Hipérbola

La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es menor que el de la generatriz del cono.

Vértice

Eje

Plano

Generatriz

Definición de La Hipérbola como Lugar Geométrico:

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la hipérbola En toda hipérbola conviene considerar:

Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal.

X: Es el eje focal de la hipérbola.

F y F´: Son los focos de la hipérbola.

A y A´: Son los vértices de la hipérbola.

O: Es el centro de la hipérbola.

P: Es un punto de la hipérbola.

PF y PF´: Son los radio vectores de la hipérbola.

Y

XO

P

AA´ FF´

Elementos de la hipérbola2c: Se le llama distancia focal.

2a: Es el eje transverso.

AA´: A este segmento se le denomina eje real.

F´ FAA´

Y

O

P

2a

2c

F´ AA´

Diferencia entre una elipse y una hipérbola

La elipse es la suma de la distancia del conjunto de los puntos (x,y)

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Y la hipérbola es la diferencia de la distancia del conjunto de los puntos (x,y).

La diferencia entre estas dos cónicas es que

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola vertical

( )akhV −,'

( )ckhF +,

( )ckhF −,'

aVV 2' = b2 cFF 2' =a

bLR

22=a

ce =

Vértices Focos Eje transverso

Eje con jugado

Distancia focal

Lado recto

Excentricidad

( )akhV +,

Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola vertical

Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola horizontal

( )kahV ,' −

( )kchF ,+

( )kchF ,' −

aVV 2' = b2 cFF 2' =a

bLR

22=a

ce =

Vértices Focos Eje transverso

Eje con jugado

Distancia focal

Lado recto

Excentricidad

( )kahV ,+

Hipérbola Conjugada

Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje transverso de una es el eje conjugado de la otra. Las hipérbolas conjugadas tienen el mismo rectángulo básico y las mismas asíntotas .

Hipérbola Equilátera Aquella en la que los

semiejes real e imaginario son iguales, es decir, a = b

A´

B´

B

F´ FA

Y

XOA´

45°

Nota :en este caso, las asíntotas son las rectas bisectrices de los ejes:

y = x; y = -x.

Ecuación canónica de la hipérbola

Con eje transversal horizontalCentro (0, 0) Centro (h, k)

con eje transversal verticalCentro (0, 0) Centro (h, k)

1)()(

2

2

2

2

=−−−b

ky

a

hx

1)()(

2

2

2

2

=−−−b

hx

a

ky

12

2

2

2

=−b

y

a

x

12

2

2

2

=−b

x

a

y

Ecuación general

A x2 + B x y + C y2+ D x + E y + F = 0

Si b²- 4ac > 0 la ecuación es de tipo hiperbólico y su gráfica puede ser una hipérbola o dos rectas.

EJEMPLO :Encontrar a, b, c, e, asíntotas y su respectiva

grafica de la hipérbola 9x2 – 4y2 = 36

Sol. 9x2 - 4y2

= 3636

y2

4x2

9 = 1

a2 b2

Entonces :

centro en el origen (0, 0)

a = 3 b = 2 c =

c = a2 + b2

c = 9 + 4

13

Excentricidad:a

ce =

2

13=e

Gráfica:

xa

by ±=

Asintotas xy2

3±=

F2 V1 F1V2

Para graficar:

•Colocamos el centro (0, 0)

•Colocamos los vértices

•Colocamos los focos

•Trazamos el rectángulo

•Trazamos las asintotas

•Trazamos la hiperbola