Considera o polinómio ( ) = − + −4 36 2 6P x x x x .

Recorrendo à regra de Ruffini determina o quociente e o resto da divisão inteira de ( )P x

pelo polinómio:

1.1. + 2x

1.2. −2 2x

Considera os polinómios do tipo 3 2 3 x ax x b , a , b− + − + ∈ℝ .

2.1. Determina os valores de a e de b para que o polinómio dado seja divisível por +1x

e dividido por − 2x dê resto 3 .

2.2. Considera = 3a e = 1b e mostra que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 .

Na figura está representada uma função f em que a expressão algébrica é o polinómio

− − +3 22 3 3 2x x x , ou seja, ( ) = − − +3 22 3 3 2f x x x x .

Sabe-se que o ponto ( )2 0, pertence ao gráfico de f .

3.1. Decompõe ( )f x em fatores de grau não superior ao primeiro.

3.2. Resolve a inequação ( ) < 0f x .

Aluno N.º Turma Data - -

1

2

3

1.1. Divisor: + 2x

Designando por Q e R o quociente e o resto,

respetivamente, obtém-se:

( ) ( ) ( )= + +2 P x x Q x R

( ) = − + −3 28 16 30Q x x x x e = 54R

1.2. Divisor: ( )− = −2 2 2 1x x .

Neste caso, ( ) ( ) ( )= − +2 1 P x x Q x R

( ) ( ) ( )= − − − − −3 21 5 5 3 9P x x x x x

Então, ( ) = − − −3 22 5 5 3Q x x x x § ( ) = − − −3 21 5 5 3

2 2 2 2Q x x x x ; = −9R

2.1.

( ) ( ) ( )− − + − − − + =− + × − × + =

3 2

3 2

1 1 3 1 0

2 2 3 2 3

a b

a b §

+ + + =− + − + =

1 3 0

8 4 6 3

a b

a b §

= − −

+ =

4

4 17

b a

a b §

§ = − −

− − =

4

4 4 17

b a

a a §

= − −

=

4

3 21

b a

a §

= −

=

11

7

b

a

2.2. ( )− + − + = − −33 23 3 1 1x x x x

Conclui-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 .

3.1. Sabe-se que ( ) =2 0f .

( ) ( ) ( )= − + −22 2 1f x x x x

cálculo auxiliar: + − =22 1 0x x § − ± +=

1 1 8

4x

§ = − ∨ =1

12

x x

( ) ( ) ( ) = − + −

12 2 1

2f x x x x , ou seja, ( ) ( ) ( ) ( )= − + −2 1 2 1f x x x x

3.2.

( ) < 0f x § 1

-1 22

x , , ∈ −∞ ∪

1 - 6 0 2 - 6

- 2 - 2 16 - 32 60

1 - 8 16 - 30 54

1 - 6 0 2 - 6

1 1 - 5 - 5 - 3

1 - 5 - 5 - 3 - 9

- 1 3 - 3 1

1 - 1 2 - 1

- 1 2 - 1 0

1 - 1 1

- 1 1 0

1 - 1

- 1 0

2 - 3 - 3 2

2 4 2 - 2

2 1 - 1 0

x - ? -1 1

2 2 + ?

− 2x - - - - - 0 +

+1x - 0 + + + + +

−2 1x - - - 0 + + +

( )f x - 0 + 0 - 0 +

1

2

3