metodo de la secante y posicion falsa

1nx

y F(x)

nx

1nxf

nxf

x

Método de la Secante

Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función Del Método

de Newton-Raphson, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya

derivada es muy compleja.

El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método

de la secante no requiere de la primera derivada.

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la

primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en

ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante.

El método de la secante no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto.

Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es

más útil emplear el método de la secante.

Este método, a diferencia del de bisección y Newton, casi nunca falla ya que solo requiere de 2

puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es

ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la

intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x , es decir un intervalo en “ x ” nn xx ,1

, los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el eje de la y , los

puntos a obtener son nn xfxf ,1 , por lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a

la función son 11 , nn xfx y nn xfx , .

Se debe considerar que los puntos 1nx y nx deben de contener a la raíz, por lo que el punto 1nx

debe estar a la izquierda y el punto nx a la derecha de la raíz.

Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cruzar el

eje de la “ x ”, genera el siguiente punto de acercamiento 1nx , el cual quedara ubicado entre el

intervalo propuesto nn xx ,1 , como se muestra en la Figura.

Interesa llegar a la raíz por medio del corte del eje “ x ” de la recta secante, entonces tomando en

cuenta el corte con el eje de las “ x ” de la recta secante y otro punto de tal forma que se llegue a la

raíz tenemos entonces los puntos nn xx ,1 y sacamos sus imágenes nn xfxf ,1 (esto se hace

para tirar la siguiente recta secante), por lo tanto se obtiene un nuevo corte con el eje de las “ x ”

2nx


cuenta el corte con el eje de las “ x ” de la recta secante y otro punto de tal forma que se llegue a la

raíz tenemos entonces los puntos 21 , nn xx y sacamos sus imágenes 21 , nn xfxf (esto se

hace para tirar la siguiente recta secante), por lo tanto se obtiene un nuevo corte con el eje de las “

x ” 3nx

1nx

y F(x)

nx

1nxf

nxf

x

1nx

y F(x)

nx

1nxf

nxf

x

1nx 2nx

y F(x)

1nxf

x

1nx 2nx

2nxf

Podemos ver que con la tercera recta secante aproximadamente se acerco a la raíz. Entonces estos

pasos se hacen sucesivamente hasta llegar a la aproximación de la raíz.

El método de la secante parte de dos puntos nn xx ,1 y sus dos imágenes nn xfxf ,1 (y no

sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta

secante) por una aproximación de acuerdo con la expresión:

1

1/

nn

nn

xx

xfxffm

Como el Método de la Secante se Parece al Método Newton por la búsqueda de la raíz a través del

corte de una recta, entonces podemos escoger la formula de newton y sustituir en nxf / la

expresión anterior de la pendiente

1

1

1/1

nn

nn

nnn

n

nnn

xx

xfxf

xfxx

xf

xfxx

1

11

nn

nnnnn

xfxf

xxxfxx ; Fórmula para el método de la Secante

Primero hay que definir algunos conceptos como:

nx Es el valor actual de x (valor derecho del intervalo en “ x ” )

1nx Es el valor anterior de x (valor izquierdo del intervalo en “ x ”)

1nx Es el valor entre 1nx y nx

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como

después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se

obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentre la aproximación a la

raíz.

Concluyendo con lo anterior tenemos que: La técnica que utiliza esta fórmula recibe el nombre de

Método de La Secante. Comenzamos con las dos aproximaciones iníciales P0 y P1 , la aproximación

P2 es la intersección del eje de las “x” y la línea que une ( P0 , f(P0) ) y ( P1 , f(P1) ). La aproximación

P3 es la intersección del eje “x” y la línea que une ( P1 , f(P1) ) y ( P2 , f(P2) ), y así sucesivamente

El método de Newton o el método de la secante a menudo se usan para refinar las repuestas

conseguidas con otra técnica, como el Método Bisección, dado que el Método de Newton requiere

de una buena aproximación inicial, pero por lo general da una convergencia rápida, sirve

perfectamente para el propósito antes mencionado.

ALGORITMO DEL METODO DE LA SECANTE

Paso 1 : Tener un punto inicial que encierre a la raíz (𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛)

Paso 2: Calcular la aproximación a la raíz por el corte con el eje de las “ x” de la Recta Secante

• 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛) (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1)

𝑓(𝑥𝑛)−𝑓(𝑥𝑛−1)

Paso 3: Calcular el Error del método Error = |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛+1|

Paso 4: Calcular 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 < 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ó 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑

• Si 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 < 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ó 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 , se encontró la raíz con el numero de cifras consecutivas

especificada.

• Si 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 > 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ó 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 , Regresar al paso 3 para cambiar el intervalo tomando en

cuenta 𝑥𝑛+1 y luego iniciar otra iteración hasta que 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 < 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ó 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑

EJEMPLO

Aplique el método de la secante para encontrar la raíz en el intervalo 5708.1,0 de la función

xxxf sin2.08.0 con una 510*1 tol

1era Iteración (n=1):

Como la tolerancia contiene 5 decimales (510*1

=0.00001), trabajaremos el método agregando 2

decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún momento

pf no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo tanto todos

los cálculos los haremos con 7 decimales, pero el método para el criterio de paro si se toma en

cuenta 510*1

para el error.

Aplicando la fórmula de la secante para encontrar el primer corte del eje de las “x” de la recta

secante con los primeros puntos 5708.1,0 tenemos: ( 5708.101 nn xyx )

1

11

nn

nnnnn

xfxf

xxxfxx

9167202.0

0sin*2.08.005708.1sin*2.08.05708.1

05708.15708.1sin*2.08.05708.15708.1

1

1

n

n

X

X

Calculamos el error, que es la misma fórmula del Error de Newton

65407984.09167202.05708.11 nn XXError , No es menor que la 510*1

, como no se

cumple que tolxx nn 1

510*165407984.0 se hace otra iteración.

Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento:

n 1nx nx 1nx ERROR

1 0 1.5708 0.9167202 0.65407984

2da Iteración (n=2):

Como el error no es menor o igual que la tolerancia, tenemos que hacer otra interacción, hay que

redefinir un nuevo intervalo, los datos que tomamos para el nuevo intervalo y encontrar el siguiente

corte con el eje de las “x”, es el primer corte con el eje de las “x” y otro punto, esto son ( 1.5708 ,

0.9167202 ) para esta iteración.

Entonces el nuevo punto es ( 1.5708 , 0.9167202 ), note que para este intervalo nn xx 1 ¿importara

colocar el intervalo de esa forma ¿……?¿.. Claro que no importa….. No importa cómo se coloquen,

siempre van a calcular el valor correcto de la pendiente, entonces lo que hay que hacer viendo la

tabla para redefinir el punto en esta iteración es lo siguiente:

n 1nx nx 1nx ERROR

1 0 1.5708 0.9167202 0.65407984

2 1.5708000 0.9167202

9615513.0

5708.1sin*2.08.05708.19167202.0sin*2.08.09167202.0

5708.19167202.09167202.0sin*2.08.09167202.09167202.0

1

1

n

n

X

X

Calculamos el error, que es la misma fórmula del Error de Newton,


, como no

se cumple que tolxx nn 1

510*14483113.0.0 se hace otra iteración.


n 1nx nx 1nx ERROR

1 0 1.5708 0.9167202 0.6540798

2 1.5708000 0.9167202 0.9615513 0.0448311




corte con el eje de las “x”, es el segundo corte con el eje de las “x” y otro punto, esto son (0.9167202,

0.9615513) para esta iteración.

Entonces el nuevo punto es (0.9167202, 0.9615513 ), note ahora que para este intervalo nn xx 1 ….

No importa cómo se coloquen, siempre van a calcular el valor correcto de la pendiente, entonces lo

que hay que hacer viendo la tabla para redefinir el punto en esta iteración es lo siguiente:

1nx nx 1nx ERROR

0 1.5708 0.9167202 0.6540798

1.5708000 0.9167202 0.9615513 0.04483113

0.9167202 0.9615513

9643461.0

9167202.0sin*2.08.09167202.09615513.0sin*2.08.09615513.0

9167202.09615513.09615513.0sin*2.08.09615513.09615513.0

1

1

n

n

X

X

Calculamos el error, que es la misma fórmula del Error de Newton,


, como no

se cumple que tolxx nn 1

510*10279479.0.0 se hace otra iteración.


n 1nx nx 1nx ERROR

1 0 1.5708 0.9167202 0.6540798

2 1.5708000 0.9167202 0.9615513 0.0448311

3 0.9167202 0.9615513 0.9643461 0.0027948

4ta Iteración (n=4):

Si se hiciera esta iteración paso a paso, el nuevo intervalo para iteración seria (0.9615513, 0.9643461),

entonces lo que hay que hacer viendo la tabla para redefinir el punto en esta iteración es lo

siguiente:

n 1nx nx 1nx ERROR

1 0 1.5708 0.9167202 0.6540798

2 1.5708000 0.9167202 0.9615513 0.0448311

3 0.9167202 0.9615513 0.9643461 0.0027948

4 0.9615513 0.9643461

Seguimos haciendo las iteraciones hasta que tolxx nn 1 , completando el método tenemos lo

siguiente:

1nx

y F(x)

nx

1nxf

nxf

x

n 1nx nx 1nx ERROR

1 0 1.5708 0.9167202 0.6540798

2 1.5708000 0.9167202 0.9615513 0.0448311

3 0.9167202 0.9615513 0.9643461 0.0027948

4 0.9615513 0.9643461 0.9643339 1.2201E-05

5 0.9643461 0.9643339 0.9643339 3.1464E-09

La solución o la aproximación a la raíz es 1nx de la 5ta iteración 9643339.0x

Método Posición Falsa o Regula Farsi

El método de la Posición Falsa pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la

rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos

puntos que rodean a la raíz.

Una ventaja al respecto al método de la secante es que inhibe la posibilidad de una divergencia del

método. Por otra parte y respecto al método de la bisección, mejora notablemente la elección del

intervalo ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad. Sin embargo, el método de la Posición

Falsa tiene una convergencia muy lenta hacia la solución. Efectivamente, una vez iniciado el

proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse

Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x , es decir un intervalo en “ x ” nn xx ,1

, los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el eje de la y , los

puntos a obtener son nn xfxf ,1 , por lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a

la función son 11 , nn xfx y nn xfx , .

Se debe considerar que los puntos 1nx y nx deben de contener a la raíz, por lo que el punto 1nx

debe estar a la izquierda y el punto nx a la derecha de la raíz.

Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cruzar el

eje de la “ x ”, genera el siguiente punto de acercamiento 1nx , el cual quedara ubicado entre el

intervalo propuesto nn xx ,1 , como se muestra en la Figura.


cuenta el corte con el eje de las “ x ” de la recta secante y otro punto FIJO de tal forma que se llegue

a la raíz tenemos entonces los puntos nn xx ,1 y sacamos sus imágenes nn xfxf ,1 (esto se


x ” 2nx


cuenta el corte con el eje de las “ x ” de la recta secante y otro punto FIJO de tal forma que se llegue

a la raíz tenemos entonces los puntos nn xx ,2 y sacamos sus imágenes nn xfxf ,2 (esto se


x ” 3nx

1nx

y F(x)

nx

1nxf

nxf

x

1nx

y F(x)

nx

1nxf

nxf

x

1nx 2nx

y F(x)

x

2nx

2nxf

nxf

nx

3nx

Podemos ver que con la tercera recta secante aproximadamente se acerco a la raíz. Entonces estos

pasos se hacen sucesivamente hasta llegar a la aproximación de la raíz.

El método de Posición Falsa parte de dos puntos nn xx ,1 y sus dos imágenes nn xfxf ,1 y

estima el primer corte con el eje de las “x” de la recta secante 1nx , luego se redefinen otros 2

puntos tomando en cuenta el corte con el eje de las “x” 11 , nn xfx deja un punto fijo

nn xfx , y se calcula el siguiente corte con el eje de las “x” 2nx , luego se redefinen otros 2

puntos tomando en cuenta el corte con el eje de las “x” 22 , nn xfx deja un punto fijo

nn xfx , y se calcula el siguiente corte con el eje de las “x” 3nx y así sucesivamente.

La formula a Utilizar es la misma que el método de la secante, solo que con una diferencia, en

la primera Iteración por Posición Falsa se hace por El Método de La secante:

1

11

nn

nnnnn

xfxf

xxxfxx

1 nn XXError

A partir de la 2da iteración hasta la iteración “n” se usa la formula de la secante para obtener el

método de Posición Falsa, ahora el error es el que va a cambiar:

1

11

nn

nnnnn

xfxf

xxxfxx

11 nn XXError

Resumiendo la escrito anteriormente tenemos: La técnica que utiliza esta formula recibe el nombre

de Método de POSICION FALSA. Comenzamos con las dos aproximaciones iníciales 0p y 1p , la

aproximación 2p es la intersección del eje de las “x” y la línea que une 00 , pfp y

11 , pfp . La aproximación P3 es la intersección del eje “x” y la línea que une 22 , pfp y

11 , pfp ), y así sucesivamente.

ALGORITMO DEL METODO DE POSICION FALSA

Paso 1 : Tener un punto inicial que encierre a la raíz (xn−1 , xn)

Paso 2: Calcular la PRIMERA aproximación a la raíz por el corte con el

eje de las “ x” por el Método de la Secante

• xn+1 = xn −f(xn) (xn − xn−1)

f(xn)−f(xn−1)

Error = |xn − xn+1|

Paso 3: De la segunda iteración hasta la Iteración “ n ” Iterar por el

Método de la Posición Falsa con la misma fórmula de la secante

de xn+1 = xn −f(xn) (xn − xn−1)

f(xn)−f(xn−1) y dejar fijo el punto (xn , f(xn) ), Calcular el

Error del método Error = |xn−1 − xn+1|

Paso 4: Para ambos pasos 2 y 3 Calcular Error < Tolerancia ó exactitud

• Si Error < Tolerancia ó exactitud , se encontró la raíz con el número de

cifras consecutivas especificada.

• Si Error > Tolerancia ó exactitud , Regresar al paso 3 para cambiar el

intervalo tomando en cuenta xn+1 y luego iniciar otra iteración

hasta que Error < Tolerancia ó exacatitud

Ejemplo

Aplique el método de Posición Falsa para encontrar la raíz en el intervalo 4,3 de la función

xexxf 23 con una 410*1 tol


Como la tolerancia contiene 4 decimales (410*1

=0.0001), trabajaremos el método agregando 2

decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún momento

pf no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo tanto todos

los cálculos los haremos con 6 decimales, pero el método para el criterio de paro si se toma en

cuenta 410*1

para el error.

Aplicando la formula de Posición Falsa se hace por la formula de la secante para encontrar el primer

corte del eje de las “x” de la recta secante con los primeros puntos 4,3 tenemos: (

431 nn xyx )

1

11

nn

nnnnn

xfxf

xxxfxx

511704.33343

34434

3242

42

1

ee

eX n

Calculamos el error, que es la misma fórmula del Error de Newton

488296.0511704.341 nn XXError , No es menor que 410*1

, como no se cumple que

tolxx nn 1

410*1488298.0 se hace otra iteración.


n 1nx nx 1nx ERROR

1 3 4 3.511704 0.488296

2da Iteración: (ahora la segunda iteración hasta “n-sima” por el método de Posición Falsa )



corte con el eje de las “x”, es el primer corte con el eje de las “x” y un punto FIJO ( nx ), esto son (

3.511704 , 4 ) para esta iteración.

680658.3511704.3343

511704.34434

511704.3242

42

1

ee

eX n

Calculamos el error, que para esta iteración y todas las demás es

168954.0680658.3511704.311 nn XXError , No es menor que 410*1

, como no se

cumple que tolxx nn 11 410*1168954.0 se hace otra iteración.


n 1nx nx 1nx ERROR

1 3 4 3.511704 0.488296

2 3.511704 4 3.680658 0.168954




corte con el eje de las “x”, es el segundo corte con el eje de las “x” y un punto FIJO ( nx ), esto son (

3.680658 , 4 ) para esta iteración.

721560.3680658.3343

680658.34434

680658.3242

42

1

ee

eX n

Calculamos el error, que para esta iteración y todas las demás es

040901.0721560.3680658.311 nn XXError , No es menor que 410*1

, como no se

cumple que tolxx nn 11

410*1040901..0 se hace otra iteración.


n 1nx nx 1nx ERROR

1 3 4 3.511704 0.488296

2 3.511704 4 3.680658 0.168954

3 3.680658 4 3.721560 0.040901

Seguimos haciendo las iteraciones hasta que tolxx nn 11 , completando el método tenemos lo

siguiente:

n 1nx nx 1nx ERROR

1 3 4 3.511704 0.488296

2 3.511704 4 3.680658 0.168954

3 3.680658 4 3.721560 0.040901

4 3.721560 4 3.730592 0.009032

5 3.730592 4 3.732544 0.001952

6 3.732544 4 3.732964 0.000420

7 3.732964 4 3.733054 0.000090

La solución a la aproximación a la raíz es 1nx de la 7 iteración 733054.3x

metodo de la secante y posicion falsa

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