pac3. “transformacions geomètriques” i “geometria fractal...

$: PAC3. “Transformacions geomètriques” i “Geometria fractal ...graumultimedia.com/wp-content/uploads/PAC3-Pere-Amengual.pdf · 2 Descripció de la PAC/pràctica a realitzar Instruccions$
06.507 · Matemàtiques per Multimèdia I · PAC3 · 2013-14 · Grau de Multimèdia · Estudis d’Informàtica Multimèdia i Telecomunicació

1

PAC3. “Transformacions geomètriques” i “Geometria fractal” Presentació La PAC consisteix en la realització individual de cinc activitats relacionades amb les transformacions geomètriques i cinc relacionades amb la geometria fractal, un cop s’ha treballat el contingut dels temes del mòdul 5 i el mòdul 3.

Competències Les competències del grau que s’avaluen en la PAC són les següents.

Competències transversals de grau:

• Capacitat per crear i dissenyar els elements gràfics i visuals d'un producte o aplicació multimèdia utilitzant procediments creatius, fonaments bàsics de disseny i un llenguatge formal.

• Capacitat per crear, modelar i animar imatge sintètica 2D i 3D.

Competències específiques de l’assignatura:

• Capacitat per crear i dissenyar els elements gràfics i visuals en Flash utilitzant procediments creatius, fonaments bàsics de disseny i un llenguatge formal.

• Capacitat per entendre la geometria mètrica i aplicar-la a problemes de disseny.

• Capacitat per entendre la teoria de les transformacions geomètriques i aplicar-la a problemes de disseny.

• Capacitat per entendre la geometria fractal i aplicar-la a problemes de disseny.

Objectius Els objectius generals d'aquesta tercera Prova d'Avaluació Continuada consisteixen en entendre les transformacions geomètriques i els fractals i saber aplicar el seu ús en problemes de disseny.


2

Descripció de la PAC/pràctica a realitzar Instruccions per a realitzar la PAC:

• Els exercicis Flash s’han de fer com a mínim amb el CS4. Cal adjuntar els arxius .fla en una carpeta anomenada PAC3 que també contindrà un .doc basat en aquesta plantilla amb una petita explicació de l'elaboració dels Flash (exercicis 4, 7 i 10) i amb la resolució dels exercicis numèrics.

• Cal que envieu la carpeta final PAC3 comprimida a la bústia Lliurament i Registre d'AC de la vostra aula.

• L’aplicació té la capacitat d’acceptar còpies d’un treball. Pengeu alguna còpia de tant en tant i no espereu al darrer moment per si hi ha problemes de connexió. La darrera carpeta guardada serà la que es considerarà lliurada. Finalitzat el termini de lliurament no s’acceptarà cap nova actualització.

• Tal i com s'indica al Pla Docent, si trobem algun cas de còpia d’exercicis, els alumnes suspendran l’avaluació continuada i poden no ser acceptats en cap altra avaluació continuada dels estudis.

• Per a dubtes i aclariments sobre un enunciat, podeu penjar un missatge en el fòrum de l’assignatura.

• Per a dubtes i aclariments sobre el procediment d’un apartat, heu de dirigir-vos al consultor responsable de la vostra aula.

Recursos

• Mòdul 3 i 5 del material didàctic de l’assignatura

• Programa CS4, 5 o 6

Criteris de valoració L'avaluació d'aquesta tercera PAC es centra en la correcta elaboració dels programes Flash i exercicis numèrics dels mòduls 3 i 5 de forma individual.

Qualificació: Cada exercici correspon al 10% de la nota.

A nivell més específic, per a cadascuna de les activitats s'aplicaran els següents criteris:

- Activitats Flash. La correcta adequació als mínims dels enunciats i l'explicació en aquest document del procediment seguit assegura la


3

puntuació màxima per a l'exercici, que és d’un punt. No implica això que limitem la creativitat, un resultat molt treballat pot representar puntuació extra.

- Activitats numèriques dels mòduls 3 i 5. La correcta resposta de les qüestions i la correcta construcció del raonament demostratiu asseguren la puntuació màxima per cada apartat. Es penalitzarà o inclús es donarà puntuació 0 si no està detallada o raonada la solució.

Data límit de lliurament 15 de desembre de 2013

Nota: Propietat intel·lectual

Sovint és inevitable, en produir una obra multimèdia, fer ús de recursos creats per terceres persones. És per tant comprensible fer-ho en el marc d'una pràctica dels estudis del Grau Multimèdia, sempre i això es documenti clarament i no suposi plagi en la pràctica.

Per tant, en presentar una pràctica que faci ús de recursos aliens, s'ha de presentar juntament amb ella un document en què es detallin tots ells, especificant el nom de cada recurs, el seu autor, el lloc on es va obtenir i el seu estatus legal: si l'obra està protegida pel copyright o s'acull a alguna altra llicència d'ús (Creative Commons, llicència GNU, GPL ...). L'estudiant haurà d'assegurar-se que la llicència que sigui no impedeix específicament el seu ús en el marc de la pràctica. En cas de no trobar la informació corresponent haurà d'assumir que l'obra està protegida pel copyright.

Hauran, a més, adjuntar els fitxers originals quan les obres utilitzades siguin digitals, i el seu codi font si correspon. Un altre punt a considerar és que qualsevol pràctica que faci ús de recursos protegits pel copyright no podrà en cap cas publicar-se en Mosaic, la revista del Graduat en Multimèdia a la UOC, a no ser que els propietaris dels drets intel·lectuals donin la seva autorització explícita.


4

EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 5

Exercici 1

Donats els punts 𝐴 = (2,1,−3), 𝐵 = (4,2,−3) i 𝐶 = (0,5,0):

a) Trobeu el producte escalar i l’angle que formen els vectors

a. 𝑣, d’extrem B i origen A

b. 𝑢, d’extrem C i origen A

(Recordeu que un vector a partir de dos punts es troba a partir de la resta 𝐸𝑋𝑇𝑅𝐸𝑀 − 𝑂𝑅𝐼𝐺𝐸𝑁.) (0,25 punts)

En primer lloc, calculem 𝑣, sabent que és (B-A) 𝐵 = 4,2,−3 𝐴 = 2,1,−3

𝑣= (4-2, 2-1,-3-(-3)) = (2, 1, 0)

i també calculem 𝑢, sabent que és (C-A) 𝐶 = 0,5,0 𝐴 = 2,1,−3

𝑢= (0-2, 5-1, 0-(-3)) = (-2, 4, 3)

El producte escalar de dos vectors es defineix com 𝑢·𝑣i en dimensió 3 es defineix com

aa'+bb'+cc'. Si 𝑢= (-2, 4, 3) i 𝑣= (2, 1, 0), el seu producte escalar és -2*2+4*1+3*0=4+1+0 = -4 + 4 + 0 = 0 són per tant, dos vectors ortogonals.

Per calcular l'angle a que formen els vectors apliquem 𝑎 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 !∙!! !

, els que ens

dóna 𝑎 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 !!!!!!!!!! !!!!!!!!

arccos(0) = 90º

b) Trobeu el producte vectorial dels dos vectors anteriors 𝑢×𝑣 i el mòdul d’aquest nou vector 𝑤 i demostreu que es perpendicular als dos anteriors. (0,25 punts)

El producte vectorial de dos vectors dóna com resultat un vector perpendicular als vectors

que es multipliquen. 𝑢×𝑣 es calcula (u2v3-v2u3, v1u3-u1v3, u1v2-v1u2). Si 𝑢= (-2, 4, 3) i 𝑣= (2,

1, 0), el seu producte vectorial 𝑤 és (4*0-1*3, 2*3-(-2)*0, -2*1-2*4 ) = (0-3, 6-0, -2-8) = (-3, 6, -10).

Per demostrar que és perpendicular als anteriors podem veure si el seu producte escalar aa'+bb'+cc' amb ells és 0.

-2*(-3)+4*6+3*(-10) = 6 +24 -30 = 0, és perpendicular

2*(-3)+1*6+0*(-10) = -6 +6 + 0 = 0, és perpendicular


5

c) Trobeu una base ortonormal a partir dels tres vectors generats anteriorment. (0,25 punts)

Una base de l'espai vectorial és ortonormal si es compleixen les següents condicions: 1) tots els vectors són unitaris (la seva norma és 1) 2) els vectors de la base són ortogonals un a un.

Hem d'unitaritzar, per tant, els vectors generats anteriorment, dividint-los per la seva norma.

𝑢= (-2, 4, 3) 𝑢!= !!𝑢 𝑢 = √(4+16+9) = √29

𝑢!= (-2/√29, 4/√29, 3/√29)

𝑣= (2, 1, 0) 𝑣!= !!𝑣 𝑣 = √ (4+1+0) = √5

𝑣!= (2/√5, 1√5, 0)

𝑤= (-3, 6, -10) 𝑤!= !!𝑤 𝑤 = √ (9+36+100) = √145

𝑤!= (-3/√145, 6/√145, -10/√145)

d) A partir de l’equació de l’àrea d’un triangle 𝐴 = !"#$∙!"ç!"!!

, demostreu que el

doble de l’àrea del triangle format pels punts 𝐴, 𝐵 i 𝐶 i el mòdul del producte vectorial 𝑣 i 𝑢 coincideixen. (0,25 punts)

El mòdul del producte vectorial de 𝑣 i 𝑢 és √(9+36+100) = √145 = √5√29

El producte escalar de 𝑢 = (-2, 4, 3) i 𝑣 = (2, 1, 0), és 0

El mòdul del vector 𝑢= √29 i el del vector 𝑣 = √5

Amb les dades anteriors, la manera més senzilla de demostrar-ho és: sabent que són perpendiculars perquè el seu producte escalar és zero, podem considerar que el triangle ABC és rectangle, amb la qual cosa podem considerar un d’ells com base i l’altre com alçada i, per tant:

(b * h) / 2 = (√29 * √5) / 2 i el seu doble: √29√5

que és exactament el mòdul del producte vectorial esmentat a l’inici

COMPETÈNCIES A AVALUAR Capacitat per entendre la geometria mètrica i aplicar-la a problemes de disseny. (100 %)


6

Exercici 2

Trobeu un vector 𝑣 de mòdul 𝑣 = 18 tal que 𝑣×𝑎 = 𝑒! + 3 ∙ 𝑒! + 𝑒! essent 𝑎 = (1,0,−1) (1 punt)

El producte vectorial es calcula (v2a3-a2v3, a1v3-v1a3, v1a2-a1v2), per tant

(v2a3-a2v3, a1v3-v1a3, v1a2-a1v2) = (1,3,1)

Si tractem per separat cada un dels components del vector

v2a3 - a2v3 =1 à v2*(-1) – 0*v2 = 1 à - v2=1 à v2= -1 a1v3-v1a3 = 3 à 1*v3 – v1*(-1) = 3 à v3+v1=3 à v3=3-v1 v1a2-a1v2 = 1 à v1*0 – (1)*v2 = 1 à 0 – v2 = 1 à v2 = -1

Si el mòdul del vector és √18, v1+v2+v3=18

√(v12+(-1)2+(3-v1)2)= √18 à v1

2+12+(3-v1)2 =18 v1

2+12 + (32 +v12-2*3*v1)=18 à v1

2 +1+9+ v12 - 6v1=18 à 2v1

2-6v1-8=0

Resolent aquesta equació de segon grau, obtenim dos valors possibles per v1

!! !"!!"!

= -1 !! !"!!"

!= +4

Per obtenir els valor de v3, tornem a la expressió anterior v3=3-v1

v3=3-(-1) = 4 --> v3= 4 i v3=3-4 = -1 --> v3= -1

Comprovem que els valors ens proporcionen un mòdul 𝑣 = 18

√((-1)2+(-1)2+(4)2) = √(1+1+16) = √18 ok --> v1= -1 √((+4)2+(-1)2+(-1)2)√(16+1+1) = √18 ok à v1= +4

Els dos possibles vectors 𝑣 són (-1,-1,4) i (4,-1,-1)

COMPETÈNCIES A AVALUAR Capacitat per entendre la geometria mètrica i aplicar-la a problemes de disseny. (100 %)


7

Exercici 3

a) Donat un punt qualsevol (𝑥, 𝑦, 𝑧) trobeu la matriu de transformació resultant després d’aplicar-li i per aquest ordre:

i) Una translació (4,0,−1).

ii) Un canvi d’escala 3 en l’eix x i 2 en l’eix y. L’eix z el deixem en la mateixa escala.

iii) Una simetria especular respecte el pla xz.

iv) Una rotació positiva respecte l’eix de coordenades Ox de 90º antihorària respecte l’origen de coordenades.

Calculeu el resultat per al cas particular del punt (4,0 − 1). (1 punt)

i) 𝑥′𝑦′𝑧′

=𝑥𝑦𝑧

+𝑎𝑏𝑐

𝑥′𝑦′𝑧′

=𝑥𝑦𝑧

+40−1

=𝑥 + 4𝑦

𝑧 − 1

ii) 𝑥′𝑦′𝑧′

=𝑝𝑥𝑞𝑦𝑟𝑧


=3 𝑥 + 42𝑦𝑧

=3𝑥 + 122𝑦𝑧 − 1

iii) 𝑥′𝑦′𝑧′

=𝑥−𝑦𝑧


=3𝑥 + 12−2𝑦𝑧 − 1

iv) 𝑥′𝑦′𝑧′

=𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑧𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑦𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝑧𝑐𝑜𝑠 𝑎

, substituint sin(90º)=1 i cos(90º)=0, 𝑥′𝑦′𝑧′

=

𝑥−𝑧𝑦


=3𝑥 + 12−𝑧 + 1−2𝑦

Per al punt (4,0,-1) només cal substituir


=3𝑥 + 12−𝑧 + 1−2𝑦


=3 ∗ 4 + 12− −1 + 1−2 ∗ 0

=2420

COMPETÈNCIES A AVALUAR:

Capacitat per entendre i aplicar la teoria de les transformacions geomètriques i aplicar-la a problemes de disseny (100 %).


8

Exercici 4

Amb el Flash, feu un petit programa que en introduir les dues components (cada una en un camp d’introducció de text) d’un punt qualsevol calculi el conjunt de les transformacions anteriors en prémer un botó i en doni el resultat. Comproveu que el resultat per al punt (4,0 − 1) és el mateix que el trobat manualment. (1 punt)

En el document de Flash trobem quatre capes: els rectangles de fons, el text, el botó i el codi. Per evitar l’ús de variables, cada transformació realitza els seus càlculs. El codi s’executa quan l’usuari deixa anar el botó de “go!”. El resultat (24,2,0) és el mateix. Quan es pitja el botó sona una campaneta.

btCalcular.onRelease = function (){ trasx.text= String(Number(x.text)+4) trasy.text= String(Number(y.text)+0) trasz.text= String(Number(z.text)-1) escx.text= String((Number(x.text)+4)*3) escy.text= String((Number(y.text)+0)*2) escz.text= String((Number(z.text)-1)*1) simx.text= String((Number(x.text)+4)*3) simy.text= String(-(Number(y.text)+0)*2) simz.text= String((Number(z.text)-1)*1) rotx.text= String((Number(x.text)+4)*3) roty.text= String(-(Number(z.text)-1)*1) rotz.text= String(-(Number(y.text)+0)*2) }

COMPETÈNCIES A AVALUAR:

Capacitat per crear i dissenyar els elements gràfics i visuals d'un producte o aplicació multimèdia utilitzant procediments creatius, fonaments bàsics de disseny i un llenguatge formal (100 %).


9

Exercici 5

En 3D, calculeu la matriu de transformació resultant d’aplicar successivament i per aquest ordre:

a) Una rotació de 90º positius respecte l’eix x,

b) Una rotació de 90º positius respecte l’eix y i

c) Una simetria axial respecte l’eix z.

Apliqueu la matriu de transformació general al punt (1,1,1). (1 punt)

a) 𝑥′𝑦′𝑧′

=𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑧𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑦𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝑧𝑐𝑜𝑠 𝑎

=𝑥−𝑧𝑦

=1−11

b) 𝑥′𝑦′𝑧′

=𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑧𝑠𝑖𝑛 𝑏

𝑦−𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑏 + 𝑧𝑐𝑜𝑠 𝑏

=𝑧𝑦−𝑥

=1−1−1

c) 𝑥′𝑦′𝑧′

=𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑐 − 𝑦𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑐 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑐

𝑧=

−𝑥−𝑦𝑧

=−11−1

COMPETÈNCIES A AVALUAR

Capacitat per entendre la teoria de les transformacions geomètriques i aplicar-la a problemes de disseny. (100 %)


10

EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 3 Exercici 6

Donada la 4ª iteració del fractal:

a) Digueu quants quadrats blancs es generen a partir de la llavor des de la primera iteració fins a la quarta. Busqueu una fórmula que us permeti calcular el nombre de quadrats blancs totals en funció de la iteració tot demostrant que funciona per als casos inicials i digueu quants quadrats blancs s’obtenen en total en la iteració 10. (0,5 punts)

En la primera iteració obtenim 80 quadrats = 1 En la segona iteració obtenim 81 quadrats = 8 En la tercera iteració obtenim 82 quadrats = 64 En la quarta iteració obtenim 83 quadrats = 512

La fórmula que permet calcular el nombre de quadrats blancs totals en funció de la iteració

es: 8!!!!!!!

La definició de sumatori la he aprés a: http://ca.wikipedia.org/wiki/Sumatori

Demostrem que la fórmula funciona de la següent manera:

8!!!!!!! = 80 = 1

8!!!!!!! = 80 + 81 = 1 + 8 = 9

8!!!!!!! = 80 + 81 + 82 = 1 + 8 + 64 = 73

8!!!!!!! = 80 + 81 + 82 + 83= 1 + 8 + 64 + 512= 585

En la iteració 10 s'obtenen 8!!"!!! quadrats, que equival a 80 + 81 + 82 + 83 +84 + 85 + 86 + 87

+88 + 89 + 810 = 153391689

He creat un petit programa a http://graumultimedia.com/treballs/mates/fractal.php?iteracions=10 que calcula el nombre de la suma de quadrats per qualsevol nombre d'iteracions només canviant el paràmetre a la url.


11

b) Calculeu el % de reducció de la longitud de cada un dels costats dels quadrats blancs a cada nova iteració partint del fet que el costat inicial del quadrat inicial mesura 1. Calculeu quin % ha reduït el costat del quadrat blanc des de la llavor fins a la iteració 5. (0,25 punts)

Cada costat dels quadrats és un terç de l'anterior, és a dir, aproximadament un 33,33%. La

funció que ens permet calcular la longitud del costat a una determinada iteració és !!!

.

El costat dels nous quadrats blancs a la 1ª iteració és !!!





El % que s'ha reduït el costat del quadrat blanc fins a la iteració 5 és !!!= !

!"#= 0,412%

c) Calculeu la reducció de l’àrea pintada de negre a cada iteració. Proposeu una fórmula per conèixer l’àrea a una iteració n qualsevol. (0,25 punts)

Inicialment el quadrat és tot negre. Considerem que inicialment l'àrea és 1.

La primera iteració té 80 nous quadrats blancs d'àrea !!!

!, l'area pintada de negre és

1 − 8! !! !∗!

La segona iteració té 81 nous quadrats d'àrea !!!


1 − 8!1

3 !∗! + 8!1

3 !∗!

La tercera iteració té 82 nous quadrats d'àrea !!!


1 − 8!1

3 !∗! + 8!1

3 !∗! + 8!1

3 !∗!

La quarta iteració té 83 nous quadrats d'àrea !!!


1 − 8!1

3 !∗! + 8!1

3 !∗! + 8!1

3 !∗! + 8!1

3 !∗!

La fórmula que expressa l'àrea negra després de n iteracions és:

1- 8!!"!!!

!! !∗ !!!


12


Capacitat per entendre la geometria fractal i aplicar-la a problemes de disseny. (100 %)

Exercici 7

a) Digueu quin tipus de fractal és la figura anterior i justifiqueu-ho. (0,5 punts)

La figura anterior és un fractal de tipus determinista (en contraposició a aleatori) ja que sempre que s'aplica dóna el mateix resultat. A més, té la característica de ser autosemblant, ja que cada fragment de la figura és semblant al tot (en ampliar qualsevol part de la figura obtenim la mateixa figura).

b) Expliqueu alguna manera d'introduir aleatorietat en el disseny d'aquest fractal i dibuixeu un exemple de com podria quedar. (0,5 punts)

Es pot introduir aleatorietat en el disseny donant un component aleatori a la iteració. Per exemple, que els rectangles de cada iteració presentin una rotació aleatòria sobre el seu eix i que també cada iteració presenti un color escollit al atzar.




13

Exercici 8

Si ara passem el fractal anterior de les 2D del paper a les 3D de l’espai:

a) Digueu quants cubs buits es generen a cada iteració del cub llavor des de la primera fins a la quarta. Busqueu una fórmula que us permeti calcular el nombre de cubs buits totals en funció de la iteració tot demostrant que funciona per als casos inicials i digueu quants cubs buits obtinc en total en la iteració 4. (0,5 punts)

Aquest conjunt fractal és conegut com la “esponja de Menger”, a vegades dita “cub de Menger”. http://en.wikipedia.org/wiki/Menger_sponge. Podem observar que a cada cub li desapareix un cub en posició central a cada cara més el cub interior, fent un total de 7 cubs buits per cada cub existent. A partir d'aquí es treu la següent taula.

Total cubs Nous cubs buits Total cubs buits Cubs buits

anteriors en mida it. actual

Total cubs buits en mida it.

actual Cubs plens en mida it. actual

llavor 30=1 0 0 0 0 200=1

1ª iteració 33=27 1*7=7 7 0*27=0 7-0=7 201=20

2ª iteració 36=729 20*7=140 147 7*27=189 140+189=329 202=400

3ª iteració 39=19683 400*7=2800 2947 329*27=8883 2800+8883= 11683 203=8000

4ª iteració 312=531441 8000*7=56000 58947 11683*27=315441 56000+315441=371441 204=160000

n iteració 33*n 20(n-1) * 7 𝟐𝟎 𝒊!𝟏

𝒏

𝒊!𝟏

∗ 𝟕 20n

explicació plens anterior * 7 buits anterior * 27

Nous cubs buits +

buits anterior

Total cubs – total cubs buits


14

La fórmula que permet calcular el nombre de cubs buits totals en funció de la iteració és

20(!!!)!!!! ∗ 7

Aplicant la fórmula als casos inicials obtenim:

20(!!!)!!!! ∗ 7 = 200*7 = 7

20(!!!)!!!! ∗ 7 = 200*7+201*7 = 7+140=147

20(!!!)!!!! ∗ 7 = 200*7+201*7 +202*7= 7+140+2800=2947

20(!!!)!!!! ∗ 7 = 200*7+201*7 +202*7+203*7= 7+140+2800+56000=58947

b) Calculeu la reducció de volum a cada iteració. Proposeu una fórmula per conèixer el volum a una iteració n qualsevol. (0,5 punts)

Total cubs

Cubs plens it. actual

Mida costat it. actual

Volum 1 cub

it. actual

Volum total cubs plens

Reducció següent it.

llavor 30=1 200=1 1/30 ud 1 ud3 1 20/27

1ª iteració 33=27 201=20 1/31 ud 1/33 ud3 20/27 20/27

2ª iteració 36=729 202=400 1/32 ud 1/36 ud3 400/729 20/27

3ª iteració 39=19683 203=8000 1/33 ud 1/39 ud3 8000/19683 20/27

4ª iteració 312=531441 204=160000 1/34 ud 1/312 ud3 160000/531441 20/27

n iteració 33*n 20n 1/3n ud 1/33*n

20n / 33*n 𝟐𝟎𝐧/𝟑𝟑𝐧

𝟐𝟎(𝐧!𝟏)/𝟑𝟑(𝐧!𝟏) = 𝟐𝟎

𝟐𝟕

La fórmula per conèixer el volum a una iteració n qualsevol és 20n / 33*n




15

Exercici 9

Donat el fractal:

a) Digueu quin tipus de fractal és la figura anterior i justifiqueu-ho. (0,25 punts)

Es tracta d’un fractal de tipus determinista, ja que cada vegada que s’aplica dóna el mateix resultat (en contraposició a aleatori), i autosemblant, ja que cada fragment de la figura és semblant geomètricament al tot.

b) Si la llavor està formada per dos costats de longitud 1, calculeu el % d’ampliació de la longitud total a cada iteració i trobeu una equació que ens permeti calcular la longitud total de la figura a la iteració 10. (0,25 punts)

Per simplificar la comprensió del fractal, podem observar que la figura és en realitat dues còpies de la mateixa recta amb una rotació de 90º. La longitud inicial és 1+1=2.

Cada part de la iteració presenta 2 segments addicionals de mida 1/3 del nou costat anterior, en total, 4 segments. A cada iteració la longitud total s’hi afegeixen 4/3 de la longitud total a la iteració anterior.

La fórmula per calcular la longitud total és: 2 + (4 ∗ 5(!!!)!!!! ) ∗ !

!! encara que

també es pot deduir la fórmula que ens permet conèixer la longitud total a cada

iteració fent servir és 𝟐 ∗ 𝟓𝟑

𝒏. Cada iteració és, per tant, 5/3 més llarga que la

anterior, el que ens dóna com a resultat un % d’ampliació del 166,6% aproximadament.


16

Segments

nous

Longitud cada nou segment

Longitud de tots els nous segments

Longitud total

llavor - - - 2

1ª iteració

4 1/3 4/3 2+4/3 = 10/3 = 3,33

2ª iteració

20 1/9 20/9 2+4/3+20/9 = 50/9 = 5,55

3ª iteració

100 1/27 100/27 2+4/3+20/9+100/27 = 250/27 = 9,259

n iteració 4 * 5(n-1) 1/3n 4 * 5(n-1) * 1/3n

𝟐 + (𝟒 ∗ 𝟓(𝒊!𝟏)𝒏

𝒊!𝟏

) ∗𝟏𝟑𝒊

o també 𝟐 ∗ 𝟓𝟑

𝒏

10º iteració 4 * 59 1/310 4 * 59 * 1/310 𝟐 ∗

𝟓𝟑

𝟏𝟎

= 𝟑𝟑𝟎,𝟕𝟔

Expliqueu què és la dimensió fractal. (0,25 punts)

La dimensió fractal mesura la rugositat de l’objecte fractal. Precisament aquesta dimensió no és un nombre enter en el cas dels fractals, sinó una fracció; aquest fet dóna precisament el nom als fractals.

Una explicació senzilla pot partir del que passa amb exemples de dimensió 1, 2 i 3.

En la dimensió 1 quan dupliquem la escala d’un segment caben exactament dues còpies de l’original dins el nou segment augmentat. En aquest cas, escala x2 implica mida 21; diem, per tant, que la dimensió és 1.

En la dimensió 2, quan dupliquem la escala d’un quadrat caben quatre còpies de l’original dins el nou quadrat augmentat. En aquest cas, escala x2 implica mida 22; diem, per tant, que la dimensió és 2.


17

En la dimensió 3, quan dupliquem la escala d’un cub caben 8 còpies de l’original dins el nou cub augmentat. En aquest cas, escala x2 implica mida 23; diem, per tant, que la dimensió és 3.

Amb un fractal, com el triangle de Sierpinsky, quan dupliquem la escala només hi “caben” 3 còpies de l’original, que queda a mig camí entre 21 i 22, la dimensió, per tant, està entre 1 i 2.

Explicació consultada a : http://www.mat.ucm.es/~vdqmat/VII_Feria_Ciencia/posters/posterFractales.pdf

c) Calculeu la dimensió del fractal a partir del factor d'ampliació necessari per a obtenir objectes iguals i del número de còpies que obteniu. (0,25 punts)

Per aprendre a calcular la dimensió del fractal he fet servir aquesta referència: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lme/ojeda_s_r/capitulo4.pdf

Relacionant que el floc de neu de Koch, de dimensió !"#!!"#!

està format per 4 còpies d’ell

mateix i que cada una d’elles té un terç de la longitud total, he extrapolat la definició a l’objecte de l’exercici. Aquest objecte es forma amb 2 còpies d’ell mateix i cada una d’elles té un terç de la longitud total (considerant que els dos segments, vertical i horitzontals són la mateixa figura rotada 90º). Per tant, dedueixo que la seva dimensió

és !"#!!"#!




18

Exercici 10

Mitjançant un programa zoòtrop creat en Flash, il·lustreu la generació del fractal de l’exercici 9 des del quadrat inicial fins a la iteració 3, indicant pas a pas quines transformacions geomètriques es produeixen. Utilitzeu les eines de transformació de Flash. (1 punt)

Per crear el zoòtrop amb les explicacions he fet servir vàries capes: fons, explicació, llavor, iteració 1, iteració 2 i iteració 3. Per aconseguir una millor precisió en la replicació de les figures i que no hi hagués canvis en la gruixa del traç he fet servir objectes (clips de pel·lícula) que he replicat a cada iteració seguint les normes que creen el fractal. La il·lusió òptica del zoòtrop es perd degut al reduït nombre d’iteracions i també degut a que, per donar temps a llegir la explicació, els intervals de cada iteració són variables.

He fet servir la eina de transformació “escalar y girar”.


Capacitat per crear i dissenyar els elements gràfics i visuals d'un producte o aplicació multimèdia utilitzant procediments creatius, fonaments bàsics de disseny i un llenguatge formal. (50 %).


pac3. “transformacions geomètriques” i “geometria fractal...

Documents