tema cosmología
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Profesor.- Juan Sanmartín
Física y Química
Leyes de Kepler
Tema
Cosmología
Imagen.- www.nasa.gov
Recursos subvencionados por el…
Introducción
La NASA está explorando nuestro Sistema Solar y más allá para comprender el funcionamiento
del Universo, buscando agua y vida entre las estrellas. Image Credit: NASA
Imagen.- www.nasa.gov
Imágenes de la Nasa
NASA still images, audio files,
video, and computer files used
in the rendition of 3-dimensional
models, such as texture maps
and polygon data in any format,
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Galileo Galilei (1564-1642)
1609 Galileo Galilei (1564-1642) observa el cielo con el
telescopio e inicia la etapa de la astronomía instrumental.
En los años siguientes observó: montañas en la Luna,
manchas en el Sol, fases en el planeta Venus. De
manera similar detectó que la Vía Láctea estaba
compuesta por numerosas estrellas.
Uno de los primeros en usar experimentos para
deducir leyes físicas: leyes de movimiento,
velocidad, aceleración, inercia, péndulo, cuerpos
cayendo (ver Video de la torre de Pisa)
• Usó telescopios para la astronomía.
• Después de su escepticismo inicial, adoptó el
modelo de Copérnico ya que las evidencias
empíricas lo apoyaban.
El 21 de agosto de 1609, apenas terminado su
segundo telescopio (aumenta ocho o nueve veces),
lo presenta al Senado de Venecia. La demostración
tiene lugar en la cima del Campanile de la plaza de
San Marco. Los espectadores quedan
entusiasmados: ante sus ojos, Murano, situado a 2
km y medio, parece estar a 300 m solamente.
Descubrimientos de Galileo
Los cuerpos celestes no son
perfectos: montañas sobre la luna,
manchas solares.
La Tierra no es solamente el centro
de rotación (p.ej. Lunas de Jupiter).
Venus pasa por el frente y por detrás
del Sol (no puede ocurrir si el sistema
de Tolomeo es correcto).
Ilustración elaborada por Galileo sobre
las fases lunares. Fuente .- wikipedia
Johannes Kepler 1571-1630
Nació enfermo y pobre.
1604: Reporta la presencia de una "estrella nueva"
en la constelación del Serpentario.
Johannes Kepler (1571-1630) publica su obra “El
misterio del Universo” obra de enfoque casi místico.
Escribe su frase célebre "entre Marte y Júpiter yo
coloco un planeta“.
1611: Publica “Dioptrik” el primer tratado sobre las bases numéricas de laóptica.
1609: Publica las dos primeras leyes sobre el movimiento de los planetas enel Sistema Solar en el libro "Astronomia nova".
1619 Johannes Kepler (1571-1630) publica la tercera ley del movimientoplanetario en su libro "Harmonices mundi".
Johannes Kepler 1571-1630
1621 Willebrod Snell (1591-1626) descubre larefracción de la luz.
1619 Johannes Kepler (1571-1630) postulala existencia de un viento solar en suexplicación de la dirección de la cola de loscometas.
1627 Johannes Kepler (1571-1630) publicasus Tabulae Rudolphinae (Tablas Rodolfinas),que constituyeron la base para el cálculo delos movimientos planetarios. Estas tablasobtienen su nombre del Emperador Rodolfo IIde Alemania, al cual fueron dedicadas. Enellas se predice por primera vez el tránsito deVenus y Mercurio por el disco del Sol para1631.
Modelo platónico del Sistema Solar
presentado por Kepler en su obra
Misterium Cosmographicum (1596)
(es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler)
Ramón María Aller
(1878-1966)
Nacido en Filgueiroa (Lalín), realizó sus primeros
estudios en el colegio de Lalín y el bachillerato en A
Guarda, en el colegio de los jesuítas, donde se despertó
su vocación sacerdotal y la pasión por las Matemáticas y
la Astronomía. A partir de 1894, comenzó la carrera
sacerdotal, primero en el Seminario de Lugo y a
continuación en el de Santiago de Compostela.
El extraordinario aprovechamiento de su trabajo le
permitió adelantar dos años a edad canónica sacerdotal,
por lo que se vino en el deber de solicitar dispensa para
obtener a los veinte años el título de doctor en Sagrada
Teología. Por aquel entonces ya disponía de un anteojo
de 67 mm de apertura.
4 libros, 5 tesis de doctorado dirigidas y 4 estrellas dobles descubiertas. Además, fue
autor de numerosos diseños de instrumentos científicos y una infinidad de observaciones,
cálculos, notas y catálogos estelares que se encontraron inéditos. Por todo ello está
considerado cómo uno de los astrónomos españoles más salientables del siglo XX.
Producción científica
La producción científica de Aller, habida
cuenta los medios, la época y los
lugares donde la desarrolló, fue
excepcional: 78 artículos en revistas
Astronomische Nachrichten,
L´Astronomie, Observatorio de Santiago,
Revista de Geofísica, Revista
Matemática hispano-americana, Revista
Sociedad Astronómica de España y
América y 10 en Urania). Despacho de D. Ramón en el Museo de Lalín
Leyes de Kepler
Imagen.- www.nasa.gov
Leyes de Kepler – Primera LeyLos planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos.
Nota: no hay nada en el otro foco o en el centro
EjeMenor
Eje Mayor
Foco 2
Perihelio
Sol
Foco 1
Afelio
Planeta
Leyes de Kepler – Segunda LeyEl radiovector (línea imaginaria que uniría el sol con cada planeta) barre áreas
iguales en tiempos iguales
Segunda Ley quiere decir que los planetas giran alrededor del Sol mas rápido
cuando están mas cerca de él. Estas leyes valen para cualquier cosa que esté
orbitando alrededor de cualquier cosa debido a la gravedad.
De esto tenemos que
deducir que si el Sol está
en uno de los focos de la
elipse (Primera Ley),
habrá un momento en
que el planeta esté más
cerca del Sol y por lo
tanto tendrá que ir más
rápido en su órbita para
barrer un área igual Fuente.- cienciacomonunca.blogspot.com.es
Leyes de Kepler – Tercera LeyQue los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas dividido
entre el cubo de sus radiovectores permanece constante.
La forma mas general de esta ley es:
...3
2
3
2
3
2
Jupiter
Jupiter
Marte
Marte
Tierra
Tierra
R
T
R
T
R
T
Según esto podemos expresar:
Sabemos que la distancia de la Tierra al Sol son aprox. 150.000.000 Km y
su periodo es de 1 año = 365,25 dias
T.- periodo del planeta, tiempo que tarda en dar una
vuelta a su órbita.
R.- radiovector, linea que une el Sol con cada planeta..
3
2
CteR
T
planeta
planeta
Problema: El planeta Saturno, es el Sr. de los anillos del
Sistema solar y el sexto en su posición con respecto al sol.
Dados los siguientes datos calcula el periodo de Saturno.
Consideramos el periodo de la Tierra como 365 días
DSATURNO-SOL=1.429.400.000 km.
DTIERRA-SOL= 149.000.000 km.
m.101,490km149.000.00R
m.101,43000km1.429.400.R
11SolT ierra
12SolSaturno
¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.
3
2
3
2
Saturno
Saturno
Tierra
Tierra
R
T
R
T
Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)
s10852,2dia101,49
101,43365T
311
3122
saturno
312
2
311
2
1043,11049,1
365
SaturnoT
Problema: Supongamos ahora un planeta que tarda 200 días en dar una vuelta
al Sol, Calcula a que distancia se encuentra de este.
DTIERRA-SOL= 149.000.000 km.
Consideramos el periodo de la Tierra como 365 dias
m.101,490km149.000.00R 11SolT ierra
¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.
3
2
3
2
planeta
planeta
Tierra
Tierra
R
T
R
T
Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)
.1097,9365
2001049,1 103
2
2311
mRplaneta
3
2
311
2200
1049,1
365
planetaR
Leyes de Kepler – AmpliaciónLa forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas las
masas en astronomía) es:
centralM
aT
32
Para los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central), si las
unidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) en
años, la constante de proporcionalidad es 1.
Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital?
2.11125;125532 TT
Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba que
surgían debido a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través de
un magnetismo.
Leyes de Kepler
Imagen.- www.nasa.gov
Gravitación
Universal
Tema 5
Cosmología
Imagen.- www.nasa.gov
Profesor.- Juan Sanmartín
Física y Química
Recursos subvencionados por el…
Ley de la Gravitación Universal
La gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley de
Newton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.
La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de la
constante de la gravitación G, en unidades métricas,
Por lo tanto, se requieren masas grandes para poder sentir una fuerza
apreciable, p.ej. La masa de la Tierra es 5,98x1024 kg.
2
21iagravitator
d
mmGF
Kg
mNG
211107,6
A pesar de la masa grande de la Tierra, la fuerza gravitacional que sientes en la
superficie de la Tierra, tú peso, es solamente unos cuentos cientos de Newtons.
Para el calculo de la fuerza gravitatoria de un objeto o persona sobre la
superficie de un planeta, la distancia d entre ambos cuerpos es el radio del
planeta.
2
/
2
21
planeta
personaobjetoplaneta
iagravitatorR
mMG
d
mmGF
En el caso de un satélite girando alrededor del planeta, al radio del planeta
tenemos que sumarle la altura, es decir, d=Rplaneta+h.
22
21
)( hR
mMG
d
mmGF
planeta
satéliteplaneta
iagravitator
Y para el caso de dos cuerpos celestes.
2
21
2
21
separa
cuerpocuerpo
iagravitatord
MMG
d
mmGF
Problema: Calcula la fuerza gravitatoria con la que la tierra atrae a una persona
de 70 kg. de masa.
Datos necesarios: MTIERRA= 5,98x1024 Kg ; RTIERRA=6400 Km.
¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.
N7,681
104,6
701098,51067,6
26
2411
Muy parecido a si calculamos el peso por la fórmula de los temas anteriores.
686,7N9,8170gmPeso
Es por lo que definimos…
2Tierra
personaTierra
iagravitatorR
mMGF
Imagen.- www.nasa.gov
Intensidad de campo gravitatorio
Si igualamos las dos formas de calcular la atracción de un cuerpo por un
planeta.
Entonces se deduce que:
Definimos entonces g como intensidad de campo, que en la superficie
terrestre será…
Pesogmd
mMGF persona
planeta
personaplaneta
iagravitator
2
2
planeta
planeta
d
MGg
smgterrestre 81,974,9
104,6
1098,51067,6
26
2411
La diferencia está en la aproximación de las cantidades.
Problema: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más pequeño.
Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km. Calcula:
a. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de Mercurio.
b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio.
c. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg. situado a 400 km. de
altura.?
d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite.
Apartado a).-
2mercurio
personamercurio
iagravitatorR
mMGF
Apartado b).- Para el cálculo de la intensidad de campo, es decir, para la g en
Mercurio…
sm7,3
1044,2
103,31067,6
26
2311
N6,321
1044,2
87103,31067,6
26
2311
2mercurio
mercurio
R
MGg
mkmrkm MERCURIOMERCURIOMERCURIO
61044,27,24392
.4,4879
Apartado c).- Ahora vamos a calcular la fuerza con que Mercurio atrae al satélite, al ser
la altura a la que orbita considerable frente al radio de Mercurio tenemos que
considerarla…
2)( satélitemercurio
satélitemercurioiagravitator
hR
mMGF
Apartado d).- Y para finalizar calculamos la intensidad de campo a esa altura…
sm73,2
1041044,2
103,31067,6
256
2311
1091,6N
104102,44
400103,3106,67
256
2311
2)( satélitemercurio
mercurio
hR
MGg
¿Porqué no se caen los Satélites?Hasta ahora vimos la fuerza con la que atrae un planeta a los cuerpos, en el
caso de un satélite
Tiene que haber una fuerza igual a esta que evite que el
satélite caiga.
22
21
)( hR
mMG
d
mmGF
planeta
satéliteplaneta
iagravitator
¿Cuál es esta Fuerza?
Para explicarlo nos tenemos que ir al Tema I - Cinemática
Imagen.- www.nasa.gov
ACELERACIÓN
CENTRÍPETAEn el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada
instante, luego existe aceleración, la aceleración
centrípeta.
Cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, la
tendencia es a salirnos de la curva. La aceleración
centrípeta lo impide al tirar de nosotros hacia dentro de la
curva.
R
va
2
c
Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio
de la curva, menor será la aceleración centrípeta.
La fuerza centrífuga (F) no es una fuerza propiamente tal, sino que es
producida por la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos
tienden a seguir una trayectoria tangencial a la curva que describen. La fuerza
centrífuga aumenta con el radio del giro (r) y con la masa (m) del cuerpo.
Fuerza Centrífuga
giro
giro
cuerpocentrífugacuerpocentrífugaR
vmamF
2
Y por lo tanto, la Fuerza Gravitatoria es contrarrestada por esta Fuerza
Centrífuga, de modo que al igualar ambas fuerzas.
iagravitatorcentrífuga FF
Obtenemos lo siguiente…
iagravitator
cuerpoplaneta
giro
giro
cuerpocentrífuga Fd
mMG
R
vmF
2
2
Como el Radio de Giro y la Distancia son iguales, obtenemos…
2
2
d
mMG
d
vm
cuerpoplanetagiro
cuerpo
Y deducimos
d
MGv
planeta
giro
Velocidad Orbital
Problema anterior: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo
al sol y el más pequeño. Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3
1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km. Calcula:
a. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de
Mercurio. anterior
b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie
de Mercurio. anterior
c. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg.
situado a 400 km. de altura?. anterior
d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del
satélite. anterior
e. Velocidad de giro del satélite.
centrífuga
satélitemercurio
giro
satélite
satélitemercurio
satélitemercurioiagravitator F
hR
vm
hR
mMGF
)()(
2
2
Entonces…
hR
MGv
mercurio
mercuriogiro
hKm
smv giro 100222784
1041044,2
103,31067,6
56
2311
Problema: La Luna es el satélite natural de la Tierra.
Conociendo los siguiente datos: MLUNA=7,2x1022 Kg.;
RLUNA= 1740 km. ; MTIERRA=5,98x1024 Kg.; DTIERRA-LUNA=
384000 km. Calcula:
a. El peso de una persona de masa 80 Kg. en la
superficie lunar.
b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en
la superficie lunar.
c. ¿Con que fuerza atraerá la Tierra a la Luna y
viceversa?.
d. Velocidad de giro lunar.
e. Tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta
alrededor de la Tierra.
Apartado a).-
2luna
personaluna
iagravitatorR
mMGF
Apartado b).-
sm
R
MGg
luna
luna 59,11074,1
102,71067,6
26
2211
2
N9,126
1074,1
80102,71067,6
26
2211
Imagen.- www.nasa.gov
Apartado c).-2
LunaTierra
LunaTierraiagravitator
d
MMGF
.109,1
1084,3
102,71098,51067,6 20
28
222411 NF iagravitator
Apartado d).-
sm
d
MGv
LunaTierra
Tierragiro 2,1019
1084,3
1098,51067,6
8
2411
Apartado e).- Calculamos la longitud de la órbita de la luna…
mrL lunaorbita98
_ 104,21084,322
d
dh
hs
ss
v
Lt
giro
orbitaperiodo 4,27
243600
.1035,2.1035,2
2,1019
104,2 66
9
Problema: Pluto es un planeta enano del sistema solar situado a continuación de la órbita de
Neptuno. Su nombre se debe al dios mitológico romano Plutón (Hades según los griegos).
Conociendo los siguiente datos:
MPLUTÓN= 1,25 × 1022 kg.; RPLUTÓN= 2370 km. ;DPLUTÓN-SOL= 39,264 ua. Calcula:
a. El peso de la sonda New Horizons de masa 478 kg. en la superficie plutoniana.
b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio que sufrirá la sonda New Horizons
cuando esté a 12500 km de altura.
c. ¿Cuál sería la velocidad de giro en una órbita a esa altura de Plutón?.
d. Tiempo que tarda la Plutón en dar una vuelta alrededor del Sol.
Majestuosas montañas de Plutón, llanuras heladas y neblinas en Plutón captadas por
la sonda espacial New Horizons de la NASA.
2Plutón
sondaPlutóniagravitator
R
mMGF
26
2211
1037,2
7841025,1106,67
N70,95PF ón)SONDA(PlutIAGRAVITATOR
.m102,37.km2370R 6Plutón
Problema: Pluto es un planeta enano del sistema solar situado a continuación de la órbita de
Neptuno. Su nombre se debe al dios mitológico romano Plutón (Hades según los griegos).
Conociendo los siguiente datos:
MPLUTÓN= 1,25 × 1022 kg.; RPLUTÓN= 2370 km. ;DPLUTÓN-SOL= 39,264 ua. Calcula:
b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio que sufrirá la sonda New Horizons
cuando esté a 12500 km de altura.
c. ¿Cuál sería la velocidad de giro en una órbita a esa altura de Plutón?.
d. Tiempo que tarda la Plutón en dar una vuelta alrededor del Sol.
Majestuosas montañas de Plutón, llanuras heladas y neblinas en Plutón captadas por
la sonda espacial New Horizons de la NASA.
2sondaPlutón
Plutón
hR
MGg
sm59,1
1025,11074,1
102,71067,6
276
2211
.m1025,1.km12500R 7Plutón
Problema: Pluto es un planeta enano del sistema solar situado a continuación de la órbita de
Neptuno. Su nombre se debe al dios mitológico romano Plutón (Hades según los griegos).
Conociendo los siguiente datos:
MPLUTÓN= 1,25 × 1022 kg.; RPLUTÓN= 2370 km. ;DPLUTÓN-SOL= 39,264 ua. Calcula:
b. ¿Cuál sería la velocidad de giro en una órbita a esa altura de Plutón?.
c. Tiempo que tarda la Plutón en dar una vuelta alrededor del Sol.
sondaPlutón
Plutónsondagiro
hR
MGv
PlutónIAGRAVITATORPlutónCENTRIFUGA FF
sondaPlutón
sondaPlutón
centrosdistancia
sondaPlutón
2sonda
sondahR
mMG
hR
vm
76
2211
1025,11037,2
1025,11067,6
sm8,236v sondagiro
Problema: Pluto es un planeta enano del sistema solar situado a continuación de la órbita de
Neptuno. Su nombre se debe al dios mitológico romano Plutón (Hades según los griegos).
Conociendo los siguiente datos:
MPLUTÓN= 1,25 × 1022 kg.; RPLUTÓN= 2370 km. ;DPLUTÓN-SOL= 39,264 ua. Calcula:
c. Tiempo que tarda la Plutón en dar una vuelta alrededor del Sol.
m101,49km0149.000.00.A.U 11
m105,85m101,4939,264.A.U39,264 1211
3
2
3
2
PLUTÓN
PLUTÓN
TIERRA
TIERRA
R
T
R
T
3
32
TIERRA
PLUTÓNTIERRA
PLUTÓNR
RTT
311
3122
1049,1
1085,5365
PLUTÓNT dias89.794T
PLUTÓN
Apartado c).-2
LunaTierra
LunaTierraiagravitator
d
MMGF
.109,1
1084,3
102,71098,51067,6 20
28
222411 NF iagravitator
Apartado d).-
sm
d
MGv
LunaTierra
Tierragiro 2,1019
1084,3
1098,51067,6
8
2411
Apartado e).- Calculamos la longitud de la órbita de la luna…
mrL lunaorbita98
_ 104,21084,322
d
dh
hs
ss
v
Lt
giro
orbitaperiodo 4,27
243600
.1035,2.1035,2
2,1019
104,2 66
9
Velocidad de EscapeLa velocidad de escape depende de
la masa y del tamaño del cuerpo.
Para la Tierra es cerca de 11 km/s.
Cuando la velocidad de escape es
la velocidad de la luz, el cuerpo
central será un agujero negro.
La velocidad de escape será
Es importante notar que ninguna de
estas velocidades depende de la
masa del cuerpo que está orbitando
o escapando.
planetaradio
planetamasa
escapeR
MG2v
Imagen.- www.nasa.gov
Ampliación - Movimiento Orbital
La fuerza de gravedad siempre hace que las
cosas caigan. La pregunta es si la trayectoria
de la caída coincide con cualquier superficie.
La forma de la órbita depende de la velocidad
que el cuerpo tenga en un punto dado.
Velocidades bajas recorrerán distancias
menores, mientras que velocidades grandes
recorrerán distancias mayores. En estos casos
se puede decir que las trayectorias son
cerradas. Sí la velocidad es bastante grande
(mayor o igual a la velocidad de escape), la
orbita será una hipérbola en lugar de una
elipse y el cuerpo no regresará.
Imagen.- www.nasa.gov
Explicación de las Leyes de Kepler
Newton pudo explicar matemáticamente (usando su cálculo) que las órbitas
de los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo que
estos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrar
que el periodo y tamaño de una orbita están dados por:
32
2
)(
4a
MMGP
PlanetaSol
Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constante
gravitacional.
Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa de
cualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo del
cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).
Cálculo de la Masa de la Tierra
Sabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna, y a la
luna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cerca
de 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años.
6
62
3
2
3
1025.21064
144
121
4001
xxP
aM
Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Así
que la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol. Para
poder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley de
Kepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a
(metros), G (unidades mks).
Ejercicios - Ampliación
¿Cuál sería el periodo orbital de la Tierra si la masa del Sol fuera 9 veces
mayor? Discuta las implicaciones si esto fuera cierto
Suponga que se descubrió un nuevo cometa y que las observaciones
indican que su periodo es de 1000 años, ¿A qué distancia (promedio) se
encuentra del Sol?
Fin
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