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Programa Académico Preparatorio PAP Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media Curso de Matemáticas “Lógica Matemática” Profesor Pedro Comelli

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Lógica Matemática es útil para comprender las problemas que se presentan en el desarrollo del curso.

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  • Programa Acadmico Preparatorio

    PAP

    Escuela de Formacin de Profesores de

    Enseanza Media

    Curso de Matemticas

    Lgica Matemtica

    Profesor Pedro Comelli

  • Lgica Matemtica

    La lgica es el estudio del razonamiento; estudia los mtodos, procedimientos y

    tcnicas que nos permiten distinguir el razonamiento correcto del incorrecto

    El Clculo Proposicional, se aplica en expresiones que pueden se verdaderas o

    falsas, y resulta til para muchas aplicaciones en computacin, entre las que

    podemos citar, anlisis de circuitos, anlisis y confiabilidad de sistemas mediante

    rboles lgicos, diversas aplicaciones de solucin a problemas de planeacin, etc.

    En la vida diaria, podemos resolver determinados problemas usando simplemente

    lgica (razonamiento). Tratemos de resolver los siguientes ejemplos:

    1) Ana, Beatriz y Carmen son deportistas. Una es tenista, otra gimnasta y otra

    nadadora. La gimnasta, la ms baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de

    Beatriz, es ms alta que la tenista. Qu deporte practica cada una?

  • 2) ngel, Boris, Csar y Diego se sentaron a beber. El que se sent a la izquierda

    de Boris, bebi agua. ngel estaba frente al que beba vino. Quien se sentaba a la

    derecha de Diego beba ans. El del caf y el del ans estaban frente a frente.

    Cul era la bebida de cada hombre?

    En el clculo proposicional, hacemos uso de PROPOSICIONES, cuya

    caracterstica fundamental es que son expresiones o enunciados con sentido y

    que pueden ser catalogados como falsos o verdaderos. La verdad o falsedad de

    un enunciado se llama su VALOR DE VERDAD.

  • Los principios fundamentales de la lgica son:

    1) Principio de no contradiccin Un enunciado no puede ser verdadero y falso al

    mismo tiempo

    2) Principio del tercer excluido Un enunciado slo puede ser verdadero o falso.

    Ejemplos de proposiciones:

    1. 9 es un nmero impar

    2. 4 es mltiplo de 3

    3. Un cuadrado tiene 3 lados iguales

    4. La tierra es redonda

    5. Centroamrica est en Europa

  • Ejemplos de enunciados que no son proposiciones:

    1. Cmo te llamas?

    2. Hasta pronto.

    3. corran!

    4. Ella vive en Suiza

    Si una proposicin contiene uno o varios sujetos y un predicado que afirma algo

    sobre dichos sujetos, entonces decimos que es una proposicin simple.

    Toda proposicin simple est dada en forma afirmativa, pero esto no significa que

    siempre deber ser verdadera. Las proposiciones 2 y 3 estn dadas en forma

    afirmativa, pero sus valores de verdad son falsos.

    4 es mltiplo de 3

    Un cuadrado tiene 3 lados iguales

    En general, las proposiciones de la 1 a la 5 son llamadas PROPOSICIONES

    SIMPLES, (slo constan de un enunciado).

    9 es un nmero impar

    4 es mltiplo de 3

    Un cuadrado tiene 3 lados iguales

    La tierra es redonda

  • Cuando las proposiciones constan de dos o ms proposiciones simples, unidas

    mediante uno o ms de los conectivos u operadores lgicos y, o,

    si.entonces, si y solo si entonces reciben el nombre de

    PROPOSICIONES COMPUESTAS.

    EJEMPLO:

    1. Antigua est en Guatemala y Guatemala est en Centroamrica

    2. 7 + 5 = 12 si y solo si 12 5 = 7

    3. Si un tringulo es rectngulo, entonces uno de sus ngulos mide

    90grados.

  • Los enunciados se denotarn por las letras p, q, r, s....etc, las cuales se conocen

    como letras proposicionales.

    CONJUNCIN: p q (se lee p y q o si p y q )

    Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra Y.

    Para formar un enunciado compuesto. La conjuncin se denota simblicamente

    por .

  • El valor de verdad del enunciado compuesto p q ser verdadero solamente si p

    y q son verdaderas, en otro caso el valor de verdad de p q ser falso.

    Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:

    Ejemplo:

    Sean los enunciados:

    p: 5 es un nmero natural impar

    q: 3 + 2 = 6

    p q : 5 es un nmero natural impar y 3 + 2 = 6.

    DISYUNCIN: p q (se lee si p o q )

    Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra o

    para formar un enunciado compuesto. La disyuncin se denota simblicamente

    por .

  • p q p q

    V V V

    V F V

    F V V

    F F F

    El valor de verdad del enunciado compuesto p q ser falso solamente si p o

    q son falsas, en otro caso el valor de verdad de p q ser verdadero. Este o es

    inclusivo, es decir si p es verdadera o q es verdadera o ambas son verdaderas,

    el enunciado compuesto ser verdadero.

    Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:

    Ejemplo:

    Sean los enunciados:

    p: 7 es divisor de 9

    q: 7 es divisor de 14

    El valor de verdad del enunciado compuesto del ejemplo anterior es

    VERDADERO, pues el primer enunciado es falso y el segundo verdadero, y solo

  • sera FALSO si ambos enunciados fueran falsos, de acuerdo al conectivo lgico

    utilizado.

    Se puede interpretar como: 7 es divisor de 9 o de 14 o de ambos.

    Existe tambin un o exclusivo, el cual como su nombre lo indica, excluye la

    posibilidad de que las dos proposiciones se cumplan.

    En la proposicin compuesta 2 es un nmero par o impar, slo una de las dos

    proposiciones puede cumplirse.

    BICONDICIONAL: p q (se lee p si y solo si q )

    Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra si y

    solo si para formar un enunciado compuesto. La bicondicionalidad se denota

    simblicamente por

    El valor de verdad del enunciado compuesto p q ser verdadero solamente

    si p es verdadera y q es verdadera, o si p es falsa y q es falsa; en otro caso el

    valor de verdad de p q ser falso..

    Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:

  • Ejemplo:

    Sean los enunciados:

    p: Guatemala es un pas de Centroamrica

    q: 3 + 2 = 6

    El valor de verdad del enunciado compuesto del ejemplo anterior es FALSO, pues

    el primer enunciado es verdadero y el segundo falso, y es el nico caso en el cual

    el enunciado compuesto puede ser falso utilizando este conectivo.

    BICONDICIONAL: p q (se lee p si y solo si q )

    Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra si y

    solo si para formar un enunciado compuesto. La bicondicionalidad se denota

    simblicamente por .

    p q p q

    V V V

    V F F

    F V F

    F F V

  • El valor de verdad del enunciado compuesto p q ser verdadero solamente si

    p es verdadera y q es verdadera, o si p es falsa y q es falsa; en otro caso el valor

    de verdad de p q ser falso.

    Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:

    Ejemplo:

    Sean los enunciados:

    p: 5 es un nmero primo

    q: 8 15

  • El valor de verdad del enunciado compuesto del ejemplo anterior es FALSO,

    pues el primer enunciado es verdadero y el segundo falso.

    NEGACIN: p (se lee es falso que p o no es cierto que p

    o no p)

    Dado un enunciado p, se puede formar otro enunciado que se llama negacin de

    p. La negacin se denota simblicamente por .

    Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma

    EJEMPLO:

    Sea el enunciado:

    p: Guatemala es un pas de Centroamrica

    p: Guatemala no es un pas de Centroamrica,

    No es cierto que Guatemala sea un pas de

    Centroamrica.

    ANLISIS PROPOSICIONAL

    VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

    Los valores de verdad de una proposicin compuesta dependen de los valores de

    verdad de las proposiciones simples que la conforman.

  • EJEMPLO

    Sean las proposiciones:

    p: Atitln es un lago de Guatemala

    q: Guatemala est en Europa

    r: Europa est en Centroamrica

    Determine el valor de verdad del enunciado compuesto siguiente:

    (p q r) (p r)

    Si describimos verbalmente este enunciado compuesto, dir: Si Atitln es un lago

    de Guatemala y Guatemala est en Europa, entonces Europa est en

    Centroamrica, o Atitln es un lago de Guatemala si y solo si Europa no est en

    Centroamrica

    Por simples conocimientos generales, podemos afirmar que p es verdadera, q es

    falsa y r es falsa. Partiendo de estos valores de verdad, realizamos lo siguiente:

  • En esta proposicin compuesta observamos el uso de signos de agrupacin

    (parntesis). Algunas proposiciones compuestas ms complejas hacen uso de

    ms signos de agrupacin, como corchetes y llaves { }. El orden en que se

    trabajarn ser, de adentro hacia fuera.

    TABLAS DE VERDAD

    Son un instrumento que nos permite mostrar de una manera simple la relacin de

    una proposicin compuesta con los valores de verdad de sus proposiciones

    simples, tomando en cuenta todas las posibles alternativas en cuanto a la

    combinacin de sus valores de verdad, pues lo mismos se desconocen.

    Las primeras columnas de la tabla estarn formadas por las variables p, q, r..... Si

    tenemos 2 proposiciones simples, entonces tendremos 4 filas; si son 3

    proposiciones simples, entonces tendremos 8 filas, y en general, si le llamamos n

    al nmero de proposiciones, entonces el nmero de filas que obtendremos es 2n,

    dnde 2 es una base constante (nunca cambia) y n es el exponente al cual

    estar elevada esa base.

  • Despus, contaremos con varias columnas para cada paso sucesivo del clculo

    del valor de verdad que se busca para la proposicin, valor que aparecer en la

    ltima columna.

    Ejercicio

    Hallar la tabla de verdad de la proposicin: p q

    Pasos:

    1) Tomar en cuenta todas las posibles combinaciones de valores de verdad

    para p y q, por medio de la frmula 2n ( 22 = 4)

    2) Obtener la columna p (negar p)

    3) Formar la conjuncin p q

  • Como los valores de la ltima columna no son o todos verdaderos o todos falsos,

    sino que son una combinacin de ambos, entonces se dice que el enunciado

    compuesto p q es una CONTINGENCIA.

    Hallar la tabla de verdad de la proposicin:

    (p q) (p q )

    Podemos observar que en la ltima columna, todos los valores son verdaderos.

    Por lo tanto, el enunciado compuesto (p q) (p q ) es una TAUTOLOGA.

    Cuando todos los valores de la ltima columna son falsos, entonces el enunciado

    compuesto que dio origen a este resultado es una CONTRADICCIN.

    PROPOSICIONES EQUIVALENTES

  • Dos proposiciones son lgicamente equivalentes si los resultados que se obtienen

    en la ltima columna de cada tabla de verdad correspondiente son idnticos.

    El smbolo se lee es lgicamente equivalente a.

    Ejemplo

    p q r p q ( p q) r

    V V V V V

    V V F V F

    V F V F F

    V F F F F

    F V V F F

    F V F F F

    F F V F F

    F F F F F

  • Se puede observar que las dos ltimas columnas son idnticas, por lo que

    las proposiciones son lgicamente equivalentes.

    PROPOSICIN ABIERTA

    Es una proposicin que carece de significado hasta que la a la variable que la

    conforma se le asignan determinados valores.

    Por ejemplo, la proposicin x es mayor que 5, definida en el campo de los

    nmeros naturales es abierta, pues slo podr saberse si es falsa o verdadera,

    dependiendo del valor que tome x. Si x vale 6, la proposicin es verdadera. Si x

    vale 3, la proposicin es falsa.

    p q r q r p (q r)

    V V V V V

    V V F F F

    V F V F F

    V F F F F

    F V V V F

    F V F F F

    F F V F F

    F F F F F

  • A los enunciados abiertos que contienen variables algebraicas se les denomina

    funcin proposicional, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al

    sustituirse la variable por una constante especfica.