practica 9 de control

INSTITUTO TECNOLGICO DE MORELIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA

CONTROL I

REPORTE DE PRACTICA N9.

RESUMEN

De una manera muy prctica se dar a conocer cmo utilizar

herramientas de MATLAB como Simulink , con el objetivo de encontrar el

lugar geomtrico de las races (LGR) mismo donde conoceremos los

comandos comunes usados para ello como son rlocus, rlocfind, entre otros

, retomando nuevamente las funciones de transferencia para conocer su

lugar geomtrico de las races del sistema, sus polos , ceros as como su

comportamiento de estabilidad entre otros permitindonos de la misma

forma graficar el comportamiento de nuestros sistemas.

INTRODUCCIN

CALCULO DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES CON MATLAB

El toolbox de control de MATLAB dispone de comandos para el clculo del

lugar de las races. Las instrucciones que utilizaremos sern rlocus y rlocfind.

Normalmente partimos de un sistema como el siguiente:

El lugar de las races nos muestra la evolucin de los polos del sistema

realimentado o en lazo cerrado M(s) cuando el parmetro K vara desde 0

hasta 8.

La instruccin rlocus permite obtener este trazado, y utiliza como

argumento el sistema en lazo cerrado definido por la funcin de

transferencia G(s)H(s).

K G(s)

X(s) Y(s)

H(s)

+ -

M(s) Y(s) X(s)

() = ()

1 + () ()



CONTROL I


Ejemplo: obtendremos el lugar de las races para el siguiente sistema.

El primer paso es definir las funciones de transferencia G(s), H(s) y un

tercero para G(s)*H(s) a las cuales se denominaran sis_g, sis_h y sis_gh,

respectivamente. Primero se definen G(s) y H(s):

sis_g=tf(1,[1 4 3])

sis_h=tf([1],[1 5])

sis_gh=series(sis_g,sis_h)

rlocus(sis_gh)

Corriendo el programa en el workplace de MATLAB sucede lo siguiente:

s^3 + 9 s^2 + 23 s + 15

Transfer function:

1

-------------

s^2 + 4 s + 3

Transfer function:

1

-----

s + 5



CONTROL I


La funcin de transferencia G(s)H(s) ser el equivalente serie de las dos

funciones anteriores. MATLAB permite calcular este equivalente mediante

la instruccin series, esto en el workplace de MATLAB produjo lo siguiente.

Transfer function:

1

-----------------------

s^3 + 9 s^2 + 23 s + 15

A continuacin utilizaremos el sistema sis_gh recin creado como

argumento para la instruccin rlocus:

>>rlocus(sis_gh)

MATLAB generar un grfico como el siguiente:

Interpretar el grfico resultante es sencillo: muestra la situacin en el plano

complejo de los polos del sistema realimentado o en lazo cerrado ().

Cada rama representa la situacin de uno de los polos; en este caso

aparecen tres ramas dibujadas con tres colores distintos para mayor

claridad. Los puntos de comienzo ( = ) de cada rama coinciden con los

polos en lazo abierto (cruces sobre el grfico) y puntos de finalizacin (K=8)

de cada rama tienden a infinito en este caso.



CONTROL I


Si no se aade ningn parmetro extra, MATLAB elegir automticamente

los valores de K entre 0 y 8 para los cuales calcular el lugar de las races.

En determinadas ocasiones interesa elegir manualmente el rango de

valores deseado para K. Para ello basta con introducir un nuevo parmetro

en rlocus:

>> rlocus(sis_gh, [0:.1:100])%k de 0 a 100 a intervalos de .1

Al introducir el parmetro el programa completo seria

sis_g=tf(1,[1 4 3])

sis_h=tf([1],[1 5])


rlocus(sis_gh,[0:.1:100])

El resultado sera el siguiente:



CONTROL I


Si no se desea un resultado grfico, sino que se desea conocer los valores

numricos de los polos en lazo cerrado para cada valor de K la instruccin

a teclear ser:

>> [r,k]=rlocus(sis_gh)

Agregando dicha instruccion al programa el mismo quedaria de la

siguiente manera:

sis_g=tf(1,[1 4 3])

sis_h=tf([1],[1 5])


[r,k]=rlocus(sis_gh)

Al correr el programa en MATLAB se obtiene lo siguiente:

r =

1.0e+002 *

Columns 1 through 4

-0.0500 -0.0510 -0.0523 -0.0531

-0.0300 -0.0278 -0.0241 -0.0188

-0.0100 -0.0112 -0.0136 -0.0182

Columns 5 through 8

-0.0531 -0.0531 -0.0549 -0.0594

-0.0185 - 0.0000i -0.0185 - 0.0003i -0.0176 - 0.0080i -0.0153 -

0.0157i

-0.0185 + 0.0000i -0.0185 + 0.0003i -0.0176 + 0.0080i -0.0153 +

0.0157i

Columns 9 through 12

-0.0665 -0.0771 -0.0920 -0.1129

-0.0117 - 0.0245i -0.0065 - 0.0355i 0.0010 - 0.0499i 0.0115 -

0.0690i

-0.0117 + 0.0245i -0.0065 + 0.0355i 0.0010 + 0.0499i 0.0115 +

0.0690i


-0.1416 -0.1809 -3.6478 Inf

0.0258 - 0.0946i 0.0454 - 0.1291i 1.7789 - 3.1331i Inf

0.0258 + 0.0946i 0.0454 + 0.1291i 1.7789 + 3.1331i Inf

k = 1.0e+007 *

Columns 1 through 9

0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000


0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 4.7351 Inf\



CONTROL I


La variable k contendr los valores del parmetro K utilizados para el

clculo del lugar de las races; la variable r contendr los polos del sistema

para cada valor de K.

Tambin es posible comprobar sobre el propio grfico los valores del

parmetro K correspondientes a cada punto del lugar de las races. Para

ello se emplea la instruccin rlocfind Esta instruccin, ejecutada a

continuacin de rlocus permite pinchar con el ratn sobre un punto

cualquiera del lugar de las races y obtener el valor del polo ms cercano

al punto donde se ha pinchado, el valor de K correspondiente a ese polo y

la situacin del resto de polos para ese valor de K (aparecen marcados en

rojo sobre el diagrama):

>>rlocus(sis_gh)

>>rlocfind(sis_gh)

Select a point in the graphics window

Al agregar al poner estas instrucciones al programa este queda de la

siguiente manera:

sis_g=tf(1,[1 4 3])

sis_h=tf([1],[1 5])


[r,k]=rlocus(sis_gh)

rlocfind(sis_gh)



CONTROL I


A continuacin se debe pinchar con el ratn sobre un punto cualquiera del lugar

de las races esto se hace en la siguiente figura que se muestra:

La respuesta que aparece en la ventana de comandos indica el valor de s

en el punto del LGR donde se ha pinchado (selected point) y el valor de K

correspondiente (ans):


selected_point =

-1.8555 - 0.0373i

ans =

3.0836

Tal y como indica MATLAB, en este caso el punto donde se ha pinchado es

s=-1.8555 - 0.0373i y el valor de K para el cual el sistema ese polo es

K=3.0836

En el ejemplo, es interesante conocer el valor de K correspondiente a dos

de los puntos del grfico: el punto a partir del cual aparecen dos polos

complejos conjugados y el puno a partir del cual aparecen dos polos

inestables. Si buscamos estos puntos con la ayuda de rlocfind deberamos

obtener:

Punto a partir del cual aparecen los polos complejos K=3.0753

Punto a partir del cual aparecen los polos inestables K=195.2119



CONTROL I


Por lo tanto existen 3 rangos de valores con un comportamiento distinto del

sistema:

Rango 1: K



CONTROL I


Sin sobreoscilacin (K



CONTROL I


Con K=60

Inestable (K> 192). Se elige K =250.



CONTROL I


NOTA: A la hora de hacer un estudio de este tipo se debe tener en cuenta

que los polos que ms influirn en el comportamiento transitorio del sistema

sern los ms prximos al eje imaginario, lo que se ha venido denominando

polos dominantes. No obstante, el resto de polos tambin influyen, aunque

sea poco. Por ejemplo, el tercer polo existente en el ejemplo hace que el

comportamiento no sea exactamente el de un sistema de 2 orden (la

sobreoscilacin se produce para valores de K superiores a lo previsible).

UTILIZACIN DEL LUGAR DE LAS RACES PARA EL DISEO DE SISTEMAS DE

CONTROL

Partiremos del servomecanismo de posicin ya visto en la prctica 7:



CONTROL I


En la mencionada prctica, se obtuvo una representacin para el sistema

mediante un diagrama de bloques, en el que la entrada es la referencia

de posicin x0(t) y la salida es la posicin real x(t).

Supondremos conocidos los valores de todas las constantes, a excepcin

de la constante del controlador Kc, cuyo ajuste ser nuestro objetivo:

R = 1.25 (Resistencia de los devanados del motor)

I = 0.8 (Momento de inercia del conjunto)

B=0.5 (Coeficiente de rozamiento viscoso)

Kp=3 (Constante de par del motor)

Kv = 0.01 (Constante de velocidad del motor)

Reduciendo el diagrama de bloques con los datos disponibles para las

constantes, se llega a:

Sobre el diagrama anterior, es posible comprobar el efecto que produce la

variacin de Kc sobre la situacin de los polos del sistema mediante la

instruccin rlocus de MATLAB:

>>sis= tf(3, [1 0.625 0])

Transfer function:

3

-------------

s^2 + 0.625 s

>>rlocus(sis)



CONTROL I


El resultado debe ser el siguiente:

Puede apreciarse cmo el LDR tiene dos ramas, lo que indica que el

sistema tiene dos polos, que son reales para valores bajos del parmetro K

y complejos conjugados para valores ms altos.

Dado que se trata de un sistema de segundo orden (2 polos), son

aplicables las expresiones que indican la sobreoscilacin (Mp), el tiempo

de subida (tp) y el tiempo de establecimiento (ts) ante entrada escaln, en

funcin de la situacin de los polos del sistema. Tales expresiones se indican

a continuacin, junto con el grfico que muestra la relacin entre los

parmetros s (parte real polos), d (parte imaginaria), (ngulo) y

(coeficiente de amortiguamiento):

=

=

=



CONTROL I


De acuerdo con las frmulas anteriores, sera posible elegir la constante Kc

del controlador de la forma siguiente:

Determinar el comportamiento deseado en trminos de Mp,ts,tp.

Traducir ese comportamiento a una situacin deseada para los

polos usando las frmulas.

Determinar cul es el valor de K que sita los polos en esa posicin

mediante la instruccin rlocfind de MATLAB.

Adems de esto, MATLAB ofrece una utilidad adicional: la instruccin sgrid

muestra un entramado sobre el lugar de las races que permite conocer

fcilmente cules son los puntos con un mismo coeficiente de

amortiguamiento? (puntos que forman el mismo ngulo con el eje real).

Probaremos esta instruccin tecleando:

>>sgrid

Y el resultado que se obtendr ser el siguiente:

En la figura puede apreciarse como las lneas radiales muestran los puntos

del diagrama con el mismo valor para el coeficiente de amortiguamiento:

0.98, 0.92, 0.84, 0.72, 0.58, 0.44, 0.3 y 0.14.



CONTROL I


Si el rango de valores que se muestran no es suficiente, cabe la posibilidad

de indicar expresamente cual es el rango de valores de K para los que se

quiere construir el lugar de las races. Como ejemplo, se dibujara el lugar

de las races para valores de K entre 0 y 0.5 a intervalos de 0.001, y

posteriormente se volver a dibujar rama anterior:

>>rlocus(sis, [0:0.001:0.5]

>>sgrid

El resultado que debe aparecer es el siguiente:



CONTROL I


EJERCICIO

A partir del lugar de las races calculado se pide:

Usando las formulas anteriores determinar qu situacin de los polos del sistema

corresponde a una sobreoscilacin del 1.5% (Mp=0.015):

= 0.015

Despejamos (ngulo de fase polo):

=

ln 0.015= 36.79

Obtenemos (coeficiente de amortiguamiento)

= cos = = 0.8008

Buscar ese punto sobre el lugar de las races y obtener (aproximadamente) el

valor de la constante para el que se produce.

>> rlocfind(sis)


selected_point =

-0.29231 + 0.2199i

ans =

0.500



CONTROL I


Comprobar el resultado anterior sobre Simulink (simular el comportamiento del

sistema ante una entrada escaln durante tanto tiempo como sea necesario)



CONTROL I


Repetir los tres pasos anteriores tomando como condicin un tiempo de pico de 3

segundos.

De la formula

= 3

Obtenemos la frecuencia angular:

= 1.047

Se busc este dato sobre el LGR

>> rlocfind(sis)


selected_point =

-0.3127 + 0.9909i

ans =

0.3599



CONTROL I


Repetir los 3 pasos anteriores para localizar sobre el LGR un valor del parmetro K

que permita cumplir simultneamente las condiciones siguiente:

Tiempo de pico menor o igual a 6 segundos Sobreoscilacin menor o igual que el 25%

De las formulas obtenemos y para sacar las coordenadas del polo, usaremos un Mp=20% y un tp=5s

= 0.20

Despejamos (ngulo de fase polo):

=

ln 0.2= 62.87

Obtenemos (coeficiente de amortiguamiento)

= cos = = 0.4559

Obtenemos la frecuencia angular:

= 5

= 0.6283

Ahora obtenemos

=

1 2=

0.628

1 (0.455)2

=0.7059

Con estos datos es posible obtener la parte real y la parte imaginaria del polo

Parte real: = = (0.4559)(0.7059) = 0.3218

Parte imaginaria: = 1 2 = 0.70591 (0.4559)2 = 0.6282



CONTROL I




CONTROL I


CONCLUSIN

Sin duda alguna cuando buscamos encontrar el lugar geomtrico de las

races (LGR) MATLAB se vuelve la herramienta perfecta no solo por su

velocidad de respuesta y solucin sino por su simpleza para simular,

graficar y en especial el clculo preciso. Comparado con el mtodo

analtico hacerlo en MATLAB nos representa evitar el teorema de Ruth

Hurwits evitando de esta forma un proceso ms largo con mayor

posibilidad de errores tomando en cuenta sistemas de gran tamao.

Adems sin duda la grfica y dimensionado que nos presenta MATLAB nos

ayuda a observar mejor el comportamiento de los sistemas permitiendo de

la misma forma recrear o buscar el modelado ideal de los sistemas que

necesitamos.

practica 9 de control

Documents