pac3 mariajose vidal morant scrib

7/29/2019 Pac3 Mariajose Vidal Morant Scrib

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06.507 Matemtiques per Multimdia I PAC3 2012-13 Grau de Multimdia

Alumna: Maria Jose Vidal Morant Profesora: Raquel Buil Mur

1

CC BY-NC-SA

PAC3. Transformacions geomtriques i Geometria fractal

Presentaci

La PAC consisteix en la realitzaci individual de quatre activitats relacionades amb les

transformacions geomtriques i cinc relacionades amb la geometria fractal, un cop sha treballat

el contingut dels temes del mdul 5 i el mdul 3.

Competncies

Les competncies del grau que savaluen en la PAC sn les segents.

Competncies transversals de grau:

Capacitat per crear i dissenyar els elements grfics i visuals d'un producte o aplicaci

multimdia utilitzant procediments creatius, fonaments bsics de disseny i un llenguatge

formal.

Capacitat per crear, modelar i animar imatge sinttica 2D i 3D.

Competncies especifiques de lassignatura:

Capacitat per crear i dissenyar els elements grfics i visuals en Flash utilitzant

procediments creatius, fonaments bsics de disseny i un llenguatge formal.

Capacitat per entendre la geometria mtrica i aplicar-la a problemes de disseny.

Capacitat per entendre la teoria de les transformacions geomtriques i aplicar-la a

problemes de disseny.

Capacitat per entendre la geometria fractal i aplicar-la a problemes de disseny.

Objectius

Els objectius generals d'aquesta tercera Prova d'Avaluaci Continuada consisteixen en entendre lestransformacions geomtriques i els fractals i saber aplicar el seu s en problemes de disseny.


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CC BY-NC-SA

Descripci de la PAC/prctica a realitzar

Consta de quatre exercicis sobre el mdul 5 i cinc exercicis sobre el mdul 3. Els exercicis Flash

shan de fer amb el CS4, 5 o 6. Cal adjuntar-los en una carpeta anomenada PAC3 que tamb

contindr un arxiu editable (opcionalment tamb amb la corresponent resoluci dels exercicisnumrics de la PAC. Shauran dadjuntar els arxius originals quan les obres usades siguin digitals, i

el seu codi font si correspon.

Cal que envieu la carpeta final PAC3 comprimida a lapartat Lliurament i registre dAC de la vostra

aula.

Finalitzat el termini de lliurament no sacceptar cap nova actualitzaci de la carpeta. Laplicaci

t la capacitat dacceptar cpies dun treball. Pengeu alguna cpia de tant en tant i no espereu al

darrer moment per si hi ha problemes de connexi. La darrera carpeta guardada ser la que esconsiderar lliurada.

Per a dubtes i aclariments sobre un enunciat, podeu penjar un missatge en el frum de

lassignatura. Per a dubtes i aclariments sobre el procediment dun apartat, heu de dirigir-vos al

consultor responsable de la vostra aula.

Si totes les solucions dun exercici sn correctes, la puntuaci de lexercici s mxima. Si alguna de

les solucions dun exercici s incorrecta, la puntuaci de lexercici ser penalitzada en funci del

grau derror.

Si la soluci s correcta per no hi ha procediment explicatiu de com sha obtingut aquesta

soluci es pot considerar lexercici incorrecte, i conseqentment la seva puntuaci pot ser 0.

Compte!!! Demanar els mnims no vol dir limitar la creativitat. Aquells que presenteu exercicis

Flash excellents, teniu garantida puntuaci extra en la PAC.

Recursos

Mdul 5 i 3 del material didctic de lassignatura i programa CS4, 5 o 6.

Criteris de valoraci

L'avaluaci d'aquesta tercera PAC es centra en la correcta elaboraci dels programes Flash i

exercicis numrics del mdul 5 i 3 de forma individual.

Qualificaci: Cada exercici 10% de la nota, excepte el n. 2 que val un 20%.

A nivell ms especfic, per a cadascuna de les activitats s'aplicaran els segents criteris:


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CC BY-NC-SA

cActivitats Flash. La correcta adequaci als mnims dels enunciats assegura la puntuaci mxima

per exercici que s dun punt. Compte!!! Demanar els mnims no vol dir limitar la creativitat.

Aquells que presenteu exercicis Flash molt ben treballats, teniu garantida puntuaci extra en la

PAC.

Activitats numriques. La correcta resposta de les qestions i la correcta construcci del

raonament demostratiu asseguren la puntuaci mxima per cada exercici. Si alguna de les

solucions dun exercici s incorrecta, la puntuaci de lexercici ser disminuda en funci del grau

derror. Si la soluci s correcta per no hi ha procediment explicatiu de com sha obtingut

aquesta soluci es pot considerar lexercici incorrecte, i conseqentment la seva puntuaci pot

ser 0.

Data lmit de lliurament

16 de desembre de 2012

Nota: Propietat intellectual

Sovint s inevitable, en produir una obra multimdia, fer s de recursos creats per tercerespersones. s per tant comprensible fer-ho en el marc d'una prctica dels estudis del GrauMultimdia, sempre i aix es documenti clarament i no suposi plagi en la prctica.

Per tant, en presentar una prctica que faci s de recursos aliens, s'ha de presentarjuntament amb ella un document en qu es detallin tots ells, especificant el nom de cadarecurs, el seu autor, el lloc on es va obtenir i el seu estatus legal: si l'obra est protegida pelcopyright o s'acull a alguna altra llicncia d's (Creative Commons, llicncia GNU, GPL ...).L'estudiant haur d'assegurar-se que la llicncia que sigui no impedeix especficament seu sen el marc de la prctica. En cas de no trobar la informaci corresponent haur d'assumirque l'obra est protegida pel copyright.

Hauran, a ms, adjuntar els fitxers originals quan les obres utilitzades siguin digitals, i el seucodi font si correspon.

Un altre punt a considerar s que qualsevol prctica que faci s de recursos protegits pelcopyright no podr en cap cas publicar-se en Mosaic, la revista del Graduat en Multimdia ala UOC, a no ser que els propietaris dels drets intellectuals donin la seva autoritzaciexplcita.


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CC BY-NC-SA

EXERCICIS CORRESPONENTS AL MDUL 5

Exercici 1

Calculeu:

a) El producte vectorial de u=(1,-2,4) i v=(-3,1,-1).

Demostreu que el vector obtingut s perpendicular a tots dos vectors.

El producto vectorial resuelve el problema de obtener una tercera direccin perpendicular a las dosdirecciones dadas. Se define el producto vectorial de u,v en el orden que se indica:

(1, 2,4)

( 3,1, 1)

u

v

=

=

Calculamos el determinante. Vector de la base canonica donde sabemos que

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

i

j

k

=

=

=

entonces

1 1 1 2 1 32 4 1 4 1 21 2 4 ( 1) ( 1) ( 1)1 1 3 1 3 1

3 1 1

( 2) ( 1) ( 11* ( 1)) (( 5) * (1)) 2 ( 11) ( 5 2, 1( 5)) 1,

i j k

i j k

i j k i j k

+ + +

= + + =

= + + + + = + + =

Sacamos los determinantes:

2 4(( 2) * ( 1)) (4*1) 2 4 2

1 1

1 4((1* ( 1)) ((4)* ( 3)) 1 ( 12) 11

3 1

1 2(1*1) (( 2) * ( 3)) 1 ( 6) 1 6 5

3 1

= = + =

= = =

= = + = =

b) Un vector unitari amb la mateixa direcci que w=(6,-5,1)

Primero tenemos que hallar el modulo del vector ||w||=(6,-5,1)2 2 2 2 2 26 ( 5) 1 36 25 1 7,862 74w a b c= + + = + + = + + = =

Segundo paso seria Unitarizacin, y seria el vector unitario con la misma direccion que el dado

1

1 1(6, 5,1

6 5 1, , )

62) (

62 62 62w w

w

= = =

c) Una base ortonormal a partir dels vectors v1=(1,1,1), v2=(1,0,-1)

Primero vamos a ver si los vectores son ortogonales y para ello deben de cumplir dos condiciones:1) Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es nulo u*v=0

2) Dos vectores son ortogonales si y solo s el angulo que forman es de 90


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3) Los vectores base tridimensional son ortogonales 2 a 21)Comprobamos que son normales V1 y V2 .Es decir que el producto escalar entre ellos es nulo.

V1 * V2=(1,1,1)*(1,0,-1)=(1*1+1*0+1*(-1))=(1+0+(-1))=0Al darnos 0 es nulo se cumple y nos indica que su angulo miden 90

2)Vamos a sacar el tercer vector (V3 ) que sera perpendicular (ortogonal) y este lo sacamos medianteel producto vectorial de V1 y V2 . El V3=(-1,2,-1)

1 1 1 2 1 31 1 1 1 1 1

1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)0 1 1 1 1 0

1 0 1

(( 1) 1) (( 2)*( 1)) (( 1)* 1, 2, 1)(1)) 1 2 ( 1) (

i j k

i j k

i j k i j k

+ + +

= + + =

= + + = + + = +

Sacamos los determinantes:

1 1

(1* ( 1)) (1* 0) 1 0 10 1

1 1((1*( 1)) (1*1)) 1 1 2

1 1

1 1(1*0) (1*1) 0 1 1

1 0

= = =

= = =

= = =

El V3=(-1,2,-1)

3)Los convertirlos en vectores unitariosv

u

v

=

Sacamos primero su modulo y luego los unificamosModulos de los tres vectores:

2 2 2 2 2 21

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 23

1 1 1 1 1 1

1 0 ( 1) 1 0 1

( 1) 2 (

3

2

61) 1 4 1

v a b c

v a b c

v a b c

= + + = + + = + + =

= + + = + + = + + =

= + + = + + = + + =

Ahora los convertimos en vectores unitarios los unificamos;

1_ 1

1

2_ 2

2

3_ 3

3

1 1(1,1,1)

3

1 1 1 0 1(1,0, 1)

1 1 1( , , )

3 3 3

1 1( ,( , , )

2 2 2 2

1 1( 1,

0, )2 2

1 2 1( , , )

6 61)

6 62,

Unitario

Unitario

Unitario

v vv

v vv

v vv

=

= = =

= = =

= = =

Tendriamos ; 1 2 31 1 1 1 1 1 2 1

( , , ); ( ,0, ); ( , , )3 3 3 2 2 6 6 6

v v v


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Competncies a avaluar:Capacitat per entendre la geometria mtrica i aplicar-la a problemes de disseny.

(100 %)

Exercici 2

Dibuixeu amb les eines de dibuix de Flash, en un escenari de mida 800x600, uns eixos de coordenades

centrats en el punt de lescenari (100,500) que tinguin marques cada 50 pxels (la unitat ser el pxel.

Dibuixeu desprs amb altres colors dos segments a partir de les seves coordenades de lorigen i el final,

relatives als eixos dibuixats:

a) el primer, del punt (150,50) al punt (550,350)

b) el segon, del punt (150,50) al punt (150,250)

Cal tenir en compte que en l'escenari flash els pxels creixen cap avall i cap a la dreta, a diferncia dels

eixos x i y que utilitzem normalment. El vostre grfic han de seguir la convenci tpica matemtica de

creixement desquerra a dreta i creixement de baix cap a dalt.

Calculeu en aquest document i mostreu desprs en el propi escenari:

la longitud de cadascun dels segments

Para sacar la longitud de cada segmento tenemos que saber cual es su punto inicial y cuan su punto finalluego mediante la formula de distancia de longitudes se saca directamente, siendo esta:

2 22 1 2 1( , ) ( ) ( )d P Q x x y y= +

Segmento a:Sabemos que el segmento va desde el primer punto que se encuentra (150,50) y termina en la posicin(550,350) pasamos a resolver teniendo en cuenta que el primer valor es x, el segundo y.P=(150,50) siendo x1=150, y1=50; Q=(550,350) siendo x2=550, y2=350 La distancia es de 500

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1( , ) ( ) ( ) (550 150) (350 50) (400) (300)

160 50.000 90.000 250.000 0

d P Q x x y y= + = + = + =

= + = =

Segmento b:Sabemos que el segmento va desde el primer punto que se encuentra (150,50) y termina en la posicin(550,350) pasamos a resolver teniendo en cuenta que el primer valor es x, el segundo y.P=(150,50) siendo x1=150, y1=50; Q=(150,250) siendo x2=150, y2=250 La distancia es de 200

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1( , ) ( ) ( ) (150 150) (250 50) (0) (200) 40 20 00.00d P Q x x y y= + = + = + = = La longitud del segmento a es de 500 y la longitud del segmento b es de 200

l'angle que formen els dos segments 53,130

Para sacar el angulo que forman los dos segmentos:


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CC BY-NC-SA

Primero tenemos que sacar el vector que va AB

al par de numeros reales, se optiene restando lascoordenadas del extremo B menos las del extremo A

Para el segmento a: Punto A=(150,50) y B=(550,350) los componentes del vector fijo son:

AB=(550-150,350-50)=(400,300) quedando el vector del primer segmento que llamare s1 =(400,300)

Para el segmento b:Punto A=(150,50) y B=(150,250) los componentes del vector fijo son:AB=(150-150,250-50)=(0,200) quedando el vector del segundo segmento que llamare s2 =(0,200)

Segundo paso sacar el angulo que forman los dos vectores: si los vectores s1 y s2 son no nulos y si alfa es

el angulo que forman tenemos esta formula:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

* *cos ; cos

60000 6cos 0,6

100000 10

* 60.000cos cos cos* 0,6100

53,130000

s s s sar

s s s s

s sar ar ars s

= =

= = =

= = = =

Vamos a sacar las normas:2 2

1 1(400,300); 400 300 160.000 90.000 250. 50 0000s s= = + = + = =

2 22 2(0,200); 0 200 0 40.000 204 00.000s s= = + = + = =

Confirmamos que no son nulos podemos aplicar la formula:Primero hallaremos el producto de los vectores:

1 2 (400,300)* (0,200) (400* 0) (300* 200) (0 60000) 60000u v s s = = = + = + =

ya lo tenemos

todo para aplicar la formula del angulo

1 2

1 2

* 60000 60000 6cos 0,6500* 200 100000 10

s ss s

= = = = =

1 2

1 2

* 60.000cos cos cos* 0,6

10000053,13

s sar ar ar

s s = = = =

El angulo que forman los dos segmentos es 53,13010236

el punt final d'un segment que comenci al punt (150,50), sigui perpendicular al primer dels

segments dibuixats i tingui longitud 50. Justifiqueu-ho que realment sn perpendiculars calculant el seu

producte escalar.

Sabemos que el vector perpendicual es su opuesto es decir;si tenemos el normal (1,0) seria (0,1)o(0,-1) o todos sus multiplos

Si nuestro segmento va del punto A al B es decir del (150,50) al (550,350) sacamos su vector que sera;(x2-x1)-(y2-y1)=(550-150,350-50)=(400,300)

Si anteriormente hemos indicado (a,b);(-b,a) o (b,-a)Tendremos el vector u=(400,300) normal

El vector v=(-300,400) o este vector =(300,-400)cualquiera de los dos sirve son los opuestos


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Sabemos que el modulo del vector u es 500 por el ejercicio anterior y nos dice que l modulo del nuevovector v es 50

2 21(400,300); 400 300 160.000 90.000 250. 50 0000u s= = + = + = =

V=50

Para sacarlo dividimos las coordenadas por el modulo u y lo multiplicamos por el modulo v;

30300*50 15000

500250000

400* 50 20000

500250004

00

=

= =

=

Podriamos con ello sacar las coordenadas del punto que va AC; A=(150,50) y C=(120,90) ya que150-30=120 seria las x; y 50+40=90 seria la y

Tambien se podria sacar por medio de proporciones, ya que es un triangulo y siguiendo lo que indicabaTales seria dos reglas de tres:

500-----300

50 x50* 300 15000

30500 500

x

= = =

500----400

50 x50* 400 20000

40500 500

x = = =

el punt final d'un segment que comenci al punt (150, 50) i tingui la mateixa direcci que el primer

dels segments dibuixats per una longitud de 50 px

Lo saco por medio de proporciones, ya que es un triangulo y siguiendo lo que indicaba Tales seria dos

reglas de tres, y sabemos las longitudes por los ejercicios anteriores y tiene la misma direccion seria:500----300

50 x50* 300 15000

30500 500

x

= = =

500----400

50 x50* 400 20000

40500 500

x = = =

Por consiguiente el punto final seria: (190,80) y su longitud de 50pxX=150+40=190 (lo sumamos por que va hacia la derecha)Y=50+30=80 (Lo sumamos por que va hacia arriba)

Competncies a avaluar:Capacitat per entendre la geometria mtrica i aplicar-la a problemes de disseny.

(50 %).Capacitat per crear i dissenyar els elements grfics i visuals d'un producte o aplicaci multimdia

utilitzant procediments creatius, fonaments bsics de disseny i un llenguatge formal. (50 %)


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CC BY-NC-SA

Exercici 3

Donats tres punts del pla A = (0,0), B = (1,2) i C= (-1,3), apliqueu a cadascun d'ells les segents

transformacions, una darrera de l'altra:

un gir de 90 de centre O= (0,0) en sentit contrari a les agulles del rellotge (antihorari)

Giro de 90 del centro O=(0,0) en sentido contrario a las agujas del reloj.En forma matricial:

901 cos90 sin90 0 1

1 sin90 cos90 1 0O

x x xR

y y y

= = =

En forma de ecuacin:

X1

= -y


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CC BY-NC-SA

Y1=x

El punto A=(0,0) su imagen sera= 90cos90 sin90

sin90 cos90

0 1 0 0

1 0 0 0O

x xR

y y

= = =

=

sera

(0,0)

El punto B=(1,2) su imagen sera= 90cos90 sin90

sin9

0 1 1 2

1 0 20 cos 190O

x xR

y y =

= = =

sera

(-2,1)

El punto C=(-1,3) su imagen sera= 90cos90 sin90

sin90 cos90

0 1 1 3

1 0 3 1O

x xR

y y

= = =

=

sera (-3,-1)

un canvi d'escala de factor 2 en la direcci de l'eix Ox

Este cambio de escala solo afecta al valor de x el valor de y se queda igual por ello en x aumentara eldobleLa formula matricial general para el cambio de escala factor 2 seria esta:X1 = Sx*x

Y1=Sy*y en su forma matricial

1

1

0

0

x Sx x

Sy yy

=

En nuestro caso solo sufre la traformacin Sx por consiguiente la formula matricial seria1

1

0

0

x Sx x

Sy yy

=

.

Pero lo correcto es aplicarlos despues de la Rotacion de 90 los puntos ya no son los mismo son lossiguientes A=(0,0) ; B=(-2,-1); C=(-3,-1)

El punto A=(0,0) trasformada sera=

1

1

2 0 0 0

0 1 00 0

0x Sx xS

Sy yy

= = =

=

sera (0,0)


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CC BY-NC-SA

En formula seria: x =2*1=0 ; y=0*1=0

El punto B=(-2,1) trasformada sera=

1

1

2 0 2 4

0 1 1

0

0 1

x Sx xS

Sy yy

= = =

=

sera (-4,-1)

En formula seria: x =2*-2=-4 ; y=1*-1=-1

El punto C=(-3,-1) trasformada sera=

1

1

2 0 3 6

0 1 1

0

0 1

x Sx xS

Sy yy

= = =

=

sera (-6,-1)

En formula seria: x =2*(-3)=-6 ; y=1*(-1)=-1

Sus cambios de escala por el factor 2 en x son las marcadas en rojo.

una translaci de vector director (4,3)

Mediante formula seria la siguiente:X1=x+dx y1=y+dy T(dx,dy)Forma matricial:

1

1

x x dx

y dyy

= +

Los puntos despues de la Rotacion de 90 y la Escala son los siguientes y a estos aplicamos laTraslaccin A=(0,0) ; B=(-4,-1); C=(-6,-1)

El punto A=(0,0) su traslaccion del vector director (4,3) seria

En formula seria: x=0+4=4 ; y=0+3=3 y en matricial

1

1

0 4

0

4

3 3

x

y

= + =

sera (4,3)

El punto B=(-4,-1) su traslaccion del vector director (4,3) seria

En formula seria: x=-4+4=0 ; y=-1+3=2 y en matricial

1

1

4 4

1

0

23

x

y

= + =

sera (0,2)

El punto C=(-6,-1) su traslaccion del vector director (4,3) seria

En formula seria: x=-6+4=-2 ; y=-1+3=2 y en matricial

1

1

6 4

1

2

23

x

y

= + =

sera (-2,2)


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CC BY-NC-SA

Dibuixeu el triangle ABC inicial, i els triangles resultants desprs de cada transformaci.

Escriviu la forma matricial de cada aplicaci i la forma matricial de la composici.

La formula matricial de cada aplicacion la tengo puesta anteriormente

La forma matricial de la composicion quedaria asi;

Aplicamos una trasformacion el Giro 90 P=MT1*PAplicamos la segunda trasformacion escala 2 en 0x P=MT2*PAplicamos la Tercera trasformacion vector P=MT3*PLo acumulamos en una matriz M=MT3*MT2*MT1

Convertimos las trasformaciones de una suma de matrices a una multiplicacinNos permite crear una matriz concadenada: Primero multiplicamos las matrices y al ultimo multiplicarpor las coordenadas del punto P

La matriz de composicon quedaria asi:

'' 0 ' cos90 sin90* *

'' 0 ' sin90 cos90c

x dx Sx x xM

y dy Sy y y

= +

Competncies a avaluar: Capacitat per entendre i aplicar la teoria de les transformacions geomtriques iaplicar-la a problemes de disseny. (100 %)

Exercici 4

Creeu en Flash un clip de pellcula que realitzi un moviment de translaci des de la posici (200,100) a la

(400,300) i al mateix temps pateixi un canvi d'escala del 150%.

Aquest clip ha de contenir dos elements al seu torn que siguin clips i que realitzin:

un gir de 270 en sentit contrari a les agulles del rellotge (antihorari)


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una simetria especular d'eix vertical (No lo entiendo muy bien yo he realizado una simetria del

propio objeto adyacente al objeto como si fuera un coche un retroviso y otro)

El archivo se llama Pac3_Ejercicio4

Competncies a avaluar: Capacitat per entendre i aplicar la teoria de les transformacions geomtriques i

aplicar-la a problemes de disseny (50 %). Capacitat per crear i dissenyar els elements grfics i visuals d'un

producte o aplicaci multimdia utilitzant procediments creatius, fonaments bsics de disseny i un

llenguatge formal (50 %).


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CC BY-NC-SA

EXERCICIS CORRESPONENTS AL MDUL 3

Treballarem sobre aquesta figura, el pentafloc. Es construeix a partir d'un pentgon afegint-li pentgons

reduts 1/3 a cadascun dels vrtex lliures.

Exercici 5

Mitjanant un programa zotrop creat en Flash, illustreu la generaci d'aquest fractal pentafloc des del

pentgon inicial fins a la iteraci 3 (fer tres vegades reducci i rpliques). Partiu a cada pas de la figura que

teniu, convertint-la en smbol per poder-ne fer cpies i utilitzeu les eines de transformaci de Flash

(escalat, gir).(1 punt)


Competncies a avaluar: Capacitat per crear i dissenyar els elements grfics i visuals d'un producte o

aplicaci multimdia utilitzant procediments creatius, fonaments bsics de disseny i un llenguatgeformal.(50 %). Capacitat per entendre i aplicar la teoria dels fractals a problemes de disseny. (50 %)

Exercici 6

A partir de la imatge proporcionada del fractal pentafloc construu una pellcula en la que feu un zoom

de la imatge de manera que demostreu visualment que les parts ampliades coincideixen amb el pas previ.

(1 punt)


Competncies a avaluar:Capacitat per crear i dissenyar els elements grfics i visuals d'un producte o

aplicaci multimdia utilitzant procediments creatius, fonaments bsics de disseny i un llenguatge formal.

(50 %)Capacitat per entendre i aplicar la teoria dels fractals a problemes de disseny. (50 %)

Exercici 7

a) Digueu quants pentgons nous (petits) s'afegeixen a cada iteraci del fractal pentafloc, des de la

primera fins a la quarta. Busqueu una frmula que us permeti calcular el nombre de pentgons

afegits en qualsevol iteraci tot demostrant que funciona per als casos inicials i digueu quin

resultat dna en la iteraci 10.


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CC BY-NC-SA

Iteracciones (n) 0 1 2 3 4

Formula 4(n-1)*5= 4(n-1)*5= 4(n-1)*5= 4(n-1)*5=

Calculo 1 5 4(2-1)*5=4(1)*5=4*5 4(3-1)*5=4(2)*5=16*5 4(4-1)*5=4(3)*5=64*5

Resultado 1 5 20 80 320

Formula; 4(n-1)*5=k

En la iteracin 10 el aplicando la formula 4(10-1)*5=4(9)*5=262144*5= 1.310.720

b) Calculeu la mida de la diagonal d'un pentgon petit de la iteraci 7 si el costat del pentgon inicial

s 1 (recordeu que ja vam veure en el tema de proporci la relaci entre el costat i la diagonal d'un

pentgon).

El pentagono regular cuyo lado es 1

El Angulo de cualquier vertice del pentagono mide=108Voy a usar la ley del seno para sacar la diagonal del primeroD2=A2+B2-2ABcos(D) Siendo D diagonal, A un lado y B otro lado.D2=2(12)+2(12)-2ABcos(108)D2=2*1+2*1-cos(108)D2=2*1-2*1(cos(-0,309016994))D2=2-2*(-0,309016994)D2=2-(-0,618033988)D2=2,618033988

D= 2 1,618033989,618033988 = Diagonal del primer pentagono es el numero aureo

Por lo que el lado 1 es a la Diagonal del pentagono = numero de aureo

Con excel saco hasta la iteracion 7 mide 0,000739841

Iteracion Diagona mide

0 1,618033989

1 0,539344663

2 0,179781554

3 0,0599271854 0,019975728

5 0,006658576

6 0,002219525

7 0,000739841

Competncies a avaluar:Capacitat per entendre i aplicar la teoria dels fractals a problemes de disseny.

(100 %)


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CC BY-NC-SA

Exercici 8

a) Expliqueu qu s la dimensi fractal posant un exemple diferent de la corba de Koch.

La dimension fractal mide la rugosidad del objeto fractal y su fragmentacin. Los fractales tienen estenombre porque su dimension normalmente es fraccionario no entero.La dimension fractal se refieren a como el objeto geomtrico llena el espacio en el que est inmerso.

Voy a utilizar los triangulos equilateros de Sierpinski, tomo como semilla un triangulo equilatero. Laprimera iteracin consiste en suprimir el triangulo equilatero que se forma con los tres puntos mediosde los lados del triangulo inicial.Entonces en el Ejemplo Triangulo de Sierpinski la dimensin es 1,585, para calcularla partimos de laidea de que la DIMENSION es el exponente D al que debemos elevar el factor de ampliacin K (entre

el objeto de una iteracin y su copia en la siguiente) para conseguir un numero de copias n que seoptiene en la iteracion.

ln( ) ln(3) ln(3)1,58496

1ln( ) ln(2)ln( )

1/ 2

Dn k

nD

k

=

= = = =

b) Demostreu mitjanant l's de logaritmes com es passa de l'equaci n=k^D a lequaci D = ln n / ln k

Es una ecuacion exponencial, y estas son las que tienen la variable en el exponente. Para resolverlashay que usar logaritmos para bajar el exponente. Aqui ln logaritmo neperiano donde la base es un

numero x tal que ax=b. Por consiguiente la base es el numero a (natural) y lo denominamos ln en lugarde logY se realiza de la siguiente forma

Nuestra formula Ejemplo numerico en base 10

Logk D=n kD=n Loga x=y a

x=y

n=kD 7=2xLog n= log kD Log y= log a*xLog n= D*log k Log y= x*log aD= Log n/Log k X = Log y/log a

Aplicamos logaritmos base n a a ambos lados de la expresin Aplicamos logaritmos base 10 a ambos lados de la expresin

Ln n = ln kD

ln n = ln k*DD= ln n/ln k

Log 7 = log 2x

Xlog2 = log 7X= log7/log2X=2,8

c) Calculeu la dimensi del fractal pentafloc a partir del factor d'ampliaci necessari per a obtenir

objectes iguals i del nmero de cpies que obteniu.

Creo entender que de 1 me salen 5 iguales y de estos mas que serian:

Iteracciones (n) 0 1 2 3 4

Formula 2(n-1)*5= 2(n-1)*5= 2(n-1)*5= 2(n-1)*5=

Calculo 1 5 2(2-1)*5=2(1)*5=2*5 2(3-1)*5=2(2)*5=4*5 2(4-1)*5=2(3)*5=8*5

Resultado 1 5 10 20 40


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CC BY NC SA

Pero no consigo sacarlo por la dimension fractal yo aqui entiendo que 1 paso a 6 y de una superficie letengo que sumar el aurea quedandome asi, (pero no se si esta, bien)

n=kD n de copias = escala (Dimension)

ln( ) ln(6) ln(6)1,8617

ln( ) ln(1 1,618033) ln(2,1618033)

Dn k

nD

k

=

= = = =+


(100 %)

Exercici 9

a) Digueu quin tipus de fractal s el pentafloc i justifiqueu-ho.

Este tipo de fractal es determinista (siempre que se aplica da un mismo resultado) y autosemejante, yaque su construccin queda bien determinada a partir de la semilla (el pentagono) y la iteracin (y unatrasformacin que aplicaremos sobre este repetidamente) y, al considerar una parte del total,obtenemos un fractal similar al total.Por autosemenjante entendemos, que cada trozo de una cierta figura sea semejante geometricamentea todo el objeto.

c) Expliqueu alguna manera d'introduir aleatorietat en el disseny d'aquest fractal i dibuixeu un

exemple de com podria quedar.

Para introducir aleatoriedad al fractal, iniciamos el fractal a partir de la semilla y en la iteracin queapliquemos introducimos algun dato de forma aleatoria. Este dato puede consistir en las coordenadasde un punto, la divisin de un segmento, torsiones, giros, reduccionesm deformaciones,etc.

En el mio lo que realizo en cadda interacions es cada pentagono lo amplio aleatoriamente y los giro aun angulo aleatorio


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pac3 mariajose vidal morant scrib

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