introducción a la cosmología

Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último

Relatividad y Cosmología

José Antonio Pastor González

Universidad de CórdobaViernes 30 de noviembre de 2012

Introducción a la Cosmología

Contenidos

1 Primeros hechos

2 Modelos de Robertson-Walker

3 Modelos de Friedmann

4 Último

Contenidos

1 Primeros hechos

4 Último

Objetivo: modelar el Universo

Para ello:

Utilizaremos la relatividad generalGrandes simplificaciones: una galaxia será una partículaen este modelo (trabajaremos a escala muy grande)Así, cada galaxia estará representada por una línea en elespacio-tiempo (es una partícula material)Finalmente, trataremos el Universo como un fluido(galaxias=moléculas)

Para ello:

Pero mejor... poco a pocoEstrellas

Estrellas: principales fuentes de luz visible (fusión nuclear)Típica estrella: el sol (masa de 2× 1030 kilos)Estrellas más próximas: pocos años luz de distancia (1parsec = 3,261 años/luz)No nos valen como objetos básicos para hacer cosmología

Pero mejor... poco a pocoGalaxias

Agrupaciones de muchas estrellas por gravedad (víaláctea = 1011 estrellas)Diámetros enormes (radio vía láctea = 12,5 Kpcs)No tenemos una imagen de la vía láctea (estamos en ella)pero sí de otras galaxias vecinasObjetos muy nuevos en el panorama astronómicoObjetos más visibles, impactantes y bonitos. Encosmología no atendemos a su forma, estructura opropiedades. Nos interesan como puntos.

Pero mejor... poco a pocoEl grupo local

Nuestra galaxia está dentro de lo que se conoce como elgrupo localLa más próxima: la nube grande de Magallanes (50 kpcdel sol)La más próxima con el mismo tamaño: Andrómeda (770kpc del sol)Tamaño medio de un cúmulo: unos pocos Mpc cúbicos (1Mpc = 3,08× 1022 metros)

Pero mejor... poco a pocoCúmulos y supercúmulos

A la escala de centenares de Mpc, las galaxias y losgrupos locales se acumulan en enormes agrupaciones,p.ej. el cúmulo Coma (10.000 galaxias, 100 Mpc distantedel sol)Visibles sobre todo en ondas de alta energía (rayos X)Son los objetos más grandes que resultan de la atraccióngravitacional

¿Cómo vemos el UniversoDistintas longitudes de onda

Luz visible: estrellas, primeras galaxias vecinas...Microondas: quizás la más importante longitud de ondapara hacer cosmología (radiación de fondo)Ondas de radio: galaxias distantesInfrarrojo: objetos jóvenes que no emiten luz visible(radiación térmica)Rayos X: nubes de gas intergalácticas, remanentes de laformación de las galaxias, temperaturas de millones degrados Kelvin, captan la radiación de las galaxias vecinas)

Principio cosmológicoHipótesis imprescindible

El universo, a gran escala, parece ser el mismo encualquier dirección del espacio hacia la que miremos(isotropía)No creemos ocupar un lugar preferente en el mismo(homogeneidad)La forma en la que el universo esté curvado (en su parteespacial) deberá ser la misma en todos los puntos(curvatura espacial constante)No hay homogeneidad temporal ni tampoco isotropíatemporal (futuro y pasado)

Expansión del universoHecho clave

Todo tiende a alejarse en el Universo (Slipher 1912,Hubble años 20)Cuanto más lejos está (cefeidas), más rápido se aleja(corrimiento hacia el rojo)Ley de Hubble

~v = H0~r

Primera idea del Big Bang

~v = H0~r

Expansión del UniversoLey de Hubble

La radiación de fondoEvidencia importantísima

Pese a la observación de la expansión, hubo un largodebate (varias décadas) acerca de si el Universo proveníade una explosión (Big Bang) o siempre había sido elmismo (steady state)Evidencia crucial: en 1965 Penzias y Wilson la encuentrande casualidad (aunque se postula teóricamente 20 añosantes, Dicke, Gamow, Novikov)Radiación de un cuerpo negro con temperatura2,725± 0,001 oKPrimeras observaciones: homogeneidad. Refinamientos:dan anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)Lo que observamos es el momento a partir del cual elUniverso se hace transparente (last scattering surface)

¿Sabemos algo?

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Hipótesis de trabajo

no estamos en una localización especial del Universo anivel espacial(homogeneidad espacial1)en cualquier dirección del espacio, el universo parece serel mismo (isotropía espacial2)corolario: la parte espacial del universo debe ser unmodelo 3D de curvatura constante

1Está claro que no ocurre así con la variable tiempo2Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

Métrica de Robertson-Walker

−dt2 + R(t)2(

1− kr2 + r2(dφ2 + sen2φdθ2)

)t → (t , r0, φ0, θ0) es una partícula en reposo (una galaxia)en este sistema de referencia (sistema de reposocósmico). Además esta curva es una geodésica con dichamétrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y suinercia)t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico). Porhomogeneidad discurre por igual en cada punto así que(salvo traslaciones en t) es el mismo para todas lasgalaxias

−dt2 + R(t)2(

)t → (t , r0, φ0, θ0) es una partícula en reposo (una galaxia)en este sistema de referencia (sistema de reposocósmico). Además esta curva es una geodésica con dichamétrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y suinercia)t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico). Porhomogeneidad discurre por igual en cada punto así que(salvo traslaciones en t) es el mismo para todas lasgalaxias

−dt2 + R(t)2(

)R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende deltiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan)las galaxias conforme el tiempo cambiak es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D ytoma los valores k = 0,1,−1 (geometría euclídea,esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parteespacial toma el valor

kR(t)2

−dt2 + R(t)2(

)R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende deltiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan)las galaxias conforme el tiempo cambiak es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D ytoma los valores k = 0,1,−1 (geometría euclídea,esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parteespacial toma el valor

kR(t)2

Para k=1 una imagen sería...

El factor de escala...... nos informa sobre la evolución del universo

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Ecuación de campo general

Los modelos de Robertson-Walker sólo usan la relatividad anivel cualitativo. Vamos a ver qué dice la ecuación de campode Einstein sobre estos modelos. La escribimos pues:

Ricij = 8π(Tij − 1/2Tgij)

donde T es un tensor (0,2) (16 componentes, 10 libres) quecodifica la distribución de materia-energía en el espacio-tiempo(tensor tensión-energía)

Más simplificaciones

al considerar las galaxias como partículas cuya únicainteracción (unas con respecto a otras) es la gravitatoriase obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como unfluido perfecto (viscosidad cero)los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son sudensidad ρ y su presión pmás aún, el hecho de que la radiación no domine en eluniverso (en comparación con la gravedad) nos permiteasumir que p ≡ 0finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decirque la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

La ecuación de campo nos dice...

Ecuación de Friedmann:

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

Ley de conservación:

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

La función R(t) es positiva y además

R′′(t) < 0

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

R′′(t) < 0

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

R′′(t) < 0

Ley de conservación

Observemos que

(ρ(t)R(t)3)′ = 0

es equivalente a la ley de conservación... por lo que

λ0 =4π3ρ(t)R(t)3

para una constante λ0 que se identifica con la masa deluniverso

Ley de conservación

Observemos que

(ρ(t)R(t)3)′ = 0

es equivalente a la ley de conservación... por lo que

λ0 =4π3ρ(t)R(t)3

para una constante λ0 que se identifica con la masa deluniverso

La ecuación de Friedmann

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

k = 023

R(t)3/2 =√

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

para v un parámetro que depende de tk = −1

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

k = 023

R(t)3/2 =√

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

k = 023

R(t)3/2 =√

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

Las gráficas

Ley de Hubble

Está implícita en los modelos de Friedmann:

dadas dos galaxias A = (t0,0, π/2, θ0) yB = (t0, r0, π/2, θ0) se calcula que están a distancia r0R(t)la velocidad de recesión es entonces r0R′(t)se define entonces

H(t) =R′(t)R(t)

la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico,pero que es constante en términos espaciales, mejorparámetro que constante)

Ley de Hubble

H(t) =R′(t)R(t)

Ley de Hubble

H(t) =R′(t)R(t)

Parámetros observacionales

Parámetro de Hubble a día de hoy es

H0 = 72± 8 km s−1Mpc−1

Una galaxia que se aleja a v = 7200 km/s resulta estar a

v/H0 = 100Mpc

El hecho de que no tengamos el parámetro por completodeterminado nos hace vivir en un mapa sin escala(conocemos las distancias relativas, pero no las absolutas)

H0 = 72± 8 km s−1Mpc−1

v/H0 = 100Mpc

H0 = 72± 8 km s−1Mpc−1

v/H0 = 100Mpc

Conocer con precisión H0 así como una estimación de ladensidad actual del universo nos permitirían despejar k enla ecuación de Friedmann:

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

Este es uno de los desafíos actuales de la cosmologíaEn este desafío se incluyen otras tareas hercúleas de lafísica que tienen que ver con el aspecto micro más quecon el macro (energía oscura, materia oscura, etc.)

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

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Aspectos finales

Naturaleza de la materia y la energía (4-22-74)(normal-materia oscura-energía oscura)Constante cosmológica Λ

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2 +

ΛR(t)2

Topología del Universo ¿es no trivial?

Aspectos finales

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2 +

ΛR(t)2

Aspectos finales

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2 +

ΛR(t)2

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