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INTERVALOS DE CONFIANZA

Juan Carlos Colonia

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS

PARÁMETROS DE DOS POBLACIONES

I.C. PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS

Sean y dos muestras aleatorias

independientes de tamaños y extraídas de dos

poblaciones normales y , tal que

las varianzas son desconocidas, y sean y las

respectivas varianzas muestrales. El intervalo de

confianza de para esta dado por:

Observación:

11 nX , ..., X21 nY , ..., Y

1n 2n

2

1 1N , 2

2 2N ,

100 1 %

2 1 2 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2n 1, n 1;1 n 1, n 1;

2 2 22 2

s sI F F

s s

2 1

1 2

n 1,n 1;12

n 1,n 1;2

1F

F

2 2

1 2

2

1s2

2s


Ejemplo:

Una compañía fabrica piezas para turbinas. Tiene dos procesos

distintos para hacer el esmerilado de las piezas y ambos

procesos producen piezas con la misma rugosidad promedio. El

ingeniero del proceso desea seleccionar el proceso con la menor

variabilidad en la rugosidad de la superficie. Toma una muestra

de 12 piezas del primer proceso, obteniendo una desviación

estándar de 5.1 micropulgadas, luego toma una muestra de 15

piezas del segundo proceso, obteniendo una desviación estándar

de 4.7 micropulgadas. ¿Puede elegir el primer proceso con una

confianza del 95% de tener menor variabilidad en la rugosidad?


Ejemplo:

Como el intervalo incluye a la unidad, no se puede

concluir que los procesos tengan variabilidad

significativamente diferente con una confianza del 95%

2 1 2 1

2 2

1 1

2 2n 1, n 1;1 n 1, n 1;

2 22 2

s sI F ; F

s s

2

2 2s 4.7 s 22.09 2

1 1s 5.1 s 26.01

2

1

2

2

26.01 26.01I 0.32 ; 3.35 0.3767 3.9444

22.09 22.09

14 ,11; 0.975F 0.32

14 ,11; 0.025F 3.35

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON

VARIANZAS CONOCIDAS


independientes de tamaños y extraídas de

dos poblaciones normales y , tal

que las varianzas son conocidas, y sean y las

respectivas medias muestrales. El intervalo de

confianza de para esta dado por:

2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 2

1 11 2 1 22 2

I x x Z ; x x Zn n n n

11 nX , ..., X21 nY , ..., Y

1n 2n

2

1 1N , 2

2 2N ,

100 1 %1 2

1x2x


VARIANZAS DESCONOCIDAS



poblaciones normales y , tal que las

varianzas y son desconocidas, y sean y sus

respectivas medias muestrales. El intervalo de

confianza de para es:

Caso: Tamaño de muestra mayor a 30

2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 2

1 11 2 1 22 2

s s s sI x x Z ; x x Z

n n n n

11 2 nX , X , ..., X21 2 nY , Y , ..., Y

1n 2n

2

1 1N , 2

2 2N ,

1x2x

100 1 % 1 2

2

12

2



Caso: Tamaño de muestra menor o igual a 30 y

varianzas desconocidas pero iguales

Donde: 2 2

1 1 2 22

p

1 2

n 1 s n 1 sS

n n 2

1 2 1 2

2 2 2 2

p p p p

1 2 1 2n n 2 ;1 n n 2 ;1

1 2 1 22 2

S S S Sx x t ; x x t

n n n n



Caso: Tamaño de muestra menor o igual a 30 y varianzas desconocidas y diferentes

Donde:

22 2

1 2

1 2

2 22 2

1 2

1 1 2 2

s s

n ng 2

s 1 s 1

n n 1 n n 1

2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 2

g ;1 g ;11 2 1 22 2

s s s sI x x t ; x x t

n n n n


VARIANZAS DESCONOCIDAS Y

Ejemplo 1:

Una compañía de taxis está tratando de decidir la

compra de neumáticos entre las marcas A o B para sus

vehículos. Para ello, necesita estimar la duración media

de las dos marcas de neumáticos; por lo que realiza un

experimento empleando 12 neumáticos de cada marca,

haciéndoles correr hasta su desgaste total. Los

resultados en kilómetros son:

1 2n n 30

A B Media 36,300 38,100 Desviación estándar 5,000 6,100



Ejemplo 1:

¿Será la duración media de ambas marcas de

neumáticos son iguales con 95% de confianza.?

Solución:

Se tiene que determinar primero si las varianzas iguales

o diferentes.

De acuerdo al resultado para las varianzas, se utiliza el

intervalo correspondiente para estimar las medias.

1 2n n 30



Solución:

Intervalo de confianza para la varianza

Como el intervalo cubre el valor uno, se puede suponer

que las varianzas son iguales.

2

2 2s 6,100 s 37,210,000 2

1 1s 5,000 s 25,000,000

2 2 2

1

2 2 2

2

5,000 5,000I 0.2879 ; 3.4737 0.1934 2.3338

6,100 6,100

11,11; 0.975F 0.2879 11,11; 0.025

F 3.4737

1 2n n 30



Solución:

Intervalo de confianza para la media

donde:

Se tiene:

1 2

2 2

p p

1 2n n 2 ;1

1 22

S SI x x t

n n

2 2

1 1 2 22

p

1 2

n 1 s n 1 sS

n n 2

1x 36,300

2x 38,100 22 , 0.975

t 2.074

2 2

1s 5,000

2 2

2s 6,100

2

pS 31,105,000

1 2n n 30



Solución:


Debido a que el intervalo contiene el valor cero, se

puede decir con 95 % de confianza que la duración

media de ambos tipos de neumáticos son iguales.

2 2

p pS SI 36,300 38,100 2.074

12 12

1 26,522.24 2,922.24

1 2n n 30



Ejemplo 2:

Se quiere comparar la velocidad de transmisión de cierto

tipo de enrutador ADSL y la que ofrece la tecnología

wireless. Se toma una muestra de 14 routers ADSL y 8

transmisores inalámbricos obteniéndose los siguientes

resultados (medidos en Mbps):

¿Es posible elegir cualquier aparato, con una confianza del

97%?

ADSL Wireless Media 2.11 1.65 Desviación estándar 0.18 0.48

1 2n n 30



Solución:

Intervalo de confianza para la varianza

Como el intervalo no cubre el valor uno, se puede

suponer que las varianzas sean iguales.

2

2 2s 048 s 0.2304 2

1 1s 0.18 s 0.0324

2 2 2

1

2 2 2

2

0.18 0.18I 0.2871; 3.4827 0.0403 0.4897

0.48 0.48

7 ,13 ; 0.985F 0.2871 7 ,13 ; 0.015

F 3.4827

1 2n n 30



Solución:


donde:

2 2

1 21 2

g ;11 22

s sI x x t

n n

22 2

1 2

1 2

2 22 2

1 2

1 1 2 2

s s

n ng 2

s 1 s 1

n n 1 n n 1

1 2n n 30



Ejemplo 2:

Como el intervalo contiene al valor cero, se puede

afirmar con 97 % de confianza que la velocidad de

transmisión son iguales.

0.0324 0.2304

I 2.11 1.65 2.633814 8

1 20.0045 0.9245

1x 2,11

2x 1,65

2 2

1s 0.18

2 2

2s 0.48

g 8

8 , 0.97t 2.6338

1 2n n 30

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA

DIFERENCIA DE PROPORCIONES



poblaciones Bernoulli y , y sean y las

respectivas proporciones muestrales. El intervalo de

confianza de para es:

1 1 2 2

1 21

1 22

p 1 p p 1 pI p p Z

n n

11 2 nX , X , ..., X21 2 nY , Y , ..., Y

1n 2n

1B 1, 2B 1, 1p 2p

100 1 % 1 2



Ejemplo:

Una compañía produce dos marcas de cerveza. En un

reciente estudio se encontró que 72 de 120

consumidores prefieren la marca A y 50 de 80 prefieren

la marca B. Se puede afirmar que las preferencias por

ambas marcas de cervezas son iguales con una

confianza de 99%.



Ejemplo:

Como el intervalo contiene al cero, las proporciones

poblacionales son iguales con 99% de confianza.

1 1 2 2

1 21

1 22

p 1 p p 1 pI p p Z

n n

2p 0.6251p 0.6

1 2I 0.025 1.96 0.0049 0.1626 0.1126

0.991

2

Z Z 2.326

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