8/4/2019 Elementos de Cosmologa

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ELEME TOS DE COSMOLOGIA

Edwin Hubble, el astrnomo ms importante de la historia

El Radio de Hubble r H es la distancia a la que la velocidad de recesin de unagalaxia es igual a la velocidad de la luz. La velocidad de recesin de una galaxiaviene dada por la relacin v = dr/dt = H r. H es la constante de Hubble y r es ladistancia entre las galaxias que se separan. Igualando a la velocidad de la luz,v=c, c=Hr, luego r H = c/H = 3000 h -1 Mpc, con h = H/100 .

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El radio del universo observable es la distancia a los objetos ms lejanos que podemos observar en principio debido al viaje finito de la luz desde el Big Bang.Esos objetos tendrn un desplazamiento al rojo virtualmente infinito.La distancia propia puede ser definida como la distancia recorridad por la luz cdt amplificada por la expansin del universo en una cantidad directamente

proporcional al cambio del factor de escala a(t 0)/a(t) = 1/a(t) = (1+z). Elhorizonte de partculas representa el radio del universo observable.

El Radio del universo visible. La radiacin electromagntica msprimitiva que podemos observar, el fondo csmico de microondas,proviene de la poca en la que los electrones se combinaron conprotones para formar hidrgeno (a unos 3000 grados) y corresponde aun desplazamiento al rojo de unos 1.100, cuando el universo tena unos300.000 aos de edad.

Horizonte de eventos. Corresponde a la distancia de los objetos ms lejanos que podremos observar en un futuro arbitrariamente lejano. El horizonte de eventossepara aquellos objetos en su interior que podremos observar en algn momentode aquellos objetos que jams podrn ser observados por hallarse fuera del conode luz futuro del observador.

Veamos las carctersticas de estas distancias especiales en diferentesmodelos de universos. Empecemos por un caso matemticamente sencillo(veremos que conceptualmente no lo es tanto):

Expansin lineal a(t) = t/t 0

Esta situacin podra darse idealmente en un universo vaco de materia y conuna constante cosmolgica igual a cero.La constante de Hubble puede calcularse en este modelo como H 0 =1/a da/dt =1/t 0 y no es ms que la inversa de la edad del universo o tiempo de Hubble.Y por tanto el radio de Hubble serrH = c/H 0 = c t 0. Los objetos que estn a esta distancia se alejarn delobsevador a la velocidad de la luz. La distacia a un objeto puede calcularsecomo la distancia recorridad por la luz c dt amplificada por la expansin deluniverso en una cantidad directamente proporcional al cambio del factor deescala a(t 0)/a(t) 1/a(t) =t 0 /t = (1+z). El desplazamiento al rojo de los objetos en

la esfera de Hubble tienen que cumplir log (1+z) = 1 y por tanto z = e - 1 =1,718.

Observamos as algo importante. La esfera de Hubble no es un horizontecosmolgico. En principio podemos observar tranquilamente una galaxiasituada ms all de la esfera de Hubble, de mayor desplazamiento al rojo que1,718 y por tanto que se aleje a una velocidad mayor que c. Tenga el lector encuenta que esto no contradice la relatividad especial porque la galaxia no escapaz de viajar ms rpido que un rayo de luz que se mueva en susproximidades. En realidad, la velocidad de una galaxia comparada con la luzque se mueve en sus inmediaciones es como mucho del orden de unos

centenares de km/s (su velocidad peculiar). Vemos adems que la velocidad ala que se aleja del observador la esfera de Hubble es dr H /dt = c. Esto significa

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que la esfera de Hubble se aleja del observador a la misma velocidad que lasgalaxia que se encuentran sobre ella.

Por tanto, la cantidad de galaxias (ms especificamente la cantidad de materia)que permanecen dentro de la esfera de Hubble es constante con el tiempo.

Si ahora intentamos calcular la distancia al horizonte de partculas, vemos quela integral correspondiente diverge. Eso significa que no hay horizonte departculas o que en principio podemos observar todo el universo. Pero cmopuede ser esto as si el universo fuera arbitrariamente grande?.

La razn es extraa desde el punto de vista intuitivo. Por muy alejadas que seencuentren dos galaxias en una determinada poca, siempre encontramos un

tiempo finito en el pasado donde se encontraban a una distancia lo suficientepequea para que la luz pudiera viajar entre ellas en el resto de tiempodisponible hasta dicha poca. Esta es una propiedad bastante curiosa de losmodelos de expansin lineal.

La ausencia de un horizonte de eventos depender de que el tiempo deexpansin sea finito o infinito en el futuro. En un universo con un parmetro deexpansin que aumenta linealmente con el tiempo, el tiempo de expansindisponible es en principio infinito y por tanto no existe un horizonte de eventos.En principio, si dejamos pasar el tiempo suficiente siempre podemos recibir laluz de un objeto por muy distante que se encuentre.

Universo de Einstein-de Sitter. a(t) = (t/t 0)2/3

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El universo de tipo Einstein-de Sitter es el caso ms sencillo de universodominado por materia y, consecuentemente, en expansin desacelerada.La constante de Hubble en este caso puede ser calculada comoH0 =1/a da/dt = 2/(3 t)

Por tanto, el radio de Hubble ser r H = c/H 0 = 3/2 c t 0

Los objetos que estn a esta distancia se alejarn del observador a lavelocidad de la luz. La distancia r a un objeto puede calcularse como ladistancia recorridad por la luz c dt amplificada por la expansin del universo enuna cantidad directamente proporcional al cambio del factor de escala a(t 0)/a(t)= 1/a(t) =(t/t

0)-2/3 = (1+z). Por tanto tendremos que la distancia a un objeto de

desplazamiento al rojo z viene dada por una expresin donde vemos que eldesplazamiento al rojo de los objetos en la esfera de Hubble tienen que cumplir2 [1-(1+z) -1/2 ] = 1 z = 3

La esfera de Hubble se aleja del observador a una velocidad igual a 3/2 c, loque significa que las galaxias que se encontraban fuera de esta esfera lacruzan hacia el interior a una velocidad relativa de 1/2 c. En otras palabras, elnmero de galaxias dentro de la esfera de Hubble aumenta con el tiempo.Vemos por tanto que galaxias (superlumnicas) que se encuentran en algnmomento fuera de la esfera de Hubble terminan por entrar y convertirse en

sublumnica. La luz emitida por esta galaxia empieza en algn momento aacercarce al observador terminando por alcanzarlo en algn momento.

Y el horizonte de partculas?. Si calculamos la integral r P = r (z) = 3 c t 0 obtenemos una respuesta finita, lo que implica la existencia de un horizonte departculas y por tanto un universo observable finito.

La velocidad de recesin del horizonte de partculas es de 3 c, mientras que lavelocidad de recesin de las galaxias es

v = H 0 rP = 2/3 t 0 3 c t 0= 2 c

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lo que implica que nuevas galaxias entran en el universo observable avelocidad c, y a medida que transcurre el tiempo podemos ver mayor parte deluniverso. A consecuencia de esto, el modelo de Einstein-de Sitter carece dehorizonte de eventos.

Universo en expansin exponencial. Universos tipo deSitter. a(t) = exp [(t-t 0)/t 0]

Los universos de tipo de Sitter tienen gran importancia en el escenarioconocido como inflacin donde el universo se expande exponencialmente conuna tasa de expansin tremenda (doblando su tamao unas 80 veces en 10 -33 s).

En este caso, la constante de Hubble permanece realmente constante con eltiempo, pues H = 1/a da/dt = 1/t 0 donde t 0 representa en este caso un tiempocaracterstico de expansin que no tiene por qu tener ninguna relacin enprincipio con la edad del universo. Por ello es ms conveniente escribir elparmetro de expansin como a(t) = exp [H (t-t 0)]

Siendo t-t 0 el intervalo de tiempo considerado.Debido a la constancia de la constante de Hubble, el radio de Hubblepermanece fijo. Por tanto, las galaxias saldrn del radio de Hubble a lavelocidad de la luz. Tendremos que la distancia a un objeto de desplazamiento

al rojo z viene dada por r(z) = c z/H y los objetos que se encuentre adesplazamiento al rojo z = 1 se alejan del observador a la velocidad de la luz.

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El horizonte de partculas se encontrara a una distancia r (z) y por tantoarbitrariamente lejos del observador. En otras palabras, un universo tipo deSitter carece de horizonte de partculas y podemos decir que todos los objetosestuvieron en algn momento suficientemente cerca para que la luz pudierallegar hasta nosotros (este hecho implica que inflacin resuelva el problema del

horizonte).

Sin embargo, debido a que los objetos salen de la esfera de Hubble a lavelocidad de la luz, la luz de objetos que se encuentren ms all de la esferade Hubble (z > 1) empezar a alejarse del observador, y por tanto, sucesos queocurran ahora mismo a distancias mayores que el radio de Hubble no sernnunca observables an en un futuro arbitrariamente lejano. La esfera deHubble acta por tanto como un horizonte de eventos.

Una manera intuitiva de entender la existencia de los diferentes tipos dehorizontes es mediante el uso de diagramas espacio-tiempo conformes. En undiagrama espacio-tiempo conforme, se representa en el eje horizontal ladistancia comvil r frente al tiempo conforme t en el eje vertical siendot = dt/a(t) . En esas coordenada los rayos de luz tienen trayectorias rectas dela forma r = t 0 -t siendo t 0 el tiempo conforme en el momento de observacin.

El observador se encuentra en el punto O. El radio del universo observable esla distancia OP formada por todos los objetos desde donde ha podido llegar laluz (lineas rojas) hasta el observador en algn momento desde el Big Bang(lnea horizontal inferior del diagrama). El momento en que el fondo csmico demicrondas empieza a viajar libremente sin interaccionar con la materia(indicado con la lnea horizontal azul) marca el lmite del universo visible(distancia OD).

Es importante apreciar el hecho de que los sucesos indicados con c son lossucesos ms lejanos del observador que han podido ser influidos por losucedido en su pasado mutuo. Por simple geometra se puede ver a partir deltringulo en rojo, que esta distancia mnima OC = OP/3. En otras palabras,objetos que se encuentren en direcciones opuestas del cielo y situados enmenos de 1/3 del radio universo observable estn causalmente conectados.

Tambin se puede notar que si la integral dt/a(t) diverge cuanto t0

estaremos en un universo con edad conforme infinita (aunque su edad seafinita) y por tanto sin horizonte de partculas, pues en principio los rayos de luzpueden proceder de cualquier objeto, por muy alejado que se encuentre. Estose puede compreder fcilmente en el diagrama prolongando el eje verticalinfinitamente hacia el pasado.

El otro caso interesante es cuando la integral dt/a(t) converge cuanto t. Eneste caso estaremos en un universo limitado en el futuro en tiempo conforme ycon un horizonte de eventos.

Modelo con constante cosmolgica

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En la figura de Lineweaver 2003 se pueden ver tres representaciones espacio-temporales equivalentes de un universo con W m ~ 0.3 y W l ~0.7 en el que segn parecen indicar observaciones recientes nos hallamos. La lnea centralvertical corresponde al observador comvil. Las lneas discontinuasrepresentan las lneas de mundo de galaxias lejanas etiquetadas por el

desplazamiento al rojo que mide el observador hoy en da.

El primer recuadro es una representacin de la distancia propia frente al tiempode expansin como medido por el observador comvil. En el pasado inmediatodel observador, el cono de luz es un cono (como en relatividad especial). Peroa medida que nos vamos al pasado toma forma de lgrima, de tal forma que laluz que nos llega hoy en da de los objetos ms lejanos estuvo alejndose denostros en los primeros eones de expansin, una caracterstica comn a todoslos modelos de un universo en expansin.

En el segundo recuadro se elimina la expansin del universo al representar ladistancia comvil radial (fija para cada galaxia) en lugar de la distancia propia.En esta representacin podemos observar cmo el horizontes de eventos seestrecha contra el observador a medida que el futuro del universo est

dominado por el efecto de la constante cosmolgica. El universo se comportacomo un modelo de deSitter, donde la esfera de Hubble actuar como

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horizonte de eventos y las galaxias lejanas irn desapareciendopaulatinamente de nuestra vista hasta que slo podamos contemplar lasgalaxias ms prximas que tienen hoy en da desplazamientos al rojoconsiderablemente menores que la unidad.

El tercer cuadro es un diagrama conforme espacio-temporal donde se puedeobservar cmo las galaxias ms lejanas que podemos observar (horizonte departculas) se hallan hoy en da a 47 mil millones de aos luz. Vemos como enslo 13,5 mil millones de aos de expansin, ha dilatado las distancias entrelas galaxia de tal forma que los fotones se mueven por el espacio comvil auna velocidad que en cada momento es c/a(t) = (1+z) c.

Horizontes de partculas en los escenarios inflacionarios

De acuerdo con los escenarios inflacionarios, una expansin exponencialocurri en el universo muy temprano cuando haban transcurrido unos 10 -35 segundos desde el Big Bang y la energa caracterstica rondaba la escala deGran Unificacin (~ 10 15 GeV).Dicha expansin exponencial dur una cantidad finita (y muy pequea) detiempo de tal forma que las escalas de distancia crecieron en un factor enormeque podemos poner como

a(t f)/a(t i) = e N

siendo a(t f) el parmetro de expansin en el momento de finalizar el periodoinflacionario, a(t i) el parmetro de expansin en el momento inicial de inflaciny N una medida apropiada del incremento de la escala de distancias.

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Einstein-de Sitter

En una expansin exponencial el parmetro de expansin evoluciona como

a(t) = a(t i) exp [H (t-t i)]

Un observador despus de que haya ocurrido la transicin inflacionaria ver elhorizonte de partculas a una distancia

rP = c 0tfa(tf) dt/a(t) =c 0tia(tf) dt/a(t) + c titfa(tf) dt/a(t)

Despreciando la contribucin del universo preinflacionario y teniendo en cuentaque da(t) = H a(t) dt tenemos que

rP = c/H a(tf) a(ti) a(tf) da/a 2(t) = c/H {a(tf)/a(ti)-1}

Luego

rP = c/H {e N-1}

y el horizonte se aleja del observador durante la inflacin a una velocidadsuperlumnica

dr P /dt= c/H e N dN/dt = c e N

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y mientras que una partcula situada en el horizonte del observador se aleja auna velocidad

v = H r P = c {e N-1}

donde se ve fcilmente que el horizonte traspasa a las partculas que sehallan en l a velocidad c, como debe ser siempre el caso.

Puesto que el radio de Hubble permanece constante a una distancia c/H, todaslas partculas son barridas mucho ms all del radio de Hubble por el periodoinflacionario.

Sin embargo, cualquier partcula que se encontrara dentro del universoobservable antes de la inflacin permanecer dentro del universo observabledespus de la inflacin.

Javier de Lucas