manual docente - inacap.cl

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UNIDAD TRIGONOMETRÍA

MANUAL DOCENTE

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2016

MANUAL DOCENTE

“VECTORES Y MATRICES”

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

UNIDAD VECTORES Y MATRICES EDICIÓN 2019 Creación Lorena Rosas Toro Germán Osses Romano Dirección Alejandro García Miño EDICIÓN 2020 Creación Bernardita Pérez Ureta Validación María Verónica Fernández Dirección Alejandro García Miño Juan Pablo Vargas

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

PRESENTACIÓN MATEMÁTICA tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que busca promover en los estudiantes el desarrollo del razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. El MANUAL DOCENTE “VECTORES Y MATRICES” ofrece una variedad de problemas y ejercicios asociados a los objetivos de aprendizaje presentes en la unidad de Vectores y Matrices presente en el programa de la asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el trabajo del docente. Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el estudiante como para el docente.

Éxito en esta etapa de la asignatura

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

VICERRECTORÍA ACADÉMICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – 2020

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

VECTORES Y MATRICES Seguramente pensarás que la historia de los vectores es previa a la historia de las matrices, porque las matrices pueden representar un conjunto de vectores; sin embargo, no es así, la historia de las matrices es mucho más antigua a la aparición de vectores. La primera aparición de una representación matricial de la cual se tiene registro es entre los años 200 y 100 a.C. en China, en el libro "Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático", escrito durante la dinastía Han, donde se expone el primer ejemplo conocido de método matricial (arreglo cuadrado) para resolver un problema lineal, sin embargo, se tienen algunos registros aún más antiguos en esta cultura donde se utilizaba esta representación para la resolución de cuadrados mágicos (650 a.C.)

Fig. 1 Placa de hierro con un cuadrado mágico

de orden 6 de la dinastía Yuan (1271–1368)

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término “matriz”, muchísimo más adelante en la historia de las matemáticas, en 1848 y 1850 en dos memorias, al respecto menciona: “He definido en una publicación anterior una "Matriz" como una sucesión rectangular de términos de la que distintos sistemas de determinantes pueden engendrarse, como del útero de una misma madre…” y utiliza esta notación para su representación matricial:

{𝑎1, 𝑎2, ……… . , 𝑎𝑛𝑎1, 𝑎2, ……… . , 𝑎𝑛

}

En cambio, los vectores surgieron en las primeras dos décadas del siglo XIX con las representaciones geométricas de números complejos. Caspar Wessel (1745-1810), Jean Robert Argand (1768-1822) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855) concibieron los números complejos como puntos en el plano de dos dimensiones, es decir, como vectores de dos dimensiones. En 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) demostró que los números complejos se podrían considerar como pares de números (a,b). Esta idea era una parte de la campaña de muchos matemáticos, incluyendo al mismo Hamilton, para buscar una manera de ampliar los "números de dos dimensiones" a tres dimensiones. Finalmente, el propio Hamilton introdujo en 1843 el concepto de vector, precisamente como un segmento orientado en el espacio.

http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/files/2017/07/440px-Yuan_dynasty_iron_magic_square.jpg

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

APRENDIZAJES ESPERADOS

Resuelve problemas de la especialidad o disciplina, a través de la aplicación de estrategias propias del uso de vectores y matrices. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Representar geométricamente vectores, considerando el plano y/o el espacio. 2. Operar vectores en el plano o en el espacio, utilizando su representación analítica y/o

gráfica. 3. Calcular la determinante de una matriz cuadrada, a través de diferentes métodos. 4. Aplicar operaciones matriciales básicas necesarias para la solución de situaciones

problemáticas. 5. Determinar matrices inversas, a través de operaciones elementales.

CONTENIDOS

1. Habilidades matemáticas fundamentales. 2. Vectores. 3. Matrices. 4. Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución de

problemas que involucren tópicos de vectores y matrices.

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PLANIFICACIÓN DE UNIDAD UNIDAD: TRIGONOMETRÍA

APRENDIZAJE ESPERADO

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CONTENIDOS HORAS SUGERIDAS

ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS EN EL AULA (A.M.O.)

ACTIVIDADES ON LINE Y EJERCITACIÓN MATEMÁTICA FUERA DEL AULA

Resuelve problemas de la especialidad o disciplina, a través de la aplicación de estrategias propias del uso de vectores y matrices. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

1. Representar geométricamente vectores, considerando el plano y/o el espacio. 2. Operar vectores en el plano o en el espacio, utilizando su representación analítica y/o gráfica. 3. Calcular la determinante de una matriz cuadrada, a través de diferentes métodos. 4. Aplicar operaciones matriciales básicas necesarias para la solución de situaciones problemáticas. 5. Determinar matrices inversas, a través de operaciones elementales.

1. Habilidades matemáticas fundamentales. 2. Vectores. 3. Matrices. 4. Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución de problemas que involucren tópicos de vectores y matrices.

30 horas:

28 horas

clases lectivas

2 horas

evaluación sumativa

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

PROBLEMA 01: - Problema “Recorrido en bicicleta” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación como son el uso de razones trigonométricas, teorema de Pitágoras, entre otros. Orientación: La situación corresponde a una actividad de redescubrimiento, ya que se busca que el estudiante responda a las preguntas utilizando conceptos ya abordados en unidades y cursos anteriores, y en la formalización de los conceptos descubra nuevos asociados a los vectores. Debe ser aplicada previo a toda enseñanza de conceptos relacionados con vectores.

• PROBLEMA 02: - Problema: “Traslado al trabajo” - Visualización de los videos tutoriales de transformación de grados a radianes y configuración de la calculadora. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de profundización de la representación de vectores en forma gráfica y sus características principales (distancia, dirección y sentido) en la que se busca que el estudiante sea capaz de representar un vector en el plano y de comprender el significado del módulo y ángulo de este, un segundo objetivo es que el estudiante logre deducir cómo se suman vectores y cuál es su representación gráfica.

Actividades On Line de Profundización y Ejercitación Matemática. Actividades de Trabajo Autónomo Docente recomienda problemas y/o ejercicios resueltos y propuestos del manual del estudiante para profundizar en su aprendizaje.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 03: - Problema: “Productos con vectores I” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con el producto por un escalar y producto punto. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de las representaciones gráficas del producto por un escalar y el producto punto, y que esto permita determinar los procedimientos de cálculo de cada uno de los productos mencionados. Se sugiere implementar para introducir el producto por un escalar y el producto punto. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 04: - Problema: “Productos con vectores II” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la representación del producto cruz y su módulo. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica del producto cruz, de tal forma de interpretarlo, y de deducir algunas de sus propiedades. Se sugiere antes de ver los contenidos del producto cruz. Duración estimada: 45 minutos aprox.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

• PROBLEMA 05: - Problema: “Cuadrados mágicos” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con los elementos básicos de las matrices. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de construcción del concepto matricial como un arreglo numérico. Se sugiere implementar al inicio de la unidad. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 06: - Problema: “Operando matrices” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la operatoria básica de matrices. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de construcción de las operaciones de multiplicación involucradas en las matrices, el objetivo es que el alumno comprenda los procedimientos involucrados y que comprenda las condiciones para poder multiplicar dos matrices. Se sugiere implementar antes de formalizar los conceptos de multiplicación matricial. Duración estimada: 45 minutos aprox

• PROBLEMA 07: - Problema: “Preparemos un coctel” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la operatoria básica de matrices.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de interpretación de la multiplicación cuando hay un contexto de representación matricial, el objetivo es que el estudiante vaya incorporando estas representaciones para avanzar hacia el modelado de situaciones problemas a través de matrices. Se sugiere implementar en forma posterior a la enseñanza la multiplicación de matrices. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 08: - Problema: “Determinantes” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con el cálculo de determinantes. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de profundización del cálculo de los determinantes de una matriz, asociando la matriz a un sistema de ecuaciones y el valor del determinante a la condición para que tenga o no solución. Se sugiere implementar en forma posterior a la enseñanza de la técnica para obtener el determinante de una matriz. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 09: - Problema: “Códigos Secretos” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la inversa de una matriz. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de profundización del cálculo de la matriz

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

inversa y la relación entre vectores y matrices. Se sugiere implementar en forma posterior a la formalización del cálculo de la matriz inversa. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 10: - Problema: “Operaciones elementales” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con los métodos matriciales de resolución de sistemas de ecuaciones. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de resolución donde los estudiantes deberán utilizar el método de reducción por filas (método de Gauss) para resolver un sistema de ecuaciones. Se sugiere implementar para introducir la resolución de un sistema de ecuaciones. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 11: - Problema: “¿Y dónde está la solución?” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la solución de sistemas de ecuaciones en forma matricial. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de las matrices que representan un sistema de ecuaciones lineales y de la matriz reducida por filas que se obtiene al resolverlo. Se sugiere implementar para profundizar en el tipo de soluciones de un sistema de ecuaciones. Duración estimada: 45 minutos aprox.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

• PROBLEMA 12: - Problema: “Resolviendo en 3D” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la solución de sistemas de ecuaciones en forma matricial. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, del determinante de la matriz principal que representa los coeficientes de 𝑥, 𝑦, 𝑧 del sistema y de la matriz reducida por filas en base a la matriz ampliada del sistema. Se sugiere implementar para continuar el estudio de los sistemas de ecuaciones e integrar tecnologías en su cálculo utilizando los conceptos vistos anteriormente. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 13: - Problema: “Planificando la Construcción” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la solución de sistemas de ecuaciones en forma matricial. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de resolución donde los estudiantes deberán utilizar el método de reducción por filas (método de Gauss) u otro para resolver un sistema de ecuaciones. Se sugiere implementar para profundizar en la resolución de un sistema de ecuaciones en contexto. Duración estimada: 45 minutos aprox.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

Evaluación formativa Orientación: Esta evaluación corresponde a una actividad de tipo formativa, para que tanto el docente como los estudiantes logren visualizar aquellos contenidos que se deben reforzar previos a la evaluación de la unidad. Se sugiere implementar como una actividad de tipo individual y posteriormente el docente deberá realizar la corrección en pizarra de esta evaluación, conversando con los estudiantes las dificultades que se presentaron para reforzar aquellos contenidos. Duración estimada: 45 minutos aprox.

Evaluación Sumativa En esta clase el docente deberá aplicar el instrumento evaluación de la unidad trigonometría, evaluación de tipo sumativa que debe desarrollarse en forma individual. Duración estimada: 90 minutos aprox. Posteriormente a la entrega de resultados el docente deberá corregir esta evaluación con los estudiantes.

ORGANIZACIÓN SUGERIDA PARA LA UNIDAD

A continuación, se muestra una organización de las actividades considerando bloques de 45 minutos cada una.

HORAS HORAS

ACUMULADAS SUB UNIDAD ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA OTRAS ACTIVIDADES

1 1 Representación gráfica de

Vectores y elementos básicos.

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD - A.M.O. N°01

1 2

Vectores: representación gráfica de vectores en IR2, módulo, dirección y

sentido de un vector, vector opuesto.

1 3 Suma de vectores A.M.O. N°02

1 4 Suma de vectores, propiedades del módulo.

1 5 Producto por un escalar y

producto punto representación geométrica

A.M.O. N°03

1 6 Producto por un escalar, producto escalar (producto punto)

1 7 Interpretación gráfica de

Producto cruz A.M.O. N°04

1 8 Producto cruz

1 9 Elementos básicos de

matrices y adición A.M.O. N°05

1 10

Matrices: orden de una matriz, elementos de una matriz, matriz traspuesta, operaciones filas y columnas (cambio de filas y columnas), suma de matrices, resta de matrices.

1 11 Multiplicación de matrices A.M.O. N°06

1 12

Interpretación en situaciones problemáticas de la suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.

1 13 Interpretación de operatoria básica

A.M.O. N°07

1 14 Interpretación de la multiplicación de matrices en contexto

1 15 Determinante A.M.O. N°08

1 16 Análisis del determinante y su relación con la solución de un sistema de ecuaciones

1 17 Matriz inversa A.M.O. N°09

1 18 Matriz inversa

1 19 Matriz reducida por filas

(método de Gauss) A.M.O. N°10

1 20 Matriz reducida por filas (método de Gauss)

VECTORES Y MATRICES

1 21 Resolución de sistemas de

ecuaciones en forma matricial

A.M.O. N°11

1 22 Análisis de la matriz reducida por filas en la resolución de sistemas de ecuaciones.



A.M.O. N°12

1 24 Solución de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas: representación en el espacio y cálculo matricial.



A.M.O. N°13

1 26

1 27 Matrices A.M.O. N°14 EVALUACIÓN FORMATIVA

1 28 Matrices Revisión de evaluación formativa

1 29 Matrices EVALUACION SUMATIVA

1 30 Matrices EVALUACION SUMATIVA

VECTORES Y MATRICES

ACTIVIDADES

MÍNIMAS

OBLIGATORIAS

VECTORES Y MATRICES

ASPECTOS METODOLÓGICOS A CONSIDERAR

Las ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLOGATORIAS (AMO), corresponden a Actividades de Resolución de Problemas

que deben ser realizadas en las clases de matemáticas, idealmente en la sesión que se indica en la planificación.

Cada Actividad de Resolución de Problema contempla un problema matemático y las sugerencias didácticas para

el docente. Estas actividades tienen como objetivo que los estudiantes hagan matemática, se enfrenten a

situaciones nuevas, y desarrollen sus habilidades de comunicación y trabajo colaborativo, entre otros. Además,

están diseñadas para permitir la construcción de conocimientos o bien, la profundización de algún contenido de

manera que los estudiantes puedan fortalecer y establecer nuevas relaciones que potencien su comprensión. Es

importante señalar que el elemento central es el problema, que lo entendemos como “una actividad

matemática para la cual la persona que la enfrenta no conoce un procedimiento que le conduzca a la solución”.

Antes de la implementación de cada una de estas actividades se debe realizar lo siguiente:

Es importante señalar que el profesor debe resolver el problema previamente a la clase, conocer al

menos una estrategia que permita llegar a la solución del problema.

Revisar las sugerencias didácticas del problema que contemplan algunas de las posibles estrategias de

solución, preguntas que permiten activar u orientar el trabajo de los estudiantes, simplificaciones y

extensiones del problema.

La implementación de una Actividad de Resolución de Problemas comienza con la formación de grupos de forma

aleatoria para favorecer el trabajo colaborativo. Si el curso no supera los 20-25 estudiantes, se proponen grupos

de 3 integrantes, y en caso de un número mayor se propone formar grupos de 4 integrantes. En esta actividad,

los estudiantes trabajan en grupo y con el apoyo del docente, quién fomenta el trabajo autónomo y colaborativo

de los estudiantes por sobre el individual. Desde que se entrega el problema a los estudiantes hasta que lo

resuelven, el docente da la oportunidad para que cada grupo encuentre la solución, interactuando con ellos con

preguntas orientadoras y sin dar la solución a los estudiantes. Decimos que un grupo ha resuelto el problema

cuando cada uno de sus integrantes comprende la estrategia de resolución y es capaz de explicarla, por tanto,

si un estudiante del grupo no comprende ni puede explicar la solución, el problema no ha sido resuelto. Lo que

se espera es que todos los grupos sean capaces de resolver el problema. Para finalizar la actividad, el docente

organiza una plenaria donde los estudiantes explican sus soluciones a sus compañeros/as, durante unos 10 a 15

minutos.

Para la implementación de cada Actividad de Resolución de Problemas se deben realizar algunas prácticas

pedagógicas que promueve la metodología ARPA y se organizan en los siguientes momentos o etapas:

Entrega: aquí el docente organiza los grupos al azar, motiva la participación, el trabajo colaborativo y la

autonomía de los grupos, entrega el problema en una hoja a cada estudiante, los estudiantes leen el problema.

No es recomendable que docente o algún estudiante lea el problema en voz alta.

Activación: en esta etapa los grupos comienzan a trabajar en el problema, la interacción con el docente es

principalmente en base a preguntas, en las sugerencias didácticas encontrará algunas propuestas (preguntas de

activación), las que tienen por objetivo activar el trabajo de los estudiantes y favorecer la interacción entre ellos.

Si un grupo no logra avanzar en la resolución del problema a pesar de que el docente hizo preguntas de

VECTORES Y MATRICES

activación, se le puede entregar una simplificación que es un problema que mantiene la esencia del original pero

de menor dificultad.

Consolidación: en esta etapa los estudiantes han resuelto el problema o creen haberlo hecho, ante lo cual

llamarán al docente para dar a conocer su trabajo. El docente se debe cerciorar que todos puedan explicar el

procedimiento y puedan justificar sus acciones (por ejemplo, el docente puede pedir a un estudiante que

explique la primera parte de la solución y a otro estudiante la parte final). Si en esta interacción el docente nota

que la solución del grupo es errada, debe plantear preguntas que permitan al grupo darse cuenta y salir del

error. Por otro lado, si el docente se cerciora que el problema ha sido correctamente resuelto o si todos

comprenden, el docente puede hacer una extensión (un problema de mayor dificultad que el problema original,

para que los estudiantes profundicen o generalicen), las que también se proponen en las sugerencias didácticas.

No es necesario que todos los grupos alcancen las preguntas de extensión.

Discusión (o Plenaria): este espacio está destinado para que los estudiantes presenten al curso las diferentes

estrategias y soluciones, promoviendo la reflexión y discusión entre los estudiantes. Deje el espacio para que

sean ellos los que expliquen y argumenten, usted puede realizar preguntas que permitan la discusión

(encontrará propuestas en las sugerencias didácticas). Se recomienda seleccionar los estudiantes para presentar

desde la estrategia más simple a la óptima y que permite profundizar y generalizar.

VECTORES Y MATRICES

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°00

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD TIEMPO ESTIMADO: 15 MINUTOS. El docente deberá realizar una presentación de la Unidad, mencionando sus objetivos, contenidos, criterios de

evaluación y aspectos históricos epistemológicos que están presenten desde sus orígenes. Además, deberá

indicar la estrategia metodológica para el logro de los aprendizajes esperados, unido a otros aspectos que

considere relevantes de comunicar a los estudiantes. Posteriormente presenta y da inicio a la A.M.O 01.

Se recomienda que antes de comenzar la ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA Nº01, el docente genere en el aula,

la distribución de grupos al azar de 3 a 4 estudiantes, para comenzar con el trabajo de resolución de problemas

después de la presentación.

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 01: RECORRIDO EN BICICLETA

Andrés hoy decidió ir en bicicleta a su Universidad, en las representaciones se muestra el recorrido de ida y

vuelta que Andrés realizó en km.

Recorrido de ida Recorrido de vuelta

¿Qué diferencias e igualdades puedes observar en los vectores representados?

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA RECORRIDO EN BICICLETA

TIEMPO ESTIMADO 45 minutos.

CONOCIMIENTOS PREVIOS Teorema de Pitágoras, distancia entre dos puntos, razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Números complejos, trigonometría, geometría en el plano.

CONOCIMIENTO MATEMÁTICO (CONSTRUIR – PROFUNDIZAR)

Construir el concepto de vector y la representación gráfica de vectores en IR2, módulo, dirección y sentido de un vector, vector opuesto.

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: La situación corresponde a una actividad de redescubrimiento, ya que se busca que el estudiante responda a las preguntas utilizando conceptos ya vistos en unidades y cursos anteriores, y en la formalización de los conceptos descubra nuevos asociados a los vectores. Debe ser aplicada previo a toda enseñanza de los conceptos relacionados con vectores ya que el objetivo es que el estudiante con la actividad relacione conceptos previos de trigonometría, teorema de Pitágoras u otros con los conceptos de vectores a formalizar en forma posterior. Las preguntas se abocan a la representación de vectores en el plano, sentido de un vector, distancia y dirección. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes: Pueden calcular las distancias que recorren cada vector utilizando Pitágoras o razones trigonométricas y con esto observar que ambos vectores recorren la misma distancia. Por lo tanto, deberán observar diferencias entre su dirección y sentido pero no del módulo. Pues la dirección la indica el ángulo y la flecha el sentido. Podrían trasladar los vectores para que quede uno sobre el otro y así compararlos. Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

1) Traslada los vectores para que su punto de inicio sea el (0,0) 2) ¿Cuántas unidades hacia el lado separan al punto final del punto de inicio de la representación? ¿y

hacia arriba? 3) ¿Las distancias recorridas son iguales o distintas? ¿Cómo lo puedes comprobar? 4) ¿La ubicación de la flecha indica lo mismo en cada caso? 5) Marca el ángulo a partir del eje x hasta llegar a la flecha ¿Son iguales? ¿cómo puedes obtener sus

valores? Preguntas sugeridas para la extensión del problema:

1) A partir de las coordenadas en el plano cartesiano establece una fórmula que te permita calcular la distancia que recorre un vector.

2) A partir de las coordenadas en el plano cartesiano establece una fórmula que te permita obtener en forma lo más precisa posible (que no sea “al ojo”) la dirección de un vector.

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 02: TRASLADO AL TRABAJO

En la siguiente tabla se muestra el traslado que Javier debe realizar todas las mañanas para ir a su trabajo:

Javier

Bus que debe tomar Distancia recorrida Dirección

bus de la línea 1 2 km 0°


Si para volver a su hogar hay un bus que lo lleva directamente desde su trabajo hasta el primer punto donde

inicia el recorrido por la mañana. ¿Cuál es la distancia recorrida al volver y qué relación tiene esto con las

coordenadas de los vectores?

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA TRASLADO AL TRABAJO


CONOCIMIENTOS PREVIOS Magnitud, dirección y sentido de un vector

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Números complejos


Construir la suma de vectores y algunas propiedades del módulo.


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de profundización en la que es primordial que el estudiante sea capaz de representar un vector en el plano y de comprender el significado del módulo y ángulo de este, un segundo objetivo es que el estudiante logre deducir cómo se suman vectores y cuál es su representación gráfica. Las preguntas se abocan a la representación gráfica de vectores, propiedades del módulo de un vector, representación de la suma de vectores y deducir esta operación. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes: El estudiante podría representar los vectores en el plano como se muestra a continuación, determinado sentido del desplazamiento (Este, Noreste), la distancia total recorrida de 7 km. En este caso el estudiante deberá podría los módulos de cada uno de los vectores que forman el traslado hacia el trabajo para obtener la distancia total recorrida. En este caso es importante que el docente al momento de formalizar haga la diferencia entre la distancia total recorrida y el desplazamiento total. La representación del traslado es:

La relación entre la distancia recorrida al volver y las coordenadas de los vectores es que al sumarlos obtenemos un vector cuyo módulo es la distancia total recorrida al volver.

Javier: 6.4 km aprox. (2,0) + (3; 4) = (5;4) En este caso es importante que el docente relacione el módulo del vector suma, pero que haga hincapié en que no representa el vector suma ya que el vector de vuelta a casa tiene sentido contrario y por lo tanto sus coordenadas no representan al vector suma, sino al vector opuesto. Esto se puede reforzar con la representación del vector vuelta a casa.

VECTORES Y MATRICES

Representación del vector vuelta a casa. (vector w)

Otra estrategia que podría utilizar el estudiante es determinar magnitud, ángulo y sentido trabajando con las características del vector sin representarlos gráficamente. Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

1) ¿Cómo se determina el ángulo de un vector? ¿qué datos necesitas? 2) ¿Cómo se calcula la distancia que recorre un vector? ¿qué datos necesitas? 3) ¿Dónde queda representado un vector que respecto al eje x tiene un ángulo de: 45°? 4) Si un vector no parte del origen del plano cartesiano (0,0) ¿el ángulo deja de medirse respecto del

eje x? 5) ¿cuál sería el vector punto donde toma la línea uno hasta llegar al trabajo?

Preguntas sugeridas para la extensión del problema:

1) Si hacen una línea de metro que pasa por el punto de inicio de su recorrido y llega directamente a su trabajo. a) Representa el vector de este nuevo traslado. b) ¿Cómo se relaciona este nuevo vector con los vectores anteriores de traslado al trabajo? c) ¿Tiene alguna relación este nuevo vector con el vector que representaba la vuelta a su hogar?

2) Javier tiene dos compañeros María y Carlos, cuyos traslados al trabajo son los que se muestran en las tablas:

María




Carlos


metro 7 km 90°

bus línea 3 500 m 270°

Responde las mismas preguntas realizadas respecto del traslado de Javier y compara lo obtenido.

3) Si restas los vectores que representan los recorridos iniciales que realiza cada persona para llegar a su trabajo, de la misma forma que realizaste la suma de vectores ¿cuál es la representación gráfica de esta operación?

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 03: PRODUCTOS CON VECTORES I

Grafica dos vectores cualesquiera en el plano y analiza qué sucede al multiplicar un vector por un número: a) Mayor a 1 b) Positivo menor a 1

c) Negativo mayor a -1

d) Menor a -1

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA PRODUCTOS CON VECTORES I


CONOCIMIENTOS PREVIOS Magnitud de un vector, ángulo entre vectores, teorema del seno y coseno, razones trigonométricas.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Trigonometría, números complejos


Construir el producto por un escalar y producto escalar (producto punto)


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de las representaciones gráficas del producto por un escalar. Se sugiere implementar para introducir el producto por un escalar posteriormente al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Las preguntas se abocan a la interpretación gráfica del producto por un escalar y a la deducción de ciertas propiedades. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes: El estudiante podría realizar las operaciones primero en forma algebraica y luego dibujar los vectores de inicio y término de la operación y luego comparar lo que sucede en forma gráfica. El estudiante podría realizar las operaciones indicadas en forma algebraica y luego calcular en los vectores de inicio su módulo, dirección y sentido para comparar los cambios del vector de inicio y final. Al multiplicar un vector por un número n:

a) Positivo mayor a 1: el vector se amplifica n veces el número multiplicado. b) Positivo menor a 1: el vector se reduce n veces el número multiplicado. c) Negativo mayor a -1: el vector se amplifica n veces el número multiplicado y se invierte el sentido. d) Negativo menor a -1: el vector se reduce n veces el número multiplicado y se invierte el sentido.

Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: Se puede pedir que representen en el plano el vector ya multiplicado por el escalar y noten la diferencia. Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Si dibujas un triángulo con tres vectores y los multiplicas por un escalar ¿Qué sucede con la figura?

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 04: PRODUCTOS CON VECTORES II

Considere el vector

𝑣 = (123)

¿Qué propiedades debe tener el vector 𝑢 tal que 𝑢 ∙ 𝑣 = 0? ¿Cuál de estos vectores podría surgir al tomar el producto cruz de v con otro vector? Antes de realizar mucha

álgebra, ¿puedes encontrar una manera rápida de tomar tu decisión?

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA PRODUCTOS CON VECTORES II

CÓDIGO


CONOCIMIENTOS PREVIOS Módulo de vectores

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Geometría plana y del espacio, trigonometría en el plano.


Construye el concepto de Producto vectorial (producto cruz)


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Este problema ayuda a reforzar la comprensión de los estudiantes sobre el vector y el producto escalar animándolos a pensar en cómo se relacionan geométricamente. Quizás comience con un resumen del producto escalar y vectorial para asegurarse de que los estudiantes tengan claro qué es cada producto y cómo se calcula. Luego, establezca el primer desafío, explorar y describir geométricamente el conjunto de vectores u con la propiedad que u ⋅ v = 0. El objetivo es llegar a estos hechos geométricos clave sobre producto escalar y cruz para vectores distintos de cero u y v:

1) 𝑢 ⋅ 𝑣 = 0 si y solo si u y v son perpendiculares. 2) 𝑢 × 𝑣 = 0 si y solo si u y v son paralelos. 3) 𝑢 × 𝑣 es perpendicular a ambos u y v.

Finalmente, el problema pide a los estudiantes que encuentren un método para construir rápidamente otros vectores que resulten del producto cruz de vectores con v. Anime a los estudiantes a pensar en cómo generar dichos vectores a partir de vectores que ya han encontrado, utilizando las propiedades del producto escalar. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes:

1) El estudiante puede construir un camino algebraico para determinar la respuesta, en este caso pídales que interpreten sus hallazgos geométricamente para lograr el objetivo del A.M.O.

2) El estudiante puede dibujar directamente el vector v en el plano o utilizando un programa como Geogebra hasta determinar el vector u que cumple lo pedido, en este caso pregúntele si es el único vector que cumple y al hallar otro que determine la relación que hay entre ellos.

Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: Considere el vector

𝑣 = (13)

¿Qué propiedades debe tener el vector 𝑢 tal que 𝑢 ∙ 𝑣 = 0? ¿Cómo puedes considerar este conjunto de vectores geométricamente?

VECTORES Y MATRICES

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Encuentre un método para generar rápidamente conjuntos de vectores que sean perpendiculares al vector:

(𝑎𝑏𝑐)

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 05: CUADRADOS MÁGICOS

Un cuadrado mágico, es aquel donde debemos escribir los números en orden desde el 1 al n (dependiendo de

la cantidad de casillas totales) de tal forma que todas las filas, todas las columnas, y todas las diagonales sumen

lo mismo.

Ejemplo de cuadrado mágico: ¿Cuál es la suma constante en este caso?

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Ubica los números a continuación en un cuadrado de 4 x 4, utilizando la siguiente instrucción: la posición de los

números se denotará como 𝑎𝑖𝑗, donde i es la fila en la que se ubica el elemento y j es la columna.

𝑎11 = 9 𝑎12 = 6 𝑎13 = 3 𝑎33 = 8 𝑎21 = 4 𝑎42 = 12 𝑎22 = 13 𝑎44 = 2 𝑎23 = 10

𝑎24 = 5 𝑎32 = 1 𝑎41 = 7 𝑎14 = 16 𝑎31 = 14 𝑎34 = 11 𝑎43 = 15

Si se pueden intercambiar dos números en el cuadrado de 4 x 4 para crear un cuadrado mágico (en el que todas

las filas, todas las columnas y las dos diagonales principales suman lo mismo) ¿qué números debieses

intercambiar? ¿Cuál es el valor de la suma constante?

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA CUADRADOS MÁGICOS


CONOCIMIENTOS PREVIOS Suma de números naturales, resolución de ecuaciones

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Sumatoria


Construye el concepto de Matriz, orden de una matriz, elementos de una matriz, matriz traspuesta, operaciones filas y columnas (cambio de filas y columnas), suma de matrices, resta de matrices.


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de construcción del concepto matricial como un arreglo numérico. Se sugiere implementar al inicio de la unidad. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema, como la matriz traspuesta y las operaciones filas y columnas. Las preguntas se abocan a determinar los elementos de una matriz, reconocer filas y columnas en una matriz, determinar la matriz traspuesta, y algunas operaciones filas y columnas, además de comprender como sumar y restar marices. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes:

1) Que al alumno comience a jugar y que por tanteo determine una solución. 2) Qué simbolice los elementos dados en el cuadrado para determinar alguna propiedad algebraica que

le permita saber qué números debe intercambiar para obtener una suma constante. 3) Que rote el cuadrado, intercambia filas y columnas (transponga) etc., hasta determinar un cuadrado

mágico. Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

El cuadrado que se muestra es mágico ¿Cuál es su suma constante? ¿Puedes obtener otros cuadrados mágicos cambiando la posición de los números dados en él? ¿Qué números cambiaste? ¿En qué posiciones estaban? indica la fila y la columna. Preguntas sugeridas para la extensión del problema:

1) ¿Al cambiar las filas por columnas se mantiene la constante? 2) Si sumas dos cuadrados mágicos el cuadrado resultante es mágico también ¿Por qué?

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 06: OPERANDO MATRICES

Sean las matrices

𝐴 = [2 53 −2

] 𝐵 = [4 −12 𝑥

]

Y definimos las siguientes operaciones:

i. 3𝐴 = [6 159 −6

]

ii. 𝐴 ∙ 𝐵 = [18 −2 + 5𝑥8 −3 − 2𝑥

]

De acuerdo con los resultados de las operaciones en i y ii describe como se multiplica una matriz por un escalar, y cómo se multiplican dos matrices.

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA OPERANDO MATRICES


CONOCIMIENTOS PREVIOS Multiplicación en IR, adición en IR

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Operatoria básica en IR


Construye las operaciones de multiplicación de una matriz por un escalar, multiplicación de matrices.


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de construcción de las operaciones de multiplicación involucradas en las matrices, el objetivo es que el alumno comprenda los procedimientos involucrados y que comprenda las condiciones para poder multiplicar dos matrices (extensión). Se sugiere implementar antes de formalizar los conceptos de multiplicación matricial. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Las preguntas se abocan al cálculo de la multiplicación matricial y determinar condiciones necesarias para efectuar dichas multiplicaciones. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes: Los estudiantes podrían utilizar la notación de la actividad anterior para representar las operaciones pedidas:

1) Utilizando la notación de los elementos de una matriz (𝑎𝑖𝑗) la operación quedará de la siguiente forma:

𝑘 ∙ [𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] = [𝑘𝑎11 𝑘𝑎12𝑘𝑎21 𝑘𝑎22

]

2) Utilizando la notación de los elementos de una matriz (𝑎𝑖𝑗) la operación quedará de la siguiente forma:

[𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] ∙ [𝑏11 𝑏12𝑏21 𝑏22

] = [𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22

]

Podrían explicar con lenguaje natural lo observado: Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicamos cada término de la matriz por el valor dado. Para multiplicar dos matrices, multiplicamos cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz sumando sus resultados. Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: Explica que operación se puede haber realizado para obtener el elemento 𝑀12: −2+ 5𝑥 Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Crea varias matrices del mismo orden y de distinto orden y multiplícalas, luego responde:

1) ¿Qué condición deben cumplir dos matrices para poder multiplicarlas? 2) ¿Es conmutativa la operación de multiplicación entre matrices?

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 07: PREPAREMOS UN COCTEL

Observa las siguientes matrices:

𝐴 = [2 1 13 2 64 2 3

] 𝐵 = [14.28095202380

]

Las columnas de A representan las onzas de vino blanco, jarabe de

granadina, y jugo de limonada que utilizan en un pub para preparar un

coctel llamado fresa loca en tres distintas versiones (unas más suaves que

otras, representadas por las filas). La matriz B representa el valor en pesos

al que compra el pub, cada litro de cada uno de los 3 líquidos mencionados.

Al multiplicar la matriz A por la matriz B, ¿cómo interpretarías su resultado?

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA INTERPRETANDO LA MULTIPLICACIÓN


CONOCIMIENTOS PREVIOS Multiplicación de matrices

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Resolución de sistemas de ecuaciones


Interpretación de la multiplicación de matrices en contexto


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de interpretación de la multiplicación cuando hay un contexto de representación matricial, el objetivo es que el estudiante vaya incorporando estas representaciones para avanzar hacia el modelado de situaciones problemas a través de matrices. Se sugiere implementar en forma posterior a la enseñanza la multiplicación de matrices. Las preguntas se abocan al análisis e interpretación de las matrices en contexto y la multiplicación de matrices. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes:

1) Al multiplica la matriz A por la matriz B el alumno deberá notar la dificultad en la interpretación pues

las unidades de medidas representadas no tienen concordancia, ya que en la matriz A se representan onzas y en la matriz B el valor por litro de líquido, por lo que deberá transformar ya sea la matriz B en valores por onzas o bien la matriz A en cantidades en litros. Usted puede ayudarlo diciéndole que 1 litro equivale a 34 onzas y preguntándole cómo aporta esa información a la interpretación del problema.

2) El alumno podría representar la operación de multiplicación de las matrices mediante una igualdad e interpretar desde esa representación, como se muestra a continuación (al realizar la transformación de la matriz B en valores por onza):

2 ∗ 420 + 1 ∗ 280 + 1 ∗ 70 = 1.190

Respuesta:

𝐴𝐵 = [2 1 13 2 64 2 3

] ∙ [42028070] = [

1.1902.2402.450

]

La versión 1 del coctel le cuesta 1.190 al pub, la versión 2 le cuesta 2.240 y la versión 3 le cuesta 2.450 por cada coctel hecho.

Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

1) Indíquele al estudiante que escriba sobre cada columna lo que representa, según la información dada en el problema y que luego recorra cada fila leyendo la información dada según lo anotado. Es decir que escriba la receta de cada una de las versiones del trago fresa loca, para que primero interprete lo que significa una matriz y luego realice lo mismo con la matriz B.

VECTORES Y MATRICES

Respuesta: La receta de la versión 1 es: 2 onzas de vino blanco, 1 de jarabe de granadina, y 1 de jugo de limonada. La versión 2: 3 onzas de vino blanco, 2 de jarabe de granadina, y 3 de jugo de limonada. La versión 3: 4 onzas de vino blanco, 2 de jarabe de granadina, y 3 de jugo de limonada.

2) El pub desea que la matriz B muestre el costo de cada onza de los ingredientes líquidos mencionados.

¿Cómo queda la matriz B representada ahora? Nota: 1 litro equivale a 34 onzas. Respuesta: La matriz B queda representada como:

𝐵 = [42028070]

Así se muestra el valor de cada onza de vino, de jarabe de granadina, de jugo de limonada respectivamente. ¿Por qué necesitamos representar la matriz B como valores por onza?

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Sea C la matriz [80 30 50] . Calcula CAB. ¿Cómo se interpreta el resultado obtenido? Respuesta: Sea C la matriz [80 30 50] . Calcula CAB. ¿Cómo se interpreta el resultado obtenido?

𝐶𝐴𝐵 = [80 30 50] ∙ [2 1 13 2 64 2 3

] ∙ [42028070] = [450 240 410] ∙ [

42028070]

= 284.900 Representa el valor de 80 versiones 1 del coctel, 30 versiones 2 y 50 versiones 3 del coctel.

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 08: DETERMINANTES

Los sistemas de ecuaciones pueden ser representados utilizando matrices de la siguiente forma:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

} ⇒ [𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓

]

A continuación se muestran tres sistemas de ecuaciones escritos matricialmente:

[2 3 72 −3 1

] [2 3 42 3 6

] [2 3 64 6 12

]

Si escribes una nueva matriz sólo con los elementos de las dos primeras columnas y calculas el determinante de

estas matrices. ¿Qué relación hay entre el valor de los determinantes hallados y la solución de cada sistema de

ecuaciones?

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA DETERMINANTES


CONOCIMIENTOS PREVIOS Cálculo del determinante de una matriz de 2x2



Análisis del determinante y su relación con la solución de un sistema de ecuaciones


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de profundización del cálculo de los determinantes de una matriz, asociando la matriz a un sistema de ecuaciones y el valor del determinante a la condición para que tenga o no solución. Se sugiere implementar en forma posterior a la enseñanza de la técnica para obtener el determinante de una matriz. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Las preguntas se abocan al análisis del determinante y su relación con las soluciones de un sistema de ecuaciones. Las posibles respuestas a las preguntas planteadas son las siguientes:

1) El estudiante podría volver a la representación de los sistemas de ecuaciones conocida y resolver con algún método algebraico, y luego calcular los determinantes para observar alguna relación.

2) Podría analizar la forma de las ecuaciones para determinar si son ecuaciones dependientes o linealmente independientes y relacionar esto con los determinantes obtenidos.

Respuesta: El primer sistema tiene por solución x=2, y=1, el segundo sistema no tiene solución, y el tercer sistema tiene infinitas soluciones. En el primer caso el determinante da un número distinto de cero y en los otros dos sistemas da cero. Si el determinante es cero podemos tener dos situaciones que el sistema tenga infinitas soluciones o que el sistema no tenga solución, a su vez, si el determinante es distinto de cero el sistema tendrá solución única. Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

1) ¿qué métodos conoces para resolver un sistema de ecuaciones? 2) ¿Qué método utilizamos para calcular el determinante de una matriz de 2x2? 3) Si resuelves los sistemas de ecuaciones que representa cada matriz qué obtienes?

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Crea un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas, de tal forma que:

a) Tenga única solución. b) No tenga solución. c) Tenga infinitas soluciones.

Demuéstralo calculando el determinante de la matriz conformada por los coeficientes de cada una de las variables involucradas.

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 09: CÓDIGOS SECRETOS

La criptografía es la ciencia de la escritura secreta, en la actualidad es un objeto de estudio, activo y muy serio por parte de matemáticos, informáticos, especialistas en estadísticas, ingenieros de telecomunicaciones, etc., que buscan continuamente asegurar la integridad de nuestra información. Encriptaremos el mensaje: EXITO EN EL CURSO

1) Reemplazamos cada letra por el número que le corresponde a su posición en el alfabeto (A B C D E F G

H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z) y representamos un espacio _ por 0.

_ E X I T O _ E N _ E L _ C U R S O

0 5

2) El mensaje anterior se ha convertido en la SUCESIÓN de números 0, 5, ………………………………………… que

agrupamos en una sucesión de vectores columna:

(05 )( )( )( )( )( )

3) Claramente si escribiésemos este mensaje de esa forma sería muy simple descifrarlo, por lo que a

través de las MATRICES lo haremos un tanto más difícil de descifrar. Para ello agregaremos una matriz

invertible que sólo conocerán quienes envían el mensaje y quienes lo reciben:

M = [1 0 10 1 10 1 2

]

4) Multiplicaremos por la derecha a la matriz M, por la matriz formada por TODOS los vectores columna.

5) Con lo que el mensaje cifrado que se enviará es (escriba todos los números obtenidos en una lista):

25, 30, 55, …………………………………………………………………………….

Utilizando este sistema se recibió el siguiente código: 34, 22, 43, 46, 36, 63, 14, 23, 37, 42, 24, 43, 20,

1, 1. ¿Cuál es el mensaje?

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA CÓDIGOS SECRETOS

CÓDIGO


CONOCIMIENTOS PREVIOS Multiplicación de matrices, matriz inversa, relación entre vectores y matrices.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Vectores


Profundizar Matriz inversa


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de profundización del cálculo de la matriz inversa y la relación entre vectores y matrices. Se sugiere implementar en forma posterior a la formalización del cálculo de la matriz inversa. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Las preguntas se abocan a la escritura de matrices como un conjunto de vectores columnas, cálculo de la matriz inversa, propiedades de la multiplicación. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes: ¿Qué debe hacer ahora alguien para poder desencriptar el mensaje codificado?

Paso 1: escribir como vectores columnas los números entregados y colocarlos en una matriz. Paso 2: Multiplicar por la izquierda por la matriz inversa de M. Paso 3: Convertir cada número en una letra del alfabeto según su ubicación. (0 son espacios)

Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

1) ¿Qué propiedades debe tener una matriz para que su inversa exista? 2) ¿Cuáles son los pasos para obtener la inversa de una matriz? 3) En el paso 4, ¿es lo mismo multiplicar por la izquierda que por la derecha una matriz? ¿por qué?

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: En grupos de a cuatro codifiquen en parejas y los demás descifren el mensaje

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 10: OPERACIONES ELEMENTALES

Definiremos las siguientes operaciones elementales fila(columna):

i. 𝐸𝑖𝑗: Permutar la fila (columna) 𝑖 con la fila (columna) 𝑗.

ii. 𝐸𝑖(𝛼): Multiplicar la fila (columna) 𝑖 por un escalar 𝛼 ≠ 0.

iii. 𝐸𝑖𝑗(𝛼): A la fila (columna) 𝑖 sumarla por la fila 𝑗 multiplicada por un escalar 𝛼 ≠ 0.

Por ejemplo:

(1 32 5

−24)𝐸12 (

2 51 3

4−2)𝐸1(4) (

8 201 3

16−2)𝐸12(2) (

8 2017 43

1630)

En este caso se han utilizado operaciones filas para convertir la matriz dada en otra.

La siguiente matriz representa un sistema de ecuaciones.

(4 2 33 4 22 −1 5

8−13)

Convierte la matriz escrita (utilizando sólo operaciones filas) en una matriz que sólo tenga “1” en la diagonal y

que bajo la diagonal sólo tenga “0”. ¿Cómo interpretas el resultado obtenido, en base al sistema de ecuaciones

que representa la matriz original?

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA OPERACIONES ELEMENTALES


CONOCIMIENTOS PREVIOS Transformación de un sistema de ecuaciones en una matriz.



Solución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de resolución donde los estudiantes deberán utilizar el método de reducción por filas (método de Gauss) para resolver un sistema de ecuaciones. Se sugiere implementar para introducir la resolución de un sistema de ecuaciones. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Las preguntas se abocan al método de reducción por filas (método de Gauss), operaciones filas, solución de un sistema de ecuaciones lineales. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes: Al reducir la matriz utilizando las operaciones filas, los estudiantes obtendrán:

(1 0 4/50 1 −1/100 0 1

17/5−14/5−2

)

Para interpretar estos valores deben volver a relacionar cada columna con un coeficiente de la matriz con lo cual obtendrán las siguientes ecuaciones:

𝑥 +4

5𝑧 =

17

5

𝑦 −1

10𝑧 = −

14

5

𝑧 = −2 Luego de la última ecuación, obtienen el valor de z, por lo tanto, bastará con reemplazar este valor en las ecuaciones anteriores para obtener que 𝑥 = 5 y que 𝑦 = −3 Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: En el ejemplo dado se ha representado el siguiente sistema de ecuaciones:

𝑥 + 3𝑦 = −2 2𝑥 + 5𝑦 = 4

1) Resuélvelo con algún método conocido, sin matrices.

2) Si vuelves a escribir la última matriz obtenida como un sistema de ecuaciones y lo resuelves utilizando el mismo método anterior ¿qué obtienes?

VECTORES Y MATRICES

(1 32 5

−24)𝐸12 (

2 51 3

4−2)𝐸1(4) (

8 201 3

16−2)𝐸12(2) (

8 2017 43

1630)

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Si en vez de realizar operaciones filas para reducir la matriz, ahora realizas operaciones columnas ¿qué diferencias hay entre la matriz obtenida anteriormente y la nueva matriz? ¿hay algún cambio en las soluciones?

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 11: ¿Y DÓNDE ESTÁ LA SOLUCIÓN?

Haz click en el siguiente link: https://www.geogebra.org/m/zpugww4w

Observa la imagen que se muestra y responde:

ACTIVIDAD 1

La matriz amarilla representa el sistema de ecuaciones que se muestra gráficamente en la imagen y la matriz

azul corresponde a su matriz escalonada.

1) ¿Tiene solución el sistema de ecuaciones?

2) ¿Por qué la última fila sólo tiene ceros?

ACTIVIDAD 2: Mueve los deslizadores.

1) Obtén una representación del sistema de tal forma que la matriz celeste muestre que el sistema de ecuaciones no tiene solución.

2) ¿Qué representación gráfica obtienes? ¿Es la única representación posible?

https://www.geogebra.org/m/zpugww4w

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA ¿Y DÓNDE ESTÁ LA SOLUCIÓN?


CONOCIMIENTOS PREVIOS Representación de sistemas de ecuaciones en forma matricial y en forma gráfica.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Resolución de sistemas de ecuaciones (método gráfico), Geometría: ecuación de la recta (paralelas, secantes), funciones lineales.


Profundizar en el análisis de la matriz reducida por filas en la resolución de sistemas de ecuaciones.


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de las matrices que representan un sistema de ecuaciones lineales en el cuál la cantidad de ecuaciones es mayor a la cantidad de variables y de la matriz reducida por filas que se obtiene al resolverlo. Se sugiere implementar para profundizar en el tipo de soluciones de un sistema de ecuaciones. Las preguntas se abocan a la interpretación de un sistema como una matriz y al análisis de la matriz reducida por filas de acuerdo con el tipo de solución del sistema. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes: ACTIVIDAD 1 El estudiante podría escribir el sistema de ecuaciones que se muestra gráficamente representado en la imagen.

−𝑥 + 3𝑦 = 5 2𝑥 + 𝑦 = 4 3𝑥 − 5𝑦 = −7

Para comprender y observar claramente que la matriz de color amarillo representa los coeficientes de x, y, constantes de cada una de las ecuaciones. Así en la primera fila se muestran los coeficientes de la primera ecuación (recta naranja), en la segunda los de la segunda ecuación (recta azul), y finalmente la última ecuación (recta verde)

1) ¿Tiene solución el sistema de ecuaciones?

Sí, tiene solución el sistema de ecuaciones es el punto (1,2) donde se intersectan todas las rectas 2) La matriz celeste muestra la reducción por filas que permite obtener el siguiente sistema reducido:

1𝑥 + 0𝑦 = 1 0𝑥 + 1𝑦 = 2 0𝑥 + 0𝑦 = 0

Es decir: 𝑥 = 1, 𝑦 = 2

ACTIVIDAD 2: Mueve los deslizadores. 1) Obtén una representación del sistema de tal forma que la matriz celeste muestre que el sistema de

ecuaciones no tiene solución.

VECTORES Y MATRICES

2) ¿Qué representación gráfica obtienes? ¿Es la única representación posible?

La matriz en color amarillo podría mostrar ecuaciones de rectas cuyas pendientes son iguales, la matriz de color celeste muestra un sistema inconsistente ya que una de sus filas entrega un valor que se interpreta como 0=k, con k perteneciente a los reales. Es decir, un sistema que no tiene solución. En este caso la representación gráfica son rectas paralelas. El caso anterior no es el única ya que otro caso podría ser que se intercepten dos de las rectas, pero una no coincida en el mismo punto. El sistema representado debe entregar rectas que muestran una imagen como la siguiente:

Por lo tanto, al tomar pares de ecuaciones estas deben tener solución, sin embargo, el sistema completo no. La matriz celeste nos muestra un sistema incompatible:

Ya que al observar la última fila de la matriz celeste y la llevamos a una ecuación obtenemos que 0=1 lo cual es falso, por lo tanto, el sistema no tiene solución cuando se obtiene este tipo de matrices.

Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: Selecciona dos de las ecuaciones dadas en el sistema inicial y resuelve el sistema con ellas utilizando alguno de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Cambia las ecuaciones escogidas y vuelve a resolver. ¿Qué significa lo obtenido? ¿Cómo se relaciona lo obtenido con la matriz celeste? Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Mueve los deslizadores de tal forma que la solución que puedas interpretar de la matriz celeste sea que el sistema tenga infinitas soluciones ¿Qué tipo de representación gráfica se obtiene? ¿Es posible obtener otra gráfica para este caso?

VECTORES Y MATRICES


PROBLEMA 13: PLANIFICANDO LA CONSTRUCCIÓN

Una empresa que construye piscinas realiza tres tipos de estructura en las que utilizan cemento, hormigón y

acero.

Piscina tipo L: se utilizan 400 kg de cemento, 1500 kg de hormigón, 580 kg de

acero.

Piscina tipo U: se utilizan 600 kg de cemento, 550 kg de hormigón, 470 kg de

acero.

Piscina tipo D: se utilizan 350 kg de cemento, 480 kg de hormigón, 375 kg de

acero.

Los valores de estos productos han subido debido a cambios en el mercado, sin embargo, aún tienen en sus bodegas un stock con 300 toneladas de cemento, 450 toneladas de hormigón y 315 toneladas de acero y desean saber cuántas piscinas de cada tipo pueden construir con los materiales que aún tienen en bodega para mantener sus precios a los compradores.

a) Escribe matricialmente el sistema de ecuaciones de la forma AX=B, con A, X, B matrices. Describe que representa cada matriz.

b) Determina cuántas piscinas de cada tipo pueden construir la empresa con los materiales que aún tienen

en bodega.

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA PLANIFICANDO LA CONSTRUCCIÓN

CÓDIGO


CONOCIMIENTOS PREVIOS Solución de sistemas de ecuaciones con métodos matriciales. Interpretación de operatoria de matrices en contexto.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Solución de situaciones problemáticas con sistemas de ecuaciones lineales. (Álgebra)


Solución de situaciones problemáticas con sistemas de ecuaciones mediante métodos matriciales.


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de profundización de la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando métodos matriciales utilizando una situación contextualizada. Se sugiere implementar al término de la unidad ya que es una actividad integradora de los conceptos vistos en la unidad. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Las preguntas se abocan a la solución de un problema utilizando sistemas de ecuaciones con métodos matriciales. Las posibles estrategias a las preguntas planteadas son las siguientes:

a) Escribe matricialmente el sistema de ecuaciones de la forma AX=B, con A, X, B matrices. Describe que representa cada matriz.

(400 600 3501.500 550 480580 470 375

) ∙ (𝑥𝑦𝑧) = (

300.000450.000315.000

)

La matriz “A” representa en cada columna los materiales que se necesitan para cada tipo de piscina. La matriz “X” representa cuántas piscinas de cada tipo se realizarán y la matriz “B” representa la cantidad de materiales de cada tipo que aún tiene la empresa en stock en sus bodegas.

a) Determina cuántas piscinas de cada tipo pueden construir la empresa con los materiales que aún tienen en bodega.

El determinante de la matriz A es -43.100.000, es decir A tiene inversa, por lo que resolveremos con este método el sistema. La inversa de A es:

(

387

862.000

121

86.200−191

86.2002.841

431.000

53

43.100−333

43.100

−193

21.550−

8

2.155

34

2.155 )

Resolvemos aplicando la matriz inversa en el sistema:

VECTORES Y MATRICES

(𝑥𝑦𝑧) =

(

387

862.000

121

86.200−

191

86.2002.841

431.000

53

43.100−

333

43.100

−193

21.550−

8

2.155

34

2.155 )

∗ (300.000450.000315.000

)

(𝑥𝑦𝑧) ≈ (

68.497.1612.5

)

Al obtener esta solución el estudiante deberá interpretar los valores decimales, y decidir cuántas piscinas de cada tipo efectivamente puede construir con el stock en bodega: 68 piscinas del tipo L, 97 piscinas del tipo U, 612 piscinas del tipo D. Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: Completa la tabla a continuación con la información que entrega el problema, escribiendo los valores en kilos.

Piscina L Piscina U Piscina D stock

Cemento

Hormigón

Acero

Escribe el sistema de ecuaciones que representa el problema. Determina claramente lo que representa cada incógnita. ¿Cómo se representa este sistema utilizando matrices? Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Una vez que se terminan los materiales en stock tienen 3 proveedores para comprar los materiales cuyos valores son los siguientes:

Proveedor 1: cemento $3500 los 25 kilos, hormigón 2.700 los 25 kilos, acero $550 por kilo Proveedor 2: cemento $500 los 5 kilos, hormigón 1.400 los 10 kilos, acero $640 por kilo Proveedor 3: cemento $830 los 10 kilos, hormigón 1.800 los 12 kilos, acero $680 por kilo

Si cada vez que construye una piscina desea acudir a sólo uno de los proveedores y comprar todos sus materiales ahí ¿qué proveedor es más conveniente para comprar los materiales para cada tipo de piscina a construir?

VECTORES Y MATRICES


EVALUACIÓN FORMATIVA

A continuación, se presenta una evaluación de tipo formativa cuyo objetivo es que el alumno pueda

identificar aquellos conocimientos que necesita reforzar.

Tiempo: 60 minutos

1) La componente x de un vector que está en el plano de IR2 es de 12 unidades, y la componente y es de 16 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?

2) Hallar k sabiendo que |𝑎 | = 3 y 𝑎 (2, 𝑘)

3) Hallar a sabiendo que el ángulo que forma 𝑣 (3, 𝑎) con �� (2,−1) es de 60°

4) Sabiendo que 𝑎 (1

3, −2) y �� (7, 𝑥) son perpendiculares, hallar x.

5) Diga si es verdadero o falso que los vectores �� = (1, 2, 3) y 𝑣 = (1,−5,3) son aristas de un cubo que comparten el mismo vértice.

6) Un triángulo tiene por vértices los puntos A(1,1,5); B(2,-1,4); C(-2,2,1). Calcula su área.

7) Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).

8) Realice las siguientes operaciones, en caso de no poder realizarlas justifique:

a) (−1 40 1

) × (03) =

b) (1 −60 −27 4

) + (−15−6) =

c) (1 −10 −3−2 0

) − (0 3−1 00 5

) =

d) (1 −1 00 −3 02 0 0

)

−1

e) [(3 −22 4

) − (−4 52 3

)]𝑇

VECTORES Y MATRICES

f) det (0 1 −23 −1 47 −1 0

)

9) ¿Qué condiciones debe tener m para que la matriz dada tenga inversa?

(−1 43𝑚 2

)

10) calcula x, y, z, t para que se cumpla: (2 −10 1

) ∙ (𝑥 𝑦𝑧 𝑡

) = (5 10 2

)

11) dado el sistema:

30z12y7x2

24z6y5x4

18z6y4x2

Determinar la solución utilizando ecuaciones matriciales.

VECTORES Y MATRICES

PROBLEMA EVALUACIÓN FORMATIVA


CONOCIMIENTOS PREVIOS Unidad de vectores y matrices

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES

CONOCIMIENTO MATEMÁTICO (EVALUAR)

Unidad de vectores y matrices


Sugerencias para la aplicación de A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de evaluación formativa en al cual se desea identificar aquellos conceptos que necesitan reforzamiento antes de la evaluación sumativa de la unidad. Las preguntas se abocan a la aplicación de conceptos relacionados con vectores y matrices. Las respuestas a las preguntas planteadas son las siguientes:

1) 𝑀 = 20, 𝛼 = 53° 7’ 48,37``

2) 𝑘 = ±√5

3) 𝑎 = −3

2

4) 𝑥 =7

6

5) Verdadero, ya que el ángulo entre ellos es de 90° (al calcular el producto punto se obtiene cero) 6) 6,22 u2 7) Isósceles rectángulo

8) a) (123)

b) no se pueden sumar matrices de distinto orden

c) (1 −41 −3−2 −5

)

d) no tiene inversa ya que su determinante es cero.

e) [7 0−7 1

]

f) el determinante es 20. 9) m debe ser distinto de -1/6 10) x= 5/2 y =3/2 z=0 t=2 11) x=1, y=4, z=0

TRIGONOMETRÍA

FORMALIZACIÓN

DE CONTENIDOS

TRIGONOMETRÍA

VECTORES

Los vectores en IR2 se representan en el plano cartesiano a través de sus componentes que están formadas por el punto de inicio del vector y el punto de término del vector de forma similar ocurre en IR3. Ejemplo 1: El vector cuyo punto de inicio es el origen del sistema coordenado y cuyo punto final es el (2,5) se representa como se muestra e la imagen. Un vector se puede obtener a través de sus componentes: Sea el vector 𝑣 cuyo punto de inicio es (𝑥1, 𝑦1) y cuyo punto final es (𝑥2, 𝑦2), entonces el vector queda determinado por:

𝑣 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) En el ejemplo anterior el vector dado por su punto de inicio (𝑥1, 𝑦1) = (0,0) y cuyo punto final es (𝑥2, 𝑦2) =(2,5). Entonces el vector queda determinado por las coordenadas:

𝑣 = (2 − 0, 5 − 0) = (2,5) Ejemplo 2: El vector cuyo punto de inicio es el punto (6,1,5) y cuyo punto final es el (4,1,−2) se representa como se muestra e la imagen.

En IR3 sea el vector 𝑣 cuyo punto de inicio es (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y cuyo punto final es (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), entonces el vector queda determinado por:

𝑣 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1)

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo 2: El vector representado en la imagen tiene coordenadas de inicio (2,3) y coordenadas finales (5,7), por lo tanto, el vector queda determinado por las coordenadas:

𝑣 = (5 − 2, 7 − 3) = (3,4) Observaciones:

Las componentes del vector indican cuantas unidades se mueve desde, su origen, en el eje x y en el eje y.

El vector obtenido es un vector equivalente al inicial, que parte desde el (0,0) y termina en la coordenada (3,4). Se dice que es equivalente ya que la distancia que recorre es igual, el ángulo que determinan es igual y el sentido de la flecha es el mismo.

TRIGONOMETRÍA

MÓDULO DE UN VECTOR El módulo de un vector es a un número que es coincidente con la longitud de la representación del vector, y se calcula de la siguiente forma. Sea el vector 𝑣 cuyo punto de inicio es (𝑥1, 𝑦1) y cuyo punto final es (𝑥2, 𝑦2), entonces el vector queda determinado por:

𝑣 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) Entonces el módulo se calcula de la siguiente forma:

|𝑣 | = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2 Ejemplo 3: En el ejemplo 2 el módulo será:

|𝑣 | = √(5 − 2)2 + (7 − 3)2 = √(3)2 + (4)2 = √25 = 5 Por lo tanto, la distancia total que recorre el vector es 5 unidades. Ejemplo 4: El vector 𝑣 = (2,5) tiene por módulo:

|2 + 5𝑖| = √22 + 52 = √29 unidades Observación: Como el módulo es una distancia, siempre es positivo. DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN IR2

La dirección de un vector queda determinada por el ángulo que describe el vector a partir del eje x positivo hasta donde esté ubicada la flecha(el ángulo se mide en sentido anti horario, a partir del eje descrito), a este ángulo se le llama el argumento del vector (Arg). Sea el vector cuyas componentes finales son:

𝑣 = (𝑥, 𝑦) Entonces el ángulo que forma con respecto al eje x positivo (argumento del vector) queda determinado por:

𝐴𝑟𝑔(𝑣 ) = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑦

𝑥)

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo 4: El vector 𝑣 = (2,5) tiene por argumento:

𝐴𝑟𝑔(𝑣 ) = 𝑡𝑎𝑛−1 (5

2) ≈ 68,2°

SENTIDO DE UN VECTOR El sentido del vector es hacia donde está indicando la flecha, si no calculamos el ángulo tenemos una idea intuitiva hacia donde está orientada, pero al tener el ángulo tendremos un sentido del vector más exacto. Ejemplo 5: El ángulo del vector es de 68,2°, observa que la dirección Noreste (NE) está justo en la mitad entre el Este y El Norte por lo tanto un ángulo de un vector cercano a los 45° se puede decir que tiene sentido Noreste, en este caso la flecha pasa de los 45° por lo tanto el sentido es más cercano al Nornoreste (NNE).

Finalmente, el vector 𝑣 = (2,5) recorre una distancia de √29 unidades (aproximadamente 5,4 unidades) y tiene una dirección de 68,2° en sentido Nornoreste.

IGUALDAD DE VECTORES

Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, no importa que sus orígenes no coincidan. Es por esto por lo que se dice que los vectores son libres, ya que no importa donde pongas como punto de inicio al vector, si este conserva su magnitud, dirección y sentido se dice que es el mismo. SUMA Y RESTA DE VECTORES Para sumar dos vectores lo que hacemos es sumar coordenada a coordenada como se muestra en los ejemplos de sumas en IR2 y IR3

Ejemplo 1: Sean los vectores �� = (2, 3) y 𝑣 = (4,−5) el vector suma es:

�� + 𝑣 = (2, 3) + (4,−5) = (2 + 4, 3 + −5) = (6,−2) Ejemplo 2: Sean los vectores �� = (2, 3,4) y 𝑣 = (5, 6,7) el vector suma es:

�� + 𝑣 = (2, 3,4) + (5, 6,7) = (2 + 5, 3 + 6,4 + 7 ) = (7,9,11)

Para la resta es el mismo procedimiento, es decir se resta coordenada a coordenada.

TRIGONOMETRÍA

PRODUCTO EN LOS VECTORES Revisaremos tres tipos de productos que se puede realizar con los vectores:

1) PRODUCTO POR UN ESCALAR La multiplicación de un vector 𝑣 por un escalar n es otro vector 𝑛 ∗ 𝑣 :

𝑛 ∗ 𝑣 = 𝑛 ∗ (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … , 𝑣𝑛) = (𝑛𝑣1, 𝑛𝑣2, 𝑛𝑣3, … , 𝑛𝑣𝑛) La multiplicación gráficamente agranda un vector o lo reduce (en el caso de multiplicar por un número entre 0 y 1)

Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido.

Si n es negativo, el vector producto tendrá el sentido opuesto.

La división de un vector por un escalar, corresponde a la multiplicación por el inverso multiplicativo del escalar.

2) PRODUCTO PUNTO

El producto punto de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, es un número escalar (no un vector) y se calcula de cualquiera de las dos formas siguientes, dependiendo de los datos dados:

�� ∙ �� = 𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2 + 𝑢3 ∙ 𝑣3 +⋯+ 𝑢𝑛 ∙ 𝑣𝑛 Es decir, se multiplican coordenada a coordenada los vectores y luego se suman esos resultados. Ejemplo 1:

(2,9) ∙ (5,3) = 2 ∙ 5 + 9 ∙ 3 = 10 + 27 = 37

Otra forma de obtener el producto punto es utilizando la siguiente fórmula:

�� ∙ 𝑣 = |�� | ∙ |𝑣 | ∙ cos (𝛼)

Donde 𝛼 es el ángulo que se forma entre los dos vectores.

Ejemplo 2: �� ∙ 𝑣 = |�� | ∙ |𝑣 | ∙ cos (𝛼)

�� ∙ 𝑣 = 9.22 ∙ 5.83 ∙ cos(46.51) = 37

Como puedes ver obtenemos el mismo valor.

Gráficamente el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de los vectores por la proyección del otro sobre él.

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo 3:

En el ejemplo anterior, esta representación geométrica es:

Observa que al multiplicar el módulo del vector 𝑣 por la distancia de la proyección del vector 𝑢 sobre el 𝑣 (marcada en rojo en la imagen) obtienes el valor dado del producto punto (6.35 ∗ 5.83 ≈ 37)

3) PRODUCTO CRUZ Se llama producto cruz de dos vectores �� y 𝑣 a otro vector �� cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

|�� × 𝑣 | = |�� | ∙ |𝑣 | ∙ sen (𝛼)

El producto cruz o producto vectorial es un vector, perpendicular a los otros dos vectores

dados y se denota como �� × 𝑣 . La dirección del vector producto vectorial es perpendicular al

plano que forman �� y 𝑣 y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos). El valor del módulo del vector �� coincide con la superficie del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iniciales, que puedes ver en la imagen marcado en verde. Para calcular el vector �� paso a paso, más adelante utilizaremos las matrices, ya que este vector se calcula utilizando algunas propiedades de ellas. Algunas propiedades del producto cruz:

i. Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

ii. Si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto vectorial es cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

iii. El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta.

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/seno

TRIGONOMETRÍA

MATRICES

Una matriz de orden 𝑚 × 𝑛 (donde m es la cantidad de filas y n es la cantidad de columnas) es un arreglo rectangular de números reales de la siguiente forma:

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13⋯ 𝑎1𝑛𝑎21⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3⋯ 𝑎𝑚𝑛

] = 𝐴𝑚×𝑛

El elemento situado en la fila i y la columna j se escribe como 𝑎𝑖𝑗

Ejemplo:

El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz. El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.

En esta matriz el número 7 está en la posición 𝑎23

TRIGONOMETRÍA

OPERATORIA CON MATRICES Suma de matrices Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas. Definición de suma: Si A = (aij)mxn y B = (bij)mxn entonces su suma es A + B = (aij + bij)

Ejemplo: Suma las matrices A + B

A = [1 35 7

] B = [4 83 2

] A + B = [1 35 7

] + [4 83 2

] = [ 5 ]

A + B = [1 35 7

] + [4 83 2

] = [5 11

] A + B = [1 35 7

] + [4 83 2

] = [5 118 9

]

Propiedades:

Ley asociativa (𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶

Ley conmutativa 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

Elemento neutro: Matriz en la cual todos sus elementos son cero.

Producto por un escalar Definición: Si k · A = k · (aij) Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar. Ejemplo: 2·A

A = [1 53 4

] 2A = 2 [1 53 4

] = [2 106 8

]

Inverso aditivo

Sea aij un elemento de la matriz A, su inverso aditivo es – (aij) Ejemplo: A – B

A = [2 −34 −1

] 𝐵 = [−4 5−1 2

] 𝐴 − 𝐵 = [2 −34 −1

] − [−4 5−1 2

] = [6 −85 −3

]

El orden es igual que en la suma, pero debes fijarte muy bien en los signos.

1 + 4 = 5

3 + 8 = 11

5 + 3 = 8 7 + 2 = 9

TRIGONOMETRÍA

Multiplicación de matrices

Para poder multiplicar debemos revisar primero el número de filas x columnas. Sea una matriz 𝐴𝑚×𝑛 y otra matriz 𝐵𝑛×𝑟 estas se pueden multiplicar ya que la cantidad de columnas de la matriz A es iguala a la cantidad de filas de la matriz B.

Ejemplo: Si tenemos una matriz de orden 3 x 5 y otra de orden 5 x 2, sí se pueden multiplicar Matriz A Matriz B 3 x 5 5 x 2 Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cuál es el tamaño de la matriz de la respuesta.

Matriz A Matriz B ¿Se puede multiplicar? Tamaño de respuesta

3 x 4 4 x 5

5 x 6 6 x 2

5 x 3 4 x 6

7 x 8 8 x 2

4 x 2 3 x 4

5 x 7 7 x 2

3 x 1 1 x 4

4 x 3 4 x 3

2 x 5 5 x 4

Ejemplo: Se opera así: (0 × 6) + (1 × 9) + (2 × 12) = 0 + 9 + 24 = 33 Luego se toma la fila 1 y columna 2 marcadas y se realizan las mismas operaciones en forma sucesiva:

Debe ser igual para que se

pueda multiplicar

Si los números centrales son iguales entonces

se puede multiplicar y el tamaño de la

respuesta serán los extremos 3 x 2

El tamaño de la

respuesta es 3 x 2

1) Reviso el tamaño de la matriz A = 2 x 3 B = 3 x 3

Como son iguales se puede multiplicar.

El tamaño de la matriz de la respuesta es 2 x 3

2) Siempre se toma la primera matriz con la fila 1 (horizontal) con la columna 1 (vertical) marcada en la

segunda matriz.

TRIGONOMETRÍA

Definición: Las matrices A y B conmutan si y sólo si, A·B = B·A Ejemplo: En este caso es posible realizar el producto en ambos sentidos, pero no es conmutable ya que el resultado no es el mismo.

[2 36 1

] [1 26 3

] = [2 + 18 4 + 96 + 6 12 + 3

] = [20 1312 15

]

[1 26 3

] [2 36 1

] = [2 + 12 3 + 212 + 18 18 + 3

] = [14 530 21

]

Importante: El producto de las matrices en general no es conmutativo.

Matriz Transpuesta (At)

Dada una matriz, su matriz transpuesta es la matriz cuyas filas y columnas se intercambian, la denotamos como At. Ejemplo:

𝐴 = [3 −1 0 4−1 0 3 12 5 −1 0

]𝐴𝑡 = [

3 −1 2−1 0 50 3 −14 1 0

]

Matriz Simétrica (A = At)

Una matriz es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal y que A es también, la matriz traspuesta de sí misma: At = A. Ejemplo:

[1 −1 3−1 2 43 4 7

]𝐴𝑡 = [1 −1 3−1 2 43 4 7

] Entonces A es simétrica

TRIGONOMETRÍA

Matriz Antisimétrica (-A)

Una Matriz es antisimétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aji = − aij para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, aii = 0 para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

[ 0 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛

−𝑎12 0 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛−𝑎13 −𝑎23 0 ⋯ 𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

−𝑎1𝑛 −𝑎2𝑛 −𝑎3𝑛 ⋯ 0 ]

Ejemplo:

𝐴 = [0 −2 42 0 2−4 −2 0

] −𝐴 = [0 2 −4−2 0 −24 2 0

]

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al inverso.

Matriz Diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos, y los de la diagonal pueden ser no nulos. Ejemplo:

[2 0 00 1 00 0 6

]

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior), triangular superior es aquella donde los términos por debajo de la diagonal son nulos, y una matriz triangular inferior es aquella donde los términos por encima de la diagonal son nulos.

DETERMINANTES Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A. Determinante de A se puede escribir de dos formas:

|𝐴| determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un número real) 𝐷𝑒𝑡(𝐴) Esta se utiliza a veces en lugar de |𝐴| para evitar la confusión.

Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y 𝐴 = [𝑎11] y definimos la determinante de A como |𝐴| = 𝑎11 Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo que

A = [𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] es una matriz cuadrada de segundo orden.

TRIGONOMETRÍA

Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:

A = [𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] |𝐴| = (𝑎11 × 𝑎22) − (𝑎21 × 𝑎12)

Ejemplo:

Encuentre |𝐴| si A = [5 −72 1

] |𝐴| = (5 × 1) − (2 × −7) = 5 − −14 = 5 + 14 = 19

DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3 Te mostraremos el método mediante un ejemplo:

𝐴 = [3 1 2−1 0 51 7 0

]

Para calcular su determinante copiamos las dos primeras filas al final de la matriz

[3 1 2−1 0 51 7 0

]3 1−1 01 7

Y multiplicamos todas las diagonales completas en este sentido

(3 × 0 × 0) + (1 × 5 × 1) + (2 × −1 × 7) = 0 + 5 − 14 = −9 Procedemos de la misma forma con las diagonales en este sentido

(2 × 0 × 1) + (3 × 5 × 7) + (1 × −1 × 0) = 0 + 105 + 0 = 105 Luego restamos los resultados de la siguiente forma: − Y obtenemos el determinante de la matriz: |𝐴| = −9 − 105 = −114 Teorema sobre una fila o columna de ceros Si todo elemento de una fila (o columna) de una matriz cuadrada A es cero, entonces |𝐴| = 0

TRIGONOMETRÍA

El método anteriormente visto se denomina Regla de Sarrus y se puede utilizar para cualquier matriz cuadrada

de orden mayor que 2.

INVERSA DE UNA MATRIZ

Operaciones Elementales Dada una matriz A de orden 𝑛 × 𝑚. Llamaremos Operaciones Elementales Filas (OEF), sobre A a cada una de las siguientes operaciones con filas de la matriz A.

1. Denotamos 𝐹𝑖𝑗 al intercambio solamente de la fila i con la fila j.

2. Denotamos 𝐹𝑖(𝑟) al reemplazo de la fila i por r veces la fila i, con 𝑟 ≠0. 3. Denotamos 𝐹𝑖𝑗 (𝑘) al reemplazo de la fila j por la suma de la fila j más k veces la fila i, con 𝑖 ≠ 𝑗.

Las mismas operaciones podemos hacerlas por columnas (OEC): 1. Denotamos 𝐶𝑖𝑗 al intercambio solamente de la columna i con la columna j.

2. Denotamos 𝐶𝑖(𝑟) al reemplazo de la columna i por r veces la columna i, con 𝑟 ≠0. 3. Denotamos 𝐶𝑖𝑗 (𝑘)al reemplazo de la columna j, por la suma de la columna j más k veces la columna i, con

𝑖 ≠ 𝑗. Notación: Si A, B son matrices de orden 𝑛 ×𝑚 y 𝐵 se obtiene desde la matriz 𝐴 efectuando sobre ésta la operación elemental 𝐸 entonces anotamos:

𝐴𝐸→𝐵

Ejemplo:

[1 2 34 5 67 8 9

]𝐶21→ [

2 1 35 4 68 7 9

] 𝐹3(−1)→ [

2 1 35 4 6−8 −7 −9

]𝐹23(2)→ [

2 1 3−11 −10 −12−8 −7 −9

]

Mediante las operaciones elementales podemos encontrar la inversa de una matriz, como se mostrará a continuación. Propiedades: Sean A, B en Mn (una matriz tal que i = j, es decir el número de filas es igual al número de columnas), donde la matriz A tiene su determinante distinto de cero.

a) Se dice que B es la matriz inversa de A en Mn si y sólo si: AB =BA = In b) Una matriz se dice regular (o invertible) si y sólo si existe la inversa de ella. c) Una matriz se dice singular si no es regular, es decir si no es invertible. Notación: Si A es regular, anotamos A-1 para la inversa de A.

TRIGONOMETRÍA

1) MÉTODO MATRIZ AMPLIADA CON LA IDENTIDAD La matriz identidad es aquella donde si i = j entonces toma el valor 1, y si i ≠ j toma el valor 0. Ejemplos:

I2 = [1 00 1

] I3 = [1 0 00 1 00 0 1

]

Ahora para encontrar la inversa de una matriz trabajamos con la matriz ampliada con la identidad. Se busca convertir la matriz inicial A en la identidad y a su vez lo que quede en el lado de la matriz identidad será la inversa buscada. Ejemplo 1:

Encontrar A-1 con A = [0 1−1 3

]

[0 1−1 3

|1 00 1

] 𝐹12→ [

−1 30 1

|0 11 0

] 𝐹1(−1)→ [

1 −30 1

|0 −11 0

] 𝐹21(3)→ [

1 00 1

|3 −11 0

]

Luego: A-1 = [3 −11 0

]

Ejemplo 2:

Encontrar A-1 con A = [0 1 2−1 3 01 −2 1

]

[0 1 2−1 3 01 −2 1

|1 0 00 1 00 0 1

] 𝐹13→ [

1 −2 1−1 3 00 1 2

|0 0 10 1 01 0 0

] 𝐹12(1)→ [

1 −2 10 1 10 1 2

|0 0 10 1 11 0 0

]

𝐹21(2)→ [

1 0 30 1 10 1 2

|0 2 30 1 11 0 0

] 𝐹23(−1)→ [

1 0 30 1 10 0 1

|0 2 30 1 11 −1 −1

] 𝐹32(−1)→

[1 0 30 1 00 0 1

|0 2 3−1 2 21 −1 −1

] 𝐹31(−3)→ [

1 0 00 1 00 0 1

|−3 5 6−1 2 21 −1 −1

] A-1 = [−3 5 6−1 2 21 −1 −1

]

2) MÉTODO DE LA ADJUNTA

𝐴−1 =1

|𝐴|(𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑇

Nota: La matriz adjunta es la que se obtiene de los cofactores de cada término de la matriz

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo 1:

Calcularemos la matriz inversa de la misma matriz dada en el ejemplo de la matriz ampliada A = [0 1−1 3

] con

el método de la adjunta, para que observes que obtenemos lo mismo. 1º) Calculamos la 𝐴𝑑𝑗(𝐴), para ello calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.

𝐴11 = (−1)1+1 × 3 = 3 𝐴12 = (−1)

1+2 × −1 = 1

𝐴21 = (−1)2+1 × 1 = −1 𝐴22 = (−1)

2+2 × 0 = 0 2º) Con los cofactores formamos la matriz B 𝐴𝑑𝑗(𝐴) y luego obtengo (𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑇

𝐴𝑑𝑗(𝐴) = [3 1−1 0

] (𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑇 = [3 −11 0

]

Nota: observe que la adjunta de una matriz de orden 2 es: 𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] ⇒ 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = [𝑑 −𝑐−𝑏 𝑎

]

3º) Calculamos el determinante de A = [0 1−1 3

] 0 − −1 = 1

4º) Reemplazamos en la fórmula:

𝐴−1 =1

|𝐴|(𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑇

𝐴−1 =1

1[3 −11 0

]

𝐴−1 = [3 −11 0

]

Observaciones:

- La inversa es única. - Una matriz es invertible sólo si el determinante es distinto de cero.

SOLUCIÓN DE SISTEMAS CON MATRICES Resolveremos el siguiente sistema utilizando distintos métodos.

{

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 3−3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = −2

1) MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA 1º) Llevamos este sistema a una matriz en la cual colocamos en la primera columna los coeficientes de “x”, en la segunda columna los coeficientes de “y”, y en la tercera columna los coeficientes de “z”. Otra matriz (o vector fila) con las incógnitas y finalmente una con los coeficientes libres.

TRIGONOMETRÍA

[1 −2 32 1 −4−3 4 −1

] · [𝑥𝑦𝑧] = [

43−2]

A · X = B

2º) Si el determinante de la matriz A es distinto de cero, la matriz A tiene inversa. Por lo tanto, podemos calcular la matriz de las incógnitas X del siguiente modo:

𝐴 · 𝑋 = 𝐵 𝐴−1 · 𝐴 · 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵

𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵

Observación: es importante respetar el orden de la multiplicación, en este caso se multiplica por la izquierda la matriz inversa, recuerde que las matrices no son conmutativas. 3º) Aplicamos el método de la siguiente forma: Buscamos la inversa de la matriz A:

𝐴−1 = [

3/4 1/2 1/47/10 2/5 1/211/20 1/10 1/4

]

Entonces según el método:

[

3/4 1/2 1/47/10 2/5 1/211/20 1/10 1/4

] · [1 −2 32 1 −4−3 4 −1

] · [𝑥𝑦𝑧] = [

3/4 1/2 1/47/10 2/5 1/211/20 1/10 1/4

] [43−2]

[1 0 00 1 00 0 1

] · [𝑥𝑦𝑧] = [

3/4 1/2 1/47/10 2/5 1/211/20 1/10 1/4

] [43−2]

[𝑥𝑦𝑧] = [

432]

Por lo tanto: 𝑥 = 4, 𝑦 = 3, 𝑧 = 2

2) MÉTODO DE CRAMER Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero. Es un sistema lineal no homogéneo, un sistema es homogéneo cuando todos los términos

independientes de las ecuaciones que lo componen son cero.

TRIGONOMETRÍA

Si 𝐴𝑋 = 𝐵 es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, X es el vector columna de las incógnitas y B es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

𝑥𝑗 =det (𝐴𝑗)

det(𝐴)

Donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna B.

Resolveremos el sistema anterior ahora utilizando este método:

[1 −2 32 1 −4−3 4 −1

] · [𝑥𝑦𝑧] = [

43−2]

A · X = B

𝑥 =|4 −2 33 1 −4−2 4 −1

|

|1 −2 32 1 −4−3 4 −1

|

=80

20= 4 𝑦 =

|1 4 32 3 −4−3 −2 −1

|

|1 −2 32 1 −4−3 4 −1

|

=60

20= 3 𝑧 =

|1 −2 42 1 3−3 4 −2

|

|1 −2 32 1 −4−3 4 −1

|

=40

20= 2

3) MÉTODO DE GAUSS

Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss, realizamos las operaciones elementales necesarias que nos permitan despejar completamente una incógnita, esto es transformar la matriz en una matriz triangular ya sea superior o inferior.

{

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 3−3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = −2

1º) Llevamos este sistema a una matriz en la cual colocamos en la primera columna los coeficientes de “x”, en la segunda columna los coeficientes de “y”, y en la tercera columna los coeficientes de “z”

143

412

321

2º) Ampliamos la matriz anterior con los valores constantes de cada ecuación.

2143

3412

4321

3º) Se comienza a realizar las operaciones elementales, para obtener la matriz identidad:

TRIGONOMETRÍA

---------

---------

31

21F F

F

F )2(

10820

1210

4321

)5/1(

10820

51050

4321

)3(

)2(

2143

3412

4321

322

8400

1210

4321

De aquí obtenemos las siguientes ecuaciones: 1º) 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 4 2º) 𝑦 − 2𝑧 = −1 3º) 4𝑧 = 8 Esto significa que: 3º) 4𝑧 = 8 → 𝑧 = 2 Luego vamos reemplazando en las otras ecuaciones, hasta resolver completamente el sistema: 2º) 𝑦 − 2𝑧 = −1 → 𝑦 − 2 ∗ 2 = −1 → 𝑦 = 3 1º) 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 4 → 𝑥 − 2 ∗ 3 + 3 ∗ 2 = 4 → 𝑥 = 4 Así finalmente encontramos las soluciones del sistema. Observaciones:

Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = k (siendo k un número real distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = k, y además el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = k y el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las n - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS

RESUELTOS

TRIGONOMETRÍA

VECTORES

1) Completa la tabla escribiendo un ejemplo para cada caso como se muestra en el ejemplo y determina

si corresponde a un vector o no, justifica tu respuesta.

Cantidad Ejemplo ¿Es un vector o no? Justifica

Distancia 5 metros

Desplazamiento 20 metros hacia el norte

Tiempo

Altura

Fuerza

Masa

Velocidad

Rapidez

Volumen

2) Demuestra que los vectores �� = (6,−10) y 𝑣 = (−6,10) son paralelos a �� = (3,−5). ¿Si son paralelos por qué el ángulo que forman con �� es distinto?

3) Un vector unitario es aquel cuyo módulo es 1 ¿Cuántos vectores unitarios puedes construir?

4) En las siguientes imágenes ¿qué representa el vector de color rojo en cada caso? a)

b)

TRIGONOMETRÍA

5) En la imagen se muestran cuatro fuerzas que actúan sobre una partícula que se ubica en el origen del sistema coordenado.

a) ¿Qué representan las fuerzas (Newton = N) en cada caso? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total que está recibiendo la partícula? c) Si la partícula pudiera moverse, ¿en qué dirección saldría disparada? d) Si queremos que la partícula permanezca sin moverse al aplicarle una quinta fuerza, ¿cuál deberán

ser la magnitud y dirección de la quinta fuerza? Justifica tu respuesta.

6) Calcula el valor de las coordenadas del vector 𝑢 sabiendo que el producto punto entre los vectores

�� = (𝑥, 𝑦) y 𝑣 = (2,−1) es 0 y que sus módulos son iguales.

TRIGONOMETRÍA

Desarrollos y soluciones:

1) Las cantidades mencionadas son vectores si tienen magnitud, dirección y sentido; si sólo tienen magnitud entonces son escalares, de acuerdo con esto la clasificación es la siguiente:

Cantidad Ejemplo ¿Es un vector o no?

Distancia 5 metros No

Desplazamiento 20 metros hacia el norte Sí

Tiempo 5 minutos No

Altura 3 metros No

Fuerza 40 Newton en dirección inclinada 30° con respecto al eje x positivo Sí

Masa 4 kilos No

Velocidad 80 m/s en dirección vertical hacia arriba Sí

Rapidez 20 m/s No

Volumen 30 m3 No

2) Observemos que los tres vectores son proporcionales:

�� = 2 �� y 𝑣 =−2 ��

El vector �� tiene la misma dirección y sentido que �� . La diferencia es que su módulo es el doble:

|�� | = |2 �� | ⟺ |�� |= |2|| �� | ⟺ |�� |= 2| �� |

El vector 𝑣 tiene la misma dirección que �� pero sentido opuesto. Su módulo también es el doble:

|𝑣 |= |−2 �� | ⟺ |𝑣 |= |−2|| �� | ⟺ |𝑣 |= 2| �� |

Como los tres vectores tienen la misma dirección, son paralelos. El vector �� forma un ángulo de 0° porque tiene el mismo sentido que �� , mientras que el vector 𝑣 forma un ángulo de 180° porque tiene sentido opuesto.

3) Un vector unitario es aquel cuyo módulo es 1 , por lo tanto podemos construir infinitos vectores (x,y)

que cumplan esta condición: √𝑥2 + 𝑦2 = 1.

Observa que si reescribimos la expresión para calcular el módulo (elevando al cuadrado cada lado de

la igualdad) de la siguiente forma: 𝑥2 + 𝑦2 = 1 obtenemos la ecuación de una circunferencia de radio

1, por lo tanto, todos los vectores que se forman desde el centro de la circunferencia, con radio 1

cumplen con ser vectores unitarios, según muestra la imagen:

TRIGONOMETRÍA

4) a) Representa la suma de los vectores: C + A + D + B por regla del paralelógramo.

b) Representa la operación B – A por regla del paralelógramo.

5) Actividad de fuerzas sobre una partícula

a) Los Newton representan los módulos de cada vector.

b) La magnitud de la fuerza total es la suma de todas las fuerzas, que en este caso será la suma de todos los vectores, para lo cual necesitaremos utilizaremos su forma trigonométrica ya que tenemos los ángulos y magnitudes de cada vector y luego lo transformaremos en su forma de par ordenado para realizar la operación suma:

El vector u es (80,0) aquí no necesitamos llevarlo a su forma trigonométrica. El vector v tiene magnitud 100 y ángulo de 45°, por lo tanto, su forma trigonométrica es:

100(cos(45°) + 𝑖 ∗ sen(45°) ≈ (70,7 ; 70,7) El vector w tiene magnitud 110 y ángulo de 160°, por lo tanto, su forma trigonométrica es:

110(cos(160°) + 𝑖 ∗ sen(160°) ≈ (−103,4 ; 37.6) El vector a tiene magnitud 160 y ángulo de 200°, por lo tanto, su forma trigonométrica es:

160(cos(200°) + 𝑖 ∗ sen(200°) ≈ (−150 ;−54) Luego, la suma de los vectores será: (80,0) + (70,7 ; 70,7) + (−103,4 ; 37.6) + (−150 ;−54) =(−102.7 ; 54.3) La magnitud del vector es el módulo, por lo tanto, debemos calcular el módulo del vector suma:

√(−102.7)2 + 54.32 ≈ 116.2 Finalmente, la magnitud de la fuerza total ejercida es 116.2 Newton.

TRIGONOMETRÍA

c) Para saber en qué dirección sale disparada basta con representar el vector suma en el plano o calcular su ángulo:

𝑡𝑎𝑛−1 (54.3

102.7) ≈ 27.9° ⇒

180° − 27.9° ≈ 152.1°

Entonces la dirección con la que sale disparada la partícula es de 152,1° aproximadamente. (Oeste Noroeste) d) Si queremos que la partícula permanezca sin moverse al aplicarle una quinta fuerza debe tener la

magnitud y dirección de la quinta fuerza opuesta al vector fuerza (f) calculados anteriormente, es decir el vector opuesto, por lo tanto, su ángulo debe ser de 332.1° (360°-27,9°) y su magnitud la misma 116.2. Las coordenadas de este vector serán las del vector opuesto a f (102.7 ; −54.3).

6) Como el producto punto entre los vectores 𝑣 = (𝑥, 𝑦) y �� = (2,−1) es 0, esto implica que el ángulo que se forma entre ellos es de 90° o es de 270° (recuerda que el producto punto es la sombra que proyecta el vector por el módulo del vector sobre el cuál se proyecta, por lo tanto para que su sombra sea cero debe estar en los ángulos mencionados), por lo que tendremos las siguientes situaciones:

Como sus módulos son iguales, obtendremos dos opciones para el vector 𝑣: 𝑣 = (1,2) o

𝑣 = (−1,−2).

TRIGONOMETRÍA

MATRICES

1) Calcula las operaciones indicadas si es posible, si no es posible realizar la operación justifica por qué.

Sean las matrices:

𝐴 = (2

1

23

7−4

) 𝐵 = (−3

55

0 −1

) 𝐶 = (2 5 −

1

2

04

70

) 𝐷 = (−2 30 −21 5

)

a) 𝐴 + 𝐵

b) 𝐴 + 𝐶

c) 𝐵 − 𝐴

d) 𝐴 − 𝐵

e) 𝐴 ∙ 𝐶

f) 𝐶 ∙ 𝐴

g) 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐷

h) Calcula los determinantes de cada una de las matrices dadas.

i) Calcula la matriz inversa de cada una de las matrices dadas.

2) La matriz A es mágica, ¿por qué?

𝐴 = [16 6 82 10 1812 14 4

]

a) Si realizas la operación A2, el resultado obtenido ¿es una matriz mágica? b) Si realizas la operación A3, el resultado obtenido ¿es una matriz mágica? c) ¿Y si realizas la operación A4, A5? ¿El resultado es una matriz mágica?

d) Obtén una generalización de cuándo obtienes una matriz mágica para potencias de matrices

mágicas.

3) ¿Para qué valores de m la siguiente matriz tiene inversa?

[𝑚 −1 43 𝑚 0−1 0 1

]

TRIGONOMETRÍA

4) Resolviendo en 3D: Ingresa a https://www.geogebra.org/classic?lang=es y selecciona

En la sección marcada, escribe cada una de las ecuaciones dadas

Ecuaciones:

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 32𝑥 + 10𝑦 = 10

}

ACTIVIDAD 1

a) ¿Qué representa geométricamente cada ecuación? b) ¿Qué representa geométricamente la solución del sistema de ecuaciones?

ACTIVIDAD 2

Selecciona en la ventana, la opción HOJA DE CÁLCULO

Ingresa la matriz ampliada que representa el sistema de ecuaciones.

Selecciona el recuadro con los datos y crea la matriz.

En la ventana:

a) Calcula el determinante de la matriz principal con el comando: ¿Qué

significa lo obtenido? Si calculas el determinante de la matriz ampliada ¿qué obtienes? ¿Por qué?

b) Utiliza el comando: e interpreta lo obtenido.

c) ¿El sistema tiene solución? Si la tiene ¿Cuál es?, si no la tiene ¿Por qué no la tiene?

https://www.geogebra.org/classic?lang=es

TRIGONOMETRÍA

5) Una constructora realiza tres tipos de viviendas, el ingeniero desea programar la compra de las ventanas de cada una de ellas.

Vivienda tipo Alerce Vivienda tipo Bosques Vivienda tipo Mediterránea

Tiene 1 ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña

Tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 pequeñas

Tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas

Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras, cada ventana mediana tiene dos cristales y 4 bisagras; y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y 2 bisagras. a) Escribir una matriz que describa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda; y otra

matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras en cada tipo de ventana. b) Calcular una matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesarias en cada tipo de

vivienda.

6) Para calcular el producto cruz entre dos vectores utilizamos matrices mediante la siguiente fórmula:

�� × 𝑣 = |𝑖 𝑗 ��

𝑢1 𝑢2 𝑢3𝑣1 𝑣2 𝑣3

| = 𝑖 |𝑢2 𝑢3𝑣2 𝑣3

| − 𝑗 |𝑢1 𝑢3𝑣1 𝑣3

| + �� |𝑢1 𝑢2𝑣1 𝑣2

|

Donde: 𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = (0,1,0) �� = (0,0,1) son vectores unitarios, un vector unitario es aquel que su modulo es 1. a) Calcula el producto cruz entre los vectores �� = (1,2,3) y 𝑣 = (−1,1,2) ¿Qué interpretación

gráfica tiene lo obtenido? ¿Obtienes lo mismo si calculas �� × 𝑣 que 𝑣 × �� ?

b) Calcula el módulo del producto cruz anterior ¿Qué interpretación gráfica tiene lo obtenido?

7) Determina las condiciones que debe cumplir k para que el sistema de ecuaciones:

3𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −2

5𝑥 + (𝑘 + 1)𝑦 + 2𝑧 = 4}

a) Tenga solución única b) No tenga solución c) Tenga infinitas soluciones

TRIGONOMETRÍA

Desarrollos y soluciones:

1) Solución de las operaciones:

a) 𝐴 + 𝐵 = (2

1

23

7−4)+ (

−3

55

0 −1) = (

2 −3

5

1

2+ 5

3

7+ 0 −4 − 1

) = (7/5 11/23/7 −5

)

b) 𝐴 + 𝐶: No es posible realizar esta operación ya que el orden (cantidad de filas y columnas) de

ambas matrices es distinto.

c) 𝐵 − 𝐴 = (−3

55

0 −1) − (

21

23

7−4) = (

−3

5− 2 5 −

1

2

0 −3

7−1 + 4

) = (−13

5

9

2

−3

73)

d) 𝐴 − 𝐵 = (2

1

23

7−4)− (

−3

55

0 −1) = (

2 +3

5

1

2− 5

3

7− 0 −4 + 1

) = (

13

5−9

23

7−3)

e) 𝐴 ∙ 𝐶 = (2

1

23

7−4) ∙ (

2 5 −1

2

04

70) = (

2 ∙ 2 +1

2∙ 0 2 ∙ 5 +

1

2∙4

72 ∙ −

1

2+1

2∙ 0

3

7∙ 2 − 4 ∙ 0

3

7∙ 5 − 4 ∙

4

7

3

7∙ −

1

2− 4 ∙ 0

) =

(4

72

7−1

6

7−1

7−3

14

)

f) 𝐶 ∙ 𝐴: No es posible resolver, la que la cantidad de columnas de la primera matriz es distinta de la

cantidad de filas de la segunda matriz.

g) 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐷 = (2

1

23

7−4) ∙ (

−3

55

0 −1) + (

2 5 −1

2

04

70) ∙ (

−2 30 −21 5

) =

(2 ∙ −

3

5+1

2∙ 0 2 ∙ 5 +

1

2∙ −1

3

7∙ −

3

5− 4 ∙ 0

3

7∙ 5 − 4 ∙ −1

) + (2 ∙ −2 + 5 ∙ 0 −

1

2∙ 1 2 ∙ 3 + 5 ∙ −2 −

1

2∙ 5

0 ∙ −2 +4

7∙ 0 + 0 ∙ 1 0 ∙ 3 +

4

7∙ −2 + 0 ∙ 5

) =

(−6

5

19

2

−9

35

22

7

)+ (−9

2−13

2

0 −8

7

) = (−57

10

6

2

−9

352)

h) Solo las matrices A y B son cuadradas, por lo tanto, para C y D no es posible calcular el determinante.

det(𝐴) = det(2

1

23

7−4

) = 2 ∙ −4 −3

7∙1

2= −

115

14

TRIGONOMETRÍA

det (𝐵) = det (−3

55

0 −1

) = −3

5∙ −1 − 0 ∙ 5 =

3

5

i) La matriz inversa sólo se puede calcular para matrices cuadradas, por lo tanto, sólo es posible para A y B, además sus determinantes son distintos de cero, por lo tanto, las inversas existen en ambos casos.

(2

1

23

7−4)

−1

Ampliaremos la matriz con la identidad para calcular la inversa realizando

operaciones elementales filas:

(2

1

23

7−4

| 1 00 1

)𝐹1 (1

2)

(1

1

43

7−4

| 1

20

0 1)𝐹12 (−

3

7)

(1

1

4

0 −115

28

|

1

20

−3

141

)

𝐹2 (−28

115)

(1

1

40 1

|

1

20

6

115−28

115

)𝐹21 (−1

4)

(1 00 1

|

56

115

7

1156

115−28

115

)

Por lo tanto (2

1

23

7−4)

−1

= (

56

115

7

1156

115−28

115

)

En el segundo caso, procedemos de la misma forma, con lo cual obtenemos:

(−3

55

0 −1

)

−1

=

(−3

55

0 −1| 1 00 1

)𝐹1 (−5

3)

(1 −

25

30 −1

| −5

30

0 1

)𝐹2(−1) (1 −25

30 1

| −5

30

0 −1

)𝐹21 (25

3)

(1 00 1

| −5

3−25

30 −1

)

Por lo tanto (−3

55

0 −1)

−1

= (−5

3−25

3

0 −1)

2) Matriz mágica:

a) 𝐴2 = [364 268 268268 364 268268 268 364

] No es una matriz mágica ya que al sumar las diagonales, horizontales y

verticales no se obtiene el mismo (en forma vertical y horizontal se obtiene 900, pero en una de

las diagonales se obtiene 1092)

b) 𝐴3 = [9576 8616 88088232 9000 97689192 9384 8424

] es una matriz mágica su constante es 27.000

TRIGONOMETRÍA

c) 𝐴4 = [276.144 266.928 266.928266.928 276.144 266.928266.928 266.928 276.144

] no es matriz mágica ya que la suma de las diagonales,

verticales y horizontales no es la misma.

𝐴5 = [8.155.296 8.063.136 8.081.5688.026.272 8.100.000 8.173.7288.118.432 8.136.864 8.044.704

] es una matriz mágica cuya constante es

24.300.000

d) Las matrices que se obtienen, a partir de una matriz mágica, de potencia impar son matrices

mágicas y las de potencia par no serán mágicas.

3) La matriz dada tiene inversa si su determinante es distinto de cero, entonces al calcular el

determinante obtenemos:

𝑚2 + 4𝑚 + 3

Determinamos para que valores esta expresión es cero:

𝑚2 + 4𝑚 + 3 = 0

Para lo que resolvemos la ecuación cuadrática, y calculamos los valores de m: 𝑚 = −3 o 𝑚 = −1

Por lo tanto, la matriz tiene inversa siempre y cuando m sea distinto de -3 y de -1.

4) ACTIVIDAD 1

a) ¿Qué representa geométricamente cada ecuación?

Cada una de ellas representa un plano en el espacio.

b) ¿Qué representa geométricamente la solución del sistema de ecuaciones?

Representa la intersección de los tres planos.

ACTIVIDAD 2

a) Calcula el determinante de la matriz principal ¿Qué significa lo obtenido? El determinante es cero, esto

significa que no podemos calcular la solución utilizando el método de la inversa, y significa que el sistema

puede tener infinitas soluciones como no tener solución (sistema incompatible)

Si calculas el determinante de la matriz ampliada ¿qué obtienes? ¿Por qué?

TRIGONOMETRÍA

Indefinido, ya que se está calculando el determinante de una matriz no cuadrada y esto no es posible,

el determinante sólo existe si la matriz es cuadrada.

b) En la matriz reducida por filas se obtiene:

Esto significa que es un sistema con infinitas soluciones ya que la última fila muestra un sistema

compatible, con z como parámetro. Obtenemos:

𝑥 − 1.67𝑧 = −1.67𝑦 + 0.33𝑧 = 1.33

}

c) ¿El sistema tiene solución? Si la tiene ¿Cuál es?, si no la tiene ¿Por qué no la tiene?

El sistema tiene infinitas soluciones: con 𝑧 = 𝑡 ∈ ℝ

𝑥 = −1.67 + 1.67𝑡𝑦 = 1.33 − 0.33𝑡

}

5) a) Matriz que expresa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda.

𝑉𝐺 𝑉𝑀 𝑉𝐶𝐻

𝐴 = (1 7 12 9 24 10 3

)𝑎𝑙𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑠

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑟á𝑛𝑒𝑜

Matriz que expresa el número de cristales y el número de bisagras en cada tipo de ventana.

𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐵𝑖𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑠

𝐵 = (4 82 41 2

)𝑎𝑙𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑠

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑟á𝑛𝑒𝑜

b) La matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesarias en cada tipo de vivienda, es la matriz A*B.

𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐵𝑖𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑠

𝐴 ∙ 𝐵 = (19 3828 5639 78

)𝐴𝑙𝑒𝑟𝑐𝑒𝐵𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑠

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑟á𝑛𝑒𝑎

6) a) El producto cruz es:

TRIGONOMETRÍA

�� × 𝑣 = |𝑖 𝑗 ��

1 2 3−1 1 2

| = 𝑖 |2 31 2

| − 𝑗 |1 3−1 2

| + �� |1 2−1 1

| = 𝑖 − 5𝑗 + 3��

= (1,0,0) − 5 · (0,1,0) + 3 · (0,0,1) = (1,0,0) − (0,5,0) + (0,0,3) = (1,−5,3)

El vector obtenido es un vector perpendicular a los dos dados inicialmente. Si calculamos 𝑣 × �� obtenemos el vector opuesto al anteriormente calculado: (−1,5, −3) Observa:

𝑣 × �� = |𝑖 𝑗 ��

−1 1 21 2 3

| = 𝑖 |1 22 3

| − 𝑗 |−1 21 3

| + �� |−1 11 2

| = −𝑖 + 5𝑗 − 3��

= −(1,0,0) + 5 · (0,1,0) − 3 · (0,0,1) = (−1,0,0) + (0,5,0) − (0,0,3) = (−1,5,−3) Que también es perpendicular a los dos vectores dados inicialmente, sólo que va en sentido contrario

del hallado anteriormente.

b) El módulo del producto cruz en ambos casos será el mismo: √(1)2 + (−5)2 + (3)2 = √35 que representa el área (en unidades al cuadrado) del paralelogramo que se forma entre los vectores u y v.

7) Para determina las condiciones que debe cumplir k según cada caso, escribiremos la matriz ampliada que representa el sistema de ecuaciones:

(3 1 𝑘1 −1 25 𝑘 + 1 2

|1−24)

Y aplicando operaciones elementales filas, obtenemos la matriz escalonada reducida:

(

1 −1 20 4 𝑘 − 6

0 0−𝑘2 + 4

4

|

−27

−7𝑘 + 14

4

)

a) Para que el sistema tenga solución única, debemos tener un sistema compatible, es decir el

determinante de la matriz principal debe ser distinto de cero:

𝑑𝑒𝑡 (

1 −1 20 4 𝑘 − 6

0 0−𝑘2 + 4

4

) =−𝑘2 + 4

4

Calculamos cuando este determinante es cero: −𝑘2 + 4

4= 0 ⇒ 𝑘 = 2, 𝑘 = −2

Por lo tanto, si k es distinto de 2 o -2 el sistema tendrá solución y será única.

b) No tenga solución

TRIGONOMETRÍA

Si k = -2 el sistema no tiene solución, observa que al reemplazar en la última línea de la matriz ampliada reducida por filas, obtienes la siguiente igualdades 0=7, lo que muestra un sistema incompatible.

c) Tenga infinitas soluciones Si k = 2 el sistema tiene infinitas soluciones, observa que al reemplazar en la última línea de la matriz ampliada reducida por filas, obtienes la siguiente igualdades 0=0, lo que muestra un sistema compatible.

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS

PROPUESTOS

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD SUGERIDA N°01 VECTORES: DISTANCIA, DIRECCIÓN Y SENTIDO

Karen debe ir desde su casa al supermercado como muestra el mapa:

Representa con vectores la ruta marcada en el mapa en el plano cartesiano, tomando

como origen del sistema coordenado la casa de Karen.

1) Construye otra ruta diferente para ir desde la casa al supermercado, avanzando por las calles representadas.

2) Cuenta las cuadras que avanzó a la derecha y las que avanzó hacia arriba (desplazamiento). Si en algún momento avanzó a la izquierda o hacia abajo considera que se movió -1 cuadras a la derecha.

3) Compare los resultados de las rutas anteriores ¿cómo son los resultados de los desplazamientos totales?

4) Calcula el módulo (distancia) de cada vector que representa cada ruta (la dada y la creada), compara la suma de

los módulos de cada una de las rutas con el cálculo del desplazamiento total anteriormente realizado.

5) Suponga que ahora tiene que ir nuevamente desde la casa al supermercado, pero puede moverse solo por las diagonales de las manzanas (imagine que todas las cuadras tienen diagonales), como se muestra en la imagen.

Karen no puede cambiar de dirección en el centro de la manzana, debe completar la diagonal, es decir, no puede moverse como se muestra en la imagen.

Construya gráficamente una ruta para ir desde la casa al supermercado en el plano cartesiano, avanzando por estas diagonales.

6) Cuente las veces que avanzó en cada diagonal, para cada ruta que construyó. De la misma forma anterior si tuvo que avanzar en la dirección ó considérelo como -1 vez la diagonal. Compare los resultados de los desplazamientos totales con lo obtenido anteriormente. Calcule los módulos de cada vector que representa la ruta descrita y compare la suma de los módulos con el desplazamiento total.

TRIGONOMETRÍA

Solución: La representación de la ruta marcada en el mapa utilizando vectores es:

Se han marcado con azul los vectores con orientación positiva y con rojo los con orientación negativa según las instrucciones dadas. Esta actividad tiene múltiples soluciones ya que es una actividad abierta (pues dependerá de las otras rutas que te has dado), sin embargo, para calcular los desplazamientos deberá sumar los movimientos, en el caso de la imagen dada es:

1 – 1 + 2 + 3 − 1 + 2 + 1 = 7 Por lo tanto, el desplazamiento total es de 7 cuadras. Cuando se nos pide calcular los módulos de los vectores obtendremos en el caso de la ruta dada:

1 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1 = 11 Por lo que el recorrido total es de 11 cuadras, entonces el desplazamiento y la distancia total recorrida son conceptos distintos. Pueden existir casos tanto en las rutas diagonales como en las horizontales y verticales en las que el desplazamiento sea igual a la distancia, si no existen vectores con dirección negativa según las indicaciones de la actividad.

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ACTIVIDAD SUGERIDA N°02: LA RUTA DEL AVIÓN

Un avión parte de un aeropuerto en la ciudad A, y toma la ruta de la siguiente imagen: Sabiendo que el punto de partida es el aeropuerto desde donde despega con un ángulo de elevación de 30° y que el ángulo de giro que realiza una vez que llega a la ciudad A para dirigirse a la ciudad B es de 260°. Nota: La ciudad C se encuentra en paralelo del aeropuerto.

1) Calcula el ángulo de cada uno de los vectores que muestran la trayectoria del avión.

2) Determina la posición de la ciudad C en relación con el punto de partida.

Solución:

1) El vector que va desde el punto de inicio a la ciudad A tiene un ángulo de 30°, el vector 𝐴𝐵 tiene un

ángulo de 110°, el vector 𝐵𝐶 tiene un ángulo de 180°.

2) La ciudad C tiene coordenadas aproximadas (−89.75; 228.45)

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD SUGERIDA N°03

En el análisis de las corrientes costeras se utilizan vectores para obtener los datos que permitan analizarlas se observan los desplazamientos de las boyas en el mar. En el siguiente cuadro se muestran los datos de una boya que se coloca en el mar y su posición se registra cada cierto tiempo. Nota: El ángulo es con referencia al Este respecto del último punto donde se tomó el dato anterior.

Tiempo (horas)

Distancia (m)

Ángulo (grados)

0 7 23

1 10 12

2 5 8

1) Realiza un gráfico utilizando vectores que permita observar la trayectoria de la boya. 2) ¿Cuál es la distancia total recorrida por la boya? 3) ¿cuál es la posición final de la boya?

Solución:

1) Gráfico de la trayectoria de la boya

2) La distancia total recorrida por la boya es de 22 metros

3) La posición final de la boya respecto de su punto de inicio es en la coordenada (21,2; 5,5)

aproximadamente.

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ACTIVIDAD SUGERIDA N°04 OPERACIONES CON MATRICES

Una compañía de discos para computadoras de alto rendimiento tiene 3 productos a la venta (simple, medio, alto) y tiene 4 empresas a las que provee anualmente (empresas A, B, C y D). El resumen anual de productos vendidos a cada empresa se anota en una matriz, donde cada empresa dispone de un vector fila cuyas componentes indican las cantidades adquiridas de cada producto. Sea M la matriz de ventas de este año:

𝑀 = (

7 3 54 0 35 2 73 4 2

)

1) Interpretar la matriz M, explicando cómo ha sido la venta de productos de la compañía.

2) Durante el año anterior se realizaron las siguientes ventas: la primera empresa ha comprado 5 unidades

del primer producto, 2 del segundo y 3 del tercero; el segundo cliente, 4 unidades de cada uno; el tercero sólo 4 unidades del primer artículo y el cuarto no ha comprado nada. Construye la matriz de ventas del año anterior.

3) Escribe la matriz de las ventas conjuntas de este año y del anterior.

4) Escribe la matriz de la variación de las ventas de este año en relación con las del año anterior.

5) Debido a la baja del dólar se pronostica que la cantidad de ventas del año siguiente aumentarán en un 30% respecto de este año. ¿Cuál será la matriz de la venta esperada para el siguiente año?

6) Si el primer producto tiene un valor de venta de 250 dólares, el segundo 680 dólares y el tercero 420 dólares. ¿Cómo representas en forma matricial la operación que permite obtener la recaudación por empresa de cada uno de los productos vendidos por la compañía durante este año?

TRIGONOMETRÍA

Soluciones:

1) A la empresa A le vende 7 productos de rendimiento simple, 3 productos de rendimiento medio y 5 productos de rendimiento alto; a la empresa B le vende 4 productos simple y 3 alto; a la empresa C le vende 5 simple, 2 medio y 7 alto; y a la empresa C le vende 3 productos simple, 4 productos medio y 2 productos alto.

2) La matriz de ventas del año anterior es:

𝑀 = (

5 2 34 4 44 0 00 0 0

)

3) La matriz de las ventas conjuntas de este año y el anterior son: (

12 5 88 4 79 2 7 3 4 2

)

4) La matriz de variación de las ventas de este año en relación con las del año anterior es: (

2 1 20 −4 −11 2 73 4 2

)

5) La matriz de la venta esperada para el siguiente año es: (

9 3 65 0 36 2 93 5 2

)

6) La representación en forma matricial de la operación que permite obtener la recaudación por empresa de cada uno de los productos vendidos por la compañía durante este año es:

(

7 3 54 0 35 2 73 4 2

) ∗ (250680420

) = (

5.8902.2605.5504.310

)

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD SUGERIDA N°05: EL PROFESOR TURISTA

Un profesor de matemática ha decidido planificar sus vacaciones minuciosamente para aprovechar al máximo

su tiempo y dinero como turista, por lo que ha decidido realizar un esquema de las cuatro ciudades que visitará,

representando con una línea si es posible llegar de una ciudad a otra en algún medio de transporte.

Al ver este esquema el profesor turista se ha dado cuenta que tiene muchas opciones de ruta a seguir, por lo que lleva su esquema a una matriz, representando con 1 si puede llegar de una ciudad a otra con un medio de transporte directo, y con 0 si no puede llegar en forma directa.

1) De acuerdo con la información dada completa la matriz “M” del profesor turista.

A B C D

A 0 1 0 0

B 0

C 0

D 0

Nota: la ciudad con sí misma no está conectada.

2) Calcula la matriz 𝑀2 𝑦 𝑀3 ¿Cómo interpretas lo obtenido en cada caso?

3) Calcula el valor de 𝑀2 +𝑀 e interpreta lo obtenido.

4) Calcula el valor de 𝑀3 +𝑀2 +𝑀 e interpreta lo obtenido.

TRIGONOMETRÍA

Soluciones:

1) La matriz 𝑀 es:

A B C D

A 0 1 0 0

B 1 0 1 0

C 0 0 0 1

D 0 1 1 0

2) Calcula la matriz 𝑀2 𝑦 𝑀3 ¿Cómo interpretas lo obtenido en cada caso?

𝑀2 A B C D

A 1 0 1 0

B 0 1 0 1

C 0 1 1 0

D 1 0 1 1

Esta matriz indica todos los caminos de longitud 2, que hay para ir de una ciudad a otra.

𝑀3 A B C D

A 0 1 0 1

B 1 1 2 0

C 1 0 1 1

D 0 2 1 1

Esta matriz indica todos los caminos de longitud 3, que hay para ir de una ciudad a otra.

3) Calcula el valor de 𝑀2 +𝑀 e interpreta lo obtenido.

𝑀2 +𝑀 A B C D

A 1 1 1 0

B 1 1 1 1

C 0 1 1 1

D 1 1 2 1

Esta matriz indica el número de rutas para ir de una ciudad a otra directamente o pasando por una ciudad

intermedia.

4) Calcula el valor de 𝑀3 +𝑀2 +𝑀 e interpreta lo obtenido. 𝑀3 +𝑀2 +𝑀

A B C D

A 1 2 1 1

B 2 2 3 1

C 1 1 2 2

D 1 3 3 2

Esta matriz indica el número de rutas cuya longitud máxima es 3 (pasando directo, pasando por una

ciudad intermedia o pasando por dos ciudades intermedias), que hay para ir de una ciudad a otra a otra.

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD SUGERIDA N°06

El precio de la entrada a un parque zoológico es de 5.000 para los niños, 7.500 para los adultos y 6.000 para la tercera edad (mayores de 60 años). En una jornada el zoológico fue visitado por 5.900 personas en total, igualando el número de visitantes adultos al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a $37.350.000.

1) Plantea un sistema de ecuaciones en forma matricial para averiguar cuántos niños, adultos y jubilados visitaron la exposición ese día.

2) Resuelve el problema con alguno de los métodos matriciales vistos.

3) Si el zoológico necesita que ingrese como mínimo $25.000.000 diarios para poder cubrir los gastos y considerando que en promedio cada familia que asiste está compuesta por dos adultos y dos niños ¿Cuántas familias debiesen asistir para cubrir los gastos diarios?

Solución:

1) Sistema de ecuaciones en forma matricial, con x: número de niños, y: número de adultos y z: número de personas de la tercera edad.

(5.000 7.500 6.0001 1 11 −1 1

) ∙ (𝑥𝑦𝑧) = (

37.350.0005.9000

)

2) Al utilizar la matriz reducida por filas se obtiene: x=2.475, y=2.950, z=475, lo que quiere decir que

asistieron 2.475 niños, 2950 adultos y 475 personas de la tercera edad.

3) Como no dice si los adultos son mayores de 60 años o no, consideraremos varias combinaciones:

a) Si cada dos niños asisten dos adultos ambos menores de 60 años, entonces deben asistir al menos

2000 niños y 2000 adultos.

b) Si cada dos niños asisten dos adultos mayores de 60 años, entonces deben asistir 2273 niños y

2273 adultos mayores.

c) Si cada dos niños asisten un adulto mayor y un adulto menor de 60 años, entonces la cantidad de

niños que debe asistir es 2128, la cantidad de adultos menores de 60 años debe ser 1064, y la

cantidad de adultos mayores 1064.

Observa que se ha aproximado por exceso, ya que de lo contrario no se logra obtener la

recaudación necesaria.

manual docente - inacap.cl

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