Ley de Biot-Savart

Ilustración de la ecuación de Biot-Savart.

La ley de Biot-Savart, que data de 1820 y es llamado así en honor de los físicos franceses Jean-Baptiste Biot y Félix Savart, indica el campo magnético creado por corrientes eléctricas estacionarias. Es una de las leyes fundamentales de la magnetostática, tanto como la ley de Coulomb lo es en electrostática.

En el caso de las corrientes que circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la

contribución de un elemento infinitesimal de longitud del circuito recorrido por una

corriente crea una contribución elemental de campo magnético, , en el punto

situado en la posición que apunta el vector a una distancia respecto de , quien apunta en la dirección de la corriente I:

donde es la permeabilidad magnética del vacío, y es un vector unitario con la

dirección del vector , es decir, .

En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen de la distribución, viene dada por:

donde es la densidad de corriente en el elemento de volumen y es la posición relativa del punto en el que se quiere calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.

En ambos casos, el campo final resulta de aplicar el principio de superposición a través de la expresión:

En la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las fuentes del campo.

Índice

1 Ley de Biot-Savart generalizada 2 Divergencia y rotacional del campo magnético a partir de la ley de Biot y

Savart o 2.1 Divergencia o 2.2 Rotacional

3 Véase también

Ley de Biot-Savart generalizada

En una aproximación magnetostática, el campo magnético puede ser determinado si se conoce la densidad de corriente j:

siendo:

es el elemento diferencial de volumen.

es la constante magnética.

Divergencia y rotacional del campo magnético a partir de la ley de Biot y Savart

La divergencia y rotacional de un campo magnético estacionario puede hallarse por simple aplicación de tales operadores a la ley de Biot y Savart

Divergencia

Aplicando el operador gradiente a la expresión, se tiene:

Dado que la divergencia se aplica en un punto de evaluación del campo independiente de la integración de en todo el volumen, el operador no afecta a . Aplicando la correspondiente identidad vectorial:

Dado que:

se tiene:

Rotacional

Aplicando el operador rotacional tenemos:

Al igual que ocurría en la divergencia, el operador no afecta a ya que sus coordenadas son las del dominio de integración y no las del punto de evaluación del rotacional.

Aplicando la correspondiente identidad vectorial y conociendo que

Realizando la integración se obtiene finalmente:

Nótese que el resultado anterior sólo es válido para campos magnéticos estacionarios. Si el campo magnético no fuese estacionario aparecería aparte el término debido a la corriente de desplazamiento.

Problemas de aplicación de la Ley de Biot-Savart: 25-29

Campo magnético creado en el punto por un elemento diferencial de circuito

situado en :

Una integral útil: , con una constante.

P.25 El conductor en forma de cigüeñal tiene una longitud a=1cm en el tramo corto vertical y una longitud 2b=2cm en el tramo corto horizontal. Por el condcutor circula una corriente I=8A. El tramo más largo que está alineado con el punto P donde queremos calcular el campo magnético no produce ninguna contribución al campo en P

debido al producto vectorial en la definición de : el

elemento diferencial de longitud de este tramo más largo es paralelo al vector de

posición que va desde hasta el punto P.

El campo en P va hacia dentro de la página y es la suma de las contribuciones de cada uno de los tramos cortos. El tramo vertical produce un campo en P igual a

. Y el horizontal

. La suma de las contribuciones de los tramos cortos es por tanto

(48)

que es también el campo creado en P por todo el conductor.

ReactanciaEn electrónica y electrotecnia, se denomina reactancia a la oposición ofrecida al paso de la corriente alterna por inductores (bobinas) y condensadores, se mide en Ohmios y su símbolo es Ω. Junto a la resistencia eléctrica determinan la impedancia total de un componente o circuito, de tal forma que la reactancia (X) es la parte imaginaria de la impedancia (Z) y la resistencia (R) es la parte real, según la igualdad:

Índice

1 Tipos de reactancias o 1.1 Reactancia capacitiva o 1.2 Reactancia inductiva

2 Véase también 3 Enlaces externos

Tipos de reactancias

Cuando circula corriente alterna por alguno de dos elementos que poseen reactancia, la energía es alternativamente almacenada y liberada en forma de campo magnético, en el caso de las bobinas, o de campo eléctrico, en el caso de los condensadores. Esto produce un adelanto o atraso entre la onda de corriente y la onda de tensión. Este desfase hace disminuir la potencia entregada a una carga resistiva conectada tras la reactancia sin consumir energía.

Si se realiza una representación vectorial de la reactancia inductiva y de la capacitiva, estos vectores se deberán dibujar en sentido opuesto y sobre el eje imaginario, ya que las impedancias se calculan como y respectivamente.

No obstante, las bobinas y condensadores reales presentan una resistencia asociada, que en el caso de las bobinas se considera en serie con el elemento, y en el caso de los condensadores en paralelo. En esos casos, y como ya se indicó arriba, la impedancia (Z) total es la suma vectorial de la resistencia (R) y la reactancia (X).

En fórmulas:

Donde:

"j" es la unidad imaginaria

es la reactancia en Ohm.

ω es la frecuencia angular a la cual está sometido el elemento, L y C son los valores de inductancia y capacitancia respectivamente.

Dependiendo del valor de la energía y la reactancia se dice que el circuito presenta:

Si , reactancia Inductiva Si , no hay reactancia y la impedancia es puramente Resistiva

Si , reactancia Capacitiva

Reactancia capacitiva

La reactancia capacitiva se representa por y su valor viene dado por la fórmula:

en la que:

= Reactancia capacitiva en ohms= Capacidad eléctrica en farads= Frecuencia en hertzs= Frecuencia angular

Reactancia inductiva

La reactancia inductiva se representa por y su valor viene dado por:

en la que:

= Reactancia inductiva en ohm= Inductancia en henrios= Frecuencia en hertz= Frecuencia angular

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

En la parte derecha de la página tienes un enlace a ejercicios resueltos en corriente alterna, para que una vez estudiados puedes ver como se resuelven este tipo de ejercicios.

Los receptores en corriente alterna (c.a.) se pueden comportar de 3 formas diferentes.

Receptores Resistivos puros. Solo tienen resistencia pura. Se llaman receptores R.

Receptores Inductivos puros. Solo tienen un componente inductivo puro (bobina). Se llaman L.

Receptores Capacitivos puros. Solo tienen un componente capacitivo (condensadores). Se llaman C.

En realidad no hay ningún receptor R, L o C puro, ya que por ejemplo un motor eléctrico tiene un bobinado con componente L, pero también esta bobina, por ser un cable, tiene una parte resistiva, por lo tanto será un receptor RL o incluso si tiene una parte capacitiva será receptor RLC.

Para analizar estos receptores en circuitos, es mejor hacerlo de forma separada con su componente R, L y C por separado. Así tenemos 3 tipos de circuitos, dependiendo el receptor.

Circuitos R, solo resistencia.

Circuitos L, solo bobina.

Circuito C, solo condensador.

Aunque como ya vimos los circuitos reales serian RL, RC o RLC.

Vamos a estudiar como serían estos 3 circuitos por separado y luego veremos como serían los circuitos RL, RC y RLC.

Consideraciones Previas

Si no estas familiarizado con la c.a. y c.c lo mejor es que veas este enlace: Corriente Continua y Alterna, en el que verás la diferencia entre una y otra.

Imaginando que ya conoces la c.a., lo primero que hay que tener en cuenta es que en c.a. las ondas de las tensiones y las intensidades son ondas senoidales y están desfasadas, es decir cuando empieza la onda de la tensión, la onda de la intensidad empieza más tarde (excepto en los resistivos).

Si te fijas en la gráfica de arriba la onda de la tensión está adelantada 30º respecto a la onda de la intensidad. Esto es lo que hace a los circuitos en alterna diferentes a los de corriente continua (c.c.).

Es por esto que las tensiones, intensidades, etc. deben de tratarse como vectores, en lugar de números enteros.

Este ángulo de desfase se llama ρ (fi) y el cose ρ se conoce como factor de potencia (mas adelante lo veremos).

Las potencias en alternar son 3 diferentes.

Potencia Activa Pa = V x I cose ρ ; esta es la única que da trabajo útil, la realmente transformada. Se mide en Vatios (w). Es la tensión eficas por la intensidad eficaz por el coseno del ángulo que forman.

Potencia Reactiva S = V x I seno ρ ; esta es como si fuera una potencia perdida, cuanto menor sea mejor. Se  mide en voltio amperios reactivos (VAR)

   Potencia Aparente Q = V x I ; se mide en voltio amperios (VA).

   En cuanto a las potencias en alterna no estudiaremos más ya que si quieres ampliar vete a este enlace: Potencia Eléctrica, donde se explican más detalladamente.

   En todos los circuito la tensión o intensidad en un punto determinado en el tiempo (tensión instantánea intensidad instantánea) es:

   v = Vo x cose ρ = Vo x cose wt

   i = Io x sen ρ = Vo x sen wt

   Siendo w la velocidad angular y Vo e Io la tensión máxima e Intensidad máxima (valores en la cresta de la onda); v e i valores instantáneas de la tensión y de la intensidad y t es el tiempo concreto en el que queremos medir el valor de la v o la i.

   w = 2∏f ( 2 por pi por frecuencia de la onda); w se mide en radianes/segundo (ra/se);

   w es la velocidad de la onda, pero como es senoidal, es velocidad angular. También se puede llamar frecuencia angular.

   Recordamos también que es España y Europa la frecuencia de las ondas en c.a. es siempre de 50Hz (hertzios).

   Los valores eficaces de la tensión y de la intensidad son los más utilizados, y son los que se cogen como referencia normalmente,  son valores fijos que son una media de todos los valores que puede tener la onda. Por ejemplo la tensión en las viviendas se dice que es de 220V, pero ya sabemos que esta tensión al ser alterna será variable, pero los 220V sería la tensión eficaz. Es absurdo utilizar valores instantáneos en la vida real.

   Valor eficaz es el valor que debería tener en corriente continua para que produjera el mismo efecto sobre un receptor en corriente alterna.

   Exactamente el valor eficaz de la I = Io partido por la raiz cuadrada de 2

  La tensión eficaz es V = I/Z ; intensidad eficaz partido por la impedancia (luego hablaremos de ella)

  Comenzamos analizar los diferentes circuitos en corriente alterna.

   CIRCUITOS R

   Solo están compuesto con elementos resistivos puros. En este caso la V y la I (tensión e intensidad) están en fase, por lo que se tratan igual que en corriente continua. Esto en c.a. solo pasa en circuitos puramente resistivos.

   En receptores resitivos puros la impedancia es R.

   La potencia será P = V x I. ( el cos 0º = 1), solo hay potencia activa y se llama igualmente P.

   CIRCUITOS L

   Son los circuitos que solo tienen componente inductivo (bobinas puras). En este caso la V y la I están desfasadas 90º positivos. En estos circuitos en lugar de R tenemos Xl, impedancia inductiva. L será la inductancia y se mide en henrios, al multiplicarla por w (frecuencia angular) nos dará la impedancia inductiva . La Xl es algo así como la resistencia de la parte inductiva.

   El valor de la tensión en cualquier momento sería:

   v = Vo x sen wt  ; donde Vo es el valor inicial de la tensión, w frecuencia angular y t el tiempo.

   Igualmente la intensidad:

   i = Io x seno (wt - 90º) Recuerda que la I está retrasada 90º.

 Los valores eficaces son I = V/wL e I V/Xl siendo Xl = w x L.

   CIRCUITOS C

   Este tipo de circuitos son los que solo tienen componentes capacitivos (condensadores puros). En este caso la V y la I están desfasadas 90º negativos (la V está retrasada en lugar de adelantada con respecto a la I).

   El valor de la tensión en cualquier momento sería:

   v = Vo x sen wt  ; donde Vo es el valor inicial de la tensión, w frecuencia angular y t el tiempo.

   Igualmente la intensidad:

   i = Io x seno (wt + 90º), recuerda que la I está adelantada 90º.

   Los valores eficaces son I = V/Xc e I V/Xc siendo Xc = 1/wC.

  Si quieres saber todo sobre los condensadores te recomendamos este enlace: Condensador.

   CIRCUITO RL EN SERIE

   El circuito RL tiene un componente resistivo y otro inductivo (R y L). Aquí partimos de la impedancia que será un número complejo. El ángulo de desfase depende de la cantidad de componente inductivo que tenga.

   Z = R + Xlj , como Xl= w x L  (frecuencia angular por inductancia) podemos decir también Z = R + (w x L) j

   Este número complejo lo podemos representar con el llamado triángulo de impedancia:

   En la imagen X sería Xl, si tuviéramos Xc (parte capacitiva), X sería (Xl-Xc). Según este triángulo podemos convertir el número complejo en número natural de la siguiente fórmula (por Pitágoras):

   Z2 = R2 + Xl2    Podríamos despejar Z para calcularla.

   La intensidad sería I = V / Z, que en instantánea quedaría:

   i = (Vo x seno wt) / (R + wLj) en complejo. Podemos convertirlo en eficaz sustituyendo la Z por la raíz cuadrada de (R + wL).

   Los valores eficaces seríán V = I /Z o I = V/Z.

   CIRCUITO RC

   Este es igual solo que ahora tenemos Xc en lugar de Xl. Además  Xc = 1/(wCj) y por lo tanto Z = R + 1/(wCj) en numero complejo. Pero si hacemos el triangulo de impedancias en este caso la Z en número natural sería:

   Z2 = R2 + (1/(wC))2

   Ves que es igual pero sustituyendo Xl por Xc que es 1/wC, en lugar de Xl que es wL.

   Ahora vamos analizar los circuito RLC que son los más interesantes:

   CIRCUITOS RLC

   Son los circuitos más reales. Fíjate que si te acostumbras hacer todo con los triángulos de impedancias, de tensiones y de potencias es mucho más fácil.

   Ahora deberías ir a ver los ejercicios resueltos de c.a.: Ejercicios Alterna

Primer Ejercicio. Circuito RL