Fuentes de Campos Magnéticos

Clase 1608-04-2013

Fuentes de Campos Magnéticos

• En el tema anterior se verificaba de un campo magnético por la fuerza que se ejercía sobre una carga eléctrica en movimiento. En este tema se resolverán problemas sobre la producción de campos magnéticos.

Ley de Biot-Savart

• Después de muchas experiencias, se llego a al conclusión de que los campos magnéticos son producidos por cargas en movimiento, esto es, por corrientes eléctricas. Los físicos Biot y Savart dedujeron una relación matemática que permite conocer el campo magnético en un punto debido a un elemento de corriente que conduce una intensidad de corriente es:

𝒅𝑩=𝝁𝟒𝝅

𝑰𝒅𝒔×�̂�𝒓𝟐

Ley de Biot-Savart

• O lo que es lo mismo

• Donde:• es la permeabilidad magnética del medio, en el S.I. para

el vacío:

• es la distancia del punto al elemento de corriente.

𝒅𝑩=𝝁𝟒𝝅

𝑰𝒅𝒔×𝒓𝒓𝟑

𝝁=𝟒𝝅 ×𝟏𝟎−𝟕𝑾𝒃𝑨 ∙𝒎

Ley de Biot-Savart

• Para calcular el campo magnético que produce un conductor que lleva una corriente, se debe integrar el vector en toda longitud del conductor.

Campo magnético creado por una carga eléctrica en movimiento

• Se define el campo magnético creado por una carga que se mueve con una velocidad en un punto situado a una distancia de ella, mediante la expresión

𝑩=𝝁𝟒𝝅

𝒒𝒗×𝒓𝒓 𝟑

Campo magnético de un alambre recto y largo

• El campo magnético creado por una corriente rectilínea indefinida a una distancia se obtiene mediante

𝑩=𝝁 𝑰𝟐𝝅 𝒂

Campo magnético creado por una espira circular conductora en su centro

• Donde es el radio de la espira e es la intensidad de corriente eléctrica que circula por la espira.

𝑩=𝝁 𝑰𝟐𝒓

Campo magnético en el interior de un solenoide

• Donde es el número de espiras, es la longitud del solenoide, la intensidad de corriente que circula por él y es el número de espiras por unidad de longitud.

𝑩=𝝁𝑵𝑳𝑰=𝝁𝒏𝑰

Fuerza entre dos corrientes paralelas

• La fuerza por unidad de longitud con que se atraen o se repelen dos conductores rectilíneos y largos separados por una distancia , y que transportan intensidades de corriente se calcula por:

𝑭ℓ

= 𝝁𝟐𝝅

𝑰𝟏 𝑰𝟐𝒅

𝐼 1 𝐼 2

𝐹 1

𝐹 2𝐵1

𝐵2

Fuerza entre dos corrientes paralelas

• Cuando las intensidades de corriente son del mismo sentido existen entre ellas fuerzas atractivas; cuando las intensidades de corriente son de sentido contrario, las fuerzas son repulsivas.

Definición del ampere

• Se define el ampere como la intensidad de una corriente que, circulando en el mismo sentido por dos conductores rectilíneos y paralelos separados por el vacío por la distancia de un metro, origina en cada uno de ellos una fuerza atractiva de por metro de longitud.

Ley de Ampere (no generalizada)

• Establece que la integral de línea de a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual a donde es una intensidad de corriente constante que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria cerrada. Matemáticamente se expresa por:

∮𝑩 ∙𝒅𝒔=𝝁 𝑰

Problemas

• Problema 1• Un alambre de cobre desnudo del #10 puede

conducir una intensidad de corriente de 50 A sin sobrecalentarse. Si se hace circular una intensidad de corriente de esta magnitud por una sección larga y recta de alambre del #10. ¿A que distancia del eje del alambre la magnitud del campo magnético resultante es igual a ?

Problemas

𝑰

𝒂

𝑷𝑩

Problemas

• Solución• Datos • La magnitud del campo magnético debido a

un alambre infinito a una distancia , está dado por:

𝑩=𝝁𝒐 𝑰𝟐𝝅 𝒂

Problemas

• Despejando y sustituyendo valores, se tiene

𝑎=𝜇𝑜 𝐼2𝜋 𝐵

=4𝜋×10−7 (50 )2𝜋 (10− 3 )

𝑎=0.01𝑚

Problemas

• Problema 2• Dos alambres rectos, largos y paralelos están

separados por una distancia de 5m, llevan una intensidad de corriente de en la dirección indicada de la figura. Determine la magnitud y dirección del campo magnético total en el punto , localizado a 3m desde y a 4m desde .

Problemas

X

X

3𝑚

4𝑚

5𝑚

𝐼 1

𝐼 2

𝑃

90−𝛼

Problemas

• Solución• Las direcciones de los campos magnéticos son las

indicadas en la figura. El triangulo formado por la posición de los alambres y por el punto es rectángulo, donde el ángulo en el punto es recto. Entonces los campos magnéticos de los alambres son perpendiculares. Y su magnitud esta dada por

𝑩=𝝁𝒐 𝑰𝟐𝝅𝒓

Problemas

• Solución• Para el alambre uno se tiene

Para el alambre dos se tiene

𝑩=𝝁𝒐 𝑰𝟐𝝅𝒓

=𝟒𝝅×𝟏𝟎−𝟕 (𝟓 )

𝟐𝝅 (𝟑 )=𝟑 .𝟑𝟑×𝟏𝟎−𝟕𝑻

𝑩=𝝁𝒐 𝑰𝟐𝝅𝒓

=𝟒𝝅×𝟏𝟎−𝟕 (𝟏𝟐 )

𝟐𝝅 (𝟒 )=𝟔×𝟏𝟎−𝟕𝑻

Problemas

X

X

𝐼 1

𝐼 2

𝐵1

𝐵2 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝑨

Problemas

X

X

3𝑚

4𝑚

5𝑚

𝐼 1

𝐼 2

𝑃90−𝛼

𝛼

𝜃

𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂𝐂

𝑩

Problemas

X

X

3𝑚

4𝑚

5𝑚

𝐼 1

𝐼 2

𝑃

𝛼

𝛽 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂𝑩

Problemas

• Solución• El campo magnético neto es

𝑩=√ (𝑩𝟏 )𝟐+ (𝑩𝟐 )𝟐=√(𝟑.𝟑𝟑×𝟏𝟎−𝟕 )𝟐+(𝟔×𝟏𝟎−𝟕 )𝟐

𝑩=𝟔 .𝟖𝟔×𝟏𝟎−𝟕𝑻

Problemas

• Solución• De las figuras A y B el ángulo respecto a la línea que

une al alambre 2 y el punto P es

𝜽=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝑩𝟐

𝑩𝟏)=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝟔×𝟏𝟎−𝟕

𝟑 .𝟑𝟑×𝟏𝟎−𝟕)𝜽=𝟔𝟏𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔

Problemas

• Solución• Como los conductores esta alineados verticalmente y

el ángulo entre el segmento de línea que une a los dos conductores y el segmento de línea que une al alambre por donde pasa al punto (Ver figura B), esta dado por

𝜽=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝟑𝟒 )=𝟑𝟔 .𝟖𝟕𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔

Problemas

• Solución• Entonces la dirección del campo magnético con

respecto al eje es:

𝟗𝟎𝒐−𝜶+𝜽=𝟗𝟎𝒐−𝟑𝟔 .𝟖𝟕𝒐+𝟔𝟏𝒐

respecto al eje negativo

Problemas

• Problema 3• En la teoría de Bohr del átomo de hidrogeno puede

pensarse que el electrón se mueve en una orbita circular de radio con una velocidad tangencial de . Calcule la magnitud del campo magnético producido por el movimiento del electrón en la posición del protón.

Problemas

• Problema 3

𝑃𝑅

𝑒

Problemas• Solución• Datos

• La magnitud del campo magnético en el centro de una espira circular que lleva una corriente, esta dado por

• Por otro lado, al corriente se define como la cantidad de carga que pasa por una cierta región del espacio entre el intervalo de tiempo que tarda en pasar la cantidad de carga. Y como es el numero de veces que el electrón pasa por un punto dado por unidad de tiempo, la carga total que pasa por cierta región por unidad de tiempo esta dada por (que es la intensidad de corriente).

𝐵=𝜇𝑜 𝐼2𝑅

𝐼=𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑝𝑎𝑠𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟 ó𝑛

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑞= 𝑓𝑞

Problemas• Solución• Pero es el inverso del periodo, y por la definición del periodo, se tiene

• Sustituyendo la frecuencia en la expresión de la intensidad de corriente, se tiene

𝑓 =1𝑇

=1

2𝜋 𝑅𝑣

=𝑣

2𝜋 𝑅

𝐼=𝑣𝑞2𝜋 𝑅

Problemas• Solución• sustituyendo la intensidad de corriente en al expresión del campo

magnético y sustituyendo valores, se tiene

𝐵=𝜇𝑜𝑣𝑞

4𝜋 𝑅2=(4𝜋×10−7 ) (2.2×106 ) (1.6×10− 19 )

4𝜋 (5.3×10− 11)2=12.53𝑇

Problemas

• Problema 4• Un estudiante fabrica un electroimán con una bobina

delgada de largo 4.8cm por donde circula una intensidad de corriente de 11.5 A. ¿Cuántas vueltas deberá tener la bobina para producir un campo magnético 6.3 mT en el centro?

ℓ

𝐼

Problemas• Solución• Datos • La magnitud del campo magnético en el interior de una bobina esta dado

por

𝑁=𝜇𝑜𝐵 𝐼ℓ

=(6.3×10− 3 ) (4.8×10− 2)

(4𝜋×10−7 ) (11.5 )=21𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

Problemas

• Problema 5• A un alambre que conduce una corriente de

5A se le va a dar forma de una espira circular de una vuelta. Si el valor requerido del campo magnético en el centro de la espira es , ¿Cuál es el radio requerido?

Problemas

• Solución𝑑𝑠𝑟𝐼

𝑂

𝑥

𝑧

𝑦

Datos

Problemas

• Solución• Sabemos que:

Problemas

• Solución• Luego, reemplazando tenemos