LA RAZÓN DE CAMBIO

La Variación y la Derivada

La medición del cambio

El estudio de la variación, constituye la línea directriz mediante la cual se construye uno de los conceptos más importantes del cálculo: la derivada

Las funciones pueden cambiar de maneras muy distintas, unas pueden ser crecientes, otras decrecientes, otras no crecen ni decrecen, unas crecen uniformemente, otras lo hacen en forma variada, etc.

Para comprender el comportamiento de una función, es necesario determinar cuánto cambia; esto es de enorme utilidad si se pretende saber cuánto crece una función o cuánto decrece . En realidad el término variación está estrechamente ligado al proceso de: medición del cambio

Uno de los requisitos fundamentales en el estudio de cualquier fenómeno es poder cuantificarlo o medirlo, y en esto la matemática proporciona una gran ayuda.

Los instrumentos de medición que la matemática provee a las demás disciplinas científicas no se parecen a los que utilizan, por ejemplo, la Física o la Química; mientras que estas disciplinas utilizan instrumentos de laboratorio, en la ciencia matemática se crean modelos abstractos. La medición del cambio es un aspecto esencial de la variación y, por tanto, un elemento clave en la formación del concepto de derivada.

Ejemplo. El principal indicativo de la contaminación ambiental en las grandes ciudades se mide a partir de la concentración de ozono en la atmósfera. En la ciudad de México se utiliza el Índice Metropolitano de Contaminación Ambiental (IMECA). Si la concentración de ozono fluctúa entre 50 y 100 puntos IMECA se dice que existe un ambiente favorable para las actividades humanas, si fluctúa entre 100 y 200 es no satisfactorio; si varía entre 200 y 300 se considera como malo, y si está entre 300 y 500 es dañino para el organismo. En la segunda semana del mes de agosto de 1997 se registraron las concentraciones de ozono en la ciudad de México que se muestran en la figura siguiente:

De acuerdo con los datos de la gráfica el nivel promedio de ozono cambia diariamente. ¿Cuánto cambió el nivel máximo de ozono de lunes a martes? Ascendió 4 unidades. ¿Cuánto cambió del martes al miércoles? Cambió en 51 unidades.

Nótese que el cambio se da cuando se pasa, de un estado a otro, de un estado inicial a un estado final; por tanto, para medir el cambio de la variable basta restar de su valor adquirido en el estado final, su valor adquirido en el estado inicial: Cf – Ci =ΔC ΔC representa el cambio (aumento o disminución) de la concentración de ozono en la atmósfera

Ejemplo2. La caída libre de los cuerpos en la Luna se describe por la fórmula s es la distancia de caída en metros, y t el tiempo empleado en caer en segundos. El gráfico de s(t) tiene la forma mostrada en la figura.Tomando en cuenta esta información,¿cuánto cambia la distancia en que cae un cuerpo entre los segundos 0 y 1? Si se observa la gráfica parece que cambia 2 m, sin embargo, esta forma de calcular el cambio es poco precisa. ¿Cómo eliminar esta imprecisión?Contamos con la fórmula de la función que relaciona a la distancia y el tiempo, y por tanto puede determinarse el valor de la distancia recorrida del estado inicial al estado final.

De acuerdo con este esquema y aprovechando que se sabe que el cambio se mide por medio de las diferencias, (estado final menos estado inicial), podemos contestar rápidamente la pregunta planteada: Como , entonces yde aquí que:Esto quiere decir que un objeto en caída libre en la Luna, de 0 a 1 segundo recorre una distancia que cambia de 0 a 0.8 m

¿Cuánto cambia la distancia del segundo 1 al segundo 2?

En este caso: Δs = s(2) – s(1) = 3.2 – 0.8 = 2.4 m El resultado anterior indica que un objeto en caída libre, en nuestro satélite, recorre 2.4 m entre los segundos 1 y 2.Pudieran calcularse más cambios, hay que responder a la pregunta: ¿cuánto cambia?, lo que nos lleva hacia la medición de la variación, que se ha logrado mediante las diferencias. Con ellas se cuantifica el cambio y para obtenerlas se necesita, de un valor final de la variable, xf, al que se le resta el valor inicial de la misma variable, xi. Esto en términos matemáticos se escribe así: xf - xi = Δx

¿Cómo se comportan los cambios?Ya introdujimos la notación que facilita la obtención de diferencias, y por tanto también facilita la medición del cambio. Los cambios que ocurren en la naturaleza o en la sociedad tienen distintos comportamientos, hay cambios que ocurren uniformemente con relación al tiempo, hay fenómenos que cambian a cada instante, hay también fenómenos naturales en los que los cambios son muy complejos, como es el caso del movimiento de los electrones o el movimiento de las moléculas.

Una de las funciones del Cálculo consiste en encontrar las leyes que describan esos cambios y así poderlos medir y predecir. Aquí sólo nos ocuparemos de los cambios que ocurren en algunos fenómenos sencillos, estudiados por la Física. Iniciaremos con el análisis del fenómeno de la caída libre de los cuerpos.

La ley que describe la caída libre de los cuerpos en la superficie terrestre está dada por la fórmula s(t) = 4.9t , en donde s es la distancia recorrida y t el ²tiempo.Los cambios de la distancia, Δs, están dados por medio de la diferencia: Δs = s(ti+ Δt) - s(ti) después de algunos procedimientos algebraicos:Vamos a analizar cómo se comportan los cambios de la distancia que recorre un cuerpo en caída libre, primero numéricamente y después geométricamente.

CAÍDA LIBRE

Elijamos cambios del tiempo de 1 en 1, es decir, para Δt = 1

Analicemos la sucesión de cambios de distancias y comparemos entre sí sus magnitudes.

Véase que las distancias que recorre el cuerpo a intervalos de un segundo también cambian. De 0 a 1 s, la distancia recorrida fue de 4.9 m; de 1 a 2 s, la distancia recorrida fue de 14.7 m; en el intervalo de 2 a 3 s la distancia fue de 24.5 m. Esto indica que un cuerpo que cae libremente recorre distancias cada vez más grandes por cada segundo que transcurre, y esos cambios de distancias están dados precisamente por la fórmula:Las magnitudes de las distancias varían, pero ¿cuánto cambian esos cambios?

¿CAMBIOS DE CAMBIOS?

Obsérvese que del primer cambio al segundo la distancia aumenta 9.8 m; es decir, de 4.9 cambia a 4.9 + 9.8 = 14.7; del segundo cambio al tercero aumenta también 9.8 m, pues de 14.7 cambió a 24.5; del tercero al cuarto cambio también varía lo mismo. Esto quiere decir que los cambios dados cambian a su vez en una misma magnitud; los cambios de los cambios son constantes.

CAMBIOS GEOMÉTRICOS

Para referirse a los cambios de distancia se ha utilizado la notación Δs, y para los cambios de estos cambios la notación ΔΔs

También se puede interpretar la notación Δs como las diferencias, y la notación ΔΔs como las diferencias de las diferencias. Si se prosigue con el análisis de los cambios, ahora puede preguntarse nuevamente cómo se comportan los cambios de los cambios de los cambios de las distancias.

Al analizar los cambios de distancia que experimenta un cuerpo en caída libre se han encontrado algunas cuestiones que son importantes de destacar:

Por ejemplo, las diferencias Δs se comportan de manera que parecen seguir la regla 9.8t, para t ≥1; en el caso de las diferencias de las diferencias la regla es evidente, pues es la constante 9.8, y las diferencias de éstas últimas son siempre 0. Tal parece que si se obtienen las diferencias reiteradamente, las obtenidas al último valdrán 0. Esto último es otro de los aspectos importantes de la variación.El análisis del comportamiento de los cambios es un tema muy importante para estudiar la variación, pues los movimientos están determinados por los cambios, y el comportamiento de los cambios (los cuales a su vez pueden variar también, o permanecer constantes) son el aspecto esencial de la variación.

Cambios relativos: la rapidez media de la variaciónCuando se estudiaron los cambios de las distancias en la caída libre de los cuerpos siempre se hacía referencia al cambio de la distancia recorrida en un intervalo de tiempo, es decir, un cambio de distancia respecto de un cambio de tiempo; en el caso del cambio de estado de los líquidos se mide el cambio de temperatura respecto del tiempo, en el caso del aumento de áreas de polígonos se habla del cambio del área respecto de la longitud de sus lados, etc. Los casos particulares de cambio relativos más cercanamente relacionados con nuestra experiencia diaria son la rapidez de cambio y la velocidad de un objeto móvil. Ambas son manifestaciones particulares de los cambios relativos, pues para su determinación se requiere relacionar unos cambios con otros.

¿Qué tan rápido cambia un fenómeno?

La caída libre de los cuerpos en la superficie lunar está descrita por la fórmula s (t) = 0.8t , ₁ ²y en la superficie, terrestre por s (t) = 4.9t . ₂ ²Supóngase que dos cuerpos se dejan caer simultáneamente tanto en la Tierra como en la Luna. ¿Cuál de ellos cae con más rapidez?

Si se comparan las gráficas podemos percibir que en la superficie terrestre caen más rápido los cuerpos que en la superficie lunar, pues de 0 a 1 segundo se observa que s (t) ₂ es más grande que s (t); de 2 ₁ a 3 segundos se observa también que a s (t) corresponde una mayor distancia que ₂s (t), como se observa en la tabla.₁

Para dar una respuesta inicial a la pregunta: ¿Qué tan rápido cambia un fenómeno? Se tuvo que relacionar el cambio de distancia respecto del cambio del tiempo, y la comparación fue expresada por medio de una razón, es decir el cambio de distancia entre el cambio de tiempo. Además es importante también hacer notar que la lectura de la rapidez se facilita si la razón que la mide se simplifica de modo que en el denominador quede la unidad de tiempo. ¿Si se analiza la rapidez de los dos movimientos pero a intervalos más cortos, prevalecerá la misma situación?La rapidez con que caen los cuerpos es mayor en la superficie de la Tierra que en la superficie lunar, no importando qué tan pequeños sean los intervalos de tiempo que se tomen.Véase la siguiente tabla.

Mientras en la Luna un cuerpo apenas recorre 0.2 m entre 0 y 0.5 s en la Tierra en ese mismo intervalo recorre una distancia mayor, pues recorre 1.225 m; entre 0.5 y 1 s en la Luna un cuerpo recorre 0.6 m y en cambio en la Tierra en ese mismo intervalo, recorre 3.675 m., etc.Se puede afirmar que la rapidez con que cae un cuerpo en la Luna es casi 6 veces menor que la rapidez con que cae un cuerpo en la Tierra.

La determinación de la rapidez requiere, en principio, de una comparación entre el cambio de la distancia y lo que cambia el tiempo. En términos más precisos, la comparación de la que se habla es en realidad una razón, un cociente.Cuando se dice que el objeto lleva una rapidez de 0.4 m/s, significa que cuando el tiempo cambia en 1 s, la distancia que recorre el objeto cambia en 0.4 m; esto puede escribirse como 4 m/10 s. Se tiene que 4/10 es un número racional, en donde el numerador representa el cambio de la distancia y el denominador el cambio del tiempo.La rapidez es el módulo de la razón del cambio de distancia entre el cambio del tiempo. Esto se escribe:

Si la rapidez es r, la distancia s y el tiempo t, entonces, la igualdad anterior queda como:

Las barras de valor absoluto indican que la rapidez siempre será positiva. La expresión anterior permite calcular la rapidez promedio y dar respuesta a situaciones concretas acerca de la variación. Finalmente se puede concluir que los cambios relativos se miden por medio de razones o cocientes entre cambios, siempre que se estudia un fenómeno de variación lo importante no es sólo determinar los cambios, sino determinar qué tan rápido cambia eso que cambia, y la mejor forma de averiguarlo es por medio de las razones entre los cambios.

Esta es una de las ideas más importantes del Cálculo Diferencial. En nuestro ejemplo solo hemos tratado un tipo de cambios relativos, la rapidez. Sin embargo, existen muchos otros cambios relativos como la velocidad, la aceleración, el gasto, etc.Vamos a extender esta noción de rapidez a la de velocidad de movimiento. Habrá que recordar que la rapidez media es un recurso para medir los cambios relativos; es decir, indica cuánto cambia una variable cuando otra - que está relacionada con aquélla - cambia en una determinada magnitud.Dos cuerpos se mueven de modo que la relación entre las distancias que recorren respecto del tiempo están dadas por las fórmulas: s(t) = 5t + 5, y s(t) = 20t - 5t ; obsérvense las gráficas de las ²Figuras

En los dos casos la rapidez media a intervalos de 1 s puede ser obtenida sólo viendo las gráficas. Para mayor precisión, podemos determinarla utilizando las diferencias.

La rapidez media dada por la expresión:Como Δs se obtiene de s(ti + Δt) – s(ti ), para el caso en que s(t) = 5t + 5Las diferencias son:

Por tanto, r queda como sigue:

Esto significa que la rapidez media con la que se desplaza el cuerpo en el primer caso es siempre de 5 m/s, para cualquier Δt. ¿Por qué afirmamos que para cualquier Δt?Si un cuerpo sigue una trayectoria recta y se desplaza con la misma rapidez, entonces — dicen los físicos — se tratade un movimiento rectilíneo uniforme, su rapidez media no cambia: siempre es de 5 m/s; es constante.Analicemos lo que sucede en el segundo caso. Calculemos primero la rapidez media. Para ello se procede de manera semejante a la del caso anterior.

De manera que la rapidez media de movimiento se obtiene como sigue:

Ahora utilícese la expresión para calcular la rapidez media en los intervalos indicados en la gráfica.

Los resultados indican que la rapidez del cuerpo estuvo cambiando en el intervalo que duró el movimiento. De 0 a 1 segundos su rapidez es de 15 m/s; de 1 a 2 segundos cambió, a 5 m/s; de 2 a 3 tiene una rapidez de 5 m/s, y de 3 a 4 segundos su rapidez es de 15 m/s. Los datos parecen revelar que el cuerpo al principio tiene una mayor rapidez y a medida que se acerca a su máxima altura su rapidez disminuye. ¿Es posible que su rapidez se anule? Después de haber alcanzado su máxima altura el cuerpo baja, en principio con menor rapidez y después su rapidez aumenta.

Se investigará ahora la velocidad de los cambios representados en el gráfico, pero ahora a intervalos de 0.5s.

Estos datos indican que la velocidad del cuerpo va disminuyendo a medida que alcanza su mayor altura. después el cuerpo viene en descenso y si su velocidad era positiva en el ascenso, entonces es aceptable que en el descenso se considere negativa.

Esto no era claro utilizando sólo la idea de rapidez, y en esto se halla su limitación. Los gráficos siguientes muestran los dos enfoques, el de rapidez y el de velocidad.

El comportamiento de la gráfica de la Figura es sugerente; los segmentos tienden a parecerse a una línea recta. ¿Si seguimos reduciendo los intervalos podremos obtener información más precisa sobre la rapidez y la velocidad?

Nótese que la reducción del intervalo nos permitió obtener velocidades que no pudimos apreciar cuando se tomaron intervalos de uno en uno. Este hecho permite pensar en la posibilidad de que al reducir lo suficiente el intervalo podemos obtener la rapidez o la velocidad en cualquier punto? ¿Qué tan pequeño debe ser el intervalo para conseguir tal exactitud?

Los cambios infinitamente pequeños y la velocidad instantáneaCon la rapidez y la velocidad medias hemos estudiado la variación por intervalos relativamente grandes pero en la realidad los cambios no suceden a saltos. En la gran mayoría de los fenómenos físicos y de otros fenómenos estudiados por otras disciplinas, los cambios son continuos, o continuos por tramos.Esto quiere decir que cambian a cada instante, dada la ley de algún movimiento, sólo hemos podido calcular su rapidez y velocidad en determinados intervalos, y esto da una aproximación poco precisa acerca del comportamiento de los cambios.

Sí la velocidad de los cambios es constante, con sólo utilizar el concepto de velocidad media se puede predecir la velocidad en cualquier intervalo o en un instante cualquiera. Se ilustrará esto para el caso del desplazamiento de un cuerpo que se rige mediante la fórmula: s(t) = 5t + 5. Se sabe que v está dada por:También se sabe que Δs para el caso que nos ocupa es equivalente a 5Δt, por lo que v queda:

La velocidad media v depende de t, entonces puede expresarse como v(t) = 5 nótese que v no es afectada por Δt, es decir, no importa que tan grande o qué tan pequeño sea lo que cambie el tiempo. De todas maneras, la razón entre el cambio de distancia (Δs) y el cambio del tiempo (Δt) siempre será una constante.En el caso en que la velocidad varía a cada instante, como es el caso del cuerpo que se mueve de acuerdo con la fórmula s(t) = 20t – 5t , ²el cálculo parece no ser tan sencillo. Por ejemplo ¿Cuál es la velocidad de este cuerpo exactamente en t = 1 segundo?

Se intentará resolver lo anterior con la fórmula inicial para el cálculo de la velocidad o rapidez media:de donde v queda como:

Se ha llegado así a una indeterminación. ¿Por qué? Porque se ha aplicado la fórmula de la velocidad media para un problema en el que se pide la velocidad en un instante. ¿Entonces es imposible calcular la velocidad exactamente en un instante?

¿Habrá algún método que permita calcular la velocidad instantánea?El problema es averiguar la velocidad exactamente en el primer segundo, parece razonable asignar variaciones de tiempo de manera que se acerquen a t = 1. Como el cociente que da la velocidad media en t = 1 se indetermina, se investigará ahora que está pasando con las velocidades medias muy cerca de t = 1.Para sistematizar los procedimientos haremos que ti sea fijo; para el caso que nos ocupa ti= 1, y el que cambiara es tf de modo que los cambios de distancia dados por: sean cada vez más pequeños respecto de ti . Se aplicará un acercamiento por la derecha.

La sucesión se aproxima de forma ascendente a 10. ¿Qué pasará con esta sucesión si hacemos que la magnitud del intervalo siga disminuyendo infinitamente? ¿Qué pasa si el cambio del tiempo es infinitamente pequeño, es decir que tf esté infinitamente cercano a 1?Para tener más elementos se explorará qué pasa si

Δt = 0.00000000001 utilizando una calculadora se obtiene que la velocidad media es

v = 9.99999999995 ¡Este número está mucho más cerca de 10!

Todo indica que la sucesión de velocidades medias se acerca cada vez más a 10, de manera que la diferencia entre este número y la última velocidad media que pudiésemos calcular, sería insignificante. Por lo tanto, puede plantearse una hipótesis básica:Si Δt es un cambio infinitamente pequeño, en este caso infinitamente cercano a ti = 1, entonces la velocidad del cuerpo en t = 1 es exactamente igual a 10 m/s.

¿Sucederá lo mismo con acercamiento a t = 1 por la izquierda?

También en este caso la sucesión de cocientes se acerca a 10, pero ahora lo hace de manera descendente. Este resultado refuerza nuestra hipótesis acerca de la velocidad instantánea.Analícense las dos sucesiones de velocidades medias en una misma tabla:Las sucesiones de cocientes que representan a las velocidades medias, muy cerca de ti= 1 se comportan de modo que las dos tienden a 10, tanto por la derecha como por la izquierda. ¿Si se siguiera reduciendo Δt hasta que fuera infinitamente pequeño la sucesión de valores de las velocidades promedio excedería de 10? Si no lo exceden entonces diremos que 10 es el límite o tope del cual no pasan ambas sucesiones.

Para representar a la velocidad instantánea utilizaremos la notación:VELOCIDAD INSTANTÁNEA = En estas condiciones el cuerpo que se mueve de acuerdo con la fórmula s(t) = 20t – 5 t ² , tiene una velocidad de 10 m/s exactamente en t = 1. Los procedimientos numéricos que permitieron obtener la sucesión de velocidades medias pueden quedar condensados en la siguiente expresión:

¿Cómo se calcula la velocidad instantánea? 1. El problema principal consiste en la imposibilidad de calcular la velocidad en un instante o en un punto por medios aritméticos conocidos.2. La estrategia central del método consiste, ya que se desconoce la velocidad en un punto, en explorar qué ocurre con la sucesión de velocidades medias muy cerca del punto en cuestión, acercándose a éste tanto por la derecha como por la izquierda. 3. La sucesión de velocidades medias que resulta de los cocientes entre cantidades cada vez más pequeñas que se obtienen, a su vez, al reducir el intervalo de variación.4. La velocidad instantánea se evalúa cuando el cambio de tiempo es infinitamente pequeño. La sucesión de cocientes de cambios cada vez más pequeños de distancia y tiempo tiende a un número. Este número es su límite. Tal número es la velocidad Instantánea buscada.

BIBLIOGRAFÍAUNA INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA MEDIANTE LA VARIACIÓNCUADERNOS DIDÁCTICOS VOLUMEN 6

DR. CRISÓLOGO DOLORES FLORESGRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA S. A. DE C. V.Presentación por:Prof. Carlos Vázquez LópezCálculo DiferencialPreparatoria Federal por CooperaciónNicolás BravoZihuatanejo Gro.