manual del marco de vibraciones

Manual del Marco de Vibraciones

I N D I C E I.-INTRODUCCION 1

II.-INFORMACION GENERAL 1I.1.-Descripción General del Aparato 1

Especificaciones 2Caja de instrumentación 2Caja de Control 3Sistema Electrónico 3Fuente de Alimentación 3Control de velocidad para motor D.C. 3Medidor digital de r.p.m. 4Lámpara estroboscópica 4Sistema de graficación 4Protección 4

II.2.-Procedimiento de Calibración 4

III.-INSTALACION Y MANTENIMIENTO 10

IV.-PARTES Y ACCESORIOS 11

V.-RECOMENDACIONES DE OPERACION 13

VI.-EXPERIMENTOSPractica Nº 1 14Practica Nº 2 19 Practica Nº 3 25 Practica Nº 4 29 Practica Nº 5 33 Practica Nº 6 39 Practica Nº 7 44 Practica Nº 8 49 Practica Nº 9 58 Practica Nº 10 61 Practica Nº 11 67 Practica Nº 12 75 Practica Nº 13 86

VII.-GRÁFICAS

Instructor: Alejandro Pérez Cortés


Gráfica 1 T2 contra Longitud L (Péndulos de Metal y Plástico) 18

Gráfica 2 Fuerza- Deformación (Resorte Helicoidal) 38

Gráfica 3 T2 Vs. Longitud de la Barra (Péndulo Torsional) 43

Gráfica 4 Variación del amortiguamiento con la posición del amortiguador 57

Gráfica 5 Variación de 1/f2 contra W (f=Frecuencia de resonancia c.p.s.) 66

Gráfica 6 Variación del ángulo de fase contra relación de frecuencias 73

Gráfica 7 Variación de la amplitud contra la relación de frecuencias 74

Gráfica 8 Variación de ángulo de fase contra relación de frecuencias 79

Gráfica 9 Variación de la trasmisibilidad Tr con la relación de frecuencias W/Wn 85



I.- INTRODUCCION

Debido a su gran adaptabilidad y rápido ensamble, este aparato permite realizar diversas prácticas relacionados con los fenómenos vibratorios.

Las prácticas han sido diseñadas para llevar al estudiante desde las bases de la teoría de vibraciones con experimentos muy sencillos hasta algunas de mayor grado de complejidad.

El objetivo de las practicas es involucrar al estudiante en métodos experimentales que reafirmen sus conocimientos teóricos, así como para que despierten la inquietud de estudio más profundo y una apreciación más crítica de los fenómenos estudiados.

El propósito de este manual es el de orientar en lo referente al desarrollo de los experimentos, características del aparato, su instalación y mantenimiento.

Cada práctica es presentada con una introducción que expone brevemente la teoría relacionada con éste. Posteriormente otra sección detalla el ensamble del aparato y el desarrollo del experimento. Finalmente se muestran ejemplos de los cálculos y resultados que son necesarios realizar en cada experimento.

II.- INFORMACION GENERAL

II.1.- DESCRIPCIÓN GENERAL DELMARCO DE VIBRACIONES:

El marco consiste de una estructura base robustamente construida de columnas verticales de tubular cuadrado de 2pulgadas y miembro horizontales de canal estructural de 3pulgadas.

La estructura se soporta en 4 patas de altura ajustable, que permiten nivelar el marco.

La parte superior de la estructura se denomina marco de ensamble y ha sido construido para permitir el montaje de los accesorios para cada práctica.

En la parte inferior del marco se dispone de un gabinete que en el interior tiene plantillas de madera para guardar los accesorios del marco. En la cubierta del gabinete se localiza el botón de paro de emergencia y en el lateral izquierdo el receptáculo de acometida.

Instructor: Alejandro Pérez Cortés 1


ESPECIFICACIONES:

Dimensiones: 1.02 x 0.80 x 2.00 m.Suministro Eléctrico: 115 V., 5 A.Montaje: 4 tornillos niveladores.Gabinete: 0.95 x 0.40 x 0.80 m. lamina cal. 20 con entrepaño.Graficador: Impulsado por motor de corriente alterna con

capacitor de arranqueVelocidad Angular 4 r.p.m.Velocidad de Graficación 1m/min.

Equipado con interruptor independiente.Tacómetro: Digital de 4½ dígitos con interruptor independiente.Ajuste de Velocidad: Manual de 0 a 3000 r.p.m. La velocidad máxima

puede ser limitado a valores menores.Servo-motor: Modelo E286 Electrocraft,

Con armadura motriz y de generador montados en la misma flecha.Generador de 14V por cada 1000 r. p. m.

Protección fusible: Independiente para el graficador, para la fuente de alimentación y para el control de velocidad.

Fuente de alimentación: Suministra voltajes de 12V y 5V para la lámpara estroboscópica y el tacómetro.

Lámpara Estroboscópica: Con tubo destellante de Xenón de gran exactitud hasta 8000 r.p.m.

CAJA DE INSTRUMENTACIÓN.- Dentro del gabinete se ha instalado la caja de instrumentación la cual contiene:

Interruptor termomagnéticoFusiblesFuente de 5 y 12 VCD para el tacómetro y la lámpara estroboscópica Unidad de control de precisión de velocidad Máx.-100 de Electro Craft.

La unidad de control de precisión de velocidad, permite un excelente control de velocidad del servomotor, independientemente de las fluctuaciones que se presenten en la carga del motor, lo que es indispensable para las prácticas de vibración forzada.


2


CAJA DE CONTROL.- Fija en el marco de ensamble (en la parte superior de la estructura) se encuentra la caja de control que contiene los interruptores del tacómetro y del servomotor, una perilla de control de velocidad, un medidor digital de velocidad (tacómetro) y tres conectores:

A) Para la lámpara estroboscópica, B) Para el platino y C) Para el servomotor.

SISTEMA ELECTRÓNICO.- El sistema electrónico del marco didáctico para el estudio de vibraciones, basa su funcionamiento en los elementos que a continuación se mencionan:

Fuente de Alimentación Control de Velocidad para servo-motor Medidor de r .p. m.: Medidor Digital de Panel 4½ dígitos Lámpara Estroboscópica Graficador

En el diagrama electrónico del circuito (Fig. No. 1), se muestra la interconexión de cada uno de los elementos mencionados anteriormente.

El requerimiento de poder del circuito es de 100/120 VCA, 50/60 Hz.

FUENTE DE ALIMENTACIÓN.- Esta es una Fuente doble lineal de 36 Watts con salidas independientes de +5V y +12V ajustables.

CONTROL DE VELOCIDAD PARA SERVO-MOTOR.- El sistema de control de velocidad consiste en 2 unidades básicas, una de motor generador de corriente directa permanente y otra de controlador electrónico de estado sólido. Para efectos de necesidades en este circuito se utiliza el sistema de motor - generador de D.C. permanente.

El motor-generador tiene dos armaduras en la misma flecha, una de ellas es la del motor y otra es el generador de voltaje, el cual es proporcional a la velocidad.

El voltaje proveniente del generador es alimentado al controlador, donde se compara contra el voltaje comando de velocidad. El controlador provee mayor ó menor voltaje al motor para aumentar ó disminuir la velocidad y así mantener un balance entre ambos voltajes.

El rango de velocidad es de 0-3000 r.p.m., la velocidad máxima se ajusta mediante un control denominado R78 ubicado en la tarjeta de circuito impreso del control de velocidad para el servo-motor. Fig. No. 2. (Dentro del gabinete en la caja de instrumentación).

MEDIDOR DIGITAL DE r.p.m.- Es un dispositivo que se alimenta de +5 VCD, el cual recibe y muestra la velocidad (Revoluciones por minuto) a la que gira el motor, la cual es proporcional al voltaje del generador.


3


LÁMPARA ESTROBOSCÓPICA.- El requerimiento de voltaje para su funcionamiento es de +12V, el cual es proporcionado por la fuente de alimentación provista en el equipo. La lámpara se conecta en la parte lateral de la caja de control y opera si el interruptor ubicado en ésta se encuentra en posición de encendido y si el gatillo de la lámpara está oprimido, en estas condiciones disparará un haz de luz cada vez que le mande la señal el sensor óptico. Este último se conecta a la parte lateral de la misma caja.

SISTEMA DE GRAFICACIÓN.- El sistema consiste en un motoreductor que requiere de una alimentación de 110VDC para su funcionamiento, éste hace girar a un cilindro graficador a una velocidad de 4 r.p.m., alrededor del cual se pasa papel para sumadora que es donde se gráfica la trayectoria del movimiento vibratorio.

PROTECCIÓN.- El paro de emergencia del sistema, consiste en un interruptor normalmente cerrado que deja pasar el voltaje al momento de encender el interruptor principal; al presentarse algún problema en el funcionamiento del equipo, oprimir manualmente la cabeza del interruptor tipo hongo, ubicado en la parte frontal del equipo e inmediatamente el contacto normalmente cerrado se abre, cortando así el paso de energía a todo el circuito. Para restablecer, mover la cabeza del interruptor en sentido indicado y el contacto vuelve a su estado inicial (cerrado), dejando pasar de nuevo la energía.

II.2.- PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN DE r.p.m.

1. Conectar el servomotor en la caja de control.2. Quitar la tapa lateral de la caja de instrumentación.3. Encender el equipo mediante el interruptor situado en la caja de instrumentación.4. Encender el tacómetro mediante interruptor situado en la caja de control.5. Encender el servomotor mediante interruptor situado en la caja de control6. Posicionar la perilla de velocidad (situada en la caja de control) en mínimo (varias vueltas hacia la

izquierda hasta el tope).7. Observar que el servomotor no gire ajustando a cero mediante el trimmer POT R31 situado en la tarjeta

electrónica del servoamplificador (controlador de velocidad situado en la caja de instrumentación Fig. No. 2).

8. Posicionar la perilla de velocidad en máximo (varias vueltas hacia la derecha hasta el tope).9. Con ayuda del tacómetro externo de referencia, medir las rpm que tiene el motor y ajustar la lectura a

3000 mediante el trimmer POT R78 situado en la tarjeta electrónica del servoamplificador (Fig. No. 2).10.Una vez ajustado el tope de rpm (3000) en el servoamplificador, ajustar la lectura en el tacómetro del

equipo mediante el trimmer POT 10K situado en la tablilla electrónica dentro de la caja de control (Fig. No. 3).

11.Comprobar que a diferentes velocidades del servomotor ambos tacómetros miden lo mismo, así como cero movimiento del servomotor en mínima velocidad.

12.Apagar el motor, apagar el tacómetro mediante interruptores en la caja de control y apagar el equipo mediante interruptor general.

13.Colocar la tapa lateral de la caja de instrumentación.


4



MOTO-REDUCTOR

AZU L

AZU L

R OJ O

N EGR O

FUENTE DEALIMENTACION

CONTROL DEVELOCIDADP2-9 P1-1 P1-4 J3-5

J3-4

J3-2J3-3

LAMPSTROBO

L AMPA R A ES TR OBO SC OPIC A

-

+

+

-

PANEL DE CONTROL

OPTOSENSOR

+12 VDC

GND

SEÑAL DE DISPARO

GND

+12 VDC

F1

F2

F3

P2

R 1

P1

R 5

R 2

R 3

Q 2

R 4

Q 1

R8

OP

TO

2

3

1

R 10

SW4 PAR O D EEM ER GEN C IA

OPTOSENSOR

SEÑAL DE DISPARO

GND

+12 VDC

SENSORDESMONTABLEPARA MARCOVIBRACIONES

SW 6

R11

OP

TO

3

BALANCEADORA DINAMICA

L

NE2

E3

1 2

3 4

RO JO

B LANCO

N EG RO

NE

GR

O

BL

AN

CO

RO

JO

RO

JO

VE

RD

E

BL

AN

CO

AZ

UL

NE

GR

O

4

IZ Q.

D ER .

R OJ O

C ON EC T ORM OLEX

(AC GR AF IC AD OR )

2

GR AF IC AD OR

2

+ 12 VG N D

I NP UTLO UT

T AC HCU RS O R

D PM

LINE L

N

EM I F ILT R O 6ED 1

SEPCRODEC H IH U AH U A DGIT

N O M BR E D EL PR O YEC T O: M AR C O D ID AC T IC O D E VIBR AC ION ES

N O M BR E D EL SU BEN SAM BLE: D IAGR AM A ELEC T R IC O

DIBUJO: DBH

N IVEL : PR O D U C C ION

PL AN O: N O. E 00 1AR C H IV O: BA LAN 5 .D SN

ESC AL A:

D I SEÑO: D BH

R EF ER EN C IA : D GI T 0 3

AC OTAC ION ES: PR OY EC TO : 0 6 2, 06 7

N OM BR E D E LA PIEZA:

P1 4 8 9 C ON EXI O NE S I NT ER NA S DE L S ERVO -AM P.732 5 106M AX 100

1

F N

2

2

4

4

N /P. H 21A1

N /P. H 21A13

3

1

1

F EC H A : 1 1 /MAR /2 00 3

+12V

R 6

VE RD E

+5V+S

-S

5V RTN

+OUT

+S

-S

-OUT

4

2

3

1

5

R OJ O

R OJ O

BLAN C O

BLAN C O

N EGR O

B

N N

B B

N

N

R

B

R

B

ALAM BR AD O C AL 18

ALAM BR AD O C AL 22

TABLILLA IMPRESA

3 4

C W

(IZQUIERDO)

(DERECHO)

TACOM MOTOR

DISPLAY

BLAN C O

C ABLE T IPO R ESOR T E

MACHO

HEMBRA

CPC8

1

C W

220

2.0 A

5.0 A0.5 A

SW 5 D PST

SW3

0.2

5 uF

CPC5 1 2

SW2 SW1

5K

10 K

TACO-GENERADORMOTOR DC

1M

CPC14 1 2

SELEC T OR

1K

R 92 K

CO

NE

CT

OR

1

1234567

CO N. M OLE X

C ON 2

12

C ON 3

12

C PC 4

1 2 3 4 5

1 2 3

C PC 1 3

1 2 3 4 5

68

10K

C PC 3

1234

CPC15

123

CPC7

123

CPC161 2 3

C PC 6

123

T IP110

C PC 1 2

1234

1K

CPC10-PLUG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

CPC11-RECEPTACULO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

C PC 9

123

3K3

CPC1-PLUG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

CPC2-RECEPTACULO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

+

C1

2200

/16

220K

100K

PN 2222

3

2

1

C O N 4

1 2 3 4

N

L

G N D

5

FIGURA No. 1



FIGURA No. 2



FIGURA No. 4


III.- INSTALACIÓN Y MANTENIMIENTO

INSTALACION.- Después de ubicar el marco en un lugar próximo a una toma de corriente polarizada de 110-127 V.C.A., es necesario nivelar el marco de ensamble, para lo cual se dispone de patas de altura ajustable.

MANTENIMIENTO:

Mantener el aparato y sus accesorios libres de polvo y humedad.

El servomotor no requiere, y por lo tanto, no deberá ser lubricado.

Si las escobillas del servomotor son removidas, éstas deberán ser instaladas en el mismo porta-escobillas, con la misma orientación.

No utilizar fusibles de diferentes capacidad a los especificados:

- Para la fuente de alimentación 2A.

- Para el control de velocidad 5A.

- Para el motor del graficador 0.5A.


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PIEZA DESCRIPCIÓN CANTIDAD EXPERIMENTO DONDE SE UTILIZA

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 ESTRUCTURA Y GABINETE

1 SOPORTE SUPERIOR 1 X X X X X X X X X

2 ESFERA DE PLÁSTICO 1 X

3 ESFERA DE METAL 1 X

4 CUERDAS CON OPRESOR 2 X X

5 TORNILLO C/SOCKET 3/8-16NC-1 1/4 2 X X X X

6 BARRA CIRCULAR DE 1/2" 1 X

7 FILO DE NAVAJA DE 1/2 1 X X

8 PÉNDULO DE MADERA 1 X

9 FILO DE NAVAJA DE 1/8" 1 X

10 BARRA DE TORSIÓN CALIBRE 12 (1/8") 1 X X X

11 ESFERA METÁLICA GRANDE 1 X

12 MASA CILÍNDRICA CHICA 2 X X

13 BARRA ROSCADA 10-24NC-1 1/2 1 X

14 TORNILLO DE APRIETE MANUAL 4 X

15 PÉNDULO BIFILAR 1 X

16 MASA CILÍNDRICA GRANDE 2 X X X

17 ARANDELA DE SUJECIÓN 4 X X X X X X X X

18 TORNILLO 3/8-16NC-3 1/4 4 X X X X X X X X

19 SOPORTE PARA RESORTES 1 X X X X

20 RESORTES 3 X X X X

21 ABRAZADERA PARA RESORTE 1 X X X X

22 PLATAFORMA 1 X X X X X X X

23 CABEZA MICROMETRICA 1 X X

24 SOPORTE PARA CABEZA MICROMETRICA 1 X

25 COLUMNA DE 12" 1 X X X X X

26 PESAS 6 X X X X X X X

27 TORNILLO C/SOCKET 1/4-20NC-1/2 8 X X X X

28 EJE PARA VOLANTES 2 X X

29 VOLANTE INERCIAL DE 7" 1 X X

30 VOLANTE INERCIAL DE 8.5" 1 X X

31 VOLANTE INERCIAL DE 10" 1 X X

32 COPLE PARA VOLANTE 2 X X

33 EXTENSIÓN PARA VOLANTE 4 X X

34 BARRA DE TORSIÓN CALIBRE 7 1 X X

35 BARRA DE TORSIÓN CALIBRE 4 1 X X

36 SOPORTE PARA BARRAS DE TORSIÓN 1 X

37 TORNILLO C/SOCKET 10-24NC-1/2 12 X X

38 TOPES PARA SOPORTE SUPERIOR 2 X X X X X

39 SOPORTE ARTICULADO 1 X X X X X X

40 BARRA RECTANGULAR 1 X X X X X X

41 ABRAZADERA PARA AMORTIGUADOR 1 X X X

42 COLUMNA DE 6" 1 X

43 AMORTIGUADOR 1 X X X X

44 ROTOR DESBALANCEADO 1 X X X

45 PORTA PLUMILLA 1 X X X

46 GRAFICADOR 1 X X

47 IMÁN 1 X X

48 SERVOMOTOR 1 X X X X X X

49 TORNILLO C/SOCKET 3/8-16NC-2 1/2 2 X X X X X X

50 EXTENSIÓN ELÉCTRICA 1 X X X X X

51 CORREDERA 1 X X X

52 DISCO DESBALANCEADO 1 X X X

53 SOPORTE MICRÓMETRO OPTOSENSOR 1 X

54 LÁMPARA ESTROBOSCOPICA 1 X

55 SOPORTE PARA PLUMILLA 1 X

56 AMORTIGUADOR DINÁMICO 1 X

57 CILINDRO GRAFICADOR 1 X X

58 TORNILLO C/SOCKET 3/8-16NC-4 2 X X X X X

59 BANDA DENTADA SPD A 6R 25MO85090 1 X X X

60 CABLE PARA LÁMPARA ESTROBOSCOPICA 1 X

61 MASAS PARA AMORTIGUADOR DINÁMICO 2 X

62 MUELLES PARA AMORTIGUADOR DINÁMICO 2 X

63 ABRAZADERA PARA CABEZA MICROMÉTRICA 1 X

64 PERIODIMETRO (CABLE, SENSOR Y SOPORTE) 1 X X X X X X X X

65 BLOQUEADOR PARA PERIODIMETRO 1 X

66 PATAS NIVELADORAS 4

67 BALANCEADORA DINÁMICA 1 X

68 CABEZA MICROMETRICA PARA BALANCEADORA 1 X

69 CABLE PARA SENSOR ÓPTICO DE BALANCEADORA 1 X

70 ESTUCHE DE MADERA PARA BALANCEADORA 1

LISTA DE PARTES DEL MARCO DIDÁCTICO DE VIBRACIONES

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Manual de l Marco de Vibraciones

Instructor: Alejandro Pérez Cortés11



12


V.- RECOMENDACIONES DE OPERACIÓN

Evite golpear los accesorios para hacer los ensambles y desensambles de los experimentos.

Maneje cuidadosamente los pesos y masas durante el ensamble y desensamble de los experimentos.

Limite la operación del aparato en condiciones de resonancia a lo mínimo necesario.

Cerciórese que los accesorios han sido firmemente ensamblados, antes de realizar los experimentos, sobre todo los de vibración forzada.

Antes de realizar las conexiones eléctricas, verifique que todos los interruptores, incluyendo el termomagnético, estén abiertos.

En los experimentos de vibración forzada, esté siempre atento a la operación del aparato. Si nota alguna condición insegura ó fuera de lo normal, active inmediatamente el botón de paro de emergencia.

En las proximidades del aparato, evite la presencia de gente extraña ó distraída durante el ensamble y desarrollo de los experimentos.



PRACTICA No. 1

Objetivo.- Determinar las variables que afectan la frecuencia de movimiento de un péndulo simple y obtener experimentalmente el valor de la aceleración gravitacional.

Introducción.- Uno de los más simples ejemplos de vibración libre, es el péndulo simple. Es un caso de movimiento armónico, en donde una masa concentrada que es suspendida de un cordón ligero es desplazado de su posición de equilibrio y que al ser liberado oscila con respecto a su vertical.

Para pequeños desplazamientos angulares , el momento restablecedor es:

Al analizar la ecuación anterior que permite obtener la frecuencia natural Wn del péndulo simple, se puede observar que ésta es independiente de la masa y solamente se modifica con la longitud, lo cual se pretende demostrar en el presente experimento.Material.-

a) Soporte Superior.b) Esfera de Plástico.c) Cuerda con Opresor.d) Esfera de Metal.e) Tornillo de 3/8”-16NC-1 ¼”.


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Procedimiento.- Se ensambla el soporte superior en el travesaño superior del marco de ensamble, así servirá para sujetar con los tornillos de presión, tanto la esfera de plástico, como la metálica, que obviamente difieren en su masa. Con ayuda de un cronómetro se toma el tiempo requerido para aproximadamente 50 oscilaciones para cada uno de los péndulos, para longitudes similares, lo cual nos permite calcular la frecuencia natural del movimiento de cada péndulo.

El experimento se repite para aproximadamente 10 longitudes diferentes. Se observará que los valores obtenidos son prácticamente iguales para longitudes iguales de ambos péndulos y sólo varían al cambiar la longitud. Los resultados se presentan en la Tabla 1.1.

Al graficar el cuadrado del período T2 contra la longitud del péndulo L (Gráfica 1.1) se podrá observar que los puntos obtenidos se apegan dentro de los límites de un error experimental a una línea recta que pasa por el origen. Al aplicar el método de regresión lineal a través del origen, se obtiene un modelo de regresión ajustado del tipo


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PRACTICA No. 1


El experimento se repite para aproximadamente 10 longitudes diferentes. Se observará que los valores obtenidos son prácticamente iguales para longitudes iguales de ambos péndulos y sólo varían al cambiar la longitud. Los resultados se presentan en la Tabla 1.1.

Al graficar el cuadrado del período T2 contra la longitud del péndulo L (Gráfica 1.1) se podrá observar que los puntos obtenidos se apegan dentro de los límites de un error experimental a una línea recta que pasa por el origen. Al aplicar el método de regresión lineal a través del origen, se obtiene un modelo de regresión ajustado del tipo


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TABLA 1.1


Péndulo metálico

Péndulo plástico

Péndulo metálico

Péndulo plástico

Péndulo metálico

Péndulo plástico

m s s s/ciclo s/ciclo s2 s2

0.368 61.21 60.96 1.224 1.219 1.499 1.4860.428 66.05 65.59 1.321 1.312 1.745 1.7210.483 70.17 69.69 1.403 1.394 1.970 1.9430.548 74.78 74.06 1.496 1.481 2.237 2.1940.594 77.90 77.30 1.558 1.546 2.427 2.3900.663 82.15 81.42 1.643 1.628 2.699 2.6520.728 85.78 85.49 1.716 1.710 2.943 2.9230.788 89.34 88.71 1.787 1.774 3.193 3.1480.838 92.15 91.96 1.843 1.839 3.397 3.3830.908 95.94 95.34 1.919 1.907 3.682 3.636

Tabla de resultados del experimento No. 1

Tiempo en 50 ciclosLongitud del

péndulo

Periodo T2

17



Gráfico de T2 contra Longitud L

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Longitud del péndulo m

T2

s2

Metálico Plástico

GRAFICA 1.1

18


PRACTICA No. 2

PARTE I

Objetivo.- Obtener el momento de inercia de masa de un cuerpo a partir del comportamiento que tiene al hacerlo oscilar como un péndulo.

Introducción.- Cualquier cuerpo rígido puede oscilar como un péndulo, si éste es suspendido de un punto diferente a su centro de gravedad y es liberado después de ser desplazado un pequeño ángulo de su posición de equilibrio.

Para pequeños desplazamientos angulares el momento restablecedor es:

El momento de inercia de masa Io de un cuerpo rígido con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa a través de su centro de gravedad, esta dado por la ecuación:

donde: IG = momento de inercia de masa con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad. Para una barra delgada

m = masa del cuerpo

r = distancia entre el centro de gravedad y el punto de apoyo.


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PRACTICA No. 2


El momento de inercia de masa, es un término que con excepción de las formas sencillas, es difícil de obtener a partir de su geometría. Puede ser obtenido con gran exactitud analizando la respuesta dinámica de dicho cuerpo a una aceleración angular, como puede ser el analizar la frecuencia de oscilación de un cuerpo en vibración libre, que es lo que se pretende comprobar en este experimento.

Material.-a) Soporte Superior.b) Tornillo de 3/8”-16NC-1 ¼”.c) Filo de Navaja de ½”.d) Barra Circular de ½”.

Procedimiento.- Se ensambla el soporte superior en el travesaño superior del marco de ensamble. Se obtiene el centro de gravedad de la barra circular de ½ pulg. de diámetro y se pone una marca con cinta adhesiva. Se pesa la barra para obtener su masa.

El filo de navaja se coloca en la barra, próximo a uno de sus extremos y este ensamble se coloca en el soporte superior, permitiendo que pueda oscilar libremente en el filo de navaja.

Se toma el tiempo requerido para 50 oscilaciones, con lo cual se obtiene la frecuencia natural Wn. Esto permite calcular el valor experimental del momento de inercia de masa.

El valor teórico del momento de inercia de masa, se obtiene con la fórmula:

El experimento se repite para diferentes posiciones del filo de navaja. Los resultados obtenidos son:

Para la posición 1 con una distancia entre el centro de gravedad y el punto de apoyo r = 0.43 m. se tiene:

Tiempo para 50 ciclos = 77.53 s.

Wnrad

s 2

50

77534 05

( )

( . ).

Io =

Io Teórico:


21


La tabla No. 2.1 muestra algunos otros resultados con los que se comprueba la precisión del método.

PARTE II

Objetivo.- Determinar la localización del centro de percusión de un péndulo compuesto y comprobar que la frecuencia de oscilación del péndulo sobre un eje que pasa a través del centro de percusión, es la misma que al oscilar sobre su eje original.

Introducción.- Si se concentra toda la masa del péndulo compuesto en un punto a una distancia qo del eje de oscilación de tal forma que la frecuencia de oscilación de este péndulo simple obtenido, sea la misma que la del péndulo compuesto, dicho punto corresponde al centro de percusión. Al péndulo obtenido de longitud qo se le llama péndulo simple equivalente.

Así pues, como es condición indispensable que la frecuencia natural sea la misma, se puede establecer:

Wn del péndulo simple de longitud qo = Wn del péndulo compuesto.

Entonces, la localización del centro de percusión es posible obtenerlo, si se conoce la localización del centro de gravedad y la frecuencia natural del péndulo compuesto, ya que esta última, como se vio en la primera parte, permite obtener el momento de inercia de masa Io.

Procedimiento.- Utilizando el valor de momento de inercia de masa Io experimental obtenido en la primera parte del experimento y con la fórmula anterior calculamos la localización del centro de percusión qo . Se desplaza el filo de navaja a este punto y se mide el tiempo de oscilación para 50 ciclos, para calcular la frecuencia natural al hacer oscilar la barra sobre este punto (centro de percusión) la cual debe ser, con un margen de error


22


experimental, igual a la frecuencia natural al oscilar en el eje original. Los resultados obtenidos se presentan en las últimas columnas de la tabulación.

Para la posición 1 para una distancia entre el centro de gravedad y el punto de apoyo r = 0.43 m el centro de percusión es:

qI

mrmo

o 0231

09 0430597

.

( . )( . ).

En la tabla 2.1 se muestran otros resultados obtenidos para diferentes valores de r.


23



Masa de la barra = 0.9 Kg.Longitud de la barra = 0.914 m

Posición rTiempo en 50 ciclos

Wn experimental

Io experimental

Io teórico

qo experimental

tiempo en 50 ciclos sobre centro de

percusión

Wn sobre centro de percusión

m s rad/s Kg m2 kg m2 m s rad/s

1 0.43 77.53 4.05 0.231 0.229 0.597 77.30 4.062 0.40 76.17 4.12 0.208 0.207 0.577 76.34 4.123 0.37 75.37 4.17 0.188 0.186 0.565 75.10 4.184 0.34 74.14 4.24 0.167 0.167 0.546 74.40 4.225 0.31 73.80 4.26 0.151 0.149 0.541 73.65 4.276 0.28 73.46 4.28 0.135 0.133 0.536 73.42 4.28


TABLA 2.1

24


PRACTICA No. 3

Objetivo.- Obtener el péndulo simple equivalente de un péndulo compuesto y comprobar que cuando un péndulo compuesto es golpeado en su centro de percusión, no se generan reacciones en el centro de oscilación (punto de apoyo) ocasionadas por dicho golpe.

Introducción.- Cuando un péndulo compuesto es golpeado en un punto diferente a donde se localiza el centro de percusión, se genera una reacción en el centro de pivoteo (punto de apoyo). Si el punto de pivoteo no se encuentra fijo, esta reacción se traducirá en un desplazamiento del mismo.Material.-

a) Soporte Superior.b) Tornillo de 3/8”-16NC-1 ¼”.c) Filo de Navaja de ½”.d) Barra de torsión de1/8”.e) Filo de Navaja de 1/8”.f) Esfera Metálica Grande.g) Masa Cilíndrica Chica.h) Barra Roscada 10-24NC-1 ½”i) Péndulo de Madera.

Procedimiento.- Se fijan un par de masas cilíndricas en la ranura del péndulo de madera y este ensamble se apoya con un filo de navaja en el soporte superior que se fija en el travesaño superior del marco de ensamble. Con la esfera metálica ajustable y la barra de torsión de 1/8 pulg., se forma un péndulo que también se apoya con otro filo de navaja en el soporte superior.

Para poder localizar el centro de percusión del ensamble del péndulo de madera - masas ajustables, se toma el tiempo requerido para aproximadamente 50 oscilaciones, con lo que calculamos la frecuencia natural Wn que a su vez permite localizar el centro de percusión:

qo es la distancia del punto de apoyo al centro de percusión y es también la longitud de un péndulo simple equivalente que se debe construir con la esfera metálica y la barra de torsión de 1/8 pulg. Una vez que la esfera se ha ajustado a dicha longitud, se coloca este péndulo en la ranura del soporte superior y junto a éste el péndulo de madera. Se pega un poco de cinta adhesiva en el soporte superior, justo debajo del filo de navaja que sirve de pivoteo al péndulo de madera para poder marcar el punto exacto de apoyo. Se desplaza angularmente el péndulo simple equivalente, formado con la esfera ajustable para que al soltarlo golpee al péndulo de madera.

Se observará que al ser golpeado el péndulo de madera, solamente oscila sin producirse un desplazamiento horizontal del apoyo ya que fue golpeado exactamente en su centro de percusión. Posteriormente se mide la frecuencia de oscilación del péndulo simple


25


equivalente formado con la esfera y se comprobará que es, con un margen de error experimental, igual a la del péndulo de madera.

Si se desplaza la esfera hacia arriba ó hacia abajo a lo largo de la barra y se vuelve a golpear al péndulo de madera, se observará un desplazamiento lateral del apoyo de este último péndulo hacia la izquierda ó derecha, ya sea que se golpee por arriba o por debajo del centro de percusión, lo cual es el resultado de las reacciones producidas.

Para cierta posición de las masas ajustables en el péndulo de madera se obtuvieron los siguientes resultados:

Tiempo en 50 ciclos = 60.09 segundos

Wnrad

s 2

50

6009523

( )

( . ).

La localización del centro de percusión y por lo tanto la longitud del péndulo simple equivalente es:

La frecuencia medida del péndulo simple equivalente construido de 0.36 m. fue:

Tiempo en 50 ciclos = 60.78 s

Repetir el experimento para aproximadamente 5 posiciones diferentes de las masas ajustables. Algunos resultados obtenidos se presentan en la tabla 3.1.


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PRACTICA No. 3

Munal del Marco de Vibraciones

Si se desplaza la esfera hacia arriba ó hacia abajo a lo largo de la barra y se vuelve a golpear al péndulo de madera, se observará un desplazamiento lateral del apoyo de este último péndulo hacia la izquierda ó derecha, ya sea que se golpee por arriba o por debajo del centro de percusión, lo cual es el resultado de las reacciones producidas.

Para cierta posición de las masas ajustables en el péndulo de madera se obtuvieron los siguientes resultados:

Tiempo en 50 ciclos = 60.09 segundos

Wnrad

s 2

50

6009523

( )

( . ).

La localización del centro de percusión y por lo tanto la longitud del péndulo simple equivalente es:

La frecuencia medida del péndulo simple equivalente construido de 0.36 m. fue:

Tiempo en 50 ciclos = 60.78 s

Repetir el experimento para aproximadamente 5 posiciones diferentes de las masas ajustables. Algunos resultados obtenidos se presentan en la tabla 3.1.

Instructor: Alejandro Perez Cortes

27



Tiempo en 50 ciclos Wn qo

Tiempo en 50 ciclos Wn

s rad/s m s rad/s

1 60.09 5.23 0.36 60.78 5.232 65.96 4.76 0.43 66.28 4.763 61.98 5.07 0.38 62.2 5.074 72.60 4.33 0.52 72.53 4.335 76.65 4.10 0.58 71.71 4.10


Posición de masas

ajustables

Péndulo de madera Péndulo equivalente

Tabla 3.1

28


PRACTICA No. 4

Objetivo.- Evaluar la efectividad de la suspensión bifilar, como un método para determinar experimentalmente el momento de inercia de masa de cualquier cuerpo.

Introducción.- Midiendo la frecuencia de un péndulo de 2, 3 ó 4 hilos, se puede encontrar el momento de inercia de masa, de cuerpos cuya forma haga complicado o, hasta cierto punto, imposible determinarlo a partir de su geometría. La fuerza restitutiva aplicada en cada uno de los extremos de un péndulo bifilar es:


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Manual del Marcode Vibraciones


PRACTICA No. 4


Material.-a) Soporte Superior.b) Tornillo de 3/8”-16NC-1 ¼”.c) Cuerdas con Opresor.d) Masa Cilíndrica Chica.e) Tornillo de Apriete Manual.f) Péndulo Bifilar.g) Masa Cilíndrica Grande.

Procedimiento.- Se utiliza el soporte superior para suspender el péndulo bifilar, al cual se le pueden agregar las masas cilíndricas.

Las cuerdas deben estar paralelas entre sí y su longitud debe ser similar. Se gira el péndulo un pequeño ángulo (aprox. 5º) procurando que el eje de giro sea un eje vertical que pase por el centro de gravedad del péndulo (si las masas cilíndricas se colocan simétricamente, el centro de gravedad coincide con el centro geométrico). Al medir el tiempo requerido para aproximadamente 20 oscilaciones, se puede calcular la frecuencia natural Wn del péndulo, que nos permite obtener el momento de inercia de masa del objeto oscilante.

Después de pesar y medir todos los componentes del péndulo, se procede a obtener el momento de inercia de masa, tanto experimental como teórico.

Masa de la barra = 1.050 kg. Masa Ajustable = 1.810 kg./pza. Masa de los extremos = 0.340 kg./pza.

Momento de inercia de masa experimental.- Al colocar las masas ajustables a 14cm. del centro geométrico de la barra con una distancia entre cuerdas d=50cm y una longitud de cuerdas L=60.5 cm el tiempo requerido para 20 oscilaciones es de 20.28 segundos, entonces:

Wn = 6.196

Momento de inercia de masa teórico:

Una masa ajustable:

Una masa de los extremos:


31


B a r r a :

(Volumen efectivo = (Volumen de la barra - (Volumen de de la barra) si fuera salida) la ranura)

167 cm3 - 30.53 cm3 = 136.5 cm3

Densidad del material de la barra =

IG = IG Barra si fuera - IG de la ranura sólida

Al comparar los valores obtenidos por ambos métodos, se puede concluir que el método de la suspensión bifilar ofrece gran precisión.


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PRACTICA No. 5

Objetivo.- Obtener experimentalmente la frecuencia natural Wn de un sistema masa resorte.

Introducción.- Si un resorte se somete a una deformación debido a una carga aplicada, se comporta de acuerdo a la ley de Hooke que establece que el esfuerzo es proporcional a la deformación o que la carga es proporcional a la deformación que produce.

Si se varía la carga aplicada a un resorte y se hace una gráfica de carga contra deformación, se obtiene una línea recta cuya pendiente indica la extensión por unidad de carga y su inverso es lo constante del resorte K.

Si se suspende una masa m en un resorte, se obtiene un deformación X del resorte y una fuerza restitutiva -KX. Si el sistema se hace oscilar, su ecuación de movimiento es:

En el análisis anterior se ha despreciado la masa del resorte. En un caso real, una parte de la masa del resorte, llamada masa efectiva, contribuye a la dinámica del sistema, por lo que la frecuencia natural considerando la masa del resorte es:

Wn=

Donde:mr = masa del resorte que contribuye a la dinámica del sistema. (masa efectiva del resorte)

m = masa suspendida del resorte

NOTA: En el experimento que aquí se presenta, la masa del resorte que contribuye a la dinámica del sistema (mr) se puede considerar despreciable en comparación a la masa suspendida del resorte, como se comprobará con los resultados obtenidos. Teóricamente m r

= 45g (33% de la masa de resorte). El peso suspendido del resorte en este experimento es de 10300 g.


33



34

PRACTICA No. 5


Material.-a) 2 Arandelas de Sujeción. f) Plataforma. b) 2 Tornillo 3/8”-16NC-3 ¼”. g) Cabeza Micrométrica.c) Soporte para Resortes. h) Soporte para Cabeza Micrométrica.d) Resorte. i) Columna de 12”.e) Abrazadera para Resorte. j) Pesas.

Procedimiento.- Se coloca uno de los resortes en el soporte para resortes que se fija en la parte superior del marco de ensamble. En el extremo inferior del resorte se coloca la abrazadera para resorte, seguida de la plataforma. Adicionalmente se fija el micrómetro con su soporte en la parte inferior del marco de ensamble de manera que se pueda medir el desplazamiento vertical de la plataforma.

Para obtener la constante del resorte k se mide la deformación que sufre el resorte, conforme se van agregando las pesas a la plataforma, así como cuando se van retirando. Posteriormente se calcula un valor promedio entre los valores obtenidos.

Al graficar deformación contra carga, se obtiene casi una línea recta. Estos puntos pueden ser ajustados a una línea recta por el método de regresión lineal.La pendiente de dicha recta corresponde a la constante del resorte k.

Las mediciones y resultados obtenidos se muestran en la tabla 5.1 de donde se obtiene la gráfica 5.1.

La ecuación de la recta es y=5.291 + 1.315X y por lo tanto la constante del resorte K=1.315 La frecuencia natural del sistema masa resorte, se obtiene colgando del resorte, el volante de 7 plg. con la plataforma. Se pone a oscilar el sistema y se mide el tiempo transcurrido en 50 ciclos. Posteriormente se calcula la frecuencia natural Wn a partir de los datos experimentales.

Wn =

Por último se compara este valor resultante con el obtenido a partir de la fórmula:

Wn =

Dentro de un margen de error experimental, los resultados serán muy similares. Para el caso que aquí se expone:

masa del resorte = 0.136 kg.masa suspendida del resorte = 10.3 kg.


35


El tiempo para 50 oscilaciones, se midió en 5 ocasiones y se obtuvo un promedio:

MediciónTiempo para 50 oscilaciones en

segundos1 27.512 27.713 27.574 27.455 27.51

Valor Promedio 27.55

Wn =

Wn =


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PesoPeso

acumuladoPeso

acumulado Carga Descarga Promediokg kg N mm mm mm

Plataforma 0.55 0.55 5.40 0 0.14 0.07Masa 1 0.38 0.93 9.12 2.88 2.96 2.92Masa 2 0.38 1.31 12.85 5.74 5.76 5.75Masa 3 0.38 1.69 16.58 8.56 8.59 8.575Masa 4 0.38 2.07 20.31 11.42 11.44 11.43Masa 5 0.38 2.45 24.03 14.25 14.26 14.255Masa 6 0.38 2.83 27.76 17.07 17.07 17.07

Deformación

Resultados del experimento No. 5

Tabla 5.1

37


GRAFICA 5.1


Gráfica de fuerza vs. deformación del resorte helicoidal

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0 5 10 15 20

Deformación mm

Car

ga N

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PRACTICA No. 6

Objetivo.- Determinar experimentalmente la frecuencia natural de un péndulo de torsión y comparar este valor con el obtenido teóricamente. Asimismo observar como varía el período al modificar la longitud de la barra de torsión.

Introducción.- La vibración angular de un rotor rígido unido a una flecha que puede deformarse elásticamente, conocida también como vibración torsional, es otro ejemplo de vibración armónica simple.

Si uno de los extremos de la flecha se sujeta rígidamente al desplazar angularmente el rotor, la flecha sufre una deformación angular. Para lograr dicha deformación, es necesario aplicar un torque que se incrementa al aumentar el ángulo de deformación . Si la deformación de la flecha se encuentra dentro de su zona elástica se comporta como un resorte y se genera un momento restitutivo

Material.-a) Masa Cilindrica Grande. f ) Tornillos socket 10-24NC-1/2”. b) Arandela de Sujecion. g) Extensión para Volante.c) Tornillo 3/8”-16NC-3 ¼”. h) Cople para Volante.d) Barra de Torsión Calibre 12, 7, 4. i) Eje para Volantes.e) Soporte para Barras de Torsión.

Procedimiento.- Se introduce uno de los ejes para volantes en uno de los soportes que están ubicados en las columnas del marco de ensamble. Se ensambla un cople para volante en alguno de los volantes de 7, 8.5 ó 10 pulgadas, posteriormente el volante se monta en los rodamientos del eje para volantes.


39



PRACTICA No. 6


Se sujeta un extremo de una de las barras de torsión al volante. El otro extremo se introduce en el soporte para barras de torsión, el cual se fija en la parte inferior del marco de ensamble. Si se selecciona el volante de 7 pulgadas se le pueden adicionar las masas cilíndricas con las extensiones para volantes.

Al hacer el ensamble, es necesario evitar que se presente deslizamiento entre las barras de torsión y las mordazas.

Se hace oscilar el sistema girando el volante un pequeño ángulo y se mide el tiempo requerido para 10 oscilaciones para obtener el período de oscilación T y la frecuencia natural Wn. Se varía la longitud L de la barra de torsión, desplazando el soporte para flechas de torsión a cinco posiciones diferentes y se repite la medición para cada posición. Los valores calculados, de período de oscilación T y frecuencia natural Wn, a partir de las mediciones realizadas, pueden ser llamados valores experimentales y deben de compararse con los valores teóricos que se obtienen con la fórmula:

El experimento se puede repetir para cada una de las barras de torsión y para los diferentes volantes. (Las barras de torsión son del mismo material).

La tabla 6.1 presenta algunos resultados obtenidos para el volante de 10 pulg. con la barra de torsión de 2.63 mm.

Al graficar el cuadrado del período T2 contra la longitud de la barra de torsión se puede observar que los valores se aproximan a una línea recta. (Gráfica 6.1)


41



Datos del resorte torsional

Diámetro del resorte = 2.63 mmModulo de rigidez G = 7.59E+10 N/m2

Momento polar de inercia J= 4.70E-12 m4

Datos del Volante

Masa = 20.45 kgRadio = 0.127 m

Espesor = 0.0508 mMomento de inercia de masa I = 0.165 kg m2

Datos experimentales

Longitud del resorte

Tiempo 10 ciclos Periodo T2

Wn experimental

Wn teórica

mm s s s2 rad/s rad/s

302 23.72 2.372 5.626 2.65 2.68344 25.38 2.538 6.441 2.48 2.51390 26.92 2.692 7.247 2.33 2.35468 29.13 2.913 8.486 2.16 2.15543 31.33 3.133 9.816 2.01 2.00

Tabla 6.1


TABLA 6.1

42



GRAFICA 6.1

43


PRACTICA No. 7

Objetivos.- Obtener experimentalmente la frecuencia natural Wn de un sistema compuesto de dos

volantes unidos por una barra de torsión. Obtener experimentalmente la localización del punto estacionario o nodo. Comparar los resultados así obtenidos con los logrados de forma teórica.

Introducción.- Al girar ligeramente en sentidos opuestos a dos volantes que están unidos por medio de una flecha que puede deformarse elásticamente, se produce oscilación de ambos volantes. La frecuencia de oscilación es similar para cada volante aunque fuera de fase y se genera un punto estacionario o nodo en algún lugar de la flecha torsional a partir del cual, se puede analizar el sistema como dos péndulos torsionales simples. Por lo tanto:

donde:

Wn = Frecuencia natural del sistema.W1 = Frecuencia natural del péndulo torsional extremo 1W2 = Frecuencia natural del péndulo torsional extremo 2 I1 = Momento de Inercia de masa del volante del extremo 1 I2 = Momento de Inercia de masa del volante del extremo 2L1 = Longitud del resorte torsional del volante del extremo 1 al nodoL2 = Longitud del resorte torsional del volante del extremo 2 al nodoLT = Longitud total del resorte torsional (barra de torsión)


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EXPERIMENTO No. 7


Así la frecuencia natural Wn del sistema, se puede expresar en función de la longitud del resorte torsional.

Material.-a) Tornillo socket 10-24NC-1/2”. d) Cople para Volante.b) Barra de Torsión Calibre 12, 7, 4. e) Eje para Volantes.c) Volante Inercial de7”, 8.5” y 10”.

Procedimiento.- Para estudiar el comportamiento de un sistema oscilatorio con dos volantes, se hace el ensamble de un volante como se indica en el Experimento No. 6 en cada una de las columnas y se coloca una barra de torsión entre las mordazas de ambos volantes procurando que quede bien sujeta para evitar que haya deslizamiento. Para provocar la oscilación se giran los volantes en sentidos opuestos y se liberan.

Al tomar el tiempo requerido para aproximadamente 20 oscilaciones de cada uno de los volantes, se puede calcular la frecuencia de cada uno, la cual es similar y corresponde a la frecuencia natural Wn del sistema.

Para el caso que a continuación se presenta como ejemplo, se utilizaron los volantes de 8.5 y 10 pulgadas y la flecha de 4.74mm.

Tiempo para20 ciclos

Frecuencia NaturalExperimental

12.5312.3612.43

12.4012.34

Valor Promedio 12.412 s.

Datos de la barra de Torsión:

Longitud L = 0.65m (entre mordazas)Módulo de rigidez G = 7.594 x 1010 N/m2

Momento Polar de Inercia J = 4.9436 x 10-11 m4


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Datos del volante 1:

Masa m = 20.45 kg.Radio 0.127 mMomento de Inercia de masa I1 = 0.1649 kg m2

Datos del volante 2:

Masa m = 14.65 kg.Radio 0.10795 mMomento de Inercia de masa I2 = 0.0853 kg m2

FRECUENCIA NATURAL TEORICA

Se puede observar que el valor obtenido experimentalmente es con un margen de error experimental, igual al teórico.

LOCALIZACION DEL NODO

Para determinar experimentalmente la localización del nodo, es conveniente pegar a la barra de torsión una serie de “banderas” de cinta adhesiva, que permitan visualizar donde se da el cambio en el sentido de rotación a lo largo de la barra.

La localización del nodo que visualmente se obtiene, se compara con el obtenido con la fórmula:

Esto es a 0.428m del volante de 8.5 pulgadas.

Visualmente, en el caso que aquí sirve de ejemplo, se localizó a 0.43 m.


47


El experimento puede realizarse utilizando cualquiera de las tres barras de torsión y cualquier combinación de volantes de 7, 8.5 y 10 pulgadas. Al de 7 pulgadas se le pueden agregar las masas ajustables con las extensiones para volante.


48


PRACTICA No. 8

Objetivo.- Determinar el resultado que se tiene al introducir amortiguamiento viscoso en un sistema vibratorio masa resorte helicoidal.

Introducción.- En la práctica No. 7, se estableció que el coeficiente de amortiguamiento C se puede determinar con la siguiente ecuación:

y que a su vez el período amortiguado Td se obtiene:

y que el coeficiente de amortiguamiento crítico Cc es:Cc = 2 m Wn (3)

Esto mismo puede ser aplicado al sistema que se analiza en la presente práctica y que se puede esquematizar como sigue:

La frecuencia natural Wn del sistema puede ser calculada como:

donde k es la constante del resorte y m la masa soportada por el resorte.Material.-

a) Tornillo socket 3/8”-16NC-2 ½”. h) Columna de 6”. o) Soporte parab) Tornillo socket 3/8”-16NC-3 ¼”. i) Pesas. Resorte.c) Tornillo socket 1/4”-20NC- ½”. j) Plataforma. p) Arandela de d) Soporte Articulado. k) Rotor Desbalanceado. Sujeción. e) Barra Rectangular. l) Servomotor. q) Porta Pluma.f) Abrazadera para Amortiguador. m) Abrazadera para Resorte. r) Graficador eg) Amortiguador. n) Resorte. Iman

Procedimiento.- En la base que se encuentra en la cara interior del tubular vertical izquierdo del marco de ensamble, se fija el soporte articulado que sirve para sujetar la barra rectangular. Próximo al otro extremo de la barra rectangular, se coloca la abrazadera para resorte que sirve para unir la barra rectangular al resorte que se ensambla en el soporte.




PRACTICA No. 8


para resorte y se fija a la parte superior del marco de ensamble. Para aumentar la masa del sistema, se colocan en la barra rectangular el servomotor y el rotor desbalanceado. En el extremo libre de la barra rectangular se coloca el porta plumilla y en la parte posterior del tubular vertical derecho se fija el graficador motorizado con el cilindro graficador, en el que se coloca un rollo de papel para sumadora. El papel se pasa alrededor del cilindro graficador antes de dejar que caiga forzado por el peso del imán y el contrapeso que aprisionan al papel. Se debe ajustar el soporte para resorte para que la barra rectangular quede horizontal.

Es recomendable pegar cinta adhesiva de papel crepé (masking tape) alrededor del cilindro graficador para mejorar la tracción de la cinta de papel.

El amortiguador se agrega al sistema en la columna de 12” que se fija a la parte inferior del marco de ensamble unido a la barra rectangular con la abrazadera para amortiguador.

La vibración se obtiene al empujar hacia abajo el extremo libre de la barra rectangular aproximadamente 15mm y después liberar.

La trayectoria de la vibración se registra al permitir que la plumilla (marcador ó plumón) haga contacto con el papel y energizando el graficador motorizado mientras el sistema esté oscilando.

El amortiguamiento se varía cambiando la posición del amortiguador de manera que la distancia L del soporte pivoteado a la abrazadera del amortiguador se modifica y abriendo ó cerrando los orificios del émbolo.

Para cada distancia L se obtiene el decremento logarítmico midiendo, en la trayectoria registrada, la amplitud de dos ciclos sucesivos X1 y X2.

Se debe obtener también el coeficiente de amortiguamiento C. Al sustituir las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1), se obtiene:


51


y por último la frecuencia amortiguada Wd es:

La frecuencia natural del sistema Wn se obtiene experimentalmente haciendo oscilar el sistema sin amortiguamiento. Posteriormente se cuenta el número de ciclos durante un lapso de tiempo medido con un cronómetro:

Wn = No. ciclos (2)

Tiempo de n ciclos

A continuación se presentan los resultados experimentales y cálculos desarrollados para un sistema con una masa de 2.845 Kg. colocada en la barra rectangular a una distancia de 0.43 m. del punto de pivoteo, con el resorte de constante K=1.315 N/mm a una distancia de 0.65m. del punto de pivoteo y con el amortiguador a una distancia L de 0.50m. con los orificios abiertos y aceite SAE40.

Número de ciclos: 33Tiempo en 33 ciclos: 9.66 sAmplitud X1: 12.45mmAmplitud X2: 9.55m

FRECUENCIA NATURAL Wn

DECREMENTO LOGARITMICO

COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO C


52


LA MASA SOPORTADA POR EL RESORTE

AMORTIGUAMIENTO CRITICO Cc

FRECUENCIA NATURAL AMORTIGUADA

Algunos resultados obtenidos al colocar el amortiguador en diferentes posiciones, tanto para los orificios del émbolo cerrados como abiertos, se muestran en la Tabla 8.1. Se puede observar que en todos los casos el amortiguamiento se encuentra muy por debajo del amortiguamiento crítico del sistema y por lo mismo, la frecuencia amortiguada es sólo ligeramente inferior a la frecuencia natural.

Las gráfica 8.1 muestra la variación del coeficiente de amortiguamiento C con el cuadrado de la distancia de la articulación al amortiguador L2.


53



Masa concentrada = 2.845 kgPosición de la masa = 0.43 m

Constante del resorte K= 1.315 N/mmPosición del resorte = 0.65 m

Frecuencia Natural Wn = 21.46 rad/sCoeficiente de amortiguamiento critico Cc = 122.55 N/(m/s)

Masa soportada por el resorte = 2.855 kg

Posición del amortiguador Amplitud 1 Amplitud 2

Decremento logarítmico

Coeficiente de amortiguamiento

Frecuencia amortiguada

L X1 X2 ln X1/X2 C Wdcm mm mm N/(m/s) rad/s

30.0 15.30 13.60 0.118 2.30 21.45635.0 14.50 12.45 0.152 2.97 21.45439.5 14.95 12.40 0.187 3.65 21.45146.6 13.95 10.85 0.251 4.90 21.44350.0 12.45 9.55 0.265 5.17 21.441

Posición del amortiguador Amplitud 1 Amplitud 2

Decremento logarítmico

Coeficiente de amortiguamiento

Frecuencia amortiguada

L X1 X2 ln X1/X2 C Wdcm mm mm N/(m/s) rad/s

30.0 14.30 12.05 0.171 3.34 21.45235.0 14.70 11.95 0.207 4.04 21.44839.5 14.50 11.50 0.232 4.52 21.44546.6 12.95 8.90 0.375 7.30 21.42250.0 13.15 8.50 0.436 8.49 21.408


Orificios del embolo abiertos

Orificios del embolo cerrados

TABLA 8.1

54



Variación del amortiguamiento con la posición del amortiguador

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200 0.220 0.240 0.260

L2 (Posición del amortiguador) m2

C N

s/m

Abierto Cerrado

GRAFICA 8.1

55


PRACTICA No. 9

Objetivo.- Comprobar que un sistema entra en resonancia cuando actúa sobre el mismo, una fuerza que varía armónicamente con una frecuencia similar a la frecuencia natural del sistema.Introducción.- La vibración forzada se presenta cuando una fuerza de excitación armónica externa actúa en un sistema capaz de vibrar.Cuando se aplica una fuerza que varía armónicamente a un sistema, éste tenderá a vibrar a su propia frecuencia natural, superponiéndose a la frecuencia de la fuerza de excitación. Sin embargo, debido a la fricción ó amortiguamiento, la porción de la amplitud total que no es ocasionada por la fuerza externa desaparece lentamente. Esto significa que después de un tiempo, el sistema vibra a la frecuencia de la fuerza de excitación, sin importar las condiciones iniciales ni la frecuencia natural del sistema. Una situación especial, que en la mayoría de los casos resulta ser indeseable, se presenta cuando la frecuencia de la fuerza de excitación es igual ó muy próxima a la frecuencia natural del sistema y que da como resultado una gran amplitud de vibración, aunque la fuerza de excitación sea muy pequeña. Esta situación es conocida como RESONANCIA.Material.-

a) Tornillo socket 3/8”-16NC-2 ½”. h) Columna de 6”. o) Soporte parab) Tornillo socket 3/8”-16NC-3 ¼”. i) Pesas. Resorte.c) Tornillo socket 1/4”-20NC- ½”. j) Plataforma. p) Arandela de d) Soporte Articulado. k) Rotor Desbalanceado. Sujeción. e) Barra Rectangular. l) Servomotor. q) Porta Pluma.f) Abrazadera para Amortiguador. m) Abrazadera para Resorte. r) Graficador e

g) Amortiguador. n) Resorte. Imán Procedimiento.- Se utiliza un ensamble similar al del experimento Nº 8, pero en esta ocasión el servomotor se conecta a la caja de control para poderlo encender y regular su velocidad, además se agrega el soporte superior fijo en posición vertical de la parte superior del marco de ensamble y los topes colocados de forma que evite vibraciones que puedan salir fuera de control. El experimento consiste en determinar la frecuencia natural Wn del sistema y posteriormente aumentar lentamente la velocidad del motor para comprobar que cuando la frecuencia de la fuerza de excitación se acerca ó iguala a la frecuencia natural del sistema, ocurre la resonancia.La frecuencia natural Wn se puede obtener de manera teórica:

donde: Keq = K L2

K = Constante del resorteL = Posición del resorteI = Momento de Inercia del sistema


56



PRACTICA No. 9


Para un sistema formado por un resorte de constante K = 1315 N/m localizado a 0.65m del soporte de pivoteo con una masa M de 3.915Kg a una distancia de 0.43m sobre la barra rectangular de Masa Mb = 2.240 kg. y longitud l=0.889 m.

Keq = (1315)(0.65)2 = 555.59 Nm

La frecuencia natural también se puede obtener experimentalmente haciendo oscilar el sistema libremente. Posteriormente se cuenta el número de ciclos dibujados en un determinado lapso de tiempo medido con un cronómetro:

Dado que la polea motriz es de 22 ranuras y la polea del rotor desbalanceado es de 72 ranuras, la resonancia se debe alcanzar cuando el motor gira aproximadamente a

Para comprobar lo anterior, se energiza el motor y se aumenta poco a poco la velocidad, debiéndose observar la máxima amplitud de oscilación a aproximadamente 631 r.p.m. A menor ó mayor velocidad la amplitud es considerablemente menor. (Al agregar el amortiguador al sistema se puede evitar que la vibración sea demasiado violenta).


58


PRACTICA Nº 10

Objetivo.- Comprobar el principio de DUNKERLEY.

Introducción.- S. Dunkerley, desarrolló teóricamente un método para encontrar la frecuencia natural de una flecha o viga que soporta una serie de masas concentradas. El método parte de encontrar separadamente la frecuencia natural del sistema compuesto sólo por la flecha y por cada una de las masas individualmente. El principio obedece a la siguiente

ecuación:

donde: f = Frecuencia natural menor del sistema completofs = Frecuencia natural de la flecha solaf1= Frecuencia natural del sistema compuesto por la masa 1 (m1) y la flecha sin considerar la masa de esta última.f2= Frecuencia natural del sistema compuesto por la masa 2

(m2) y la flecha sin considerar la masa de esta última.o sea: fs, f1, f2, son las frecuencias naturales del sistema considerando cada masa

actuando separadamente.Material.-

a) Tornillo socket 3/8”-16NC-3 ¼”. g) Pesas.b) Tornillo socket 3/8”-16NC-2 ½”. h) Plataforma. c) Soporte Articulado. i) Arandela de sujeción.d) Barra Rectangular. j) Soporte Superior.e) Servomotor. k) Topes para Soporte Superior.f) Disco Desbalanceado. l) Corredera.

Procedimiento.- En cada una de las bases que se encuentran colocadas en las caras interiores de los tubulares verticales del marco de ensamble se colocan el soporte articulado y la corredera entre los que se sujeta la barra rectangular. Se coloca el servomotor en el punto medio de la barra rectangular. Sobre la polea del servomotor se fija el disco desbalanceado. Es conveniente fijar el soporte superior en posición vertical como un dispositivo de seguridad que evite daños, si al estar operando el aparato, la barra rectangular llegara a soltarse de alguno de sus extremos. Tanto el servomotor, la abrazadera del servomotor y el disco desbalanceado constituyen la masa concentrada del sistema, la cual se va a ir incrementando al agregar una a una, tanto la plataforma como cada una de las pesas.El servomotor se conecta a la caja de control, la cual permite energizar, así como variar y medir la velocidad.Al aumentar lentamente la velocidad del servomotor, es posible localizar la frecuencia de resonancia del sistema, que se presenta cuando la oscilación del sistema alcanza su máxima amplitud. Esta operación se repite cada vez que se aumenta la masa centrada del sistema (Al agregar la plataforma y cada una de las pesas).


59



PRACTICA No. 10


La comprobación del principio de Dunkerley se logra al analizar la variación de la frecuencia natural de una viga al variar la masa concentrada en la viga.

Al hacer una gráfica de 1/f2 contra masa M con datos obtenidos ( donde f es la frecuencia natural del sistema en ciclos por segundo para una masa centrada M en Kg ) se podrá observar que los datos se pueden ajustar a una línea recta. Por el método de regresión lineal es posible obtener tanto la pendiente de la recta, así como el punto donde dicha recta corta al eje 1/f2, donde la masa centrada M es cero:

El principio de Dunkerley establece:

Por lo tanto, el valor de la frecuencia que se obtiene de la gráfica cuando la masa M=0, corresponde a la frecuencia natural de la barra rectangular fs (sin considerar la masa adicionada), y debe ser igual al valor calculado para una viga simplemente apoyada.

Algunas mediciones obtenidas se muestran en la tabla 10.1 y en la gráfica 10.1. Los valores se pueden ajustar a una recta cuya ecuación es:


61


de donde: la frecuencia natural de la viga ó flecha fs es:

Al comparar los dos valores obtenidos, se puede comprobar la precisión del método:

La masa de la viga es: 2.240 KgLa longitud entre apoyos: 0.865 m

El momento de inercia I:

El módulo de rigidez E: 2.036 x 1011


62



TABLA 10.1

63

Masa colocada

Frecuencia de

resonancia

Frecuencia de

resonancia f 1/f2

kg rpm Hz.

3.28 1181 19.68 0.002583.72 1130 18.83 0.002824.10 1085 18.08 0.003064.48 1050 17.50 0.003274.86 1028 17.13 0.003415.24 996 16.60 0.003635.62 964 16.07 0.003876.00 925 15.42 0.00421

Tabla de resultados de la practica No. 10



Variación de 1/f2 vs. masa colocada

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0.004

0.0045

0 1 2 3 4 5 6 7

Masa colocada W kg

1/f2

GRAFICA 10.1

64


PRACTICA No. 11

Objetivo.- Analizar el comportamiento de un sistema sometido a vibración forzada al introducir amortiguamiento. Observar como el amortiguamiento disminuye la amplitud de vibración y modifica el ángulo de fase.

Introducción.- En cualquier sistema real, el amortiguamiento siempre está presente como una fuerza que se opone al movimiento. El amortiguamiento puede ser causado por la fricción interna de partículas, por la fricción con partículas de la atmósfera ó de algún líquido ó por la fricción entre sólidos.

Cuando se introduce amortiguamiento viscoso a un sistema y se somete a vibración forzada, el sistema vibra a dos frecuencias superpuestas, una es la frecuencia natural del sistema y la otra es la misma frecuencia con que actúa la fuerza de excitación. La primera es de estado transitorio y desaparece después de un tiempo, debido al amortiguamiento. La segunda es de estado estable y perdura mientras la fuerza esté aplicada. La ecuación que define el comportamiento ó respuesta del sistema es:

Al analizar la ecuación se deduce que:

El amortiguamiento reduce la relación de amplitudes y esto es más notorio cerca de la frecuencia natural.

Por otro lado, el ángulo de fase ó ángulo de atraso del desplazamiento X con respecto a la fuerza que ocasiona dicho desplazamiento, se define como:


65


Instructor: Alejandro Pérez cortés 66

PRACTICA No. 11


de donde se deduce que para:

La amplitud de vibración está en fase con la fuerza armónica de excitación. El ángulo de fase se aproxima a 0º.

La amplitud de vibración está atrasada respecto a la fuerza armónica de excitación. El ángulo de fase se aproxima a 180º.

W = Wn El ángulo de fase es de 90º.

A velocidades de excitación menores a la de resonancia, el ángulo de fase se incrementa al aumentar el amortiguamiento, mientras que a velocidad de excitación superiores a la de resonancia, el ángulo de fase disminuye al aumentar el amortiguamiento.Material.-

a) Tornillo socket 3/8”-16NC-3 ¼”. j) Pesas.b) Tornillo socket 3/8”-16NC-2 ½”. k) Plataforma. c) Soporte Articulado. l) Arandela de sujeción.d) Barra Rectangular. m) Soporte Superior.e) Servomotor. n) Topes para Soporte Superior.f) Disco Desbalanceado. o) Corredera.g) Amortiguador. p) Soporte para Micrómetro optosensor. h) Lámpara estroboscópica. q) Cabeza Micròmetrica.i) Columna de 6” y de 12”.

Procedimiento.- Se hace el ensamble del aparato similar al experimento Nº 10, se agrega el amortiguador en su soporte unido a la plataforma y el micrómetro en el soporte micrómetro optosensor. Se conecta el optosensor en la caja de control y lo mismo se hace con la lampara estroboscópica.

La amplitud y el ángulo de fase pueden ser medidos con gran exactitud para cualquier frecuencia de excitación al hacer que el optosensor movido por el micrómetro sea bloqueado por la laminilla de la plataforma, lo que provoca que encienda la lámpara si el gatillo se encuentra oprimido. Esta operación debe realizarse primeramente sin excitación en el sistema. La medida obtenida debe ser tomada como referencia para el cálculo de la amplitud por diferencia.

Se energiza el motor para producir una vibración a una frecuencia predeterminada. Para obtener la amplitud se eleva la punta del optosensor con el micrómetro hasta ser bloqueado. Es importante que la lámpara estroboscópica emita el haz de luz de manera uniforme, lo que se logra si el sistema ha alcanzado las condiciones de estado estable. La amplitud de vibración se puede encontrar si se compara la nueva medición del micrómetro con la de referencia.

El ángulo de fase puede ser encontrado si se dirige el haz de luz de la lámpara estroboscópica al

transportador del disco desbalanceado, permitiendo ser leído. La operación se repite para aproximadamente 20 velocidades diferentes, pasando por la resonancia, para el sistema sin el amortiguador, para el sistema con el amortiguador con los orificios del émbolo cerrados y para el


67


sistema con el amortiguador con los orificios del émbolo abiertos, para tener tres condiciones diferentes de amortiguamiento.

Es necesario para cada uno de los tres casos, localizar la velocidad a la cual ocurre la resonancia (frecuencia natural Wn). Los resultados obtenidos se presentan en la tabla 11.1.

Con los datos obtenidos se elaboran dos gráficas:

1. Amplitud X contra relación de frecuencias f/fn (Gráfica 11.1)

2. Angulo de fase contra relación de frecuencias f/fn (Gráfica 11.2), las cuales permiten visualizar y analizar más fácilmente el comportamiento del sistema.


68



Tabla de mediciones para amortiguamiento pesado Tabla de mediciones para amortiguamiento ligero

FrecuenciaRelación de frecuencias Amplitud

Angulo de desfasamiento Frecuencia

Relación de frecuencias Amplitud

Angulo de desfasamiento

f f/fn X Grados f f/fn X Gradosrpm mm rpm mm

700 0.5814 0.03 0 700 0.5804 0.04 0800 0.6645 0.05 0 800 0.6633 0.06 0900 0.7475 0.08 0 900 0.7463 0.08 01000 0.8306 0.12 0 1000 0.8292 0.14 51110 0.9219 0.33 10 1110 0.9204 0.34 101150 0.9551 0.57 20 1150 0.9536 0.58 181165 0.9676 0.74 28 1165 0.9660 0.80 201180 0.9801 1.02 33 1180 0.9784 1.79 371190 0.9884 1.45 40 1190 0.9867 2.08 421200 0.9967 1.86 56 1200 0.9950 2.79 831204 1.0000 2.14 91 1206 1.0000 2.80 901210 1.0050 2.07 111 1210 1.0033 2.78 981221 1.0141 1.69 135 1221 1.0124 2.06 1301231 1.0224 1.29 151 1231 1.0207 1.46 1401246 1.0349 0.94 158 1246 1.0332 1.17 1651261 1.0473 0.84 168 1261 1.0456 0.40 1771300 1.0797 0.54 176 1300 1.0779 0.33 1801400 1.1628 0.26 180 1400 1.1609 0.27 1801500 1.2458 0.18 180 1500 1.2438 0.19 1801600 1.3289 0.15 180 1600 1.3267 0.14 180

fn= 1204 rpm fn= 1206 rpm

TABLA 11.169



Tabla de mediciones sin amortiguamiento

FrecuenciaRelación de frecuencias Amplitud

Angulo de desfasamiento

f f/fn X Gradosrpm mm

700 0.5705 0.03 0800 0.6520 0.04 0900 0.7335 0.07 01000 0.8150 0.11 01160 0.9454 0.50 131190 0.9698 0.94 141205 0.9821 1.58 171212 0.9878 2.30 251217 0.9919 4.27 401222 0.9959 6.90 881227 1.0000 6.73 1101233 1.0049 4.91 1391240 1.0106 2.74 1671255 1.0228 1.57 1741270 1.0350 1.06 1761290 1.0513 0.81 1801330 1.0839 0.49 1801400 1.1410 0.29 1801500 1.2225 0.20 1801600 1.3040 0.12 180

fn= 1227 rpm

TABLA 11.1 (Continuación)

70



Variación de la amplitud con la relación de frecuencias

0

1

2

3

4

5

6

7

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Relación de frecuencias f/fn

Am

plit

ud

X m

m

pesado ligero sin amortiguamiento

GRAFICA 11.1

71



Variación del angulo de fase con la relación de frecuencias

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4


An

gu

lo d

e fa

se G

rad

os

pesado ligero sin amortiguamiento

GRAFICA 11.2

72


PRACTICA Nº 12

PARTE IObjetivo.- Observar como cambia el ángulo de fase al modificar la frecuencia de excitación en un sistema sometido a vibración forzada.Introducción.- El ángulo de fase, que es el ángulo de atraso del movimiento con respecto a la fuerza que ocasiona dicho movimiento, es muy pequeño cuando la frecuencia de excitación es mucho menor a la frecuencia natural del sistema en caso contrario el ángulo se aproxima a 180º. En la resonancia el ángulo de fase es 90º para cualquier valor de amortiguamiento viscoso.En general el ángulo de fase ó atraso varía desde 0 a 180º, cuando la frecuencia de excitación aumenta de 0 a valores muy superiores a los de la frecuencia natural del sistema. Material.-

a) Soporte Articulado. i) Servomotor. b) Barra Rectangular. j) Rotor Desbalanceado.c) Abrazadera para Amortiguador. k) Plataforma y Pesas. d) Amortiguador. l) Soporte para Pluma. e) Columna de 12”. m) Soporte Superior.f) Tornillo socket 3/8”-16NC-3 ¼”. n) Topes para Soporte Superior.g) Tornillo socket 3/8”-16NC-2 ½”. o) Soporte para Resortes y Resorte.h) Arandelas de Sujeción. p) Abrazadera para Resorte.

Procedimiento.- Se utiliza el mismo ensamble de los experimentos 8 y 9 y se agrega el soporte para plumilla y un trozo de papel adherido a la cara frontal del ensamble rotor desbalanceado. Se ajusta el soporte para plumilla de manera que esta haga contacto en el papel en algún punto sobre el eje vertical que pasa por el centro de los discos desbalanceados.Se coloca el amortiguador en algún punto a lo largo de la barra rectangular y de preferencia alejado del soporte articulado para que pueda eliminar la vibración transitoria. Se energiza el servomotor y se hace girar a una velocidad bastante lenta sólo lo necesario para poder dibujar con la plumilla fija en el soporte, sobre el papel adherido en la cara frontal del ensamble rotor desbalanceado, un trazo circular de referencia. También se indica sobre el papel la posición de agujero y el centro del disco.Se provoca que el sistema entre en vibración incrementando la velocidad del servomotor hasta que una amplitud apreciable sea obtenida. Se aproxima de nuevo la plumilla para hacer un segundo trazo, que permitirá poder medir el ángulo de fase o atraso.El procedimiento se repite para diferentes velocidades en un rango que incluya la velocidad de resonancia (frecuencia natural del sistema).Los datos obtenidos para un sistema cuya frecuencia natural es de 20.19 Rad./s que equivale a una velocidad del servomotor de 631 r.p.m. se presenta en la tabla 12.1. La gráfica 12.1 muestra la variación del ángulo de fase con la relación de frecuencias.


73



PRACTICA No. 12



Tabla de resultados del experimento No. 12 (parte 1)

Velocidad del servomotor

Velocidad del rotor

desbalanceado

Relación de frecuencias

f/fnAngulo de

faserpm rpm Grados

547 167.14 0.867 17571 174.47 0.905 20601 183.64 0.952 45618 188.83 0.979 72633 193.42 1.003 99640 195.56 1.014 124652 199.22 1.033 140667 203.81 1.057 153687 209.92 1.089 160

Frecuencia de resonancia = 192.8 rpm

TABLA 12.1

76



Variación del angulo de fase con la relación de frecuencias

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0.850 0.900 0.950 1.000 1.050 1.100


An

gu

lo d

e fa

se G

rad

os

GRAFICA 12.1

77


Parte II

Objetivo.- Determinar la fuerza trasmitida y la trasmisibilidad de un sistema sometido a vibración forzada.

Introducción.- La condición de resonancia debe ser evitada siempre que se requiera un funcionamiento suave y duradero ya que bajo las condiciones de resonancia o en sus proximidades, la amplitud del movimiento se vuelve sumamente grande, por lo que puede ocasionar serios daños en el sistema. Es importante poder determinar qué tan lejos de las condiciones de resonancia se presentan las condiciones seguras de operación, lo cual se puede lograr considerando la fuerza trasmitida a través del elemento que actúa como resorte.

La fuerza perturbadora puede ser trasmitida a través del resorte a la estructura, soporte ó cimentación sólo si el resorte es deformado. Siendo X la deformación máxima del resorte y K la constante del resorte, KX es la máxima fuerza trasmitida y debe ser sumada a la fuerza estática ya existente. La TRASMISIBILIDAD es el factor por el cual hay que multiplicar la fuerza perturbadora para obtener la fuerza realmente trasmitida. Se puede obtener como una relación de fuerzas:

donde: Tr = TRASMISIBILIDADFT = Fuerza TrasmitidaFo = Fuerza Perturbadora

ó como una relación de amplitudes:

donde: XR =Amplitud debido a la vibración forzadaXFO =Deflexión que debería sufrir el sistema si la fuerza

perturbadora fuera una fuerza estática (Deflexión "estática")

Procedimiento.- Se retira el soporte para plumilla y se fija el adaptador para plumilla en el extremo de la barra rectangular para poder graficar sobre el graficador motorizado.

Se provoca que el sistema entre en vibración incrementando la velocidad del servomotor, hasta que una amplitud apreciable sea conseguida y se hace un trazo sobre el graficador motorizado para obtener la amplitud de vibración en el extremo de la barra (XE).


78


El procedimiento se repite para diferentes velocidades en un rango que incluya la velocidad de resonancia y para diferentes posiciones del amortiguador.

Para poder calcular la trasmisibilidad Tr es necesario obtener la amplitud XR en la posición del resorte (que equivale a la deformación del resorte) así como trasladar la fuerza perturbadora FO a dicha posición:

donde: XR = Amplitud en la posición del resorte (Deformación del resorte).

XE = Amplitud en el extremo de la barraAC = Distancia del centro de pivoteo al resorteAB = Distancia del centro de pivoteo al extremo de la

barra (posición de la plumilla)La fuerza trasmitida FT es:

FT = K XR

donde: K = Constante del resorte

La fuerza perturbadora ó de excitación causada por la rotación del rotor desbalanceados Fo es:Fo = m e w 2

donde: m = masa excéntricae = excentricidad de la masaw = Velocidad angular de la masa excéntrica

que trasladada a la posición del resorte es:

donde: FOR = Fuerza de excitación trasladada a la posición del resorte

FO = Fuerza de excitaciónAD = Distancia del centro de pivoteo al rotor

desbalanceadoAC = Distancia del centro de pivoteo al resorte

Para un sistema que tiene una frecuencia natural de 20.19 rad/s que equivale a una velocidad del servomotor de 631 r.p.m. con el amortiguador colocado a 0.565m del punto de pivoteo y con

un resorte de K = 1315 , con las siguientes distancias:


79


Entre el centro de pivoteo y el extremo de la barra: AB = 0.873 m.Entre el centro de pivoteo y el resorte: AC = 0.675 m.Entre el centro de pivoteo y el rotor desbalanceado: AD = 0.430 m.y con una velocidad en el rotor desbalanceado de: 16.00 rad/s

se obtienen los siguientes resultados:

Fuerza Perturbadora FO:

La masa excéntrica de 2 agujeros de 1 plg. de diámetro en discos de fierro de 0.216 plg. (5.5mm) de espesor es:

La excentricidad del desbalance es de 31.30mm

FO = m e w 2

FO = 0.0435 (0.03130)(16)2 = 0.348 N

Deformación del resorte XR:

La amplitud medida en el extremo de la barra es de 0.775 mm

La fuerza trasmitida FT:

La fuerza perturbadora trasladada a la posición del resorte FOR:

F FAD

AC

F N

OR O

OR

03480 430

0 6750 2217.

.

..

La trasmisibilidad Tr:


80


Relación de frecuencias W/Wn = 16/20.19 = 0.79

La tabla 12.2 muestra los resultados obtenidos para diferentes velocidades pasando por la velocidad de resonancia y diferentes amortiguamientos.

En la gráfica 12.2 se muestra la variación de la trasmisibilidad Tr al modificar la relación de frecuencias W/Wn.


81



Distancia del la articulación al extremo de la barra AB = 0.873 mDistancia de la articulación a la posición del resorte AC = 0.675 m

Distancia de la articulación a la posición del rotor AD = 0.43 mConstante del resorte K = 1315 N/m

Masa excéntrica m = 0.0435 kgExcentricidad de la masa e = 0.0313 m

Velocidad de resonancia = 631 rpm


Velocidad del rotor


Amplitud en el

extremoDeformación del resorte

Fuerza trasmitida

Fuerza perturbadora

Fuerza perturbadora trasladada Transmisibilidad

n W W/Wn X XR FT Fo For Tr

rpm rad/s mm mm N N N

500 16.00 0.79 0.775 0.599 0.788 0.348 0.2219 3.55525 16.80 0.83 1.000 0.773 1.017 0.384 0.2446 4.16550 17.60 0.87 1.275 0.986 1.296 0.421 0.2685 4.83575 18.40 0.91 2.050 1.585 2.084 0.461 0.2934 7.10600 19.20 0.95 3.400 2.629 3.457 0.502 0.3195 10.82614 19.65 0.97 6.850 5.296 6.965 0.525 0.3346 20.82631 20.19 1.00 17.450 13.492 17.742 0.555 0.3534 50.21641 20.51 1.02 8.700 6.727 8.846 0.572 0.3647 24.26650 20.80 1.03 6.400 4.948 6.507 0.589 0.3750 17.35675 21.60 1.07 3.175 2.455 3.228 0.635 0.4044 7.98700 22.40 1.11 2.200 1.701 2.237 0.683 0.4349 5.14725 23.20 1.15 1.675 1.295 1.703 0.732 0.4665 3.65


Velocidad del rotor


Amplitud en el

extremoDeformación del resorte

Fuerza trasmitida

Fuerza perturbadora

Fuerza perturbadora trasladada Transmisibilidad

n W W/Wn X XR FT Fo For Tr

rpm rad/s mm mm N N N

500 16.00 0.79 0.825 0.638 0.839 0.348 0.2219 3.78525 16.80 0.83 1.125 0.870 1.144 0.384 0.2446 4.68550 17.60 0.87 1.425 1.102 1.449 0.421 0.2685 5.40575 18.40 0.91 2.000 1.546 2.034 0.461 0.2934 6.93600 19.20 0.95 3.100 2.397 3.152 0.502 0.3195 9.86614 19.65 0.97 4.000 3.093 4.067 0.525 0.3346 12.15631 20.19 1.00 4.250 3.286 4.321 0.555 0.3534 12.23641 20.51 1.02 2.350 1.817 2.389 0.572 0.3647 6.55650 20.80 1.03 3.100 2.397 3.152 0.589 0.3750 8.41675 21.60 1.07 2.225 1.720 2.262 0.635 0.4044 5.59700 22.40 1.11 1.825 1.411 1.856 0.683 0.4349 4.27

Tabla 12.1

Tabla de resultados del experimento No. 12 (parte 2)

Amortiguador ubicado a 0.565m de la articulación con los orificios abiertas

Amortiguador ubicado a 0.26 m de la articulación con los orificios abiertas

TABLA 12.282



Variación de la transmisibilidad Tr con la relación de frecuencias

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15

Relación de frecuencias W/wn

Tran

smis

ibili

dad

Tr.

Amort. ligero Amort. Pesado

GRAFICA 12.2

83


PRACTICA No. 13

Objetivos:

1. Analizar el comportamiento de un sistema de 2 grados de libertad con vibración forzada.

2. Utilizar un sistema oscilatorio secundario para eliminar la oscilación de un sistema principal.

Introducción.- Cuando un sistema requiere de dos ó más coordenadas independientes para describir su movimiento es conocido como un sistema de múltiples grados de libertad y se presentan no sólo una sino varias condiciones de resonancia ó frecuencias naturales, cada una de ellas con su propia forma.

La vibración libre del sistema se puede dar a cualquiera de las frecuencias naturales cuyo caso se conoce como un modo normal de vibración ó también se puede dar como una superposición de los modos normales de vibración, dependiendo de las condiciones iniciales.

Cuando al sistema se le introduce una fuerza de excitación armónica (vibración forzada) la vibración ocurrirá a la frecuencia de excitación y las amplitudes tendrán un máximo, cuando la frecuencia de la fuerza de excitación iguales a las frecuencias naturales del sistema.

Las frecuencias naturales del sistema se obtienen, así como en un sistema de un grado de libertad, a partir de sus ecuaciones de movimiento.

y se asume que el sistema se mueve de acuerdo a uno de sus modos normales por lo que ambas masas tienen un movimiento armónico de la misma frecuencia w.

X1 = X1 senwtX2 = X2 senwt

Y al sustituir en las ecuaciones de movimiento se obtiene:


84



PRACTICA No. 13


Al igualar las dos ecuaciones se tiene:

que es una ecuación cuadrática que arroja como resultado dos valores de w2 de donde se obtienen las dos frecuencias naturales w1 y w2.

Si sobre la masa M se aplica una fuerza de excitación armónica F1 senwt la respuesta será también un desplazamiento armónico a la misma frecuencia w de la fuerza:

X1 = X1 senwtX2 = X2 senwt

y las ecuaciones de movimiento son:

que toman la siguiente forma:

Al resolver el sistema de ecuaciones se obtienen las amplitudes X1 y X2.

Dado que la frecuencia natural del sistema principal es:


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y la del sistema secundario:

Se puede concluir que si la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia natural del sistema secundario:

w=w22

la amplitud X1 es:

y la amplitud X2 es:

Que demuestra que un sistema masa-resorte secundario (K2, m) , sintonizado a la frecuencia de

la fuerza excitatriz de modo que , actuará como un amortiguador y reducirá el

movimiento de la masa principal M a cero. Este es el principio en que se fundamenta el AMORTIGUADOR DINAMICO DE VIBRACIONES.Material.-

a) Soporte Articulado. f) Amortiguador Dinámico.b) Barra Rectangular. g) Corredera. c) Tornillo socket 3/8”-16NC-3 ¼”. h) Soporte Superiord) Tornillo socket 3/8”-16NC-2 ½”. i) Arandelas de Sujeción. e) Servomotor”. j) Topes para Soporte Superior.

Procedimiento.- En cada una de las bases que se encuentran colocadas en las caras interiores de los tubulares verticales del marco de ensamble se colocan el soporte articulado y la corredera entre los cuales se sujeta la barra rectangular. Se coloca el servomotor en el punto medio de la barra rectangular sobre la polea del servomotor se fija el disco desbalanceado y en la parte inferior de la abrazadera del servomotor se fija el soporte del amortiguador dinámico. (Se pueden también enroscar la plataforma y algunas de las pesas al soporte del amortiguador dinámico para aumentar la masa del sistema). Todo lo anterior constituye el sistema principal. El servomotor se conecta a la caja de control, la cual permite energizar, así como variar y medir la velocidad.Al aumentar lentamente la velocidad del servomotor, es posible localizar la frecuencia de resonancia de este sistema que se presenta cuando la oscilación del sistema alcanza su máxima amplitud. Este valor debe ser muy cercano al obtenido teóricamente:


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donde: Wn= Frecuencia natural del sistemaE = Módulo de elasticidad de la barra rectangularI = Momento de inercia de área de la barra rectangularL = Longitud de la barra rectangular entre los soportesM = Masa colocada en la barra rectangularmb = Masa de la barra

Posteriormente se construye un amortiguador dinámico de vibraciones con las masas y los resortes, para este fin, que trabajará como un sistema oscilatorio secundario al ser agregado al sistema principal; con lo que el sistema de un grado de libertad se convierte en un sistema de dos grados de libertad, y en el que si la frecuencia natural de sistema auxiliar W22 es igual a la frecuencia de excitación w se eliminará el movimiento (vibración) del sistema principal (X1 = 0).

Para lograr que la frecuencia natural w22 del sistema oscilatorio secundario (amortiguador dinámico de vibraciones) sea igual a la frecuencia de excitación w es necesario calcular el punto exacto o distancia L en que deben ser colocadas las masas, sabiendo que la fórmula para el cálculo de la frecuencia natural del sistema auxiliar es:

donde: E = Módulo de elasticidad de los resortes del amortiguador dinámicoI = Momento de inercia de área de los resortes del amortiguador dinámicoL = Distancia de localización de las masasm = Masa Ajustable mr = Masa de los resortes del amortiguador dinámico

Al unir el sistema secundario al sistema principal y de nuevo ajustar la velocidad del motor o la velocidad en la cual se presentó la resonancia del sistema principal se observará que éste permanece inmóvil (X1 = 0) mientras que el sistema auxiliar es el que vibra, con lo que se puede comprobar la efectividad del amortiguador dinámico de vibraciones para eliminar la vibración en un sistema principal.

Por último, partiendo de una velocidad del servomotor igual a cero, se aumenta lentamente su velocidad con el propósito de localizar las frecuencias ó velocidades de resonancia w1 y w2 las cuales deben ser dentro de un margen de error experimental iguales a las calculadas a partir de la ecuación cuadrática.


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A continuación se presentan los cálculos y resultados obtenidos cuando se soporta una masa M de 2.750 kg. en el punto medio de la barra rectangular.

La resonancia del sistema localizada experimentalmente sucedió a 1231 r.p.m., por lo tanto, la frecuencia natural Wn experimental de sistema es: 129 rad/s que resulta ser un valor muy próximo al teórico:

Para disminuir ó eliminar el movimiento del sistema, se agrega a éste un amortiguador dinámico de vibraciones que se construye de forma que la frecuencia natural de este último, sea igual a la frecuencia de excitación y, por lo tanto, igual a la frecuencia natural del sistema. El amortiguador dinámico de vibraciones se construye con dos resortes de flexión de sección circular de 0.125 plg. y dos masas de 0.1775 kg.

Se sujetan en su punto medio los dos resortes de flexión en el soporte del amortiguador dinámico y a 0.126m del centro del soporte, cada una de las masas de 0.1775 kg. en cada uno de sus extremos. Se comprueba que para una velocidad de 129 rad/s el movimiento del sistema principal prácticamente se elimina.

A continuación se localizan experimentalmente las dos frecuencias de resonancia del sistema de dos grados de libertad compuesto por el sistema principal y el sistema secundario (Amortiguador dinámico de vibraciones) y que corresponden a las frecuencias naturales del sistema.


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La resonancia se presenta a: 1060 y 1436 r.p.m.

Por lo tanto, las frecuencias naturales son:

Los valores teóricos se obtienen con la ecuación:


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manual del marco de vibraciones

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