control practica 9

5/24/2018 Control Practica 9

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Instituto Tecnolgico de Morelia

Jos Mara Morelos y Pavn

Ingeniera Elctrica

Cristian Andres Aldaco Vega 12120263

Jorge Ortiz Marn 12120280

Johan Fras Daz 13122512

Control 1Lugar Geomtrico de las Races

Fecha de entrega: 28 de marzo de 2014

Morelia, Michoacn de Ocampo.


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Introduccin

Utilizacin de matlab y simulink para encontrar el lugar geomtrico de las races.

Matlab tiene comandos que son empleados para el clculo del lugar de las races. Las instrucciones

que utilizaremos son rlocus y r locfind.

El lugar de las races nos muestra la evolucin de los polos del sistema realimentado o en lazo

cerrado M(s) cuando el parmetro K vara desde 0 hasta un valor muy grande.

Hemos llegado a la conclusin de que los comandos rlocus y locfind son muy viables para el tipo

de calculo que estamos realizando, y como ya sabemos nos va a facilitar el trabajo que se lo

hiciramos con clculos, adems que aqu nos muestra la forma en que se comporta el sistema,

nos ayuda a encontrar los polos y ceros, el eje de intercesin, etctera.


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Resumen

A partir de las prcticas resueltas con anterioridad, con herramientas como Matlab y Simulink

encontraremos el lugar geomtrico de las races, en esta prctica utilizamos los comandos rlocus y

rlocfind.

Empezamos a hacer unos ejemplos que los iremos describiendo a continuacin.


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EJEMPLOS

Obtenemos el lugar de las races para el siguiente sistema:

El primer paso es definir las funciones de transferencia G(s), H(s) y G(s) H(s). Nombraremos estas

funciones sis_g, sis_h y sis_gh, respectivamente y al definirs en matlab quedan de la siguiente

manera:

sis_g=tf(1,[1 4 3])sis_h=tf(1,[1 5])

Y mat lab en la pantalla de trabajo nos da:

sis_g =

1

-------------

s^2 + 4 s + 3

Continuous-time transfer function.

sis_h =

1

----

s + 5

Continuous-time transfer function.

Enseguida indicamos que la funcin de transferencia G(s) H(s) ser el equivalente serie de las dos

funciones anteriores. Y lo que se ingresa en el el archivo script es:

sis_gh=series(sis_g,sis_h)

Y lo obtenido en la ventana de trabajo de matlab es:

sis_gh =

1

-----------------------


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s^3 + 9 s^2 + 23 s + 15

Enseguida emplearemos el archive sis_gh que acabamos de crear para la instruccin rlocus

ingresndolo de la siguiente manera:

rlocus(sis_gh)

Y lo que genero matlab es:

Donde cada uno de los polos esta de distinto color lo que permite visualizar ms clara mente cual

es la trayectoria del polo conforme el valor de K est siendo modificado.

Si no se aade ningn parmetro extra, matlab elegir automticamente los valores de K entre

cero e infinito para los cuales calcular el lugar de las races. En determinadas ocasiones interesa

elegir manualmente el rango de valores deseado para K. Para ello basta con introducir un nuevo

parmetro en rlocus quedando de la siguiente manera:

rlocus(sis_gh,[1:0.1:100])Y la grfica que genera es la siguiente:


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En el caso de que no se requiera un resultado grfico, y se desea conocer los valores numerios de

los polos en lazo cerrado para cada valor de K la instruccin que se debe ingresar es la siguiente:

[r,k]=rlocus(sis_gh)

Y los valores que arroja son los siguientes:

r =

1.0e+02 *

Columns 1 through 4

-0.050000000000000 -0.051000000000000 -0.052290329130729

-0.053091444386142

-0.030000000000000 -0.027821658488547 -0.024085124186975

-0.018752434009771

-0.010000000000000 -0.011178341511453 -0.013624546682296

-0.018156121604087

Columns 5 through 8

-0.053094010767585 -0.053096576388732 -0.054855805075172

-0.059365044288115

-0.018452995144287 -0.018451711805634 - 0.000298128597063i -

0.017572097462414 - 0.007959791734160i -0.015317477855942 - 0.015707621383654i


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-0.018452994088128 -0.018451711805634 + 0.000298128597063i -

0.017572097462414 + 0.007959791734160i -0.015317477855942 + 0.015707621383654i

Columns 9 through 12

-0.066504075264470 -0.077054374261209 -0.092046928964838

-0.112909084156358

-0.011747962367765 - 0.024482864072358i -0.006472812869396 - 0.035504726485856i

0.001023464482419 - 0.049873500433354i 0.011454542078179 - 0.068959677904805i

-0.011747962367765 + 0.024482864072358i -0.006472812869396 + 0.035504726485856i

0.001023464482419 + 0.049873500433354i 0.011454542078179 + 0.068959677904805i


-0.141617258627702 -0.180888878545627 -3.647814425951506

Inf

0.025808629313851 - 0.094571715209530i 0.045444439272814 - 0.129134001144423i

1.778907212975752 - 3.133055364251820i Inf

0.025808629313851 + 0.094571715209530i 0.045444439272814 + 0.129134001144423i

1.778907212975752 + 3.133055364251820i Inf

k =

1.0e+07 *

Columns 1 through 8

0 0.000000086100000 0.000000215901392 0.000000307612223

0.000000307920144 0.000000308228064 0.000000541386890 0.000001357563106


0.000003404178453 0.000008536200556 0.000021405082297 0.000053674646600

0.000134592693812 0.000337500000000 4.735061082943670 Inf

La variable k contendr los valores del parmetro K utilizados para el clculo del lugar de las races,

la variable r contendr los valores de los polos del sistema para cada valor de K.

Matlab adems tiene otra herramienta que permite comprobar sobre el propio grafico los valores

del parmetro K correspondiente a cada punto del lugar de las races, la instruccin a emplear es

rlocfind. Esta instruccin tiene que estar despus de rlocus, permite seleccionar con el ratn sobre

un punto cualquiera del lugar de las races y obtener el valor del polo ms cercano al punto donde


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se ha pinchado, el valor de K correspondiente a ese polo y la situacin del resto de polos para ese

valor de K.

Y lo escrito en el archivo script es el siguiente:

rlocus(sis_gh)rlocfind(sis_gh)

Al seleccionar en la grfica el punto a partir del cual aparecen lospolos complejos son los siguientes:

Y lo que obtuvimos en la pantalla de trabajo de matlab es la siguiente:

Select a point in the graphics window

selected_point =

-1.805687203791470 - 0.046583850931679i

ans =

3.081505836750343

Ahora selecciono aproximadamente el punto donde los polos cruzan el eje jw que es dondeempiezan a aparecer los polos inestables y por lo tanto el sistema es inestable.

La grafica es la siguiente:


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Y lo obtenido en la pantalla de trabajo de matlab es la siguiente:

Select a point in the graphics window

selected_point =

-0.004739336492891 + 4.798136645962732i

ans =

1.919812025508568e+02

Existen tres rangos de valores con un comportamiento distinto del sistema:

Rango 1 k


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Para poder observar barias simulaciones lo que estaremos cambiando son los valores de las

ganancias para el caso de la primera simulacin el valor de la ganancia ser 2 y no existir sobre

oscilacin, la grfica obtenida es la siguiente:

Despus consideraremos el sistema con sobre oscilacin y la ganancia ser de 20 para la siguiente

grafica:


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En el caso de esta grafica la ganancia fue de 60.

Por ultimo entraremos al rango de inestabilidad y el valor de la ganancia lo definimos en 250,donde obtuvimos la siguiente grfica:


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2 Utilizacin del lugar de las races para el diseo de sistemas de control.

Tomando en cuenta el servo mecanismo empleado en la prctica 7, los valores que vamos a

considerar para el diagrama del servo motor son los siguientes:

R=1.25

I=0.8

B=0.5

KP=3

KV=0.01

Podemos reducir el sistema y llegar al diagrama siguiente:


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Tomando en cuenta el diagrama anterior es posible comprobar el efecto que produce la variacin

Kc sobre la situacin de los polos del sistema mediante la instruccin rlocus y los valores son los

siguientes:

sis=tf(3,[1 0.625 0])rlocus(sis)

Lo que obtuvimos en la pantalla de matlab es lo siguiente:

sis =

3

-------------

s^2 + 0.625 s

Y la grfica es la siguiente:

Puede aplicarse como el LDR tienen dos ramas lo que indica que el sistema tiene dos polos, que

son reales para valores bajos del parmetro K y complejos conjugados para valores ms altos.

Matlab ofrece una utilidad adicional que es la instruccin sgrid muestra un entramado sobre el

lugar de las races que permite conocer fcilmente cuales son los puntos con un mismo coeficiente

de amortiguamiento, al probarla simplemente se teclea y lo obtenido es lo siguiente:


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En la figura puede apreciarse como las lneas radiales muestran los puntos del diagrama con el

mismo valor para el coeficiente de amortiguamiento: 0.98, 0.92 ,0.84, 0.72, 0.58, 0.44, 0.3 y 0.14.

Si el rango de valores que ofrece no es suficiente, es posible indicar un rango de valores de k para

los que se quieren construir el lugar de las races, por ejemplo un rango de 0 a 0.5 con

incrementos de 0.001 y obtendramos lo siguiente:


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CONCLUCIN

Hemos llegado a la conclusin de que los comandos rlocus y locfind son muy viables para el tipo

de calculo que estamos realizando, y como ya sabemos nos va a facilitar el trabajo que se lo

hiciramos con clculos, adems que aqu nos muestra la forma en que se comporta el sistema,

nos ayuda a encontrar los polos y ceros, el eje de intercesin, etctera.


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Bibliografa:

Laboratorio de Control 1. Prctica 9: Lugar Geomtrico de las Races.

control practica 9

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