base mayor que 1, lagrafica de la esponencial natural es la siguiente:

5.2 Funcion logartmica

Una funcion logartmica con base a, a 2 R+, a 6= 1, es una funcion que se denotaf (x) = loga x y esta definida como:

loga x= y, ax = x

Ejemplo. Calcule el valor de log2 32, log3181 , log0,01

35

Solucion

1. log2 32= y, 2y = 32) y= 5. O sea, log2 32= 52. log3

181 = n, 3n = 34) n=4. O sea log3 181 =4

3. log0,01= z, 10z = 0,01, 10z = 102) z=2= log0,01.

5.2.1 Propiedades

Dado que a> 0, a 6= 1

1. loga 1= 0 2. loga a= 1

Es posible considerar dos casos:

f (x) = loga x, a> 1

f (x) = loga x, 0< a< 1

Algunas caractersticas de la funcion logartmica son:

1. f recorre todo el eje x positivo, su dominio maximo es R

2. El ambito de f es R. Es decir, loga x 2 R;8x> 03. f interseca el eje x en 1. Es decir, la grafica de f pasa por el punto (1,0), dado que loga 1= 0 porque a0 = 1; 8x 6= 0

36 Funciones exponenciales y logartmicas

4. f no interseca el eje y dado que ax > 0; 8x 2 R5. f posee asntota vertical x= 0. Es decir, cuando x! 0+, f (x)!. Esto significa que cuando x es suficientemente

grande o pequena, su imagen tiende a cero.

6. Para a> 1, f es estrictamente creciente y para 0< a< 1, f es estrictamente decreciente.

5.2.2 Graficas de funciones logartmicas

Es importante notar que estas transformaciones pueden implicar cambios en las caractersticas anteriores.

Traslacion una unidad hacia la izquierda,y= f (x+1) = loga(x+1), a> 1

Traslacion una unidad hacia la derecha,y= f (x1) = loga(x1), a> 1

Traslacion una unidad hacia arriba,y= f (x+1) = loga x+1, a> 1

37

Traslacion una unidad hacia abajo,y= f (x1) = loga(x1), a> 1

Reflexion de la grafica y= loga x, y= loga x, a> 1

5.2.3 Logaritmos naturales

La funcion logaritmo con base e, se denota f (x) = lnx y esta definida como:

lnx= y, ey = y

y= lnx y= ex

5.2.3.1 Composicion de la exponencial y logartmica Una funcion y su inversa complen las propiedades: f1( f (x))=x; 8x 2 Df y f ( f1) = x8x 2 Df1 , al alpicar estas propiedades al caso de las funciones exponenciales f (x) = ax ylogartmica f1(x) = loga x obtenemos:

1. loga ax = x; x 2 R2. aloga x = x; x> 0

38 Funciones exponenciales y logartmicas

5.2.4 Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo del producto es igual a la suma de los factores de los logaritmps de cada factor

loga(x.y) = loga x+ loga y

2. El logaritmo del cociente es igual a la resta del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador

logaxy= loga x loga y

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente y el logaritmo de la base de la potencia

loga(xn) = n. loga x

4. Cambio de base: Es posible reescribir un logartimo de base a a una expresion de logaritms en base n

loga b=logn blogn a

5.3 Ecuaciones

Existen varias formas de resolver las ecuaciones,a continuacion se mostraran con ejemplos.

1. Determine el conjunto solucion de:

92x 13

x+2= 27.(3x)2

Solucion

Primero se descomponen las bases: (32)2x ( 13 )x+2 = 33.(3x)2Se aplican leyes de potencias: 34x 3(x+2) = 33 32x, 34x(x+2) = 332xComo f (x) es inyectiva: 3x2= 32x, x= 1 (Se quita la base, en este caso es 3 y los exponentes se conviertenen la ecuacion)S = {1}

En las ecuaciones que no es posible igualar las bases y aplicar la inyectividad de la funcion para igualar preimagenes(los exponentes), se necesita de la composicion de la exponencial y logartmica y la aplicacion de las leyes de log-aritmos.

2. Determine el conjunto solucion de323x = 42x+1

Se descomponen las bases y se aplican las leyes de potencias: 322x = (22)2x+1

utilizando la inyectividad de la funcion logartmica, se evaluan las expresiones 322x = 42x+1en un logaritmo en

39

cualquier base.

322x = (22)2x+1, log2 323x = log2 24x+2

Reconociendo la composicion de f (x) y aplicando la propiedad del logaritmo de la potencia, se obtiene:

(23x) log2 3= 4x+2, 2log2 3+3x log2 3= 4x+2

, 2log2 32= 4x+3xlog23, 2log2 32= x(4+3log2 3)

, x= 2+ log2 94+ log2 27

S = {2+ log2 94+ log2 27

}

3. Determine el conjunto solucion de

ex27x8 = 1

Para resolver esta ecuacion, primero se expresara 1 como e0 (Esto se puede hacer con cualquier otra base diferentede cero)

ex27x8 = e0

, x27x8= 0, (x8)(x+1) = 0, x= 8 o x=1S = {1,8}

4. Determine el conjunto solucion de ln(3x5)+ ln(2x+1) = ln(6x224) ln(3x)Primero es preciso determinar el dominio en el cual se trabaja. En este caso se debe cumplir que los cuatro argu-mentos sean numeros positivos.

3x5> 0, x> 532x+1> 0, x> 123x> 0, x> 06x224> 0, 6x(x4)> 0, x< 0 o x> 4

Por lo tanto el dominio, en este caso, es ]4,+[

Para resolver la ecuacion se aplicaran propiedades de los logaritmos de modo que se obtenga una igualdad dedos logaritmos de igual base:

ln(3x5)+ ln(2x+1) = ln(6x224) ln(3x)

40 Funciones exponenciales y logartmicas

ln[(3x5)(2x+1)] = ln 6x224ln3x(3x5)(2x+1) = 6x224ln3x6x27x5= 2x86x29x+3= 02x23x+1= 0(2x1)(x1)x = 0,5 o x = 1

Note que ninguna de estas races de la ecuacion polinomial pertenecen al dominio en el que se esta trabajando.Por lo tanto el conjunto solucion es S = /0

5.4 Inecuaciones

Encuentre el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones:

1. 53x2 > (0,2)4+x

En este caso podemos expresar la desigualdad como una comparacion de potencias de base 5:

53x2 > (0,2)4+x, 53x2 > (51)4+x

Dados que ambos terminos de la desigualdad son positivos y que 5x es una funcion creciente entonces

53x2 > (54x, 3x2>4 x, 4x>2, x>0,5

Por lo tanto S =] 12 ,+[2. 6x5 < ex

Dado que lnx es una funcion creciente y ambos terminos de la desigualdad son positivos entonces6x5 < ex, ln(6x5)< lnex, (x5) ln6< x, x ln65ln6< x, x ln6 x< 5ln6, x[ln61]< 5ln6Como 6> e) ln6> lne) ln61> 0

Por lo tanto el valor de x debe cumplir x< 5ln6ln(6)1 y entonces el conjunto solucion es

S =], 5ln6ln(6)1 [

3. log(3x2)> log(5+2x)

Para iniciar se debe determinar el dominio en el que se trabaja:

3x2> 0, x> 23

5+2x> 0, x>52

41

La expresion log(3x2)> log(5+2x) tiene sentido entonces solo si x > 23Como x > 23 y log(x) es una funcion creciente se tiene que

log(3x2)> log(5+2x), 3x21.5+2x, x > 7

Como todo numero mayor que 7 esta en el dominio, el conjunto solucion es S =]7,+[

4. ln(x3)+ ln(x+3) 2ln(x+5)

Primero se determinara el dominio:x3> 0, x > 3x+3> 0, x >3x+5> 0, x >5El dominio es entonces ]3,+[al aplicar propiedades de los logaritmos para resolver la inecuacion, con x > 3, se tiene que:

ln(x3)+ ln(x+3) 2ln(x+5), ln[(x3)(x+3)] ln(x+5)2

Como ln(x) es una funcion creciente) (x3)(x+3) (x+5)2, x29 x2+10x+25,10x34 0, x 175Como no existe ningun numero real que cumpla x > 3 y x 175 el conjunto solucion de la inecuacion es S = /0

42 Funciones exponenciales y logartmicas

6 GeometraSe presenta un resumen de los principales elementos de geometra1.

6.1 Crculo y circunferencia

6.1.1 Definiciones

Cuerda, Radio, Diametro, Recta secante y Recta tangente.

Definicion 6.1 El angulo m\BCA es un angulo central

Definicion 6.2 Arco: Sean A y B dos puntos de la circunferencia de centro C entonces, el conjunto formado por A, b ytodos los puntos de la circunferencia que pertenecen al interior angulo m\ABC se llama arco menor, los que pertenecenal exterior se llaman arco mayor

1Realizado por: Allison Mendoza; Nohelia Esquivel; Jonathan Rojas; Daniel Aguirre

44 Geometra

Arco menor APB: Arco mayor ANB:

Definicion 6.3 Recta exterior a la circunferencia: es una recta que se encuentra en el mismo plano de la circunferenciapero no la interseca.

6.1.2 Posiciones relativas entre dos circunferencias

Circunferencias concentricas: Tienen el mismo centro(Figura 5).

Circunferencias exteriores: Circunferencias que seencuentran en el mismo plano pero no se tocan(Figura 1).

Circunferencias tangentes: Se intersecan en un solopunto de la circunferencia. Son interiores si una estadentro de otra (Figura 4) y exteriores si ninguna escontenida (Figura 2).

Circunferencas secantes: Se intersecan en dos pun-tos exactamente (Figura 3).

6.1.3 Proposiciones y teoremas

Teorema 6.1 Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que contiene el punto de tangencia.

45

Teorema 6.2 En una circunferencia, toda recta que contenga al centro y sea perpendicular a una cuerda, biseca a lacuerda.Sea PQ una cuerda y R una recta que pasa por el centro.

Teorema 6.3 En una misma circunferencia dos cuerdas son congruentes si y solo si son equidistantes del centro de lacircunferencia.

6.1.4 Angulos del circulo

Definicion 6.4 Medida de un arco: La medida de un arco se denota as:Sea APB un arco menor de una circunferencia de centroC, su medida es la del m\ACB. Sea ANB un arco mayor de unacircunferencia de centro C, su medida es = 360m\BCA

Angulo inscrito: m\BOA es un angulo inscrito

Arco interceptado por un angulo: m\BOA intercepta al arcoBA.

Angulo Semi-inscrito:

46 Geometra

Angulo interior:

Angulo exterior:

Angulo circunscrito:

6.1.5 Proposiciones y teoremas

Teorema 6.4 La medida de un angulo inscrito es la mitad del arco que lo intercepta.Es decir m\BOA =

AB2

Teorema 6.5 En una misma circunferencia dos cuerdas son congruentes si y solo si los arcos correspondientes a cadacuerda son congruentes.

Teorema 6.6 La medida de un angulo semi-inscrito es la mitad de la medida del arco que intercepta.

Es decir: m\a= AB2

47

Teorema 6.7 La medida de un angulo interior a una circun-ferencia es igual a la mitad de la suma de la medida del arcointerceptado por el angulo opuesto por el vertice. Es decir

m\a= DC+AB2

Teorema 6.8 La medida de un angulo exterior a una circun-ferencia es igual a la mitad de la diferencia de las medidasde los arcos que intercepta. es decir:

m\a= ABCD2

Teorema 6.9 Sea R un diametro de una circunferencia y P un punto de la circunferencia diferente de lo extremos de R.Entonces:MN = D2

Teorema 6.10 Sea P un punto exterior de la circunferencia de centro O conM y N puntos de tangencia, entoncesMP=NP

6.1.6 Regiones circulares

Definicion 6.5 Sector circular: El area de un sector circu-

lar esta denotada por A =pr2n360

, donde n es la medidadel angulo que intercepta al arco. Tambien se puede utilizarA=

rs2

donde r es el radio y s la longitud de arco.

Definicion 6.6 Segmento circular: El area del segmento circular es igual a la diferencia entre el sector circular y el triangulodeterminado por el segmento.

48 Geometra

Definicion 6.7 Corona circular: El area de la corona circular esta determinada por A= p(R2 r2)

Definicion 6.8 Trapecio circular:

6.2 Polgonos

Cuadrilateros

Convexos

Si al trazar una recta en cada uno de sus lados, ninguno atraviesa la figura. Las diagonales de un cuadrilaterose intersecan.

Concavos

Si al trazar una recta en cada uno de sus lados, alguno atraviesa la figura.

49

6.2.1 Paralelogramos y no paralelogramos

PARALELOGRAMOS Cuadrilatero convexo se llama paralelogramo si sus dos pares de lados opuestos son paralelos.

Caractersticas

Los lados opuestos son congruentes.

Los angulos opuestos son congruentes.

Los angulos consecutivos son suplementarios.

Las diagonales se bisecan.

Ejemplo 6.1 1. Cuadrado: Paralelogramo con sus lados y angulos congruentes.

2. Rectangulo: Paralelogramos con sus angulos congruentes.

3. Rombo: Paralelogramo con sus cuatro lados congruentes.

NO PARALELOGRAMOS Cuadrilatero convexo se llama no paralelogramo si tiene las caractersticas contrarias a losparalelogramos.

Ejemplo 6.2 Trapecio es un cuadrilatero que tiene dos lados paralelos llamados bases, se divide en:

trapecio rectangulo: tiene un par de angulos internos rectos

trapecio isosceles: sus lados no paralelos son congruentes

6.2.1.1 Paralela Media Segmento cuyos extremos son los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio secalcula con

PM =B+b2

siendo B (base mayor) y b (base menor)

50 Geometra

6.3 Clasificacion de Polgonos

Polgono equiangulo: Son polgonos que tienen sus angulos internos de igual medida

Polgonos equilateros: Son polgonos con todos son lados iguales

Polgonos regulares: Son polgonos equilateros y equiangulos

Polgonos irregulares: Son polgonos que no son equilateros o no son equiangulos

6.4 Elementos de un polgono convexo

*Diagonal de un polgono: es el segmento cuyos extremos son dos vertices no consecutivos del polgono.

*Angulos internos de un polgono: El vertice del angulo es un vertice del polgono, y los lados del angulo contienen doslados consecutivos del polgono.

*Angulos externos de un polgono: Son angulos que forman un par lineal con los angulos internos.

6.5 Polgonos inscritos y circunscritos en una circunferencia

51

6.6 Teoremas sobre polgonos convexos

Teorema 6.11 En un polgono de n lados, desde cada vertice se puede trazar n3 diagonales.Teorema 6.12 En un polgono de n lados se pueden trazar maximo estas diagonales

n(n3)2

Teorema 6.13 En un polgono convexo de n lados la medida de los angulos internos suman S= (n2) 180Teorema 6.14 La suma de la medida de los angulos externos de un polgono convexo es 360.

6.7 Polgonos regulares

Teorema 6.15 Todos los polgonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia.

Teorema 6.16 En todo polgono regular se puede inscribir una circunferencia.

Teorema 6.17 El centro de la circunferencia inscrita a un polgono es el mismo centro de la circunferencia circunscrita alpolgono.

Teorema 6.18 Todo radio de un polgono regular biseca al angulo interno del vertice que contiene.

6.8 Angulo central de un polgono regular

Teorema 6.19 En un polgono regular la medidas de los angulos centrales suman 360 y cada uno mide

360n

n es la cantidad de lados del polgono.

Teorema 6.20 En un polgono regular de n lados cada angulo externo mide

360n

52 Geometra

y angulo interno mide180(n2)

n

Teorema 6.21 El permetro de un polgono regular es la suma de todos sus lados.

6.9 Regiones poligonales

Definicion 6.9 Se le llama region poligonal a la union delpolgono y su interior.

6.10 Areas de triangulo y cuadrilateros

6.10.1 Triangulo

A=b h2

b= base(BC), h=altura

A=p

s(sa)(sb)(s c)a,b,c= medidas de los lados, s= semipermetro =

perimetro2

Paralelogramo

A= b hb= base menor, h= altura

53

Trapecio

A=B+b2

hb= base menor; B= base mayor, h=altura

Rombo

A=d D2

d = diagonal menor, D= diagonal mayor

6.11 Area de un polgono regular

El area de un polgono regular sera dada por s a, donde s= semipermetro, a=apotema

6.12 Razones entre lneas y areas de polgonos regulares

Si se tienen dos polgonos regulares con la misma cantidad de lados entonces son semejantes dado que los ladoshomologos seran proporcionaldes y los angulos homologos seran congruentes, por lo que se puede decir que:*Las lneas homologas de polgonos regulares que tienen el mismo numero de lados, son proporcionales.*Las areas de polgonos regulares que tienen igual numero de lados, son proporcionales a los cuadrados de dos lneashomologas cualesquiera.La razon entre la medida de las apotemas es tambien A= l1l2 al igual que la de los radios y las demas lneas(permetros,circunferencias inscritas y circunscritas)

Triangulo equilatero

El polgono regular con menor numero de lados es el triangulo equilatero. Si l es la medida del lado, se pueden enumerarlas siguientes caracteristicas:*Cada angulo central mide

3603= 120

54 Geometra

*Cada angulo externo mide

3603= 120

*Cada angulo inetrno mide1803= 60

*El permetro es P=3l

*El semipermetro es: S=3l3

Si G es el centro del triangulo equilateroaABD y E es el punto medio del lado AB entonces

m\BDE = m\GBE = 30 y m\BGE = m\EBD= 60*la altura mide

l3p3

*la medida de la altura es igual a la suma de las medidas del radio y la apotema*la medida del radio es el doble a la medida de la apotema

*la medida de la apotema es a=h3=

l2p3

3=l6p3

*la medida del radio es r = 2a= 2l6p3=

l3p3

*El area es A= sa= S=3l2 lp3

62

=l2p3

4

El cuadrado

Si G es el centro de un cuadrado ABCD y E es el punto medio del lado AB entonces m\BGE=m\ABD = 45*La diagonal mide d=l

p2

*La medida de la apotema es a=l2dado que a= EG= EB=

AB2

*La medida del radio es r = ap2=

l2p2 o bien

d2=lp2

2*El area es A= sa= 2l l

2=l2

El hexagono regular

*Cada angulo mide3606=60

*Cada angulo externo mide 60*Cada angulo interno mide 120 Si G es el centro del hexagono regular ABCDEF y M es el punto medio del lado ABentonces4BGA es equilatero y por lo tanto m\MGB= 30*La medida del radio es igual a la medida del lado : r=l

*La medida de la apotema es a=lp3

2por ser la altura del triangulo equilatero

*El area es A= sa= 3l lp3

2

6.13 Solidos

La unidad de medida de los solidos es el m3 y sus derivados, debido a que es una unidad para medir volumen.

55

6.13.1 El cubo

En general, su volumen esta dado porV = a3,y la medida de la diagonal de un cubo de arista,a esta dada por: d = a

p3. El area del cubo esta dado por:

A= 6a2

6.13.2 El paraleleppedo

El volumen V de un paraleleppedo rectangular cuyas di-mensiones son de a ancho, l de largo y h de altura es:V = lah. Sea A el area de la base de un paraleleppedoy h su altura , el volumen es: V = Ah El area de un par-aleleppedo esta dado por la suma de las areas de suscaras.

6.13.3 Prismas

Un prisma es un solido cuyas bases son regiones polig-onales congruentes que pertenecen a planos paralelos ylas caras laterales osn paralelogramos. A cada lado de labase se le llama arista de la base y a los lados de las caraslaterales, que no son lados de una base se les llama aristaslaterales.

En general, el volumen V de un prisma donde A sea el area de la base y h la altura esta dado por: V = Ah El area delprisma esta dado por la suma de las areas de sus caras y sus bases. Existen dos tipos de primas:

1. Prismas rectos:

56 Geometra

2. Prismas oblicuos:

6.13.4 Cilindros

El volumen V de un cilindro esta dado por: V = pr2hEl area de un cilindro esta dado por:Ac= prh+2r2h

6.13.5 Conos

El volumen de un cono esta dado por : V = 13prr2h

El area lateral de un cono, donde g es la generatriz estadada por: A= prgEl area total de un cono es: A= prg+pr2

6.13.6 Piramide

El volumen de una piramide donde A es el area de la baseesta dado por: V = 13Ah

57

6.13.7 Esfera

El volumen de la esfera esta dado por: V 43pr3

El area de una esfera esta dada por: 4pr2

58 Geometra

7 Trigonometra7.1 Angulos

Un angulo es una figura formada por dos rayos con unextremo comun llamado vertice del angulo. Un lado per-manece fijo, se denomina lado inicial y el otro lado gira paraformar el angulo, se denomina lado terminal.

7.1.1 Angulos Positivos

La medida del angulo es positivo si la rotacion del lado ter-minal puede darse en sentido contrario al movimiento de lasagujas del reloj.

7.1.2 Angulos Negativos

La medida del angulo es negativo si la rotacion del lado ter-minal puede darse en el mismo sentido al movimiento de lasagujas del reloj.

60 Trigonometra

7.1.3 Medida de angulos

7.1.3.1 Sistema Sexagesimal Corresponde al valor de la longitud de una circunferencia y se representa con el smbolo (360).

7.1.4 Sistema de radianes

Es la medida del angulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia, y se representacon el smbolo rad.

7.1.5 Angulos Cuadrantes

Si el lado terminal de un angulo coincide con uno de los ejes del sistema de coordenadas cartesianas, entonces,se tieneun angulo cuadrantal. La medida de estos angulos es un multiplo de p2 o 90

.

Si se desea ubicar una medida en un cuadrante, se analiza entre cuales angulos cuadrantales se encuentra, por ejemplo:t = 2, se considera que p2

61

7.2 Circunferencia Trigonometrica

Es aquella cuyo centro es el origen del sistema de coordenadas (0,0) y su radio tiene la medida de 1.Cualquier punto de la circunferencia trigonometrica P(x,y), satisface la relacion x2+ y2=1.

7.2.1 Angulos de referencia

Es el que se encuentra entre el lado terminal y el semieje por mas cercano.Es importante tener presente los pares ordenados correspondientes a algunos n o reales especiales:

7.3 Funciones Trigonometricas

Sea q 2 R y P(x,y) el punto asociado a q, se definen las 6 funciones trigonometricas de la siguiente manera:sen(q) = y cos(q) = x tan(q)= yx x 6= 0csc(q) = 1y sec(q) =

1x cot(q) =

xy y 6= 0

y 6= 0 x 6= 0Las funciones trigonometricas seno y coseno:

Caracterstica Coseno SenoDominio R RAmbito [-1, 1] [-1, 1]Periodo 2p 2p

sen2(q)+ cos2(q) = 1

62 Trigonometra

Funcion seno

Funcion coseno

7.3.1 Transformaciones de graficas seno y coseno

7.3.1.1 Transformacion de la forma f (x) = a+cos(x), y g(x) = a+sen(x) Se obtiene a partir de la grafica de cos(x)y sen(x) mediante una traslacion vertical de las unidades.Ejemplo: f (x) = 2+ cos(x)

63

f (x) =3+ sen(x).

7.3.1.2 Transformacion de la forma f (x) = acos(x), y g(x) = acos(x) Se multiplica la coordenada y cada uno delos puntos del grafico f (x) = cos(x) o h(x) = sen(x), esto hace que se alargue o se encoja verticalmente. Ejemplo:f (x) = 2cos(x).

7.3.1.3 Transformacion de la forma f (x) = cos(bx), y g(x) = sec(bx) Considerando que las funciones seno y cosenoson periodo 2p, las funciones f (x) = cos(bx) y sen(bx) completan un periodo cuando (b)x vara de 0 a 2p. Por lo tanto elperiodo sera de 0 a 2p(b) . Ejemplo: f (x) = sen(

12x) =

2p12= 4p

7.3.1.4 Tranformacion del tipo f (x) = asin(bx+ c) y g(x) = acos(bx+ c) Amplitud = | a |El periodo es 2p(b) .Corrimiento de fase: cb= negativo se da una traslacion horizontal de | cb | hacia la derecha. Positivo hacia la izquierda.

Ejemplo 7.1 f (x) =4sen(2x p3)

Amplitud: |4| = 4Perodo:

2p|2| = p.

Corrimiento de fase= |p32

| = p6

hacia la derecha porp32< 0.

64 Trigonometra

Las funciones trigonometricas tanx,cotx, secx, cscx

Caractersticas sec csc tan cotDominio R{p2 + kp/k 2 Z} R{kp/k 2 Z} R{p2 + kp/k 2 Z} R{kp/k 2 Z}Ambito R R R RPeriodo 2p 2p 2p 2p

tan(x) cot(x)

csc(x) sec(x)

7.4 Funciones Trigonometricas inversas

65

7.4.1 Funcion seno inverso

g = [1,1]! [p2 , p2 ], g(x) = sen1(x)

Ejemplo 7.2 Calcule sen1( 12 )

Solucion: Para determinar sin1( 12 )

Sea y = sen1( 12 ) =) 12 = sen(y)El unico valor que satisface la condicion es p6 , por lo tanto sen

1( 12 ) =p6 .

7.4.2 Funcion coseno inverso

g = [1,1]! [0,p], g(x) = cos1(x)

Ejemplo 7.3 Calcule cos1(12 )

Solucion: Para determinar cos1(12 )

Sea y = cos1(12 ) =) 12 = cos(y)El unico numero real que cumple y e[0,p] es 2p3 .

Ejemplo 7.4 Calcule cos1(cos(p4 ))

Solucion = p4

66 Trigonometra

7.4.3 Funcion tangente inversa

g= R!]p2 , p2 , g(x) = tan1(x)

7.5 Identidades Triginometricas

7.5.1 Identidades trigonometricas fundamentales

csc(t) = 1sen(t) tan(t) =1

cot(t) =sen(t)cos(t) sen

2(t)+ cos2(t) = 1 sec2(t) tan2(t) = 1sec(t) = 1cos(t) cot(t) =

1tan(t) =

cos(t)sen(t) csc

2(t) cot2(t) = 1

Ejemplo 7.5 Demuestre la identidad: senx(cscx sinx) = cos2 x

Solucion: Para resolver la identidad senx(cscx sinx) = cos2 x

senx

1senx

senx= cos2 x

senx1 sen2 x

senx

= cos2 x

senxcos2 xsenx

= cos2 x

cos2 x= cos2 x

7.5.2 Periodicidad

sen(t) = sen(t+2kp)cos(t) = cos(t+2kp)csc(t) = csc(t+2kp)sec(t) = sec(t+2kp)tan(t) = tan(t+ kp)cot(t) = cot(t+ kp)

Ejemplo 7.6 Demuestre la identidad: sen(x+4p)sec(x8p)cot(x+5p) = 1

67

Solucion: Para resolver la identidad sen(x+4p)sec(x8p)cot(x+5p) = 1

sen(x+4p)sec(x8p)cot(x+5p) = sen(x)sec(x)cot(x)

sen(x+4p)sec(x8p)cot(x+5p) = sen(x) 1cosx

cosxsenx

sen(x+4p)sec(x8p)cot(x+5p) = 1

7.5.3 Paridad de las funciones trigonometricas

Si para toda x en D se cumple que f (x) = f (x), se dice que es una funcion par. Si para toda x en D se cumple quef (x) = f (x).

sen(t) =sen(t) csc(t) =csc(t)cos(t) = cos(t) tan(t) = tan(t)cot(t) =cot(t) sec(t) = sec(t)

7.5.4 Imagen de una suma o de una resta

sen(u+ v) = sen(u)cos(v)+ sen(v)cos(u)

cos(u+ v) = cos(u)cos(v) sen(v)sen(u)

tan(u+ v) =tan(u)+ tan(v)1 tan(u) tan(v)

sen(u v) = sen(u)cos(v) sen(v)cos(u)cos(u v) = cos(u)cos(v)+ sen(v)sen(u)

tan(u v) = tan(u) tan(v)1+ tan(u) tan(v)

7.5.5 Imagen doble de un numero

sen(2u) = 2sen(u)cos(u)

cos(2u) = cos2(u) sen2(u)

tan(2u) =2+ tan(u)1 tan2(u)

7.5.6 Imagen de la mitad de un numero

sen(u2) =

r1 cos(u)

2

cos(u2) =

r1+ cos(u)

2

68 Trigonometra

7.5.7 Ecuaciones trigonometricas

Ejemplo 7.7 Resuelva: 2cosq1= 0 con q 2 [0,2p]

Solucion: Para 2cosq1= 0

cosq= 12

q= p3

S = {x 2 R/x=p3+2kp,2kp/k 2 Z}

Ejemplo 7.8 Resuelva: sen(3t)cos(t)+ sen(t)cos(3t) = 13

Solucion:

sen(3t)cos(t)+ sen(t)cos(3t) =13

sen(3t+ t) =12

sen(4t) =12

Sea u= 4tsen(u) =

12

S = {x 2 R/x= p6+2kp o x= 5p

6+2kp,k 2 Z}

Ejemplo 7.9 Resuelva: sen(x) tan(x) = sen(x) con x 2[0,2p]

Solucionsen(x) tan(x) = sen(x)

sen(x) tan(x) sen(x) = 0sen(x)(tan(x)1) = 0sen(x) = 0 y tan(x) = 1

x= 0, x= p y x= p4

S = {x 2 R/x= p4+2kp o 5p

4+ kp,k 2 Z}

Parte II

Anexos: Examenes del Bachillerato de MEP ydel proyecto MATEM de la Universidad deCosta Rica y el Instituto Tecnologico de

Costa Rica.

Prueba de bachillerato - Noviembre 2014En esta prueba, a menos que en el tem se indique lo contrario, se debe considerar lo siguiente:

a) Cuando se establecen equivalencias o resultados que involucren radicales de ndice par, el subra-dical representara numeros positivos.

b) Cuando se pregunte por un resultado aproximado, las opciones se presentaran, ya sea co redondeoal decimo mas cercano o al centesimo mas cercano. Asimismo, cuando se requiera, use 3,14 comoaproximacion de y 2,72 como aproximacion de e.

c) Las ecuaciones deben resolverse en R, excepto las ecuaciones trigonometricas, que deben resolverseen [0, 2[.

d) Las factorizaciones deben resolverse en R (ceros, races, factores).

e) Las expresiones algebraicas, exponenciales, logartmicas y trigonometricas que aparecen en estaprueba, se suponen bien definidas, por lo tanto, las restricciones necesarias en cada caso no seescriben.

f) Las funciones de la prueba, son funciones reales de variable real consideradas en su dominiomaximo.

g) Los dibujos no necesariamente estan hechos a escala. La figura solamente ilustra las condicionesdel problema.

h) En la resolucion de problemas, lo que se mide es el contenido matematico, por lo que indepen-dientemente si el contexto es hipotetico o verdico, siempre se considera existente.

i) En las graficas de funciones, las puntas de flecha indican el sentido positivo de los ejes.

1

1) Considere las siguientes proposiciones:

I. Una ecuacion de segundo grado con una incognita y discriminante igual a 25, posee dosraces reales diferentes.

II. Una ecuacion de segundo grado con una incognita y discriminante igual a cero, posee unaunica raz real.

De ellas, cuales son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

2) Como parte de un proyecto del taller de maderas en un colegio, los estudiantes deben construiruna pizarra rectangular con las especificaciones siguientes:

La superficie debe medir 5551 cm2

El largo debe medir 30 cm mas que el ancho.

En respuesta a la problematica de no conocer las dimensiones de la pizarra, tres estudiantes plan-tean por separado las siguientes ecuaciones, utilizando x como el ancho del rectangulo:

Francisco 30x2 = 5551Marta x2 30x = 5551Joaqun x2 + 30x = 5551

De los estudiantes citados, quien o quienes plantearon una ecu