ley de ampère y ley de biot y savart para distribucuiones
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 1
Magnetostática
• Definición.
• El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.
• Ley de Biot y Savart.
• Ley de Ampère.
• Campo en puntos alejados. Momento magnético.
– Comportamiento en el infinito.
– Corrientes ligadas.
• Energía Magnética.
– Relación con las corrientes. Formación e Interacción.
– Sistemas de corrientes filiformes.
– Coeficientes de inducción. Autoinducción.
– Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.
• Transporte de energía.
• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall
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Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución.
• Se escoge el eje de simetría como eje z.
– Por la simetría de translación no puede haber variación con z:
– Al estar todos los elementos de corriente orientados según z no se genera componente z:
– Por la simetría de revolución el campo no esfunción de ϕ, salvo la variación propia de :
– No puede haber componente radial porqueno se cumpliría:
» Se puede comprobar calculando el flujo en una superficie como la de la figura adjunta. En ella se supone que el campo tiene componente radial.
• En definitiva:
0=⋅∇ Br
( )ϕρ= ,HHrr
( ) ( )ϕϕρ+ρϕρ= ϕρ ˆ,ˆ, HHHr
( ) ( )ϕρ+ρρ= ϕρ ˆˆ HHHr
ϕ̂
( )ϕρ= ϕ ˆHHr
( )vJ J zz= ρ $
Z
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Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 2
Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución. (2)
• Escogiendo contornos que sean circunferenciasen planos z=cte y centradas en el eje z:
• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno:
( )
( )πρρ
=⇒
ρ=ρρπ=⋅
πρ=ϕρ
⋅=⋅
ϕ
ρ
ϕ
π
ϕ
∫∫∫
∫
∫∫∫
2
2
2
0
2
0
IH
IdJSdJ
HdH
SdJldH
z
S
SC
rr
rrrr
( )ϕ
πρρ
= ˆ2
IHr
( )vJ J zz= ρ $
Z
( )vH H= ϕ ρ ϕ$
( ) ρρπ=ρ ∫ρ
dJI z
0
2
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• En el caso de una línea de corriente indefinida de valor que circule sobre el eje z:
– Por lo tanto:
• En el caso de que la corriente se distribuya uniforme-mente en un hilo de radio a:
– La corriente encerrada en la región interior es y:
ϕπρ
= ˆ2
IHr
a
Z
I
( ) azaIzJJ z <ρ≤π=ρ= 0;ˆˆ 2
0
r
ϕρ
π= ˆ2 2a
IH i
r
ϕπρ
= ˆ2
IHe
r
0 a 2a 3a0
1 2ππππa
ρρρρ
ρρρρ
ππππ2 2a
1
2πρπρπρπρ
( )H ϕϕϕϕ ρρρρ
2
2
0)(a
IIρ
=ρ
Línea de Corriente Indefinida
0I
0)( II =ρ
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Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 3
Cable Coaxial
• En el cable coaxial de la figura la corriente circula en sentidos contrarios en cada conductor. Suponiendo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección de cada conductor:
• La corriente que fluye en el interiorde la circunferencia de radio ρ es:
( ) ( )
ρ<
<ρ<−π−
<ρ<
<ρ≤π
=ρ=
c
cbzbcI
ba
azaI
zJJ z
;0
;ˆ
;0
0;ˆ
ˆ22
2
r
( )
ρ≤
≤ρ≤−
ρ−≤ρ≤
≤ρ≤ρ
=ρρπ=⋅=ρ ∫∫∫ρ
ρ
c
cbbc
cI
baI
aa
I
dJSdJI z
S
;0
;
;
0;
2
22
22
2
2
0
rr
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Cable Coaxial. (2)
• Y el resultado final es:
• Obsérvese que no se genera campo en el exterior del cable.
( ) ( ) ( )
( )
ρ≤
≤ρ≤ϕ−ρρ−
π
≤ρ≤ϕρπ
≤ρ≤ϕρ
π
=ϕπρρ
=ϕρ= ϕ
c
cbbc
cI
baI
aa
I
IHrH
;0
;ˆ2
;ˆ1
2
0;ˆ2
ˆ2
ˆ
22
22
2
rr
0 a 2a
1
aρ
ϕπaH2
c
bc
ab
1.1
2
=
=
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Solenoide Indefinido
• Al igual que en el solenoide finito, en un solenoide indefinido la distribución de corriente puede representarse por una densidad de corriente superficial:
– n es el número de espiras por unidad de longitud(altura en la figura).
• Las fuentes no dependen de z, el campo tampoco.
• La simetría de rotación garantiza la independencia respecto de ϕ:
• El campo no puede tener componente ϕ: la circulación a lo largo de una circunferencia de z constante centrada en el eje z debe ser cero porque no fluye corriente a través de ella.
• Si el campo tuviera componente radial no se cumpliría que:
ϕ=ϕ= ϕ ˆˆ nIJJ S
r
0=⋅∇ Br
( ) ( )ρ= HrHrrr
( ) ( )zHrH zˆρ=
rr
I
Z
a
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• Escogiendo contornos como , exterior al solenoide, rectangular y con dos lados paralelos al eje z:
• Análogamente, con contornos como el , interior
• Y con contornos como el , uno de los lados paralelos dentro del solenoide y el otro fuera:
Solenoide Indefinido (2)
I
a
CB
( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==ρ⇒ρ−ρ=⋅=>ρ∫ eazizez
AC
HHLHHldHrr
( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==ρ⇒ρ−ρ=⋅=<ρ∫ iazizez
BC
HHLHHldHrr
CC
CA
[ ] nIHHLHHldHnIL eiei
CC
=−⇒−=⋅= ∫rr
CA
CB
CC
L
ρρρρ iρρρρe
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Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 5
Solenoide Indefinido (3)
• Recordando que el campo creado por un solenoide en su centro cuando su longitud tiende a infinito es:
• Resulta que:
• Y por tanto:
• Un solenoide infinito solo crea campo en su interior, y este campo es constante, con componente axialy con sentido positivo de acuerdo al de la corriente.
( ) znIzBlimctezh
c
ˆµ==∞→
r
0; == ei HnIH
( )
<
<≤=
ρρ
a
aznIrH
;0
0;ˆrr
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• Se trata de una corriente superficial de amplitud y dirección constante que fluye sobre un plano indefinido.
• Supongamos que el plano es el z=0 y que la corriente lleva dirección +x.
– Como las fuentes no varían ni con xni con y, el campo tampoco lo hará.
– Los elementos de corriente orientados según x: el campo no puede tener componente x.
– dado un elemento de corriente y un punto de cálculo de campo, siempre existe el elemento simétrico que cancela la componente z
( ) ( )zHrHrrr
=
( ) ( ) ( )zzHyzHrH zyˆˆ +=
rr dIv
1dBv
2
dIv
2
dBv
1
dB dBv v
1 2++++
z
y
x
( ) ( )yzHrH yˆ=
rr
Hoja Indefinida de Corriente
J J xS ==== 0$
z
y
x
xJJ xˆ=
r
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Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 6
– La componente y es constante a ambos lados de la hoja y es discontinuo en ella:
» Calculando circulaciones a lo largo de contornos como los de la figura:
– Por simetría cabe suponer:
– Finalmente:
Hoja Indefinida de Corriente (2)
z
y
vJ xs / / $
L
CA
CB
CCL
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) 00
0
0
0
0
JHHLHHldHLJ
HHLzHzHldH
HHLzHzHldH
yyyyC
C
yz
yyB
C
yz
yyA
C
=−⇒−=⋅=
=⇒−=⋅=
=⇒−=⋅=
+−+−
−
<
+−
+
>
+−
∫
∫
∫
rr
rrr
rrr
( )
<
>−=
0;2ˆ
0;2ˆ
0
0
zJy
zJyrHrr
0=+ −+yy HH
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• Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d.
• El arrollamiento tiene N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.
– Se escoge el eje Z coincidiendo con el eje del solenoide y el origen en el centro del solenoide.
– Si las espiras están muy próximas se pueden aproximar por una corriente superficial:
– Por la simetría de revolución el campo no dependerá de ϕϕϕϕ:
– Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y contenidos en planos z=cte:
Solenoide Toroidal
<<−=ρπ
−
<<−=ρπ
<ρ<−=ρπρ
−
<ρ<=ρπρ
=
22;ˆ2
22;ˆ2
2;ˆ2
2;ˆ2
hzhbzb
NI
hzhaza
NI
bahzNI
bahzNI
JS
r
( )zzHH ˆˆ +ρρ=rr
b
a
h
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Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 7
Solenoide Toroidal (2)
– Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y contenidos en planos z=cte, solo habrá flujo neto de corriente (NI)cuando estén dentro del solenoide:
– Respetando la simetría, el otro tipo de líneas de campo que puede haber serían las contenidas en planos ρρρρ=cte, pero deberían estar generadas por corrientes según ϕϕϕϕ, que no existen.
– El campo sólo tendrá componente según ϕϕϕϕ:
– El campo en el interior es como el creado por una línea de corriente.
• El campo queda confinado en el interior del solenoide.
rH
NIh z h a b
resto
=− < < < <
2
2 2
0
πρπρπρπρϕϕϕϕ ρρρρ$ ;
;
<ρ<<<−
πρ=ϕ
resto
bahzhNI
H
;0
22;2
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Distribuciones de corriente axial con simetría de translación.
• Se trata de distribuciones de corriente con una dirección constante e invariantes según esta dirección.
– Por ejemplo, si la dirección de invarianza es :
• Las expresiones habituales,
pueden dar problemas ya que suponen que la distribución es finita y que se cumplen las correspondientes condiciones en el infinito.
• La solución es considerar elementos de corriente indefinidos en la dirección de la corriente y asociados a un dS:
– La corriente de estos elementos es:
– y el campo, utilizando su propio eje z.
– Ahora hay que utilizar un mismo eje z común.
( ) ( )zyxJrJ zˆ,=
rr
( ) ( )∫∫∫
′
′′−
′−×′
πµ
=V
Vdrr
rrrJB
34
rr
rrrrr
$z
dSJSdJdI z=⋅=rr
$z
S
dS
dIJ
J
zdSJBd ϕ
πρµ
= ˆ2
r
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Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 8
Distribuciones de corriente axial (2)con simetría de translación.
• Generalizando la expresión del campo:
– Utilizando un origen de coordenadas general:
• Sumando las contribuciones:
• Para distribuciones superficiales y lineales:
– Todos los vectores son de dos dimensiones:
Y
X
Z
YJ
XJ
ZJr
′r
rr
r r rr r rJ = − ′J
J
zJ
J
z rzr
dSJdSJBd
rr
r×
π
µ=ϕ
πρµ
= ˆ2
ˆ2
2
( )rrzrr
SdJBdrrr z
J′−×
′−π
′µ=⇒′−=
rrrr
rrrrˆ
22
( ) ( ) ( )∫∫ ′
′−
′−×′
πµ
=S
Sdrr
rrrJrB
22
rr
rrrrrr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫ −
−×π
µ=′
′−
′−×′
πµ
=i i
ii
C
S
rr
rrzIrBld
rr
rrrJrB
22
ˆ
22rr
rrrr
rr
rrrrrr
ρρ=+= ˆˆˆ yyxxrr
Las integrales se
extienden a la
traza de la
distribución sobre
la sección
transversal.
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Ejemplo: Tira de corriente.
• Calculando en todo el espacio:
– La densidad de corriente es:
( ) ( ) ( )∫ ′
′−
′−×′
πµ
=C
S ldrr
rrrJrB
22
rr
rrrrrr
( )( )
( ) ( ) ( )( )
′−+−=′−×′
′−+=′−
′−+=′−
⇒
′=′
+=
yxxxywIrrrJ
xxyrr
xxxyyrr
xxr
yyxxr
Sˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ 222
rrrr
rr
rr
r
r
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
−+++
+
+−
−=
=
′−+−
′−=
=′′−+
′−+−=
−
−∫
2
2ln2
ˆˆ
2arctg
2arctg
2
ln2
ˆˆarctg
2
ˆˆ
2
2
22
2
2
22
2
2 22
wxy
wxyyx
y
wx
y
wx
w
I
xxyy
xy
xx
w
I
xdxxy
yxxxy
w
IrB
w
w
w
w
πµ
πµ
πµrr w
X
Y
zw
IJS
ˆ=r
w
IX
Y
Z
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Ejemplo: Tira de corriente. (2)
• Las funciones arcotangente son las encargadas de modelar la discontinuidad de la componente x correspondiente a la densidad de corriente.
( ) ( )( )
++−+
+
+−
−−=
2
2ln2
ˆˆ
2arctg
2arctg
2 2
22
wxy
wxyyx
y
wx
y
wx
w
IrB
πµrr
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Ejemplo: Línea biplaca.
• Limitando el cálculo al plano de simetría:
– Trabajando con el conductor superior:
( ) ( ) ( )∫ ′
′−
′−×′
πµ
=C
S ldrr
rrrJrB
22
rr
rrrrrr
( )( )
( ) ( ) ( )( )
′+−−=′−×′
′+−=′−
′−−=′−
⇒
′+=′
=
yxxdywIrrrJ
xdyrr
xxydyrr
xxyd
r
yyr
Sˆˆ2
2
ˆˆ2
ˆˆ2
ˆ222
rrrr
rr
rr
r
r
( ) ( )( )
( )( ) xdy
w
w
Ixdy
yx
dy
x
w
I
xdxdy
yxxdy
w
IyyB
w
w
w
w
ˆ2
arctg2ln2
ˆˆ
2arctg
2
2
ˆˆ2
2ˆ
2
2
22
2
2 22
−πµ
−=
′+−+
−
′
πµ
−=
=′′+−
′+−πµ
−=
−
−∫r
Id
w
I
w
d/2
X
Y
zw
IJ S
ˆ=r
X
Y
Z
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Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 10
Ejemplo: Línea biplaca. (2)
• Superponiendo los campos de ambos conductores.
• En el origen:
• Para líneas muy anchas:
– w>>d
( ) xdy
w
dy
w
w
Ix
dy
w
w
Ix
dy
w
w
IyyB ˆ
2arctg
2arctgˆ
2arctgˆ
2arctgˆ
−
−+π
µ=
+πµ
+−π
µ−=
r
( )yBx
d=wd=w/5
2 0 25 10
7
0
5 107
1 106
y
w=2
( ) xd
w
w
IB ˆarctg
20
πµ
=r
( )
( ) 0ˆ22
2/
ˆˆ22
2/
=
π−
ππµ
±=
>∞→
µ=
π+
ππµ
=
<∞→
xw
IyB
dywlim
xw
Ix
w
IyB
dywlim
r
r
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Ejemplo: Línea biplaca. (3)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
• Líneas de campo: w=2, d=0.4
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