Material distribuido a establecimientos educacionalesdel Programa Escuelas Arriba y a Establecimientos rurales.

SEMANA 4

Matemática

GUÍA PARA ESTUDIANTES

Guía de actividades de apoyo

Estimado y estimada estudiante:

Las actividades desarrolladas para la presente guía están elaboradas para aplicar diversos modelos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento o decrecimiento, que involucran las funciones logarítmicas.

NOMBRE:

CURSO: LETRA: FECHA:

ESTABLECIMIENTO:

IV MEDIO

2

MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

El día de hoy comenzaremos a conocer la función logarítmica, pero antes de iniciar recordaremos qué es un logaritmo, lo que nos permitirá identificar algunas de sus propiedades.

Observa:

• 25=�, la incógnita se encuentra en el resultado ⟹ Potencia, y para resolverlo se multiplica la base tantas veces como indica el exponente 2·2·2·2·2 ⟹ �=32

• �5=32, el término desconocido es la base ⟹ Raíz, que se expresa como 325 = �, y para encontrar el valor de �, se identifica el número que multiplicado 5 veces por sí mismo es igual a 32, entonces 32

5 = 2• 2�=32, el término desconocido se encuentra en el exponente ⟹ Logaritmo, que se

expresa como log2 32=�, y para encontrar el valor buscado se debe establecer cuántas veces multiplico 2 para obtener 32, log2 32=5

Entonces, un logaritmo se expresa como:

log� � = � que viene de �� = b

Las partes de log� � = �, son

�⟹ base del logaritmo, donde � debe ser mayor que 0 y ≠1

�= argumento, el que debe ser mayor que 1

�= el número al que hay que elevar la base para obtener el argumento

Ejemplos• Encuentra el valor de � y escribe en forma de logaritmo:

3� = 81

(10)� = 1000

8� = 18

6� = 216

3

MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

• Calcula el valor de � de los siguientes logaritmos:

Ejemplo log28 = � ⟹ 2� = 8 ⟹ � = 3log3 27 = �

log2 26 = �

log3 34 = �

log7 7 = �

log𝑝 𝑝 = �

log12 8 = �

log 10 = �

• Expresa en forma exponencial las siguientes funciones logarítmicas:

log5 25

log2 16

log2 14

log2 (2�+6)=4

log2 1

log3 (� + 1)=3

log2 27

• Marca la alternativa correcta.1. log2 8-log3 9

a) -1

b) 1

c) 0

d) 1

e) 4

4

MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

2. log2 8·log3 1

a) 4

b) 3

c) 0

d) 8

e) 9

3. log81 9

a) 2

b) 1

c) 12d) - 1

2e) -1

4. Si �= log3 9, entonces log3 81 es igual a:

a) 2�

b) �2

c) 4�

d) 3�

e) �4

5. El valor de la expresión log 100+log2 128-log5 625 es:

a) 10

b) 5

c) -10

d) -5

e) 3

5

MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 2

Comprender que una función logarítmica es la función inversa de una función exponencial.

Así como la operación inversa de la adición (sumar) es la sustracción (restar), o como la operación inversa de la multiplicación es la división, la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial.

La función exponencial 𝑓(�)= 3� se puede representar en forma gráfica y evaluar algunas de sus características.

𝑥 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑦 (𝑥,𝑦)

-1 𝑓(-1) = 3(-1) 13 (-1, 13 )

0 𝑓(0) = 3(0) 1 (0,1)

1 𝑓(1) = 3(1) 3 (1,3)

2 𝑓(2) = 3(2) 9 (2,9)

Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥

6

MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

Grafiquemos la función h(�)=log3 �, con � > 0

� h(�) = log3 � � (�, �)

3-1 h(-1) = log3 -1 -1 ( 13 , -1)

30 h(0) = log3 1 0 (1,0)

31 h(1) = log3 1 1 (3,1)

32 h(2) = log3 2 2 (9,2)

Gráfico de la función h(�) = log3 �

h(�) = log3 �

2,5

2

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

7

MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

Resumiendo:

Algunos de los pares ordenados en la función exponencial 𝑓(𝑥) = 3𝑥 son

𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⟹(-1, 13 ) ; (0,1) ;(1,3) ;(2,9)

Y algunos los pares ordenados en la función logarítmica h(�) = log3 � son

h(�) = log3 � ⟹ (13 ,-1) ;(1,0) ;(3,1) ;(9,2)

Los pares ordenados de la función exponencial 𝑓(𝑥) = 3𝑥 son de la forma (�,�) y los pares ordenados en la función logarítmica h(�) = log3 � son de la forma (�,�).

Como podrás ver, la función logarítmica hace el camino inverso a la función exponencial, lo que significa que esta es la función inversa a la función exponencial.

1. ¿Cuál es la función inversa de cada una de las funciones que se señalan a continuación?

Función exponencial Función inversa (logarítmica)

𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⟹

⟹ log( 12 )�

h(�) = ( 14 )� ⟹

2. Determina tres pares ordenados para cada una de las funciones y sus inversas.

Función exponencial

𝑓(𝑥) = 3𝑥

h(�) = ( 14 )�

Función inversa (logarítmica)

log( 12 )�

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MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

𝑥 𝑔(𝑥) = ( 12 )𝑥 𝑦 𝑥 𝑓(𝑥) = log 1

2𝑥 𝑦

3. Realiza las gráficas de la función 𝑔(𝑥) = ( 12 )𝑥 y su inversa en el mismo gráfico.

9

MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 3

¿Cómo distinguir una función exponencial de una función logarítmica?

1. Grafica las siguientes funciones exponenciales y su función inversa.

• 𝑓(�) = 2� y h(�) = log2𝑥

� 𝑓(�) = 2� �

𝑓(-2) = 2-2

𝑓(-1) = 2-1

𝑓(0) = 20

𝑓(1) = 21

𝑓(2) = 22

� h(�) = log2𝑥 �

𝑓(�) = 2� h(�) = log2𝑥

Determina en cada una de ellas:𝑓(�) = 2� h(�) = log2𝑥

Crecimiento o decrecimiento¿Cuáles son los ejes de las asíntotas?DominioRecorrido¿Pasan por el punto (0,1) o (1,0)?¿Son inversas?

10

MATEMáTICASEMANA 4

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

2. Grafica las siguientes funciones exponenciales y su función inversa.

• 𝑓(�) = ( 13 )� y h(�) = log 1

3 𝑥

� 𝑓(�) = ( 13 )� �

𝑓(-3) = ( 13 )-3

𝑓(-2) = ( 13 )-2

𝑓(0) = ( 13 )0

𝑓(3) = ( 13 )3

� h(�) = log 13 𝑥 �

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MATEMáTICASEMANA 4

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

El día de hoy comenzaremos a conocer la función logarítmica, pero antes de iniciar recordaremos qué es un logaritmo, lo que nos permitirá identificar algunas de sus propiedades.

Observa:

• 25=�, la incógnita se encuentra en el resultado ⟹ Potencia, y para resolverlo se multiplica la base tantas veces como indica el exponente 2·2·2·2·2 ⟹ �=32

• �5=32, el término desconocido es la base ⟹ Raíz, que se expresa como 325 = �, y para encontrar el valor de �, se identifica el número que multiplicado 5 veces por sí mismo es igual a 32, entonces 32

5 = 2• 2�=32, el término desconocido se encuentra en el exponente ⟹ Logaritmo, que se

expresa como log2 32=�, y para encontrar el valor buscado se debe establecer cuántas veces multiplico 2 para obtener 32, log2 32=5

Entonces, un logaritmo se expresa como:

log� � = � que viene de �� = b

Las partes de log� � = �, son

�⟹ base del logaritmo, donde � debe ser mayor que 0 y ≠1

�= argumento, el que debe ser mayor que 1

�= el número al que hay que elevar la base para obtener el argumento

Ejemplos• Encuentra el valor de � y escribe en forma de logaritmo:

3� = 81

(10)� = 1000

8� = 18

6� = 216

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA

log3 81= 𝒙 ⟹ 𝒙 = 4

log10 1000= 𝒙 ⟹ 𝒙 = 3

log8 18 = 𝒙 ⟹ 𝒙 = -1

log3 81 = 𝒙 ⟹ 𝒙 = 3

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MATEMáTICASEMANA 4

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

• Calcula el valor de � de los siguientes logaritmos:

Ejemplo log2 8 = � ⟹ 2� = 8 ⟹ � = 3log3 27 = � 𝒙 = 3

log2 26 = � 𝒙 = 6

log3 34 = � 𝒙 = 4

log7 7 = � 𝒙 = 1

log𝑝 𝑝 = � 𝒙 = 1

log12 8 = � 𝒙 = -3

log 10 = � 𝒙 = 1

• Expresa en forma exponencial las siguientes funciones logarítmicas:

log5 25 5𝒙 = 25 ⟹ 𝒙 = 2

log2 16 2𝒙 = 16 ⟹ 𝒙 = 4

log2 14 2𝒙 = 14 ⟹ 𝒙 = -2

log2 (2�+6)=4 24 = 2𝒙 + 6 ⟹ 𝒙 = 5

log2 1 2𝒙 = 0 ⟹ 𝒙 = 0

log3 (� + 1)=3 33 = 𝒙 + 1 ⟹ 𝒙 = 8

log2 27 2𝒙 = 27 ⟹ 𝒙 = 7

• Marca la alternativa correcta.1. log2 8-log3 9

a) -1

b) 1

c) 0

d) 1

e) 4

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MATEMáTICASEMANA 4

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

2. log2 8·log3 1

a) 4

b) 3

c) 0

d) 8

e) 9

3. log81 9

a) 2

b) 1

c) 12d) - 1

2e) -1

4. Si �= log3 9, entonces log3 81 es igual a:

a) 2�

b) �2

c) 4�

d) 3�

e) 𝒂4

5. El valor de la expresión log 100+log2 128-log5 625 es:

a) 10

b) 5

c) -10

d) -5

e) 3

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MATEMáTICASEMANA 4

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 2

Comprender que una función logarítmica es la función inversa de una función exponencial.

Así como la operación inversa de la adición (sumar) es la sustracción (restar), o como la operación inversa de la multiplicación es la división, la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial.

La función exponencial 𝑓(�)= 3� se puede representar en forma gráfica y evaluar algunas de sus características.

𝑥 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑦 (𝑥,𝑦)

-1 𝑓(-1) = 3(-1) 13 (-1, 13 )

0 𝑓(0) = 3(0) 1 (0,1)

1 𝑓(1) = 3(1) 3 (1,3)

2 𝑓(2) = 3(2) 9 (2,9)

Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥

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MATEMáTICASEMANA 4

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

2,5

2

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Grafiquemos la función h(�)=log3 �, con � > 0

� h(�) = log3 � � (�, �)

3-1 h(-1) = log3 -1 -1 ( 13 , -1)

30 h(0) = log3 1 0 (1,0)

31 h(1) = log3 1 1 (3,1)

32 h(2) = log3 2 2 (9,2)

Gráfico de la función h(�) = log3 �

h(�) = log3 �

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SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

Resumiendo:

Algunos de los pares ordenados en la función exponencial 𝑓(𝑥) = 3𝑥 son

𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⟹(-1, 13 ) ; (0,1) ;(1,3) ;(2,9)

Y algunos los pares ordenados en la función logarítmica h(�) = log3 � son

h(�) = log3 � ⟹ (13 ,-1) ;(1,0) ;(3,1) ;(9,2)

Los pares ordenados de la función exponencial 𝑓(𝑥) = 3𝑥 son de la forma (�,�) y los pares ordenados en la función logarítmica h(�) = log3 � son de la forma (�,�).

Como podrás ver, la función logarítmica hace el camino inverso a la función exponencial, lo que significa que esta es la función inversa a la función exponencial.

1. ¿Cuál es la función inversa de cada una de las funciones que se señalan a continuación?

Función exponencial Función inversa (logarítmica)

𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⟹ log3𝒙

𝒈(𝒙) = ( 12 )𝒙 ⟹ log( 12 )

�

h(�) = ( 14 )� ⟹log 1

4𝒙

2. Determina tres pares ordenados para cada una de las funciones y sus inversas.

Función exponencial

𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⟹ (-1, 13 ) (0,1) (1,3)

𝒈(𝒙) = ( 12 )𝒙 ⟹ (-1,2) (0,1) (1, 12 )

h(�) = ( 14 )� ⟹ (-1,4) (0,1) (1,14 )

Función inversa (logarítmica)

log3𝒙 ⟹ (13 , -1) (1,0) (3,1)

log( 12 )� ⟹ (2,-1) (1,0) ( 12 ,1)

log 14

𝒙 ⟹ (4,-1) (1,0) ( 14 ,1)

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MATEMáTICASEMANA 4

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

𝑥 𝑔(𝑥) = ( 12 )𝑥 𝑦

-2 ( 12 )-2 4

-1 ( 12 )-1 2

0 ( 12 )0 1

1 ( 12 )1 1

2

2 ( 12 )2 1

4

𝑥 𝑓(𝑥) = log 12

𝑥 𝑦

14 log 1

2( 14 ) 2

12 log 1

2( 12 ) 1

1 log 12

1 0

2 log 12

2 -1

4 log 12

4 -2

3. Realiza las gráficas de la función 𝑔(𝑥) = ( 12 )𝑥 y su inversa en el mismo gráfico.

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SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 3

¿Cómo distinguir una función exponencial de una función logarítmica?

1. Grafica las siguientes funciones exponenciales y su función inversa.

• 𝑓(�) = 2� y h(�) = log2𝑥

� 𝑓(�) = 2� �

-2 𝑓(-2) = 2-2 0,25

-1 𝑓(-1) = 2-1 0,5

0 𝑓(0) = 20 1

1 𝑓(1) = 21 2

2 𝑓(2) = 22 4

� h(�) = log2𝑥 �

0,25 -2

0,5 -1

1 0

2 1

4 2

𝑓(�) = 2� h(�) = log2𝑥

Determina en cada una de ellas:𝑓(�) = 2� h(�) = log2𝑥

Crecimiento o decrecimiento Creciente Creciente¿Cuáles son los ejes de las asíntotas? Eje 𝒙 Eje 𝒚Dominio Los números reales (ℝ) Los números reales (ℝ)Recorrido Los números reales mayores que cero Los números reales mayores que cero¿Pasan por el punto (0,1) o (1,0)? (0,1) (1,0)¿Son inversas? Son inversas

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-3 -2 -1 0 1 2 3

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MATEMáTICASEMANA 4

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

2. Grafica las siguientes funciones exponenciales y su función inversa.

• 𝑓(�) = ( 13 )� y h(�) = log 1

3 𝑥

� 𝑓(�) = ( 13 )� �

-3 𝑓(-3) = ( 13 )-3 27

-2 𝑓(-2) = ( 13 )-2 9

0 𝑓(0) = ( 13 )0 1

3 𝑓(3) = ( 13 )3 1

27

� h(�) = log 13 𝑥 �

27 -3

1 0

9 -2

127 3

𝑓(�) = ( 13 )� h(�) = log 1

3 𝑥