58343342 metodo de falsa posicion

7/29/2019 58343342 Metodo de Falsa Posicion

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Exposicin 1

Mtodo de Falsa Posicin

Erika Denisse Nevarez Llamas

Hermosillo, Sonora a 15 de Febrero 2011


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Introduccin

y Aun cuando la biseccin es una tcnica perfectamentevlida para determinar races, su mtodo de aproximacines relativamente ineficiente.

y La falsa posicin es una alternativa basada en unavisualizacin grfica.

y El mtodo consiste en unir f(xl

)yf(xu

) con una lnea recta.La interseccin de esta lnea con el eje de lasx representauna mejor aproximacin de la raz.


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Representacin grfica del mtodo de la falsa posicin.


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y Usando tringulos semejantes, la interseccin de la lnea

recta con el eje de lasx se estima mediante:

ur

u

lr

l

xx

xf

xx

xf

!

y Despejandoxrse obtiene:

uuu

u

!

Ecuacin de Falsa Posicin


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Ejemplo:y Planteamiento del problema. Con el mtodo de la falsa

posicin determine la raz de

40138.667 146843.0 ! cec

cf

y Solucin. Se empieza el clculo con los valores iniciales

xl=12yxu=16.


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yPrimera iteracin:

9113.142688.20699.6

16122688.216

2688.216

0699.612

rx

xx

xx

y La cual tiene un error relativo verdadero de 0.89%


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y Segunda iteracin:

5426.1!rl xfxf

y Por lo tanto, la raz se encuentra en el primer subintervaloyxrse vuelve ahora el lmite superior para la siguiente

interacin,xu=14.9113:

7942.42543.99.

9113.14122543.9113.14

2543.9113.14

0699.612

!

!

!!

!!

r

ll

x

xfx

xfx


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y El cual tiene errores relativo verdadero de 0.09%yaproximado de

0.79%. Es posible realizar interaciones adicionales para hacer una mejoraproximacin de las races.

Comparacin de los erroresrelativos de los mtodos debiseccinyde falsa posicin


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Desventajas del mtodode la falsa posicin

y Planteamiento del problema. Con los mtodos de biseccinyde falsa posicin localice la raz de

3.101

10

yxentrexxf!!

y Solucin. Usando biseccin, los resultados se resumencomo sigue:

Iteracin xl xu xr a(%) t(%)

1 0 1.3 0.65 100.0 35

2 0.65 1.3 0.975 33.3 2.5

3 0.975 1.3 1.1375 14.3 13.8

4 0.975 1.1375 1.05625 7.7 5.6

5 0.975 1.05625 1.015625 4.0 1.6


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y De esta manera, despus de cinco iteraciones, el error

verdadero se reduce a menos del 2%. Con la falsa posicinse obtienen resultados muydiferentes:

Iteracin xl xu xr a(%) t(%)

1 0 1.3 0.09430 90.62 0.09430 1.3 0.1 176 4 .1 1.

3 0.1 176 1.3 0.262 7 30.9 73.7

4 0.262 7 1.3 0.33 11 22.3 66.2

5 0.33 11 1.3 0.407 17.1 59.2

y El error verdadero es 59%yse puede observar que a


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Grfica de la funcinf(x)=x10-1


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M

todo

d

e fa

lsa

po

sicin

modi

ficado

y Cosiste en elaborarun algoritmo que detecte cuando seestanca uno de los lmites del intervalo.

y Si ocurre esto, se divide a la mitad el valor de la funcinen el punto de estancamiento.

y La efectividad de este algoritmo se demuestraaplicndolo al ejemplo anterior.


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y Si se utiliza un criterio de terminacin de 0.01%, losmtodos convergen:

Biseccin Falsa Posicin F. Posicin Mod.

14 39 12

y Se puede observar como el mtodo de falsa posicinmodificado es mas eficiente que el de bisecciny

mu

chsimo mejor qu

e el mtodo de falsa posicin nomodificado.


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