clase 1 precalculo

CLCULO I - ANLISIS MATEMTICO IPRE-CLCULO

ALCAL-NEME

UNSL

2015

ALCAL-NEME (UNSL )PRE-CLCULO 2015 1 / 58

Recta Real

Trabajaremos con nmeros Reales, IR.

Identicaremos cada punto de una recta con un nmero Real.

Esta recta sera llamada "Recta Real".Consideraremos dos puntos sobre la recta.

Identicaremos sendos puntos a los nmeros 0 y 1. Es costumbreponer el 0 a la izquierda del 1.

Este primer paso convierte a la recta en una recta ordenada: el sentidode avance desde el 0 hacia el 1 es considerado el sentido positivo.

Usando el segmento [0, 1] como unidad de distancia, se ubican en larecta los nmeros naturales.

Recta Real

Esta recta sera llamada "Recta Real".

Consideraremos dos puntos sobre la recta.

Recta Real

A continuacin, se ubican los nmeros positivos cuya expresindecimal tiene un solo dgito a la derecha del punto.

Se divide en diez partes iguales el segmento posterior a la parte enteray se ubica el nmero en la marca indicada por el decimal.

Siguiendo el mismo procedimiento se representan todos los nmerospositivos con expresin decimal nita.

Para los nmeros positivos con expresin decimal innita, elprocedimiento es tambin innito.

Los nmeros negativos se representan a la izquierda del origen (estoes del 0) en forma simtrica respecto de su recproco, que es positivo.

Recta Real

Podemos pensar a cada nmero como un vector libre con origen encero que seala al punto correspondiente de la recta.

La suma se efecta trasladando el origen del segundo vector alextremo del primero.

Multiplicar por un nmero positivo signica cambiar la escala delvector multiplicado, expandiendo o contrayendo lo que el factor indica.

Multiplicar por 1 signica invertir la orientacin.Las multiplicaciones por nmeros negativos se obtienen componiendolas dos acciones anteriores.

Recta Real

Multiplicar por 1 signica invertir la orientacin.

Las multiplicaciones por nmeros negativos se obtienen componiendolas dos acciones anteriores.

Recta Real

Desigualdades

Dados dos nmeros reales no negativos y conocidas las expresionesdecimales que los representan, es fcil saber cul es ms grande.

Se comparan las expresiones decimales comenzando desde la parteentera hasta dnde dejen de coincidir y en esa posicin el dgito dealguno ser mayor que el del otro: se es el mayor.

Ejemplos:5 > 3.475 2.34567 < 2.34576.

Excepcin proviene de la doble representacin de algunos nmeros:0.3999.... = 0.4.

El criterio de comparacin se traduce en que a < b exactamentecuando a precede a b en el sentido de orientacin positivo de larecta; es decir, cuando a est a la izquierda de b.

Desigualdades

Ejemplos:5 > 3.475 2.34567 < 2.34576.

Desigualdades

Ejemplos:5 > 3.475 2.34567 < 2.34576.

Desigualdades

Ejemplos:5 > 3.475 2.34567 < 2.34576.

Desigualdades

Ejemplos:5 > 3.475 2.34567 < 2.34576.

Desigualdades

Propiedades de la relacin " < ", denida en el conjunto IR:

1 Tricotoma:8a, b 2 IR, vale una y slo una de las siguientes relaciones:

a < b, a = b, b < a.

2 Transitiva: 8a, b, c 2 IR,a < b ^ b < c ) a < c

3 Consistencia con la suma: 8a, b, c 2 IR,a < b ) a+ c < b+ c

4 Consistencia con el producto:8a, b, c 2 IR,a < b ^ 0 < c ) ac < bc

Desigualdades

a < b, a = b, b < a.

Desigualdades

a < b, a = b, b < a.

Desigualdades

a < b, a = b, b < a.

Desigualdades

a < b, a = b, b < a.

Desigualdades

a < b, a = b, b < a.

Desigualdades

De estas cuatro propiedades fundamentales se deducen muchas otras.

La expresin a > b, es equivalente a b < a.

La expresin a b signica a < b _ a = b.La expresin a < b < c , signica a < b ^ b < c .

Desigualdades

La expresin a b signica a < b _ a = b.

La expresin a < b < c , signica a < b ^ b < c .

Desigualdades

Otras propiedades:5.- a < b , b < a.

6.- a bc .8.- ab > 0, (a > 0^ b > 0) _ (a < 0^ b < 0) .8.- ab < 0, (a > 0^ b < 0) _ (a > 0^ b < 0) .9.- a, b, c , d > 0^ a 0^ a < b ) a2 < b2 ^pa < pb.11.- 0 < 1.

Desigualdades

Otras propiedades:5.- a < b , b < a.6.- a < b ^ c < d ) a+ c < b+ d .

7.- a bc .8.- ab > 0, (a > 0^ b > 0) _ (a < 0^ b < 0) .8.- ab < 0, (a > 0^ b < 0) _ (a > 0^ b < 0) .9.- a, b, c , d > 0^ a 0^ a < b ) a2 < b2 ^pa < pb.11.- 0 < 1.

Desigualdades

Otras propiedades:5.- a bc .

8.- ab > 0, (a > 0^ b > 0) _ (a < 0^ b < 0) .8.- ab < 0, (a > 0^ b < 0) _ (a > 0^ b < 0) .9.- a, b, c , d > 0^ a 0^ a < b ) a2 < b2 ^pa < pb.11.- 0 < 1.

Desigualdades

Otras propiedades:5.- a bc .8.- ab > 0, (a > 0^ b > 0) _ (a < 0^ b < 0) .

8.- ab < 0, (a > 0^ b < 0) _ (a > 0^ b < 0) .9.- a, b, c , d > 0^ a 0^ a < b ) a2 < b2 ^pa < pb.11.- 0 < 1.

Desigualdades

Otras propiedades:5.- a bc .8.- ab > 0, (a > 0^ b > 0) _ (a < 0^ b < 0) .8.- ab < 0, (a > 0^ b < 0) _ (a > 0^ b < 0) .

9.- a, b, c , d > 0^ a 0^ a < b ) a2 < b2 ^pa < pb.11.- 0 < 1.

Desigualdades

Otras propiedades:5.- a bc .8.- ab > 0, (a > 0^ b > 0) _ (a < 0^ b < 0) .8.- ab < 0, (a > 0^ b < 0) _ (a > 0^ b < 0) .9.- a, b, c , d > 0^ a < b ^ c < d ) ac < bd .

10.- a, b > 0^ a < b ) a2 < b2 ^pa < pb.11.- 0 < 1.

Desigualdades

Otras propiedades:5.- a bc .8.- ab > 0, (a > 0^ b > 0) _ (a < 0^ b < 0) .8.- ab < 0, (a > 0^ b < 0) _ (a > 0^ b < 0) .9.- a, b, c , d > 0^ a 0^ a < b ) a2 < b2 ^pa < pb.

11.- 0 < 1.

Desigualdades

Otras propiedades:5.- a bc .8.- ab > 0, (a > 0^ b > 0) _ (a < 0^ b < 0) .8.- ab < 0, (a > 0^ b < 0) _ (a > 0^ b < 0) .9.- a, b, c , d > 0^ a 0^ a < b ) a2 < b2 ^pa < pb.11.- 0 < 1.

Desigualdades

Ejemplos:

x < 3 es una inecuacin. Su solucin es el conjunto

S = fx : x < 3gGracamente:

x 2 es otra inecuacin cuyo conjunto solucin esS = fx : x 2g .

Gracamente:

Desigualdades

Ejemplos:

x < 3 es una inecuacin. Su solucin es el conjunto

S = fx : x < 3gGracamente:

x 2 es otra inecuacin cuyo conjunto solucin esS = fx : x 2g .

Gracamente:

Desigualdades

Si a < b, se denen los siguientes intervalos:

Intervalo abierto

(a, b) := fx 2 IR : a < x < bgIntervalo cerrado

[a, b] := fx 2 IR : a x bgIntervalos mixtos:

[a, b) : = fx 2 IR : a x < bg ,(a, b] : = fx 2 IR : a < x bg

Desigualdades

Intervalo abierto

(a, b) := fx 2 IR : a < x < bg

Intervalo cerrado

Desigualdades

Intervalo abierto

[a, b] := fx 2 IR : a x bg

Intervalos mixtos:

Desigualdades

Intervalo abierto

Desigualdades

Los smbolos y se aceptan como extremos de intervalos paradenotar las semirrectas:

(, b) := fx 2 IR : x < bg (a,) := fx 2 IR : a < xg(, b] := fx 2 IR : x bg [a,) := fx 2 IR : a xg

(,) := IR

Desigualdades

Ejemplos:

2 5x > 3.

(x + 2) (x + 4) < 0. Por propiedad 8,

(x + 2) (x + 4) < 0, [(x + 2) > 0^ (x + 4) < 0] _[(x + 2) < 0^ (x + 4) > 0]

Resolviendo:

1 (x + 2) > 0^ (x + 4) < 0, x > 2^ x < 4, @x solucin.2 (x + 2) < 0^ (x + 4) > 0, x < 2^ x > 4, El conjuntosolucin:S = (4,2) .

Desigualdades

Ejemplos:

2 5x > 3.(x + 2) (x + 4) < 0. Por propiedad 8,

(x + 2) (x + 4) < 0, [(x + 2) > 0^ (x + 4) < 0] _[(x + 2) < 0^ (x + 4) > 0]

Resolviendo:

Desigualdades

Ejemplos:

(x + 2) (x + 4) < 0, [(x + 2) > 0^ (x + 4) < 0] _[(x + 2) < 0^ (x + 4) > 0]

Resolviendo:

Desigualdades

Ejemplos:

(x + 2) (x + 4) < 0, [(x + 2) > 0^ (x + 4) < 0] _[(x + 2) < 0^ (x + 4) > 0]

Resolviendo:

1 (x + 2) > 0^ (x + 4) < 0, x > 2^ x < 4, @x solucin.

2 (x + 2) < 0^ (x + 4) > 0, x < 2^ x > 4, El conjuntosolucin:S = (4,2) .

Desigualdades

Ejemplos:

(x + 2) (x + 4) < 0, [(x + 2) > 0^ (x + 4) < 0] _[(x + 2) < 0^ (x + 4) > 0]

Resolviendo:

Desigualdades

Advertencia: Si se multiplica miembro a miembro una desigualdad poruna expresin que contiene a la incgnita, no se podr saber si esaexpresin es positiva o negativa (porque eso depende del valor desconocidode la incgnita) y por lo tanto no se sabe si el sentido de la desigualdadpermanece o se invierte.

Desigualdades

Ejemplo: 1x3 2.

La expresin slo tienen sentido para x 6= 3. Es conveniente realizar lassiguientes operaciones:

1x 3 2,

1x 3 2 0,

1 2x + 6x 3 0,

2x 7x 3 0.

Luego:

2x 7x 3 0, [(2x 7) 0^ (x 3) > 0]_ [(2x 7) 0^ (x 3) < 0] .

Equivalente a:

1x 72 ^ x > 3

, x 2 72 ,+ .2 x 72 ^ x < 3, x 2 (, 3] .3 La solucin: S = (, 3) [ 72 ,+ .

Desigualdades

Ejemplo: 1x3 2.La expresin slo tienen sentido para x 6= 3. Es conveniente realizar lassiguientes operaciones:

1x 3 2,

1x 3 2 0,

1 2x + 6x 3 0,

2x 7x 3 0.

Luego:

2x 7x 3 0, [(2x 7) 0^ (x 3) > 0]_ [(2x 7) 0^ (x 3) < 0] .

Equivalente a:

1x 72 ^ x > 3

, x 2 72 ,+ .2 x 72 ^ x < 3, x 2 (, 3] .3 La solucin: S = (, 3) [ 72 ,+ .

Desigualdades

1x 3 2,

1x 3 2 0,

1 2x + 6x 3 0,

2x 7x 3 0.

Luego:

2x 7x 3 0, [(2x 7) 0^ (x 3) > 0]_ [(2x 7) 0^ (x 3) < 0] .

Equivalente a:

1x 72 ^ x > 3

, x 2 72 ,+ .2 x 72 ^ x < 3, x 2 (, 3] .3 La solucin: S = (, 3) [ 72 ,+ .

Desigualdades

1x 3 2,

1x 3 2 0,

1 2x + 6x 3 0,

2x 7x 3 0.

Luego:

2x 7x 3 0, [(2x 7) 0^ (x 3) > 0]_ [(2x 7) 0^ (x 3) < 0] .

Equivalente a:

1x 72 ^ x > 3

, x 2 72 ,+ .

2 x 72 ^ x < 3, x 2 (, 3] .3 La solucin: S = (, 3) [ 72 ,+ .

Desigualdades

1x 3 2,

1x 3 2 0,

1 2x + 6x 3 0,

2x 7x 3 0.

Luego:

2x 7x 3 0, [(2x 7) 0^ (x 3) > 0]_ [(2x 7) 0^ (x 3) < 0] .

Equivalente a:

1x 72 ^ x > 3

, x 2 72 ,+ .2 x 72 ^ x < 3, x 2 (, 3] .

3 La solucin: S = (, 3) [ 72 ,+ .

Desigualdades

1x 3 2,

1x 3 2 0,

1 2x + 6x 3 0,

2x 7x 3 0.

Luego:

2x 7x 3 0, [(2x 7) 0^ (x 3) > 0]_ [(2x 7) 0^ (x 3) < 0] .

Equivalente a:

1x 72 ^ x > 3

, x 2 72 ,+ .2 x 72 ^ x < 3, x 2 (, 3] .3 La solucin: S = (, 3) [ 72 ,+ .

Valor absoluto

Cada nmero real se compone de dos elementos: su signo y su valorabsoluto.

Observemos que

Si a 0) el signo es +, a = jajSi a < 0) el signo es , a = jaj

Podemos denir:

jaj =

a si a 0a si a < 0 .

Valor absoluto

Observemos que

Podemos denir:

jaj =

Valor absoluto

Observemos que

Podemos denir:

jaj =

Valor absoluto

Propiedades:

jaj 0.jaj = 0, a = 0.

jaj mide la distancia, en la recta real, desde el punto a hasta el 0.En la interpretacin vectorial, jaj es la longitud del vector a.

Valor absoluto

Propiedades:

jaj 0.

jaj = 0, a = 0.jaj mide la distancia, en la recta real, desde el punto a hasta el 0.En la interpretacin vectorial, jaj es la longitud del vector a.

Valor absoluto

Propiedades:

jaj 0.jaj = 0, a = 0.

Valor absoluto

Propiedades:

jaj 0.jaj = 0, a = 0.

jaj mide la distancia, en la recta real, desde el punto a hasta el 0.

En la interpretacin vectorial, jaj es la longitud del vector a.

Valor absoluto

Propiedades:

jaj 0.jaj = 0, a = 0.

Valor absoluto

Aplicaciones:

Si x 0, existe un nico nmero real no negativo cuyo cuadrado esx . Ese nmero es

px .

Si a 0, la expresin es un nmero real. Ademas pa2 = a.La expresin

pa2 es siempre un nmero real, aun cuando a < 0. Luego

puede ser quepa2 6= a (

q(2)2 = 2 6= (2)).

Para cualquier nmero real a;

2pa2 = jaj

Observemos que por denicin: jaj = jaj .Como b a es un vector que va desde a hasta b, su longitudjb aj = ja bj mide la distancia entre estos dos puntos.

Valor absoluto

Aplicaciones:

px .

q(2)2 = 2 6= (2)).

2pa2 = jaj

Valor absoluto

Aplicaciones:

px .

Si a 0, la expresin es un nmero real. Ademas pa2 = a.

La expresinpa2 es siempre un nmero real, aun cuando a < 0. Luego

q(2)2 = 2 6= (2)).

2pa2 = jaj

Valor absoluto

Aplicaciones:

px .

q(2)2 = 2 6= (2)).

2pa2 = jaj

Valor absoluto

Aplicaciones:

px .

q(2)2 = 2 6= (2)).

2pa2 = jaj

Valor absoluto

Aplicaciones:

px .

q(2)2 = 2 6= (2)).

2pa2 = jaj

Observemos que por denicin: jaj = jaj .

Como b a es un vector que va desde a hasta b, su longitudjb aj = ja bj mide la distancia entre estos dos puntos.

Valor absoluto

Aplicaciones:

px .

q(2)2 = 2 6= (2)).

2pa2 = jaj

Valor absoluto

La siguiente es una propiedad fundamental del valor absoluto.Teorema 1 Si r > 0, jx j r , r x r .

Demostracin: )) Supongamos primero que jx j r , entoncesr jx j. Como jx j x jx j . Combinando con las dosdesigualdades anteriores se tiene que r x r .() Supongamos ahora que r x r . Es decir

x r (1)r x , x r (2)

Si x 0, entonces jx j = x . Por 1, x = jx j r .Si x < 0, entonces jx j = x . Por 2, jx j = x < r .

Valor absoluto

La siguiente es una propiedad fundamental del valor absoluto.Teorema 1 Si r > 0, jx j r , r x r .Demostracin: )) Supongamos primero que jx j r , entoncesr jx j. Como jx j x jx j . Combinando con las dosdesigualdades anteriores se tiene que r x r .() Supongamos ahora que r x r . Es decir

x r (1)r x , x r (2)

Si x 0, entonces jx j = x . Por 1, x = jx j r .Si x < 0, entonces jx j = x . Por 2, jx j = x < r .

Valor absoluto

Teorema 2 Si r > 0, r jx j , (r x) _ (x r).

Demostracin: Supongamos que

r jx jsi y solo si "NO" se cumple

jx j rsi y solo si "NO" se cumple (Teorema 1)

r x rsi y solo si se cumple

(r x) _ (x r) .

Valor absoluto

Teorema 2 Si r > 0, r jx j , (r x) _ (x r).Demostracin: Supongamos que

r jx jsi y solo si "NO" se cumple

jx j rsi y solo si "NO" se cumple (Teorema 1)

r x rsi y solo si se cumple

(r x) _ (x r) .

Valor absoluto

Ejemplos:

jx 3j < 4, 4 < x 3 < 4, 1 < x < 7.

S = (1, 7)

j2x + 1j > 5, j2x 1j > 5

, [5 (2x 1)] _ [(2x 1) 5], [3 x ] _ [x 2].S = (,3) [ 112 ,+ .

Valor absoluto

Ejemplos:

jx 3j < 4, 4 < x 3 < 4, 1 < x < 7.

S = (1, 7)

j2x + 1j > 5, j2x 1j > 5

, [5 (2x 1)] _ [(2x 1) 5], [3 x ] _ [x 2].S = (,3) [ 112 ,+ .

Valor absoluto

Ejemplos:

jx 3j < 4, 4 < x 3 < 4, 1 < x < 7.S = (1, 7)

j2x + 1j > 5, j2x 1j > 5

, [5 (2x 1)] _ [(2x 1) 5], [3 x ] _ [x 2].S = (,3) [ 112 ,+ .

Valor absoluto

Ejemplos:

jx 3j < 4, 4 < x 3 < 4, 1 < x < 7.S = (1, 7)

j2x + 1j > 5, j2x 1j > 5

, [5 (2x 1)] _ [(2x 1) 5], [3 x ] _ [x 2].S = (,3) [ 112 ,+ .

Valor absoluto

Ejemplos:

jx 3j < 4, 4 < x 3 < 4, 1 < x < 7.S = (1, 7)

j2x + 1j > 5, j2x 1j > 5, [5 (2x 1)] _ [(2x 1) 5]

, [3 x ] _ [x 2].S = (,3) [ 112 ,+ .

Valor absoluto

Ejemplos:

jx 3j < 4, 4 < x 3 < 4, 1 < x < 7.S = (1, 7)

j2x + 1j > 5, j2x 1j > 5, [5 (2x 1)] _ [(2x 1) 5], [3 x ] _ [x 2].

S = (,3) [ 112 ,+ .

Valor absoluto

Ejemplos:

jx 3j < 4, 4 < x 3 < 4, 1 < x < 7.S = (1, 7)

j2x + 1j > 5, j2x 1j > 5, [5 (2x 1)] _ [(2x 1) 5], [3 x ] _ [x 2].S = (,3) [ 112 ,+ .

Funciones

Una funcin es una ley que hace corresponder a cada elemento de unconjunto, llamado dominio, un nico elemento de otro conjunto, quellamaremos codominio.

Por ahora slo estamos interesados en funciones cuyo dominio es unsubconjunto de la recta real y su codominio es tambin R (o unsubconjunto de R).

Funciones

Una funcin es una ley que hace corresponder a cada elemento de unconjunto, llamado dominio, un nico elemento de otro conjunto, quellamaremos codominio.

Por ahora slo estamos interesados en funciones cuyo dominio es unsubconjunto de la recta real y su codominio es tambin R (o unsubconjunto de R).

Funciones

Ejemplos:

1 A cada nmero asociarle su cuadrado.2 Dado un nmero se le hace corresponder ese mismo nmeromultiplicado por 3 incrementado en 5 unidades.

3 A la temperatura en grados Celcius medida en ciertas circunstanciasle hacemos corresponder su valor en grados Farenheit.

4 A la altura medida en metros de una torre se le asocia el tiempo ensegundos que tarda en llegar al suelo un objeto que se deja caer desdeella.

5 A cada nmero natural entre 2 y 12 le asociamos la probabilidad deobtenerlo haciendo rodar dos dados.

Funciones

La variable que representa al objeto del dominio se llamaindependiente.

Sobre ella se realiza la operacin que dicta la funcin y el resultadopasa a ser el valor que toma la variable del codominio, llamadaentonces dependiente.

Funciones

La variable que representa al objeto del dominio se llamaindependiente.

Sobre ella se realiza la operacin que dicta la funcin y el resultadopasa a ser el valor que toma la variable del codominio, llamadaentonces dependiente.

Funciones

Las funciones de los ejemplos anteriores se describen de la siguientemanera:

1 A cada nmero asociarle su cuadrado. x 7! y = x22 Dado un nmero se le hace corresponder ese mismo nmeromultiplicado por 3 incrementado en 5 unidades. x 7! y = 3x + 5

3 A la temperatura en grados Celcius medida en ciertas circunstanciasle hacemos corresponder su valor en grados Farenheit.TC 7! TF = 1.8TC + 32

4 A la altura medida en metros de una torre se le asocia el tiempo ensegundos que tarda en llegar al suelo un objeto que se deja caer desde

ella. h 7! t =q

2g h, donde g = 9.8 es la aceleracin de la gravedad.

5 A cada nmero natural entre 2 y 12 le asociamos la probabilidad deobtenerlo haciendo rodar dos dados.

n : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12p : 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Funciones

Si decidimos llamar f a la funcin del ejemplo 1, llamaremos f (x) alnmero que f (o sea la accin de elevar al cuadrado) asocia alnmero x ; f (x) = x2.

El dominio de una funcin f ser denotado Dom (f ).Si B Dom (f ), la imagen de B por f es el conjuntof (B) := ff (x) : x 2 Bg.Si se toma A = Dom (f ), f (A) es el conjunto de todos los posiblesvalores que puede tomar la funcin. Se lo llama el rango o la imagende f y se lo denota Rg (f ).

Funciones

El dominio de una funcin f ser denotado Dom (f ).

Si B Dom (f ), la imagen de B por f es el conjuntof (B) := ff (x) : x 2 Bg.Si se toma A = Dom (f ), f (A) es el conjunto de todos los posiblesvalores que puede tomar la funcin. Se lo llama el rango o la imagende f y se lo denota Rg (f ).

Funciones

El dominio de una funcin f ser denotado Dom (f ).Si B Dom (f ), la imagen de B por f es el conjuntof (B) := ff (x) : x 2 Bg.

Si se toma A = Dom (f ), f (A) es el conjunto de todos los posiblesvalores que puede tomar la funcin. Se lo llama el rango o la imagende f y se lo denota Rg (f ).

Funciones

El dominio de una funcin f ser denotado Dom (f ).Si B Dom (f ), la imagen de B por f es el conjuntof (B) := ff (x) : x 2 Bg.Si se toma A = Dom (f ), f (A) es el conjunto de todos los posiblesvalores que puede tomar la funcin. Se lo llama el rango o la imagende f y se lo denota Rg (f ).

Funciones

La expresinf : A! B

signicar que:

1 f es una funcin2 A es el dominio de f3 Rg (f ) B.

Operaciones con funciones

Las operaciones aritmticas realizadas con los nmeros resultantes deaplicar funciones, se pueden pensar como operaciones aritmticashechas con las funciones.

La funcin f + g se dene por:

f + g : x 7! f (x) + g (x) .O bien

(f + g) (x) = f (x) + g (x) .

El dominio de la funcin suma, es claro queDom (f + g) = Dom (f ) \Dom (g) .

f + g : x 7! f (x) + g (x) .O bien

(f + g) (x) = f (x) + g (x) .

f + g : x 7! f (x) + g (x) .O bien

(f + g) (x) = f (x) + g (x) .

De idntica manera se denen operaciones con funciones para cadaoperacin con nmeros

(f g) (x) = f (x) g (x) ,(f g) (x) = f (x) g (x) ,

fg(x) =

f (x)g (x)

.

Dom (f g) = Dom (f g) = Dom (f ) \Dom (g).Dom

fg

= fx 2 Dom (f ) \Dom (g) : g (x) 6= 0g .

(f g) (x) = f (x) g (x) ,(f g) (x) = f (x) g (x) ,

fg(x) =

f (x)g (x)

.

Dom (f g) = Dom (f g) = Dom (f ) \Dom (g).

Domfg

= fx 2 Dom (f ) \Dom (g) : g (x) 6= 0g .

(f g) (x) = f (x) g (x) ,(f g) (x) = f (x) g (x) ,

fg(x) =

f (x)g (x)

.

Dom (f g) = Dom (f g) = Dom (f ) \Dom (g).Dom

fg

= fx 2 Dom (f ) \Dom (g) : g (x) 6= 0g .

Composicin de funciones:

Esta operacin consiste en aplicar dos funciones sucesivamente, unadespus de la otra.

x 7! f (x) 7! g (f (x))Esta operacin no es conmutativa. Importa en qu orden secomponen las funciones. Cul acta primero y cul despus. Elsmbolo usado es :

g f (x) := g (f (x))Es fcil ver que

Dom (g f ) = fx 2 Dom (f ) : f (x) 2 Dom (g)g .

x 7! f (x) 7! g (f (x))

Esta operacin no es conmutativa. Importa en qu orden secomponen las funciones. Cul acta primero y cul despus. Elsmbolo usado es :

g f (x) := g (f (x))

Es fcil ver que

Ejemplo: Si f (x) = x + 3 y g (y) = y2,

g f (x) = (x + 3)2 , f g (y) = y2 + 3.

El articio de usar distintos nombres para las variables, permite ver lacomposicin como un reemplazo:

y = f (x)z = g (y)

z = g (y) = g (f (x)) = g f (x)

x = g (y)z = f (x)

z = f (x) = f (g (y)) = f g (y) ,

Seanf (x) =

x + 22x 3 , g (x) =

3x + 22x 1

Entonces,

g f (x) = g (f (x)) = gx + 22x 3

=3 x+22x3

+ 2

2 x+22x3

1 ==

3x+6+2(2x3)2x3

2x+4(2x3)2x3

=3x + 6+ 4x 62x + 4 2x + 3 =

7x7= x .

Grcos

As como se estableci un sistema de coordenadas en la recta quepermiti describirla a travs de los nmeros reales, se puede poner unsistema de coordenadas en el plano.

El procedimiento es el siguiente: Tomemos dos rectas, l1 y l2, que seintersequen en un punto.

Consideremos en ambas rectas sistemas de coordenadas con el 0 en elpunto de interseccin (origen).

Dado un punto cualquiera P del plano:

La recta que pasa por P y es paralela a l2 corta a l1 en un nicopunto que tendr una coordenada, digamos, x .La recta que pasa por P y es paralela a l1 corta a l2 en un nicopunto que tendr una coordenada, digamos, y .Identicamos al punto P con el par ordenado (x , y) .

Gracar:

Grcos

Gracar:

Grcos

Gracar:

Grcos

Gracar:

Grcos

La recta que pasa por P y es paralela a l2 corta a l1 en un nicopunto que tendr una coordenada, digamos, x .

La recta que pasa por P y es paralela a l1 corta a l2 en un nicopunto que tendr una coordenada, digamos, y .Identicamos al punto P con el par ordenado (x , y) .

Gracar:

Grcos

La recta que pasa por P y es paralela a l2 corta a l1 en un nicopunto que tendr una coordenada, digamos, x .La recta que pasa por P y es paralela a l1 corta a l2 en un nicopunto que tendr una coordenada, digamos, y .

Identicamos al punto P con el par ordenado (x , y) .

Gracar:

Grcos

Gracar:

Grcos

Gracar:

Grcos

Gracar:

Grcos

Los ejes dividen al plano en cuatro sectores llamados cuadrantes.

Gracar:

Supongamos que los ejes coordenados fueron tomadosperpendiculares, la distancia entre dos puntos del plano se calculausando el teorema de Pitgoras:

Gracar:

d = dist (P1,P2) =q(x2 x1)2 + (y2 y1)2.

Si A R y f : A 7! R se dene el grco de f por:Gr (f ) := f(x , f (x)) : x 2 Ag .

O bienGr (f ) =

(x , y) 2 R2 : x 2 A, y = f (x) .

Grcos

Gracar:

d = dist (P1,P2) =q(x2 x1)2 + (y2 y1)2.

O bienGr (f ) =

(x , y) 2 R2 : x 2 A, y = f (x) .

Grcos

Gracar:

d = dist (P1,P2) =q(x2 x1)2 + (y2 y1)2.

O bienGr (f ) =

(x , y) 2 R2 : x 2 A, y = f (x) .

Grcos

Gracar:

d = dist (P1,P2) =q(x2 x1)2 + (y2 y1)2.

O bienGr (f ) =

(x , y) 2 R2 : x 2 A, y = f (x) .

Grcos

Gracar:

d = dist (P1,P2) =q(x2 x1)2 + (y2 y1)2.

O bienGr (f ) =

(x , y) 2 R2 : x 2 A, y = f (x) .

Grcos

Pocas veces podemos llevar a la realidad del papel el grco exactode una funcin.

Habitualmente se tiene un dibujo aproximadodo.

El mtodo ms rudimentario consiste en ubicar algunos puntos eimaginar el resto.

Grcos

Ejemplo:y = x2.Consideremos la "tabla de valores"

x : 2 1 12 0 12 1 2

y : 4 1 14 014 1 4

-2 -1 0 1 2

1

2

3

4

5

x

y

gura 1.16

Grcos

y = 3x + 5. Este es uno de los pocos casos en que el grco se podrdibujar con exactitud.

x 0 2y 5 1

-2 -1

-1

1

2

3

4

5

x

y

gura 1.17ALCAL-NEME (UNSL )PRE-CLCULO 2015 36 / 58

Grcos

Un crculo de centro O y radio r es el conjunto de puntos cuyadistancia a O es r . Elllos deben satisfacer entonces la condicin

dist [(x , y) , (0, 0)] = r .

Esto es equivalente,x2 + y2 = r2.

Grcos

La curva descripta por esta ecuacin no es el grco de una funcin.Existen rectas verticales que la cortan en ms de un punto.

-2 2

-2

2

x

y

gura 1.18

Traslaciones

Las traslaciones y los cambios de escala, sobre las variables de unafuncin no alteran demasiado el grco

Traslaciones. Si a 2 R,

Una traslacin horizontal de magnitud a desplaza a un punto(x , y) del plano horizontalmente en la distancia y sentido que (elvector) a indica:

y = f (x) 7! y = g(x) = f (x a)Una traslaciones verticales de magnitud a desplaza a un punto(x , y) del plano horizontalmente en la distancia y sentido que (elvector) a indica:

y = f (x) 7! y b = f (x) 7! y = h(x) = f (x) + b

Traslaciones

Traslaciones. Si a 2 R,

Una traslacin horizontal de magnitud a desplaza a un punto(x , y) del plano horizontalmente en la distancia y sentido que (elvector) a indica:

y = f (x) 7! y b = f (x) 7! y = h(x) = f (x) + b

Traslaciones

Traslaciones. Si a 2 R,Una traslacin horizontal de magnitud a desplaza a un punto(x , y) del plano horizontalmente en la distancia y sentido que (elvector) a indica:

y = f (x) 7! y = g(x) = f (x a)

Una traslaciones verticales de magnitud a desplaza a un punto(x , y) del plano horizontalmente en la distancia y sentido que (elvector) a indica:

y = f (x) 7! y b = f (x) 7! y = h(x) = f (x) + b

Traslaciones

Traslaciones. Si a 2 R,Una traslacin horizontal de magnitud a desplaza a un punto(x , y) del plano horizontalmente en la distancia y sentido que (elvector) a indica:

y = f (x) 7! y b = f (x) 7! y = h(x) = f (x) + b

Traslaciones

Ejemplo: f (x) = x2, que es una parbola con vrtice en el origen.

El grco de g (x) = (x 3)2 , es entonces una parbola igual perocon vrtice en (3, 0) .

Sea ahora h (x) = (x 3)2 4. su grco ser una(4)traslacin vertical del grco de g .

Traslaciones

Ejemplo: f (x) = x2, que es una parbola con vrtice en el origen.

El grco de g (x) = (x 3)2 , es entonces una parbola igual perocon vrtice en (3, 0) .

Sea ahora h (x) = (x 3)2 4. su grco ser una(4)traslacin vertical del grco de g .

Traslaciones

Resultado una parbola con vrtice en (3,4) .

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-5

5

10

15

20

25

x

y

gura 1.21

Cambios de escalas

Un cambio de escala horizontal de magnitud > 0, dilata o contraeel plano, segn sea > 1 < 1, en sentido horizontal,manteniendo en su sitio el eje "x = 0".

y = f (x) 7! y = f x

= g(x)

Cuando x = , entonces g() = f (1).

Un cambio de escala vertical de magnitud > 0, dilata o contrae elplano, segn sea > 1 < 1, en sentido vertical, manteniendoen su sitio el eje "y = 0".

y = f (x) 7! y=f (x)

= g (x)

Entonces g(1) = f (1) .

Cambios de escalas

Un cambio de escala horizontal de magnitud > 0, dilata o contraeel plano, segn sea > 1 < 1, en sentido horizontal,manteniendo en su sitio el eje "x = 0".

y = f (x) 7! y = f x

= g(x)

Cuando x = , entonces g() = f (1).

Un cambio de escala vertical de magnitud > 0, dilata o contrae elplano, segn sea > 1 < 1, en sentido vertical, manteniendoen su sitio el eje "y = 0".

y = f (x) 7! y=f (x)

= g (x)

Entonces g(1) = f (1) .

Cambios de escalas

Ejemplo: La funcin f : [1, 1]! R denida por y = p1 x2.

Sea g (x) =q1 x3 2 = f x3 . g : [3, 3]! R.. De modo que

el grco de g se obtiene con una dilatacin horizontal de razn 3del grco de f . ( g(3) = f (1))

Cambios de escalas

Ejemplo: La funcin f : [1, 1]! R denida por y = p1 x2.Sea g (x) =

q1 x3 2 = f x3 . g : [3, 3]! R.. De modo que

el grco de g se obtiene con una dilatacin horizontal de razn 3del grco de f . ( g(3) = f (1))

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

Primero f (x) =p1 x2;

g1(x) =q1 x3 2;

g2 (x) = 2q1 x3 2.Finalmente h (x) = g2 (x 4)

Entonces,

g1(x) dilatacin horizontal de razn 3.g2(x) dilatacin vertical de razn 2.h (x) traslacin horizontal en 4 unidades.

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

g1(x) =q1 x3 2;

Entonces,

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

g1(x) =q1 x3 2;

Entonces,

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

Primero f (x) =p1 x2; g1(x) =

q1 x3 2;

Entonces,

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

q1 x3 2;

g2 (x) = 2q1 x3 2.

Finalmente h (x) = g2 (x 4)

Entonces,

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

q1 x3 2;

Entonces,

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

q1 x3 2;

Entonces,

g1(x) dilatacin horizontal de razn 3.

g2(x) dilatacin vertical de razn 2.h (x) traslacin horizontal en 4 unidades.

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

q1 x3 2;

Entonces,

g1(x) dilatacin horizontal de razn 3.g2(x) dilatacin vertical de razn 2.

h (x) traslacin horizontal en 4 unidades.

Cambios de escalas

Sea la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

q1 x3 2;

Entonces,

Cambios de escalas

Por lo tanto su grco se obtiene:

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

x

y

gura 1.22 2q1 (x4)29

Simetras

Si g (x) = f (x) , (x , y) 2 Gr (g)() (x , y) 2 Gr (f ) .

Como (x , y) es el punto simtrico de (x , y) respecto del eje deordenadas,

El grco de g y el grco de f son simtricos respecto del ejevertical.

El grco de y = f (x) y el de y = f (x) son simtricos respectodel eje de absisas.

El grco de jf (x)j se obtiene del de f reejando sobre ele ejehorizontal la parte del grco de f que vive debajo de ste, mientrasse deja inalterada la otra parte.

Simetras

Si g (x) = f (x) , (x , y) 2 Gr (g)() (x , y) 2 Gr (f ) .Como (x , y) es el punto simtrico de (x , y) respecto del eje deordenadas,

Simetras

Ejemplo

Ejemplo: Buscaremos un grco aproximado de g (x) = 3x3 + 3 2.

1 1x 7! 1x3 . traslacin horizontal en 3 unidades.

2 1x3 7! 3x3 . dilatacin vertical de razn 3.

3 3x3 7! 3x3 . reexin respecto del eje x .

4 3x3 7! 3x3 + 3. traslacin vertical en 3 unidades.5 3x3 + 3 7!

3x3 + 3 . reexin de lo negativo respecto deleje x .

6 3x3 + 3 7! 3x3 + 3 2. traslacin vertical en 2unidades.

Ejemplo

4 3x3 7! 3x3 + 3. traslacin vertical en 3 unidades.

5 3x3 + 3 7! 3x3 + 3 . reexin de lo negativo respecto del

eje x .6 3x3 + 3 7! 3x3 + 3 2. traslacin vertical en 2unidades.

Ejemplo

1x7!(1)

1x 3 7!(2)

3x 3 7!(3)

3x 3 7!(4)

3x 3 + 3 7!(5)

7!(5)

3x 3 + 3 7!(6)

3x 3 + 3 2

1 traslacin horizontal en 3 unidades.

2 dilatacin vertical de razn 3.3 reexin respecto del eje x .4 traslacin vertical en 3 unidades.5 reexin de lo negativo respecto del eje x .6 traslacin vertical en 2 unidades.

Ejemplo

1x7!(1)

1x 3 7!(2)

3x 3 7!(3)

3x 3 7!(4)

3x 3 + 3 7!(5)

7!(5)

3x 3 + 3 7!(6)

3x 3 + 3 2

1 traslacin horizontal en 3 unidades.2 dilatacin vertical de razn 3.

3 reexin respecto del eje x .4 traslacin vertical en 3 unidades.5 reexin de lo negativo respecto del eje x .6 traslacin vertical en 2 unidades.

Ejemplo

1x7!(1)

1x 3 7!(2)

3x 3 7!(3)

3x 3 7!(4)

3x 3 + 3 7!(5)

7!(5)

3x 3 + 3 7!(6)

3x 3 + 3 2

1 traslacin horizontal en 3 unidades.2 dilatacin vertical de razn 3.3 reexin respecto del eje x .

4 traslacin vertical en 3 unidades.5 reexin de lo negativo respecto del eje x .6 traslacin vertical en 2 unidades.

Ejemplo

1x7!(1)

1x 3 7!(2)

3x 3 7!(3)

3x 3 7!(4)

3x 3 + 3 7!(5)

7!(5)

3x 3 + 3 7!(6)

3x 3 + 3 2

1 traslacin horizontal en 3 unidades.2 dilatacin vertical de razn 3.3 reexin respecto del eje x .4 traslacin vertical en 3 unidades.

5 reexin de lo negativo respecto del eje x .6 traslacin vertical en 2 unidades.

Ejemplo

1x7!(1)

1x 3 7!(2)

3x 3 7!(3)

3x 3 7!(4)

3x 3 + 3 7!(5)

7!(5)

3x 3 + 3 7!(6)

3x 3 + 3 2

1 traslacin horizontal en 3 unidades.2 dilatacin vertical de razn 3.3 reexin respecto del eje x .4 traslacin vertical en 3 unidades.5 reexin de lo negativo respecto del eje x .

6 traslacin vertical en 2 unidades.

Ejemplo

1x7!(1)

1x 3 7!(2)

3x 3 7!(3)

3x 3 7!(4)

3x 3 + 3 7!(5)

7!(5)

3x 3 + 3 7!(6)

3x 3 + 3 2

1 traslacin horizontal en 3 unidades.2 dilatacin vertical de razn 3.3 reexin respecto del eje x .4 traslacin vertical en 3 unidades.5 reexin de lo negativo respecto del eje x .6 traslacin vertical en 2 unidades.

Ejemplo

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

gura 1.23ALCAL-NEME (UNSL )PRE-CLCULO 2015 49 / 58

Ejemplo

Si queremos gracar h (x) = 3x12x3

2. Vemos que3x 12x 3 =

3x 3 + 3

Luego gracamos g(x) = h(x).

Ejemplo

Si queremos gracar h (x) = 3x12x3

2. Vemos que3x 12x 3 =

3x 3 + 3

Luego gracamos g(x) = h(x).

Movimientos en el plano

accin efecto sobre la grcay = f (x a) mover a unidades horizontalmentey b = f (x , ) mover b unidades verticalmentey = f

x

> 0 extender-comprimir horizontalmente con factor

y = f (x) > 0 extender-comprimir verticalmente con factor

y = f (x) reejar sobre el eje verticaly = f (x) reejar sobre el eje horizontal

Curvas en forma paramtrica

Dadas dos funciones denidas en un intervalo, digamosf , g : [a, b]! R, queda denida una curva paramtrica en el planoR2 por f(x , y) : x = f (t) , y = g (t) , t 2 [a, b]g.

Tenemos entonces tres maneras de describir curvas en el plano:

grco de funcin,implcitamente por medio de una ecuacinparamtricamente.

Dadas dos funciones denidas en un intervalo, digamosf , g : [a, b]! R, queda denida una curva paramtrica en el planoR2 por f(x , y) : x = f (t) , y = g (t) , t 2 [a, b]g.Tenemos entonces tres maneras de describir curvas en el plano:

grco de funcin,

implcitamente por medio de una ecuacinparamtricamente.

grco de funcin,implcitamente por medio de una ecuacin

paramtricamente.

Muchas veces la misma curva se puede describir de las tres maneras.

Ejemplo: Sea f : [0, 1]! R, denida por f (x) = x2; forma implcita:y x2 = 0, 0 x 1; paramtricamente:

x = ty = t2

, 0 t 1.

El crculo "x2 + y2 = 1", esta escrito en forma implcita. Tambien sepuede escribir en forma paramtrica. Pero no como grco de una funcin.

Funciones Trigonomtricas

ngulo (orientado) es un par ordenado de semirectas de origen comnen el plano R2.

Dado el ngulo determinado por las semirrectas a y b, si se tomacualquier crculo con centro en el vrtice del ngulo, digamos uno deradio r , queda determinado un arco comprendido entre lassemirectas a y b.

Orientacin positiva: recorriendo el crculo en contra de las agujas delreloj.

Entre los lados del ngulo y el arco se encierra un sector circular.

En lo que sigue, consideraremos jado un ngulo y trataremos dedenir su medida y relacionarla con la longitud s del arco y elrea A del sector circular.

Sistemas de medicin de ngulos:

pi rad = 180o

1rad =180pi

o1o =

pi

180rad

Un ngulo se dice que est en posicin estndar cuando su primerlado coincide con el semieje positivo de absisas.

pi rad = 180o

1rad =180pi

o1o =

pi

180rad

pi rad = 180o

1rad =180pi

o1o =

pi

180rad

Dado un nmero real , 0 < 2pi, existe un nico ngulo enposicin estndar cuya medida es .

El segundo lado o lado libre de este ngulo, cortar al crculo unidad(crculo de radio 1 con centro en el origen de coordenadas) en unpunto de coordenadas (x , y) .

El arco de crculo unidad desde (1, 0) hasta (x , y) mide . Sedenen las funciones seno y coseno usando estas coordenadas:

cos := x , sin := y

Siendo cos y sin las coordenadas de un punto sobre el crculounidad, cuya ecuacin es x2 + y2 = 1, la satisfacen:

cos2 + sin2 = 1

cos := x , sin := y

cos2 + sin2 = 1

cos := x , sin := y

cos2 + sin2 = 1

cos := x , sin := y

cos2 + sin2 = 1

Ejemplo: El ngulo recto, siendo la mitad del llano, que mide pi, midepi2 . El punto que le corresponde sobre el crculo unidad es el (0, 1). Enconsecuencia, cos pi2 = 0 y sin

pi2 = 1.

La funcin tangente se dene a partir de las funciones seno y coseno.

Para 0 < 2pi, si cos 6= 0, se dene tan = sin cos .La denicin de las funciones trigonomtricas se puede extender avalores fuera del intervalo [0, 2pi) .

Los intervalos de la forma [2kpi, 2 (k + 1)pi), son disjuntos dos ados y cubren toda la recta real.

sin x = sin (x + 2kpi) , cos x = cos (x + 2kpi) , tan x = tan (x + 2kpi) .

Con esta denicin es claro que las funciones trigonomtricas resultan2piperidicas, esto es: f (x + 2pi) = f (x) , x 2 R, de dondeclaramente se inere que f (x + 2npi) = f (x) , para x 2 R, n 2 Z.

Ejemplo: El ngulo recto, siendo la mitad del llano, que mide pi, midepi2 . El punto que l

clase 1 precalculo

Documents