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Capítulo IIIPruebas de hipótesis

medias, varianzas, proporciones

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Introducción

Con mucha frecuencia el propósito de la investigación va más alláde describir el comportamiento de la variable en la muestra y de-bemos de generalizar o inferir los resultados obtenidos en la mues-tra a la población o universo.

Los datos casi siempre son recolectados de una muestra y susmedidas importantes tales como la media muestral y la varianzamuestral reciben el nombre de estadísticas. Por otro lado, las me-didas representativas de la población, media poblacional y varian-za poblacional, casi siempre desconocidos, reciben el nombre deparámetros. Un esquema puede ser el siguiente:

X: variable estudiada

RECOLECCION DEDATOS EN LA

MUESTRA

INFERIR LOS RESULTADOS ALA POBLACION O UNIVERSO

PARAMETROS

ESTADISTICAS

sX 2 rσµ 2 ρ

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El razonamiento de pruebas de hipótesis se emplea para res-ponder preguntas como las siguientes:

1. Años de experiencia han demostrado que en un examen deadmisión a la Facultad de Educación de una universidad, losestudiantes obtienen en media 140 (sobre 240) puntos con des-viación estándar de 10 puntos. En el examen de admisión-2004, los postulantes a la Facultad de Educación han obteni-do 160 puntos. Se puede afirmar que ¿estos estudiantes tu-vieron un rendimiento significativamente por encima del pro-medio?.

2. En los últimos años se ha observado que el coeficiente de co-rrelación entre las notas del curso de inferencia estadística ydel curso de metodología de la investigación de los estudian-tes de Maestría en Educación de una universidad, es 0.65. ¿La asociación observada es significativamente diferente decero?.

3. Un profesor del curso de matemáticas desea conocer la rela-ción entre la creatividad y la ansiedad en alumnos de quintoy sexto año de secundaria. Al hacer la revisión bibliográficaencontró dos tendencias: una de las cuales se inclina a creerque el pensamiento creativo se relaciona inversamente con laansiedad, y la otra, se inclina por la opinión que la creativi-dad no tiene nada que ver con la ansiedad. Por consiguiente,nuestro investigador todavía no ha tomado partido y trata deresolver sus dudas mediante un estudio empírico.Asimismo, ha encontrado que existen dos pruebas que mi-den con cierta validez ambas variables (creatividad y ansie-dad) y que son: la prueba de Getzels y Jackson sobre el "Em-pleo de Objetos" y la prueba "Children's Manifest AnxietyScale" de Castenada, Mc Candless y Palermo.El profesor sabe que son 20000 los alumnos de quinto y sextode secundaria a quienes tendría que aplicar las pruebas deansiedad y creatividad, pero sus recursos lo limitan a obser-var sólo 200. ¿ Si lleva a cabo su investigación en la muestra

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de estudiantes y obtiene el valor 0.87 para el coeficiente decorrelación muestral entre las puntuaciones de ansiedad ycreatividad, qué hará para llevar ese resultado a la poblaciónde 20000 estudiantes?.

En este capítulo y en los siguientes responderemos preguntascomo las planteadas mediante la metodología de pruebas de hi-pótesis, en relación con los siguientes parámetros básicos en unapoblación: µ (la media), σ 2

(varianza), (proporción), y los siguien-tes parámetros básicos en dos poblaciones: µµ 21

− (diferenciade medias), ππ 21 − (diferencia de proporciones), σσ 21 / (cocien-te de varianzas), (coeficiente de correlación).

Se hacen pruebas de hipótesis para decidir, sobre la vali-dez de una proposición o enunciado que se hace respecto aalgún aspecto de una distribución de probabilidad, a partir dela información proporcionada por la muestra aleatoria. La deci-sión que se deba tomar se refiere a la veracidad o falsedad de unahipótesis.

A continuación se presentan los conceptos fundamentales yla metodología para realizar una prueba de hipótesis.

Formalización de conceptos fundamentales

Los investigadores de educación y ramas afines saben que el enun-ciar una hipótesis no siempre implica un trabajo científico. Unahipótesis científica es el resultado de un pensamiento creativo ytal vez inspirado, mientras que la hipótesis estadística es la expre-sión de una fase de la comprobación empírica de la hipótesis cien-tífica.

Hipótesis estadística

Una hipótesis estadística es un enunciado o proposición respectoa uno o más parámetros de la población. Una hipótesis estadística

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puede ser simple o compuesta. Es simple, cuando la proposicióncaracteriza completamente a la distribución de la variable aleato-ria y en caso contrario se denomina hipótesis compuesta.

A fin de probar una proposición, es preciso formular una hi-pótesis denominada nula conjuntamente con otra denominadahipótesis alternativa.

Ejemplo 3.1

Durante los últimos semestres, el profesor de Estadística Aplica-da a la Educación, ha registrado que el rendimiento medio es de14 puntos para todos sus alumnos, con desviación estándar 2 pun-tos. Este año le ha tocado 40 alumnos sobresalientes porque surendimiento medio ha sido de 17 puntos y el profesor los procla-ma como superiores a todos los alumnos que ha tenido a la fecha.De acuerdo a estos resultados se aceptará o se rechazará (una delas siguientes afirmaciones) la hipótesis que:

H 0 :El rendimiento promedio de los estudiantes es menor o iguala 14 puntos.

H 1 :El rendimiento promedio de los estudiantes es mayor a 14puntos.

A una de las afirmaciones, por ejemplo a H 0 , se le llama hi-pótesis nula.

A la afirmación H 1 , que es opuesta a la hipótesis nula, se lellama hipótesis alternativa.

En las investigaciones donde se utilizan pruebas de hipóte-sis, se parte del supuesto básico de que la hipótesis nula ( H 0 ) esverdadera (mientras no se demuestre lo contrario) y el investiga-dor recogerá información de una muestra aleatoria, para poderdecidir si rechaza o no la mencionada hipótesis. En caso de recha-zarla, se acoge a otra hipótesis conocida como la hipótesis alterna-tiva, ( H 1 ).

Los datos de las muestras deben de ofrecer la posibilidad de

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tomar dos decisiones respecto de la hipótesis nula. La hipótesisnula es verdadera o es falsa.

Nunca puede concluirse con certeza, a partir de una muestra,que H 0 es verdadera o falsa ya que lo máximo que se puede afir-mar es que H 0 tiene más probabilidad de ser cierta que falsa.

Consecuencias de una decisión

Como las pruebas de hipótesis se basan en información obtenidaen una muestra aleatoria, es posible que se cometan errores. Estoserrores pueden ser de dos tipos:

Error Tipo I: Si la hipótesis nula, H 0 , es verdadera y lo con-firmamos con los datos de la muestra, la decisión es correcta y nose comete ningún error al tomar la decisión de no rechazar la hi-pótesis nula. Pero, si la hipótesis nula, H 0 , es verdadera y los da-tos de la muestra conducen a rechazarla, la decisión es incorrecta,caso en el que se comete el denominado error tipo I.

Error Tipo II: Si la hipótesis nula, H 0 , es falsa y los datos dela muestra lo confirman, no se comete error. Pero si H 0 es falsa ylos datos de la muestran indican que no debe rechazarse, la deci-sión es incorrecta, caso en el que se comete el denominado errortipo II.

Al rechazar o no una hipótesis nula hay 4 situaciones posi-bles con respecto a la correcta o incorrecta toma de decisión, quese traducen a continuación.

A la probabilidad de cometer el error de tipo I se denota conSituación real

La hipótesis nula La hipótesis nulaDecisión es verdadera no es verdadera

Rechazar la error de tipo I Correctahipótesis nula P(I) = α

No rechazar la error de tipo IIhipótesis nula Correcta P(II) = β

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α, mientras que a la probabilidad de cometer el error de tipo II sedenota con β.

P(I)a) verdaderes / (Re HH oo == chazarPα

P(II).falsa) es /Aceptar ( HH oo == Pβ

Nivel de significación de la prueba

El nivel de significación, denominado también la probabilidad decometer el error de Tipo I, es la probabilidad de rechazar la hipó-tesis nula siendo ésta verdadera,

(3.1) .o) verdader/ (Re)( HH oo α== chazarPIP

Cuando no sea posible rechazar la hipótesis nula, será prefe-rible indicar que "no existe suficiente información como para re-chazar la hipótesis nula".

Regla de Decisión

Así como en el juicio se debe de tomar una decisión acerca delacusado: declararlo culpable o inocente, también en estadísticainferencial debe tomarse una decisión acerca de la hipótesis nula:rechazarla o no rechazarla.

Si se rechaza la hipótesis nula, es porque se encuentran (en lamuestra) resultados significativamente diferentes a lo que debe-ría ocurrir si la hipótesis nula fuera cierta. El no rechazar la hipó-tesis nula, quiere decir que los resultados no fueron significativa-mente diferentes de lo que se esperaba, bajo la suposición de quela hipótesis nula era cierta.

En todo caso, siempre se debe establecer previamente un cri-terio para decidir acerca de la hipótesis nula, es decir, qué valoresde la estadística de prueba (que se describirá en el siguiente paso)delimitan el rechazo de la hipótesis nula. En estadística, éste pro-

1 1 1

ceso se conoce como la determinación de la región de rechazo dela hipótesis nula.

Región crítica o región de rechazo de la hipótesis nula

La región crítica es la región de rechazo de la hipótesis nula. Seacostumbra determinar la región crítica examinando la gravedaddel error tipo I.

Reviste particular importancia especificar exactamente la re-gión crítica, a fin de que los resultados de este paso no ejerzanninguna duda en la ubicación y el tamaño de la región crítica.

La ubicación de la región crítica se determina mediante la for-ma de la hipótesis alternativa. Esta hipótesis puede tomar tres for-mas, cada forma dicta una ubicación específica de la región críti-ca, como se muestra a continuación.

El procedimiento consiste en observar una muestra aleatoria

y a partir de la información que se obtenga se toma una decisión.Esta información generalmente aparece contenida en una expre-sión que se denomina estadística de prueba e indica, de algunamanera, el grado de discrepancia entre la hipótesis nula y los da-tos observados. Cuando el grado de discrepancia sea grande serechazará la hipótesis nula, caso contrario no se rechazará.

Para ilustrar, retomemos el ejemplo 3.1. Establecidas las hi-pótesis, parece razonable que si se desea probar hipótesis relati-vas a la media de una población, se elija la media muestral paraanalizar la compatibilidad de la muestra con la hipótesis nula.

Si el valor 17=x es grande con respecto a 14 (el grado de dis-crepancia entre la hipótesis nula y la muestra es grande), se po-

Signo en la < ≠ >hipótesis alternativa

Tipo de la región una región al lado dos regiones, una una región, ladocrítica izquierdo a cada lado derecho

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dría rechazar la hipótesis nula. El problema es determinar el ran-go de valores de x para los que, éstos puedan considerarse gran-des.

En general, el conjunto de valores de la estadística de pruebapara los cuales se rechaza la hipótesis nula, se llama región derechazo o región crítica.

Por ejemplo, se podría tomarse como una región de rechazoel intervalo (16, ∞), de tal manera que si la media muestral encon-trada cae en este intervalo, se debe rechazar la hipótesis nula. Estadecisión es razonable puesto que si la hipótesis nula es verdadera,la probabilidad de encontrar una media muestral mayor que 16,en el supuesto de normalidad, es:

( ) ( )32.6140

2141614/16 ≤−=

−>

−>==> ZPZP

n

uXZPuXP σ =0.000.

Luego, encontrar una media muestral en el intervalo (16, ∞)es un evento no consistente con la hipótesis nula, por lo que setendrá que rechazar la hipótesis nula.

Se podría tomar como otra región de rechazo el intervalo (14.2,∞) y encontrar:

( ) ( )63.0140

2142.1414/2.14 ≤−=

−>

−>==> ZPZP

n

XZPXP σµµ

=1- 0.7357=0.2643.

En este caso se observa que existe la posibilidad (aunque pe-queña) de encontrar un valor de la media muestral en el intervalo(14.2, ∞), aún cuando la hipótesis nula sea verdadera. Esto impli-ca que podríamos equivocarnos al rechazar esta hipótesis cuandola media muestral cae en este intervalo.

En el ejemplo analizado, lo que se debe es elegir una regiónde rechazo como el intervalo (a, ∞) adecuada, de tal manera que sila media muestral cae en este intervalo se rechace la hipótesis nula.El valor de la constante, a, se elige de tal manera que la probabili-

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dad de equivocarnos al rechazar la hipótesis nula, siendo ésta ver-dadera, sea un valor α pequeño, es decir, sea la probabilidad decometer el error tipo I o el denominado nivel de significación. Asíse estaría tratando de evitar, en lo posible, el error de una decisiónequivocada.

Por ejemplo, si deseamos cometer el error de tipo I con pro-babilidad igual a α = 0.05, se puede escoger como región de recha-zo, al intervalo (a, ∞), de manera que:

a) verdaderes / (Re05.0 HH oochazarP=

= ( )

−≤−=

−>

−>==>

2)14(32.61

402

1414/ aZPaZPn

uaZPuaXP σ =0.05

95.02

)14(32.6 =

−≤ aZP . Usando la tabla normal se observa que:

645.12

)14(32.6 =−a ⇒ 52.014 =−a ⇒ 52.14=a

La decisión a tomar es: rechazar la hipótesis nula si la mediamuestral es mayor que 14.52.

Luego, la estadística de prueba es la media muestral y la re-gión de rechazo, al nivel de significación α = 0.05, es el intervalo(14.52, ∞). La probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesisnula, siendo ésta verdadera, es a lo más α = 0.05.

Se observa que, la decisión de rechazar la hipótesis nulasi 52.14>x , es equivalente a rechazar la hipótesis nula, cuando

645.140

214 >−x

. Luego, en lugar del valor de la media muestral se

puede considerar el valor de la media muestral estandarizada,

402

14−x, como la estadística de prueba y como región de rechazo

de la hipótesis nula, al intervalo (1.645, ∞).

La decisión puede expresarse de la siguiente manera: recha-zar la hipótesis nula si el valor estandarizado de la media mues-

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Una vez que se tienen las ideas que apoyan la metodología depruebas de hipótesis, vamos a presentar, el procedimiento que sesigue al realizar una prueba de hipótesis.

Paso 1. Identificar el problema

En general, los problemas de inferencia estadística plantean el es-tudio de uno o más parámetros. Entre los parámetros que se estu-dian con mayor frecuencia son los siguientes:

El valor de la media de una variable aleatoria en la pobla-ción, parámetro que ya hemos denominado con u.

El valor de la diferencia de medias de una variable aleatoriaen una misma población o en poblaciones diferentes, µµ 21

− .El valor de la varianza de una variable en la población, σ 2

.El valor de la proporción de una variable en la población, π.El valor de la diferencia de proporciones de una misma po-

blación o de poblaciones diferentes, π1 − π2.El valor del cociente de varianzas de una variable en una mis-

ma población o en poblaciones diferentes, σσ 21 / .El valor del coeficiente de correlación poblacional para dos

variables, ρ12 .

tral, 40

214−= xzc , cae en el intervalo (1.645, ∞).

Procedimiento de las pruebas de hipótesis

Región de rechazo

1.645

1 1 5

por lo tanto variable aleatoria, toma un valor y recibe el nombre deestimación del parámetro. Así por ejemplo, nXX ,...,1 es una mues-tra aleatoria desde la población donde la variable aleatoria X tie-ne media µ y varianza σ 2. El estimador de la media poblacional,

µ, es la función ∑=

=n

iiX

nX

1

1 y si los valores observados de la mues-

tra son 35 ,20 ,40 ,30 ,25 54321 ===== xxxxx , el valor ob-

servado de la media muestral es, 305

15011

=== ∑=

n

iix

nx y se de-

nomina estimación de la media poblacional.

Esta aclaración se hace extensiva para los otros parámetros,estimadores y sus correspondientes estimaciones.

Paso 2. Plantear las hipótesis

Asociados a los parámetros existen estimadores de los pará-metros que se han presentado en el capítulo anterior y que se re-sumen a continuación:

Es necesario recordar que cuando se observa la muestra, el esti-mador de un parámetro, es una función de variables aleatorias y

Parámetro Estimadores Estimacionescon los valores

Notación Nombre Notación Nombre de la muestra

u media poblacional X media muestral x

σ 2 varianza poblacional S 2 varianza muestral s2

µµ 21− diferencia de medias XX 21

− diferencia de xx 21−

poblacionales medias muestrales

σσ 21 / cociente de varianzas SS 2

2

2

1 / cociente de ss 2

2

2

1 /poblacionales varianzas

muestrales

ππ 21 − diferencia de PP 21 − diferencia de pp 21−

proporciones proporcionespoblacionales muestrales

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Se plantean conjuntamente la hipótesis nula y la hipótesis alterna-tiva.

Hipótesis Nula La palabra "nula" trasmite la idea de " ningunadiferencia". Como regla general debemos comenzar con la afir-mación: no hay razón para creer que la sospecha que se tiene seaverdadera.

La hipótesis nula se expresa de alguna de las siguientesformas:Hipótesis Alternativa Al plantear esta hipótesis, generalmente,debe recordarse el propósito de la investigación: buscar evidencia

H 0 : Parámetro ≥ wZona de rechazo zona de no rechazode la hipótesis nula de la hipótesis nula

H 0 : Parámetro = wzona de rechazo zona de no rechazo zona de rechazoDe la hipótesis de la hipótesis nula de la hipótesis nula

a w b

a w

donde " w" es un valor conocido.

H 0 : Parámetro ≤ wZona de rechazo zona de no rechazode la hipótesis nula de la hipótesis nula

w b

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que permita rechazar la hipótesis nula. Por lo general la hipótesisalternativa coincide con la sospecha que se tiene y es la negaciónde la hipótesis nula. Para los tres casos mencionados anteriormentelas hipótesis alternativas son:

H 1 : parámetro ≠ w

H 1 : parámetro < w

H 1 : parámetro > w

En el caso de que la alternativa no indique ninguna direcciónespecífica, se dice que la prueba es de dos colas o bilateral.

Paso 3. Seleccionar la herramienta de análisis

Por lo general, en estadística inferencial se encuentra más de unaherramienta para enfrentar un mismo tipo de problema. Emplea-remos herramientas del campo de la estadística conocido comoestadística paramétrica. Algunas de las herramientas más usadasson: la media muestral X para inferir acerca de una media pobla-cional u, la diferencia de medias muestrales XX 21

− para inferiracerca de una diferencia de medias poblacionales µµ 21

− , la dife-rencia de proporciones muestrales PP 21 − para inferir acerca de unadiferencia de proporciones poblacionales ππ 21 − , el cociente devarianzas muestrales SS 2

2

2

1 / para inferir acerca de un cociente devarianzas poblacionales σσ 2

2

2

1 / .

Paso 4. Seleccionar el modelo teórico

Para cada herramienta de análisis tal como X , XX 21− , PP 21 − ,

SS 22

21 / , existe una distribución muestral teórica asociada. Ya se pre-

sentó en el capítulo 1, las distribuciones muestrales asociadas a lamedia muestral, a la diferencia de medias muestrales, a la dife-rencia de proporciones muestrales, al cociente de varianzas mues-trales, las que usaremos en el presente capítulo.

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Paso 5. Región de rechazo y análisis del nivel designificación

Debe adoptarse un grado de riesgo de concluir erróneamenteque H 0 es falsa con base en la evidencia suministrada por lamuestra. Tal riesgo enunciado en forma de probabilidad seconoce como el nivel de significación del contraste de hipótesis oel riesgo.

Una vez escogido el modelo para representar el comporta-miento de la estadística muestral escogida para el análisis, deter-minar el nivel de significación es un problema de cálculo y de in-terpretación de la tabla de la distribución del correspondientemodelo. Sabemos que el nivel de significación de una prueba dehipótesis, denotado por α, es la probabilidad que existe de recha-zar la hipótesis nula. En términos de las Figuras que se presentana continuación, el nivel de significación es el área de la región derechazo de la hipótesis nula. Generalmente se usan los valores:0.05; 0.025; 0.001 y 0.0005 para α.

En el caso de que la prueba de hipótesis alternativa sea dedos colas, α es la suma de las dos áreas de las regiones de rechazo.Es decir, si α = m% en una prueba de dos colas, entonces el áreade cada una de las regiones de rechazo debe ser (m/2)%.

A continuación veamos un ejemplo del manejo del nivel designificación cuando la estadística de prueba tiene distribuciónnormal estándar.

a) Cuando la hipótesis alternativa es 1H : u > w y la probabilidadde rechazar la hipótesis nula siendo ésta verdadera es α = 0.05;se plantea que ( ) 05.0=> zZP y en la tabla normal estándar seencuentra 645.1=teóricoz . Es decir ( ) 05.0645.1 =>ZP , por loque la región crítica es el intervalo (1.645, ∞).

Figura 3.1

1 1 9

rechazar la hipótesis nula siendo verdadera es α = 0.05; se plan-tea que ( ) 05.0=< zZP y en la tabla normal estándar se en-cuentra .645.1−=teóricoz Es decir, ( ) 05.0645.1 =−<ZP , por loque la región crítica es el intervalo (- ∞, -1.645 ).

c) Cuando la hipótesis alternativa es 1H : u ≠ w y la probabili-

1.645b) Cuando la hipótesis alternativa es 1H : u < w y la probabilidad

d e

Figura 3.2

dad de rechazar la hipótesis nula siendo verdadera es α = 0.05;se plantea ( ) ( ) ( ) 05.0 =−<+>=> zZPzZPzZP y en la ta-bla normal estándar se encuentra 96.1=teóricoz . Es decir,

( ) ( ) 96.196.1 >=> ZPZP ( ) 05.0 96.1 =−<+ ZP , por loque la región crítica es el intervalo (-∞, -1.96) U(1.96, ∞).

Paso 6. Decisión

-1.645

-1.645 -1.645de área 0.025 0.025 de área

1 2 0

Una vez realizados los pasos anteriores, la decisión acerca de lahipótesis nula H 0 , es simplemente cuestión de mirar dónde caeel valor de x estandarizado (para lo cual se observa una muestraaleatoria)

Según dónde quede ubicado el valor del estimador muestralhabrá que: rechazar o no rechazar la hipótesis nula.

A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar el desa-rrollo de una prueba de hipótesis en el que se resume los pasosanteriores.

Ejemplo 3.2

El Director Académico del centro pre universitario de la UNMSMtiene la percepción que el rendimiento académico durante el pri-mer año de estudios en la universidad, de los alumnos ingresan-tes a través de la institución que dirige mejora año a año. Sabe quehistóricamente los alumnos han tenido un rendimiento promediode 13 puntos con desviación estándar 1 punto. Para confirmar supercepción llevó a cabo un estudio, para el que escogió una mues-tra aleatoria de 100 sanmarquinos que ingresaron el año 2004 através del centro pre universitario de la universidad y pidió al sis-tema de matrícula el rendimiento de cada uno de estos alumnosdurante el año académico 2004. En dicha muestra el rendimientopromedio fue 14 puntos. Veamos si existe suficiente evidenciamuestral para decir si es cierta la percepción del Director Acadé-mico. .05.0=α

Solución

Paso 1: Planteamiento de las hipótesis

Se trata de un problema de inferencia estadística acerca de la me-dia poblacional.

µ: " rendimiento académico promedio durante el primer año

1 2 1

de estudios en la UNMSM, de alumnos ingresantes a través delcentro pre universitario de la universidad. Se plantea la hipótesisnula juntamente con la hipótesis alternativa.

Hipótesis nula: Se plantea como que no pasa nada. Se debe deinterpretar como: "el rendimiento medio u =13 puntos, es decir:

Ho: µ = 13.

Hipótesis alternativa: Debe plantearse como la posibilidad sobrela cual se tiene sospechas. En este caso, el Director Académico tie-ne la sospecha que el rendimiento promedio ha mejorado. Es de-cir, la hipótesis alternativa es:

aH : µ: > 13

Como la hipótesis alternativa es de la forma ">", la prueba dehipótesis que se está planteando es unilateral o de una cola haciael lado derecho y la región crítica será de la forma(a, ∞).

Paso 2 Selección de la herramienta de análisis, del modelo yobtención de la región crítica

La herramienta de análisis que se utilizará es la media muestral ysu valor es x =14 puntos.

Hemos visto en el capítulo 1 que el comportamiento de lamedia muestral X se puede modelar de una manera aproximadacon la distribución normal. Puesto que la varianza de toda la po-blación se supone conocida, usaremos el hecho que:

n

XZ σµ−=

tiene distribución N(0,1).Si se elige el nivel de significación del α =0 .05, el espacio mues-

tral queda dividido en dos regiones disjuntas, la región de recha-zo de la hipótesis nula y la región de no rechazo de la hipótesis

1 2 2

muestra y obtener cz

Con la información de la muestra observada y bajo el supuesto deque la hipótesis nula es verdadera, la estadística de prueba tomael valor 10. Es decir:

ado.estandariz muestral valor el es ,10100

113140 =−=−=

n

xzc σµ

Paso 4. Decidir

Se puede ver que el valor muestral estandarizado o el valor de laestadística de prueba, 10=cz , se ubica en la región de rechazo dela hipótesis nula, es decir pertenece al intervalo (1.645, ∞), por loque la decisión es rechazar la hipótesis nula.

Con un nivel de significación α = 0.05, existe evidencia paraafirmar que es posible que la percepción del Director Académicosea cierta.

Observación 1

Es importante señalar que los software´s estadísticos como el SPSS,reportan el nivel crítico de la prueba o p-value, en lugar de indi-

nula.En la tabla normal, el valor de z que cumple ( ) 05.0=> zZP =

α, es z = teóricoz = 1.645.Luego, la región crítica o de rechazo de la hipótesis nula es el

intervalo (1.645, ∞).

Región de rechazo de H0

1.645Paso 3. Tomar la

1 2 3

car un determinado valor del nivel de significación α. Esto facilitala lectura de los resultados y concede al investigador, sobre la basedel valor de p-value, la libertad de rechazar o no la hipótesis nula.

Es decir, la decisión: rechazar la hipótesis nula porque el va-lor de 10=cz es mayor que el valor encontrado en la tabla nor-mal, 96.1=z ; es equivalente a la decisión: rechazar la hipótesisnula porque el nivel crítico de la prueba, ( ) 00.010 =>ZP , esmenor que el valor del nivel de significación, 05.0=α . Es decir,rechazar la hipótesis nula porque ( ) 000.010 =>ZP es menor que

05.0=α . Esta es la regla que se usará toda vez que se trabaje conel software estadístico SPSS.

Pruebas de hipótesis en poblaciones normales

Pruebas de hipótesis en una población normal

Vamos a presentar el procedimiento de pruebas de hipótesis en elsupuesto de poblaciones normales, es decir bajo el supuesto quela variable aleatoria X tiene distribución normal con media u yvarianza σ 2

.Los tópicos a ser tratados son: pruebas de hipótesis para la

media poblacional, para la varianza poblacional, para la diferen-cia de medias, para la diferencia de proporciones y para el cocien-te de varianzas.

Para la media poblacional cuando la varianza poblacional es conocida

Supongamos que la variable aleatoria X tiene distribución normalcon media u y varianza σ 2

conocida. En el capítulo anterior he-mos visto que la distribución de la variable estandarizada,

n

XZ σµ−= , es N(0,1), donde X es la media muestral. Se usará

este resultado para ilustrar el procedimiento para contrastar hi-pótesis, cuando la hipótesis alternativa tiene el sentido ">". Los

1 2 4

pasos se resumen a continuación:

Paso 1: Se plantean las dos hipótesis, nula y alternativa:

00 : µµ =H01 : µµ >H

Paso 2: Se toma una muestra aleatoria de tamaño n y se obtie-ne el valor de la media muestral. Luego, se obtienen el valor

de la estadística de prueba

n

uxzc σ0−= , que corresponde a una

distribución normal estándar cuando la hipótesis nula es verda-dera.

Paso 3: Se encuentra la región crítica para un nivel de significa-ción prefijado, α, de manera que ( ) α=> teóricozZP . La región crí-tica será el intervalo ( ,teóricoz ∞), donde teóricoz es el valor de laabscisa de la distribución normal estándar tal que el área de laderecha de la curva vale 0.05.

Paso 4: Se rechaza la hipótesis nula frente a la hipótesis alternati-va si el valor de cz obtenido en el paso 2 cae en la región de recha-zo de la hipótesis nula, es decir, si cae en el intervalo ( ,teóricoz ∞).

De la misma manera es posible indicar las reglas para los ca-sos donde la hipótesis alternativa es: 01 : µµ <H o 01 : µµ ≠H . Enla siguiente tabla se resume los diversos casos de la prueba dehipótesis respecto de la media de una población normal con va-rianza conocida. Se incluye en cada caso la región de rechazo co-rrespondiente.

Ejemplo 3.3

1 2 5

Usted es un inspector de escuelas públicas y realiza un experi-mento para investigar si la habilidad de lectura de estudiantes dequinto año de primaria. En una muestra aleatoria de 100 estudian-tes de esta población encuentra una habilidad media de lecturaigual a 70 palabras por minuto. Las notas nacionales sobre la ha-bilidad de lectura, para los estudiantes del quinto año de prima-ria, muestran una distribución normal con media 75 palabras porminuto y una desviación estándar igual a 12. Todo puntaje pordebajo de 75 se considera deficiente. ¿Es razonable considerar quela habilidad de lectura de los estudiantes de quinto de primaria esdeficiente?. Use .05.0=α

Solución

Hipótesis Estadístico de prueba Regla de decisiónRechazar la hipótesis,

00 : uuH = si

00 : µµ =H

n

xzc σµ0−= teóricoc zz > ó ,( teóricoz ∞)

01 : µµ >Hcon el SPSS:

α<valuep _

00 : µµ =Hn

xzc σµ0−= teóricoc zz < o (-∞, - teóricoz )

01 : µµ <HCon el SPSS:

α<valuep _

00 : µµ =Hn

xzc σµ0−= teóricoc zz >

equivalentemente

teóricoc zz > ó teóricoc zz <

Con el SPSS:2/_ α<valuep

1 2 6


Se trata de un problema de inferencia estadística acerca de la me-dia poblacional, con varianza poblacional conocida.

µ: " el número promedio de palabras que leen por minuto losestudiantes de quinto año de primaria.

Hipótesis nula: Se plantea como que no pasa nada. El númeropromedio de palabras que leen los estudiantes, u, es de 75 pala-bras por minuto, es decir:

Ho: u = 75

Hipótesis alternativa: El número promedio de palabras que leen losestudiantes ha disminuido. Es decir, la hipótesis alternativa es:

Ha: u < 75

Paso 2: Tomar la muestra y obtener el valor de cz

Con la información de la muestra observada y bajo el supuesto deque la hipótesis nula es verdadera, la estadística de prueba tomael valor -5.1. Es decir:

.10.5150

127570 −=−=−=

n

xzc σµ

Paso 3: encontrar la región crítica

Como la hipótesis alternativa es de la forma "<", la prueba de hi-pótesis que se está planteando es unilateral o de una cola hacia ellado izquierdo, de la forma (-∞, a ), donde " a " es la abcisa de ladistribución normal estándar y cumple ( )05.0) =< aZP .

Si se elige el nivel de significación del α = 0.05, el espacio mues-tral queda dividido en dos regiones disjuntas como la siguiente:

1 2 7

Paso 4: Decisión

El valor muestral estandarizado, cz = -5.1 encontrado en el paso2, es menor que el valor teórico teóricoz = -1.645; es decir, se cumple

645.110.5 −=<−= teóricoc zz , por lo que la decisión es rechazar lahipótesis nula. Con un nivel de significación α = 0.05, es posibleque la habilidad de lectura de estudiantes de quinto año de pri-maria sea deficiente.

Nivel crítico de una prueba( valuep _ )

La manera cómo se encontró la región de rechazo dependió delvalor del nivel de significación α escogido de antemano. El valorα proporciona una medida de la significación de la inferencia rea-lizada; sin embargo éste no indica hasta qué grado la prueba essignificativa. Así para las hipótesis:

Ho: u = 75 Ha: u < 75,

los valores estandarizados de la media muestral z = -5.10y por ejemplo z = -2.5 son significativos al nivel de significación α= 0.05. Ambos valores caen en la región de rechazo de la prueba (-∞, -1.645)

El valor de la media muestral estandarizada z= -5.10, presen-

En la tabla normal, el valor de z = teóricoz que cumple( ) 05.0=< teóricozZP = α, es teóricoz = -1.645.

Luego, la región crítica es el intervalo: (-∞, -1.645).

-1.645

1 2 8

ta mayor evidencia para rechazar la hipótesis nula, que el valorde la media muestral estandarizada z= -2.5, porque la probabili-dad de encontrar un valor de la media muestral menor que -5.1 esmenor que la probabilidad de encontrar un valor menor que -2.5.El valor -5.1 indica que existe mayor discrepancia entre la mediamuestral y el valor uo señalado en la hipótesis nula.

Así, una manera de medir el grado de discrepancia entre lamedia muestral observada y la hipótesis nula se obtiene calculan-do la probabilidad de observar un valor del estadístico de pruebamás extremo que el valor estandarizado observado de la mediamuestral. A esta probabilidad se le llama nivel crítico de la prue-ba ( valuep _ en el idioma inglés).

Así, el nivel crítico de la prueba, cuando el valor de la mediamuestral estandarizada es z = -2.5, es ( )5.2−≤ZP = 0.0062. Si lahipótesis nula es verdadera, la probabilidad de encontrar un va-lor de la media muestral estandarizada menor o igual a -2.5 esmuy pequeña (0.0062) y menor al nivel de significación dado. Sedecide aceptar que la hipótesis nula es falsa.

Cuando el valor estandarizado de la media muestral esz = -5.1, el nivel crítico de la prueba o valuep _ es ( )1.5−≤ZP =0.0000. Si la hipótesis nula es verdadera, la probabilidad de en-contrar un valor de la media muestral estandarizada menor o iguala -5.1 es cero. No queda otro camino que rechazar la hipótesis nula.

Cuanto menor sea el valor de p-value, mayor será la discre-pancia entre los datos observados y la hipótesis nula.

Para la media poblacional con varianzapoblacional desconocida

Se supone que la variable X tiene distribución normal con media uy varianza σ 2

desconocida. En este caso el procedimiento pararealizar la prueba de la hipótesis 00 : µµ =H frente a cualquierade las alternativas: 01 : µµ >H , 01

: µµ <H , 01 : µµ ≠H , es similar alcaso de varianza conocida, sólo que en lugar de usar la esta-

1 2 9

dística de prueba con valores n

xzc σµ0−=

se usa la estadística de

prueba n

sxtc

0µ−=. Se ha visto en el capítulo 1 que la variable alea-

toria n

SXt µ−=

tiene distribución t-Student con ( 1−n ) grados de

libertad.Se usará este resultado para ilustrar el procedimiento para

contrastar hipótesis, cuando la hipótesis alternativa tiene el senti-do ">". Los pasos se resumen a continuación:

Paso 1: Se plantean las dos hipótesis, nula y alternativa:

00 : µµ =H01 : µµ >H

Paso 2: Se toma una muestra aleatoria de tamaño n y se obtiene el

valor de la media muestral y finalmente se obtiene el valor de la

estadística de prueba n

sxtc

0µ−= .

Paso 3: Se encuentra la región crítica, para el nivel de significa-ción ( ) α=>− teóricon ttP )1( , donde teóricot es el valor de la abcisa de ladistribución t-Student con (n-1) grados de libertad, que deja deárea al lado derecho de la curva.

La región crítica es el intervalo ( ,teóricot ∞).

Paso 4: Se decide rechazar la hipótesis nula frente a la hipótesisalternativa si el valor de la estadística de prueba ct cae en la re-gión ( ,teóricot ∞).

De la misma manera es posible indicar las reglas para los ca-sos donde la hipótesis alternativa es: 01 : µµ <H o 01 : µµ ≠H . En

1 3 0

El Director Académico del centro pre universitario de la UFV tie-ne la percepción de que el rendimiento académico durante el pri-mer año de estudios en la universidad, de los alumnos ingresan-tes a través de la institución que dirige mejora año a año. Sabe quehistóricamente los alumnos han tenido un rendimiento promediode 13 puntos. Para confirmar su percepción llevó a cabo un estu-dio, para el que escogió una muestra aleatoria de 20 alumnos que

la siguiente tabla se resume los diversos casos de la prueba dehipótesis respecto de la media de una población normal con va-rianza desconocida.

Ejemplo 3.4

Hipótesis Estadística de prueba Regla de decisiónRechazar la hipótesis

00 : uuH = , si

00 : µµ =Hn

sxtc

0µ−= teóricoc tt >

01 : µµ >Hα<valuep _

00 : µµ =Hn

sxtc

0µ−= teóricoc tt <

01 : µµ <Hα<valuep _

00 : µµ =Hn

sxtc

0µ−= teóricoc tt >

01 : µµ ≠H equivalentemente

teóricoc tt > ó teóricoc tt <

2/_ α<valuep

( ) α=>− teóricon ttP )1(

1 3 1

ingresaron el año 2004 a través del centro pre universitario quedirige y pidió al sistema de matrícula el rendimiento de cada unode estos alumnos durante el año académico 2004. Para dicha mues-tra obtuvo un rendimiento promedio de 14.5 puntos con desvia-ción estándar 1.5 puntos. Veamos si existe suficiente evidenciamuestral para decir si es cierta la percepción del Director Acadé-mico. .05.0=α

Solución

Paso 1: Se plantean las hipótesis

Se trata de un problema de inferencia estadística acerca de la me-dia poblacional con varianza poblacional desconocida.

u: " rendimiento académico promedio durante el primer añode estudios en la UFV, de alumnos ingresantes a través del centropre universitario de la universidad.

Hipótesis nula: El rendimiento medio es u=13 puntos, es decir:

0H : u = 13

Hipótesis alternativa: Se tiene la sospecha que el rendimiento pro-medio ha mejorado. Es decir, la hipótesis alternativa es:

1H : u > 13

Paso 2: Se toma la muestra y calcula ct

Bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera, la estadís-tica de prueba toma el valor 4.47, es decir:

.47.420

5.1135.140 =−=−=

ns

xtcµ

Paso 3: Se obtienen la región crítica

1 3 2

Para el nivel de significación α = 0.05 y prueba unilateral del sen-tido mayor, se cumple que ( ) 05.0)19( => teóricottP . En la tabla t-Stu-dent, el valor de teóricot con 19 es: teóricot = 1.729. Luego, la regióncrítica es el intervalo (1.729, ∞).

Paso 4: Decisión

Se puede ver que el valor de 47.4=ct cae en la región de rechazode la hipótesis nula. Es decir: 729.147.4 =>= teóricoc tt , por lo que ladecisión es rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significa-ción α = 0.05, es posible que la percepción del Director Académicosea cierta.

Ejemplo 3.5

Un estudiante de maestría investiga un método que supuestamentemodifica la edad en la cual los niños comienzan a hablar, edadque históricamente es 11 meses. Aplicó su método y luego ha he-cho el seguimiento a 19 niños y ha registrado las siguientes eda-des (en meses) en la que dichos niños pronunciaron las primeraspalabras.

10 10 11 16 17 16 14 12 12 13 9 10 12 12 10 17 13 15 18

Al estudiante de maestría le preocupa: a) Identificar el pro-blema. b) Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. c)Para un nivel de significación 0.05, quiere saber si funcionó o no elmétodo que aplicó.

Solución

Primero se realizan los cálculos auxiliares para obtener los valo-res de las estadísticas descriptivas media muestral x y desviaciónestándar muestral, s; para luego calcular el valor de la estadísticade prueba, ct . Los estudiantes que necesitan mayores detalles re-

1 3 3

mitirse al libro: Estadística Descriptiva con auxilio del SPSS y Matlab(Gómez y et.al, 2005).

Los cálculos auxiliares son:

A continuación se detalla la solución.

Edades Número ii fx ( )xxi −2 ( ) ifi xx −

2

ix de niños if

9 1 9 16 1610 4 40 9 3611 1 11 4 412 4 48 1 413 2 26 0 014 1 14 1 115 1 15 4 416 2 32 9 1817 2 34 16 3218 1 18 25 25

19 247 140

i

k

ii fn

x x∑=

=1

1 = 13

19247 = , 19=n es el tamaño de muestra.

( )∑ −=−

=k

iifin xxs

1

22

11 = 777.7

18140 = 7888.2=S


Se trata de un problema de inferencia estadística acerca de la mediapoblacional con varianza poblacional desconocida. Así, µ : es la edadmedia en la que los niños pronuncian sus primeras palabras.

Hipótesis nula: La edad promedio que históricamente los niñospronuncian sus primeras palabras es µ = 11 meses, es decir:

0H : µ = 11

Hipótesis alternativa: La sospecha del estudiante de maestría yla información en la muestra nos dice que ese promedio ha sido

1 3 4

superado. Así la hipótesis alternativa es:

1H : µ > 11

Como la hipótesis alternativa es de la forma ">", la prueba dehipótesis que se está planteando es unilateral o de una cola haciael lado derecho.

Paso 2: Con la información de la muestra y bajo el supuesto deque la hipótesis nula es verdadera, la estadística de prueba tomael valor 3.126, porque:

126.319

7888.211130 =−=−=

ns

xtcµ

Paso 3: Para el nivel de significación α = 0.05, el valor de teóricot con18 grados de libertad, se cumple la condición ( ) 05.0)18( => teóricottP =α, entonces teóricot = 1.734.

Luego, la región de rechazo es el intervalo (1.734, ∞).

Paso 4: Se puede ver que el valor del estadístico de prueba cum-ple, 734.1126.3 =>= teóricoc tt , es decir, el estadístico de pruebase ubica en el intervalo (1.734, ∞). El investigador puede rechazarla hipótesis nula e indicar que existe un cambio significativo en laedad en que los niños pronuncian sus primeras palabras (con sunuevo método).

En la mayoría de las investigaciones el tamaño de muestra esgrande y los cálculos para encontrar el valor de ct son tediosos,por lo que hemos decidido apoyarnos en nuestro trabajo estadísti-co con el Software SPSS. En el libro Estadística Descriptiva con so-porte del SPSS y Matlab (Gómez y colaboradores, 2005), dirigido ainvestigadores y estudiantes de educación, ciencias sociales y áreasafines; se explica con detalle todos los pasos a seguir desde la de-claración de variables hasta el manejo de cada uno de los procedi-mientos estadísticos. A continuación, en cada uno de los proble-

1 3 5

mas que lo requiera, en el presente y en capítulos posteriores, sedará por entendido que el estudiante tiene alguna familiaridadcon la declaración de variables y creación de base de datos y cen-traremos nuestra atención en los comandos del SPSS que se usa-rán para realizar los procedimientos estadísticos correspondien-tes.

Ejemplo 3.6

Resolveremos el ejemplo 3.5 usando el auxilio del SPSS. A conti-nuación se detallan los pasos a seguir.

Paso 1: Es igual a la solución del problema 3.5.

Paso 2: Con el auxilio del SPSS debemos de:

a) Activar el SPSS.b) Crear el archivo DATOS1- niños y declarar la variable EDAD

con los valores que ha tomado dicha variable en el ejemplo an-terior. Luego se ejecutarán los siguientes comandos del SPSSque permitirán encontrar el valor de ct que luego se compa-rará con el valor de teóricot encontrado en la tabla t-Student.ANALIZE/COMPARE MEANS/ ONE-SAMPLE T-TEST/llevar a TEST VARIABLE la variable creada EDAD/ en TESTVALUE colocar 11 (el valor de la media poblacional bajo lahipótesis nula)/ pulsar el comando OK.En el output del SPSS se lee el valor de 126.3=ct .

Paso 3: Es igual a la solución del problema 3.5.

One-Sample Test

Test Value = 11T

edad 3.126

1 3 6

Paso 4: Igual a la decisión tomada en el ejemplo 3.5.

Se puede ver que el estadístico de prueba 734.1126.3 =>= teóricoc tt ,es decir, la estadística de prueba se ubica en el intervalo (1.734, ∞),que es la región de rechazo correspondiente al nivel de significa-ción 0.05. El investigador puede rechazar la hipótesis nula e indi-car que existe un cambio significativo en la edad en que los niñospronuncian sus primeras palabras (con su nuevo método).

Cuando la variable aleatoria tiene cualquier distribución y con mues-tras grandes

Cuando el tamaño de muestra que se toma es suficientemente gran-de (mayor que 30), aún cuando no se conozca la distribución de lavariable X, por el teorema del límite central, los estadísticos:

n

XZ σ

µ−= y

nS

Xt

µ−=

tienen distribución aproximadamente normal y pueden usarsepara probar hipótesis referentes a la media poblacional.

Ejemplo 3.7

Antes de aplicar el Plan Huascarán en el distrito de Copa el rendi-miento promedio de los estudiantes de primer año de primariaera de 12 puntos. Para determinar si el Plan ha sido efectivo en elincremento del rendimiento de los estudiantes, se observaron alazar a 96 estudiantes y se aplicó el Plan Huascarán durante unaño académico, obteniéndose de rendimiento promedio 11.5 pun-tos con desviación estándar 2.8 puntos. Al nivel de significación0.05 ¿se podría decir que existe evidencia que el rendimiento pro-medio ha disminuido?.

1 3 7

Solución

Paso 1: La hipótesis nula indica que no existe diferencia en el ren-dimiento promedio, mientras que la hipótesis alternativa dice queaplicando el Plan Huascarán el rendimiento promedio ha dismi-nuido. Así:

12:0 =µH versus 12:1 <µH .

Paso 2: La muestra usada es suficientemente grande, por lo que lamedia muestral tiene distribución aproximadamente normal y elvalor de la estadística de prueba es -1.75, porque:

75.196

8.2125.110 −=−=−=

ns

xzcµ

Paso 3: Para α = 0.05, ( ) 05.0=< teóricozZP = α, por lo que teóricoz = -1.645. Luego, la región de rechazo es el intervalo (- ∞, -1.645).

Paso 4: Como el valor del estadístico de prueba cz = -1.75 cae enel intervalo indicado se rechaza la hipótesis nula; existe evidenciade que el rendimiento académico de los estudiantes ha disminui-do.

Para la proporción π de una población grande

En algunas situaciones el parámetro sobre el que se trata de eva-luar la hipótesis es la proporción de elementos con cierta caracte-rística A (π) en una población. Por ejemplo, la proporción de estu-diantes que desaprueban el curso de matemáticas, la proporciónde estudiantes motivados, la proporción de padres de familia queasisten a la convocatoria realizada por el director del colegio.

Específicamente se trata de probar la hipótesis:

00 : ππ =H

frente a una de las siguientes hipótesis alternativas:

1 3 8

01 : ππ <H 01 : ππ >H 01 : ππ ≠H

Se ha visto en el capítulo 1, que bajo la hipótesis nula, la ex-

presión ( )n

PZ00

0

1 πππ−

−= tiene distribución aproximadamente

N(0,1). A continuación se presenta el resumen de las hipótesis con-

trastadas, la estadística de prueba y la regla de decisión.

donde P es el estimador del parámetro π , y p es el valor quetoma la variable aleatortia P cuando se observa la muestra.

Ejemplo 3.8

Hipótesis Estadístico de prueba Regla de decisiónRechazar la hipótesis

00 : ππ =H , si

00 : ππ =H

n

pzc )1( 00

0

πππ

−−= teóricoc zz >

00 : ππ >Hcon el SPSS:

α<valuep _

00 : ππ =Hn

pzc )1( 00

0

πππ

−−= teóricoc zz <

00 : ππ <HCon el SPSS:

α<valuep _

00 : ππ =Hn

pzc )1( 00

0

πππ

−−= teóricoc zz >

00 : ππ ≠H equivalentemente


Con el SPSS:2/_ α<valuep

Hace tres años el Ministro de Educación afirmó que históricamen-te el 30% de alumnos que estudian en zonas rurales abandonansus estudios al culminar el tercer año de primaria. En los últimos

1 3 9

dos años el gobierno ha realizado inversiones en infraestructura ydocencia en dichas zonas rurales con la esperanza de revertir elresultado planteado por el Ministro. Con el fin de evaluar los cam-bios, después de dos años, se tomó una muestra aleatoria de 500estudiantes de zonas rurales y se encontró que 100 de ellos aban-donaron los estudios al culminar el tercer año de primaria. ¿Quépuede decirse de la afirmación del Ministro de Educación?. Usa-remos .05.0=α

Solución

Paso 1: La hipótesis nula indica que la proporción de estudiantesque abandona sus estudios es del 30%, mientras que la hipótesisalternativa dice que esa proporción ha disminuido. Así:

30.0:0 =πH versus 30.0:1 <πH , donde 30.00 =π .

Paso 2: La muestra usada es suficientemente grande, por lo que laproporción muestral tiene distribución aproximadamente normal.En la muestra que se observa se encontró 2.0=p , por lo que elvalor del estadístico de prueba es -4.88, porque:

n

pzc )1( 00

0

πππ

−−= 88.4

500)7.0(3.03.02.0 −=−=

Paso 3: Para α=0.05, ( ) 05.0=< teóricozZP =α, por lo que= teóricoz -1.645.Luego, la región de rechazo es el intervalo (- ∞, -1.645).

Paso 4: Como el valor del estadístico de prueba cz =-4.88 cae en elintervalo indicado, se rechaza la hipótesis nula. Cuando 05.0=α ,existe evidencia para afirmar que la proporción de estudiantes queabandonaron los estudios ha disminuido.

El procedimiento indicado también vale cuando la poblaciónes pequeña y la muestra se realiza con reposición. Si la poblaciónes pequeña y la muestra se toma sin restitución, la región de re-

1 4 0

chazo se determina con la distribución binomial, tema que no seaborda en el presente libro.

Pruebas de hipótesis en dos poblaciones normales:medias, varianzas y proporciones

En muchos estudios, incluidos los educativos, es necesario com-parar ciertas características en dos o más grupos de sujetos. Talsería el caso, por ejemplo, si pensamos que un nuevo método deenseñanza puede tener un porcentaje mayor de alumnos aproba-dos que otro método de enseñanza estándar, o cuando nos plan-teamos si los niños de las distintas comunidades rurales tienen ono la misma altura.

La elección de un método de análisis apropiado en este casodependerá de la naturaleza de los datos y la forma en la que estoshayan sido obtenidos. Fundamentalmente, cuando se comparandos o más grupos de observaciones pueden darse dos tipos dediseño: aquel en el que las observaciones se refieren a dos gruposindependientes de individuos, o el caso en el que cada serie dedatos se recoge en los mismos sujetos bajo condiciones diferentes.El tipo de metodología será distinto según el caso en el que nosencontremos.

Otro aspecto a tener en consideración será el tipo y distri-bución de la variable. Generalmente, los métodos paramétri-cos requieren que las muestras de cada grupo provengan deuna distribución aproximadamente normal con una variabili-dad semejante, de modo que si los datos disponibles no verificantales condiciones, puede resultar útil una transformación de losmismos (aplicación del logaritmo, raíz cuadrada, etc.) o, en todocaso, se debería recurrir a la utilización de procedimientos no pa-ramétricos.

Poblaciones independientes: igualdad de medias cuando se conocen lasvarianzas poblacionales

1 4 1

Si X e Y son variables aleatorias independientes con distribucio-

nes ( )211,σµN y ( )2

22 ,σµN respectivamente; entonces, las medias

muestrales 1X y 2X , correspondientes a muestras de tamaño 1n

y 2n , tienen las siguientes distribuciones

1

21

1, nN σµ y

2

22

2 ,n

N σµ . Luego, la variable aleatoria 1X - 2X estandarizada,

( ) ( )

2

22

1

21

2121

nn

XXZσσ

µµ

+

−−−= , tiene distribución ( ).1,0N

A continuación se presentan los pasos a seguir para probar lahipótesis nula respecto a la igualdad de medias (equivalente a quela diferencia de medias es igual a cero), frente a la hipótesis alter-nativa que las medias son diferentes.

Paso 1: Se plantea 210 : µµ =H versus 210 : µµ ≠H .

Paso 2: Si se conocen las varianzas poblacionales y si la hipótesisnula es verdadera; el valor de la estadística de prueba basado enlos valores observados de las dos muestras independientes,

1111,...., nxx de la variable 1X y 2,221,...., nxx de la variable 2X es:

( )

2

22

1

21

21

nn

xxzcσσ +

−=, donde 1x y 2x son los valores que toman

las medias de las muestras observadas.

Paso 3: Para α = 0.05, ( ) 05.0=> teóricozZP = α, entonces

( ) 95.0=< teóricozZP , por lo que teóricoz = 1.96.

Luego, la región de rechazo es el intervalo (- ∞, -1.96) o el interva-

1 4 2

lo (1.96, ∞).

Paso 4: Si el valor del estadístico de prueba cae en uno de los in-tervalos de la región de rechazo, entonces, se rechaza la hipótesisnula.

A continuación se presenta el resumen de las hipótesis con-trastadas, la estadística de prueba y la regla de decisión.

Ejemplo 3.9

En un sistema educativo se aplicaron dos métodos A y B para en-señar el curso de física. En un grupo de 80 estudiantes se aplicó el


210 : µµ =H , si

210 : µµ =H ( )

2

22

1

21

21

nn

xxzcσσ +

−= teóricoc zz >211 : µµ >H

con el SPSS:

α<valuep _

210 : µµ =H ( )

2

22

1

21

21

nn

xxzcσσ +

−= teóricoc zz >211 : µµ <H

con el SPSS:

α<valuep _

210 : µµ =H ( )

2

22

1

21

21

nn

xxzcσσ +

−= teóricoc zz >211 : µµ ≠H equivalentemente


con el SPSS:2/_ α<valuep

1 4 3

método A y en el otro de 120 se aplicó el método B. Las medias delas calificaciones obtenidas fueron 13 y 13.5 respectivamente. ¿Po-demos admitir que los métodos de enseñanza no son diferentes yque las diferencias encontradas en las muestras se debe al azar?.Experiencias anteriores dicen que las variables 1X y 2X que re-presentan los rendimientos con los métodos A y B respectivamen-te, tienen distribución normal con varianzas 3 y 3.5 y 05.0=α .

Solución

Paso 1: La hipótesis nula indica que no existe diferencia entre elrendimiento promedio alcanzado aplicando con el método A y elrendimiento promedio alcanzado con el método B; mientras quela hipótesis alternativa dice que los rendimientos promedio sondiferentes. Así:

210 : µµ =H 211 : µµ ≠H

Paso 2: Con los valores de las medias muestras, los tamaños demuestra y la información respecto a las varianzas se encuentraque el valor del estadístico de prueba es -1.94.

( )

2

22

1

21

21

nn

xxzcσσ +

−= ( )

1205.3

803

5.1313

+

−= = -1.94.

Paso 3: Para 05.0=α , ( ) 05.0=> teóricozZP = α o( ) 95.0=< teóricozZP , por lo que 96.1=teóricoz .

Luego, la región de rechazo es el intervalo (- ∞, -1.96) ó el interva-lo (1.96, ∞).

Paso 4: Como el valor del estadístico de prueba cz =-1.94 no caeen el intervalo indicado, podemos decir que la diferencia encon-trada entre las medias de las muestras, no es significativa al nivelde significación 0.05.

1 4 4

Poblaciones independientes: igualdad de medias cuando las varianzaspoblacionales son desconocidas e iguales

Si X e Y son variables aleatorias independientes con distribucio-nes ( )2

1,σµN y ( )22,σµN respectivamente; entonces, las medias

muestrales 1X y 2X , correspondientes a muestras de tamaño

1n y 2n , tienen las siguientes distribuciones

1

2

1, nN

σµ y

2

2

2,n

Nσ

µ . Luego, la variable aleatoria 21 XX − estandarizada

( ) ( )

2

2

1

22121

nn

XXZσσ

µµ

+

−−−= , tiene distribución ( )1,0N .

Como la varianza poblacional es desconocida, tiene que serestimada y en lugar de la variable estandarizada Z, se tiene la va-riable aleatoria:

( ) 11

)(

21

2

2121

+

−−−=

nnpS

XXt µµ , cuya distribución es t-Student con

( )221 −+ nn y se denota con t nn( )221

−+ . El estimador de la varian-

za poblacional es ( ) ( )2

11

21

221

2112

−+−+−

=nn

nn SSSp .

Así, en lugar de la estadística de prueba ( )

2

2

1

221

nn

xxzcσσ

+

−= , se usa

la estadística de prueba 11

)(

21

2

21

+

−=

nnp

c

s

xxt . ( ) ( )2

11

21

222

2112

−+−+−

=nn

nn sssp es

la varianza combinada de las dos muestras, 21s y 2

2s son las esti-maciones de las varianzas muestrales de tamaños 1n y 2n .

A continuación se presenta el resumen de las hipótesis con-

1 4 5

trastadas, la estadística de prueba y la regla de decisión.

Ejemplo 3.10

Un investigador en el campo educativo sostiene que el módu-lo didáctico empleado en la enseñanza de Matemáticas es unode los factores que influye y determina en el proceso de ense-ñanza aprendizaje y por lo tanto, el módulo adoptado incidirá


210 : uuH = , si

210 : µµ =H 11

)(

21

2

21

+

−=

nnp

c

s

xxt teóricoc tt >211 : µµ >H

con el SPSS:α<valuep _

210 : µµ =H 11

)(

21

2

21

+

−=

nnp

c

s

xxt teóricoc tt −<211 : µµ <H


210 : µµ =H 11

)(

21

2

21

+

−=

nnp

c

s

xxt teóricoc tt >211 : µµ ≠H equivalentemente

teóricoc tt > ó teóricoc tt −<


Para 211 : µµ >H , ( )( ) α=>−+ teóricotnntP 221

donde )1,2(21

α−−+= nnttteórico

Para 211 : µµ <H , ( )( ) α=<−+ teóricotnntP 221

donde )1,2(21

α−−+−= nnttteórico

Para 211 : µµ ≠H , ( ) 2/221

α=

>−+ teóricotnntP donde

)2/1,2(21

α−−+= nnttteórico ó )2/1,2(21

α−−+−= nnttteórico .

1 4 6

en el rendimiento académico de los estudiantes. Para verificar suhipótesis decide realizar el siguiente experimento: durante un se-mestre se llevó a cabo el trabajo lectivo en dos grupos indepen-dientes de estudiantes de la misma carrera en la misma universi-dad, empleando dos módulos (A y B) de características bien dife-renciadas, que fueron seleccionados aleatoriamente. Al final delcurso se aplicó el mismo examen y se obtuvo las siguientes notas.

Suponiendo que las muestras provienen de poblaciones nor-males con varianzas iguales, ¿los resultados encontrados por elprofesor apoyan la hipótesis de investigación con nivel de signifi-cación 0.10?.

Solución

Método A 15 16 15 13 13 16 16 14 17

Método B 13 14 14 11 12 14 13

Paso 1: La hipótesis nula indica que no existe diferencia entre elrendimiento promedio alcanzado aplicando con el método A y elrendimiento promedio alcanzado con el método B; mientras quela hipótesis alternativa dice que los rendimientos promedio sondiferentes. Así:

210 : µµ =H 211 : µµ ≠H

Paso 2 Se explica con detalle la obtención de las media y varian-zas de las muestras:

Suponiendo que las varianzas poblaciones son iguales se es-tima con:

1 4 7

( ) ( )2

11

21

222

2112

−+−+−

=nn

nn sssp = =+

14)333.1(6)2(8

1.7141

Notas de los ( )112

xx i −Notas de los ( )22

2

xx i −estudiantes estudiantesmétodo A método B

ix1 ix2

15 0 13 016 1 14 115 0 14 113 4 11 413 4 12 116 1 14 116 1 13 014 1 --17 4 ---135 16 91 8

∑=

=1

11

1

11 n

iixn

x = 159

135 = 91 =n

( )∑ −=−

=1

1

2

1

21 111

1 n

ixx in

s = 28

16 =

∑=

=2

12

21

21 n

iixn

x = 13791 = 72 =n

( )∑ −=−

=2

1

2

2

22 221

1 n

ixx in

s = 333.178 =

11

)(

21

2

21

+

−=

nnp

c

s

xxt = =

+

−

71

917141.1

13153.031.

Paso 3: Para α = 0.10 ( ) α=

>−+ teóricotnntP 221

, con 14 grados de liber-tad, )2/1,2(

21α−−+= nnttteórico = )975.0,14(t = 1.761 ó )2/1,2(

21α−−+−= nnttteórico = -

)975.0,14(t = -1.761.Luego, la región de rechazo es el intervalo (- ∞, -1.761) ó el

intervalo (1.761, ∞).

1 4 8

Paso 4: Como el valor del estadístico de prueba ct = 3.031 caeen el intervalo (1.761, ∞), podemos decir que la diferencia encon-trada entre las medias muestrales es significativa al nivel de signi-ficación 0.10.

Ejemplo 3.11

-1.76 1.76

Resolveremos el ejemplo 3.10 usando el auxilio del software esta-dístico SPSS.

Solución

Paso 1: La hipótesis nula indica que no existe diferencia entre elrendimiento promedio alcanzado aplicando con el método A y elrendimiento promedio alcanzado con el método B; mientras queen la hipótesis alternativa se postula que los rendimientos prome-dio son diferentes. Así:

210 : µµ =H 211 : µµ ≠H

Paso 2: Con el auxilio del SPSS, se ejecutan los siguientes co-mandos.

a) Activar el SPSS.b) Abrir el archivo de DATOS2-métodos. Podrá observar que

tenemos valores de dos variables: de la variable rendimientode los estudiantes y de la variable grupo, donde se clasifica alos estudiantes según el método de enseñanza. En la variablegrupo, se ha codificado con 1 a quienes recibieron la ense-

1 4 9

ñanza con el método A y con el código 2 a quienes estudiaroncon el método B.

c) Ejecutar los siguientes comandos del SPSS que permitiránencontrar el valor de que luego se comparará con el valor deencontrado en la tabla t Student.ANALIZE/COMPARE MEANS/ INDEPENDENT-SAMPLET-TEST/ llevar a TEST VARIABLE la variable creada REN-DIMIENTO/ en GROUPING VARIABLE elegir GRUPO/ DE-FINE GROUPS/ en grupo1 colocar 1 y en grupo2 colocar 2/CONTINUE/ OK.En el output del SPSS se tiene el valor de ct = 3.031.

Paso 3: valuep _ debe compararse con 05.02 =α , pues si

2/2/_ α<valuep se rechaza la hipótesis nula.

Paso 4: Como el valor de 009.0_ =valuep es menor que 2/α< ,la decisión es rechazar la hipótesis nula. Es decir, podemos decir

que la diferencia encontrada entre las medias muestrales es signi-ficativa al nivel de significación 0.10.

Poblaciones independientes: igualdad de medias cuando las varianzaspoblacionales son desconocidas y diferentes

Si 1X e 2X son variables aleatorias independientes con distribu-ciones ( )2

11,σµN y ( )222,σµN respectivamente; entonces, las me-

t df Sig. (2-tailed) =valuep _

rendimiento Equal variances 3.031 14 .009assumed

1 5 0

dias muestrales 1X y 2X , correspondientes a muestras de tama-

ño 1n y 2n , tienen las siguientes distribuciones

1

21

1, nN σµ y

2

22

2 ,n

N σµ .

Si no se conocen las varianzas de las variables 1X e 2X , éstas

se estiman con ( )∑ −=−

=1

1

2

1

21 111

1 n

ixx in

s y ( )∑ −=−

=2

1

2

2

22 221

1 n

ixx in

s y la

estadística de prueba es, )(

2

22

1

21

21

+

−=

nnss

xxtc . Los grados de libertad

de la estadística son k , donde: 2

11

2

22

1

21

2

2

2

22

1

2

1

21

2

−

+

++

=

+

nn

s

nn

sk

ns

ns

.

Si 30≥k , el estadístico ct tiene distribución aproximadamen-te normal y el procedimiento es similar al caso donde se conocenlas varianzas.

Si las muestras son suficientemente grande ( 301 ≥n y302 ≥n ) e independientes, para probar la hipótesis respecto a la

igualdad de medias, se usa como valor de la estadística de prueba

( )

2

22

1

21

21

ns

ns

xxz+

−= , que corresponde a una variable cuya distribución

1 5 1

es normal estándar.

Ejemplo 3. 12

Un investigador en el campo educativo sostiene que el módulo di-dáctico empleado en la enseñanza de Matemáticas es uno de los fac-tores que influye y determina en el proceso de enseñanza aprendi-zaje y por lo tanto, el módulo adoptado incidirá en el rendimientoacadémico de los estudiantes. Para verificar su hipótesis deciderealizar el siguiente experimento: durante un semestre se llevó acabo el trabajo lectivo para dos grupos de estudiantes de la mis-ma carrera en la misma universidad, empleando dos módulos (Ay B) de características bien diferenciadas. Al final del curso se aplica

el mismo examen y se obtuvo las siguientes notas.

Suponiendo que las muestras provienen de poblaciones nor-males con varianzas diferentes. ¿Los resultados encontrados porel profesor apoyan la hipótesis de investigación?. Use nivel de sig-nificación 0.10.

Solución

Paso 1: La hipótesis nula indica que no existe diferencia entre elrendimiento promedio alcanzado aplicando el método A y el ren-dimiento promedio alcanzado con el método B; mientras que lahipótesis alternativa dice que los rendimientos promedio son di-ferentes. Así:

210 : µµ =H 211 : µµ ≠H

Paso 2: Con el auxilio del SPSS, se ejecuta lo siguiente:

Método A 15 16 15 13 13 16 16 14 17

Método B 13 18 14 17 12 17 13

1 5 2

a) Activar el SPSS.b) Abrir el archivo de DATOS3-diferentes.c) ANALIZE/COMPARE MEANS/ INDEPENDENT-SAMPLE

T-TEST/ llevar a TEST VARIABLE la variable creada REN-DIMIENTO/ en GROUPING VARIABLE elegir GRUPO/DEFINE GROUPS/ en grupo1 colocar 1 y en grupo2 colocar2/ CONTINUE/ pulsar el comando OK.

En el output del SPSS se tiene directamente el valor deF Sig. T df Sig.

(2-tailed)valuep _

rendimiento Equalvariances not

assumed .139 9.151 .892

ct = 0.139 con 9 grados de libertad.

Sólo con fines didácticos, vamos a ejecutar los comandos:ANALIZE/COMPARE MEANS/ MEANS/ para DEPEN-

DENT LIST elegir RENDIMIENTO y para INDEPENDENT LISTelegir GRUPO/ elegir OPTIONS/ seleccionar VARIANCA/ CON-TINUE/ OK.

grupo N Variance

1 9 2.0002 7 5.810Total 16 3.396

El output del SPSS nos muestra los siguientes resultados:

con los que comprobaremos el valor de los grados de libertad:

1 5 3

2

11

2

22

1

21

2

2

2

22

1

2

1

21

2

−

+

++

=

+

nn

s

nn

sk

ns

ns

= ( ) ( )[ ]

( ) ( ) 2

177

81.5

199

2 22

2

781.5

92

−

++

+

+= 9.15

Paso 3: El valor de 2/_ valuep debe compararse con 025.02 =α ,pues si α<valuep _ , se rechaza la hipótesis nula.

Paso 4: Como el valor de 892.0_ =valuep no es menor que α<= 0.10, la decisión es no rechazar la hipótesis nula. Es decir, pode-mos decir que no existe información suficiente para rechazar lahipótesis nula con el nivel de significación 0.10.

Poblaciones independientes: Pruebas de hipótesis para la diferencia deproporciones 1π y 2π

En las poblaciones 1 y 2, con respectivas proporciones poblacio-nales 1π y 2π ( de estudiantes, profesores, etc., para ser más ge-néricos, de "unidades"), con determinados atributos; se desea con-trastar la hipótesis nula 210 : ππ =H con cualquiera de las hipóte-sis alternativas: 211 : ππ ≠H , 211 : ππ >H ó 211 : ππ <H .

Los parámetros que son las proporciones poblacionales tie-

nen como estimadores en cada una de las muestras: 1

1 nAP = y

12 n

BP = , donde es el número de elementos con el atributo de in-

terés en la primera muestra y es el número de elementos con elmismo atributo en la segunda muestra. Cuando las muestras son

suficientemente grandes, la estadística ( )

( )

+−

−−−

21

2121

111

)(

nnPP

PP ππ tiene

distribución aproximadamente normal, donde 21

2211

nnPnPnP

++= .

Si la hipótesis nula es verdadera, una estimación común de

1 5 4

Hipótesis Estadístico de prueba Regla de decisiónRechazar la hipótesis

210 : ππ =H , si

210 : ππ =H =cz

( )

+−

−

21

21

111nn

pp

ppteóricoc zz > ó ,( teóricoz ∞)

211 : ππ >Hcon el SPSS:

α<valuep _

210 : ππ =H =cz

( )

+−

−

21

21

111nn

pp

ppteóricoc zz > ó ,( teóricoz ∞)

211 : ππ <HCon el SPSS:

α<valuep _

210 : ππ =H =cz

( )

+−

−

21

21

111nn

pp

ppteóricoc zz >

211 : ππ ≠H equivalentemente


Con el SPSS:α<valuep _

πππ == 21 , es 21

2211

nnpnpnp

++= y se puede usar como la esta-

dística de prueba ( )

+−

−

21

21

111nn

pp

pp. A continuación se presenta

el resumen para cada una de las posibles hipótesis alternativas ylas respectivas regiones de rechazo.

Ejemplo 3.13

200 estudiantes fueron divididos aleatoriamente en dos grupos,cada uno de 100. Los de la muestra 1 aprendieron determinadomaterial en el cual se enuncia verbalmente el concepto de transiti-

1 5 5

vidad, a continuación de lo cual se dieron varios ejemplos de lasituación. A los estudiantes del grupo 2 se les expuso ejemplos,tras de lo cual se enunció verbalmente el concepto de transitivi-dad. Son dos las poblaciones subyacentes a las muestras y quehubieran podido participar en el experimento. Seguidamente seadministró una prueba de ítems a los 200 estudiantes, para deter-minar si dominan el concepto de transitividad, pues, se desea sa-ber si en estas dos poblaciones de estudiantes, las respectivas pro-porciones 1π y 2π que manejan la transitividad son o no iguales(el criterio es el número de respuestas correctas en la prueba deítems). Al finalizar el experimento, 68 estudiantes de la muestra 1y 54 estudiantes de la muestra 2 dominaban el concepto de transi-tividad. Veamos si existe diferencia en las proporciones poblacio-nales. Usemos 05.0=α .

Solución

1π : proporción de estudiantes de la población 1 que manejan elconcepto de transitividad. Se enunció el concepto y luego losejemplos.

2π : proporción de estudiantes de la población 2 que manejan elconcepto de transitividad. Se enunció primero los ejemplos yluego el concepto.

1p : proporción de estudiantes de la muestra observada que ma-nejan el concepto de transitividad, habiendo estudiado pri-mero el concepto y luego los ejemplos.

2p : proporción de estudiantes de la muestra observada que ma-nejan el concepto de transitividad, habiendo estudiado pri-mero los ejemplos y luego el concepto.

68.010068

11 ===

nAp y 54.0

10054

12 ===

nBp

61.0200

)54.0(100)68.0(100 =+=p

Paso 1: La hipótesis nula indica que no existe diferencia entre lasproporciones poblacionales de los estudiantes que aprendieron el

1 5 6

concepto de transitividad con los dos métodos ya descritos.

210 : ππ =H 210 : ππ ≠H

Paso 2: Obtenemos el valor del estadístico de prueba:

=cz( )

+

−=

+−

−

1001

1001)39.0(61.0

54.068.0

11121

21

nnpp

pp= 06897.0

14.0 =2.03

Paso 3: Para α=0.05, ( ) 05.0=> teóricozZP = α o ( ) 95.0=< teóricozZP .En la tabla normal estándar el el valor de la abcisa que cumplecon la condición es teóricoz =1.96.

Luego, la región de rechazo es el intervalo (- ∞, -1.96) ó elintervalo (1.96, ∞).

Paso 4: Como el valor de cz = 2.03 cae en el intervalo (1.96, ∞),podemos decir que la diferencia encontrada entre las proporcio-nes muestrales es significativa al nivel de significación 0.05. Pode-mos concluir, que si se enuncia el concepto en primer término y acontinuación se presentan los ejemplos, se obtiene mejor rendi-miento que si la exposición se hiciera en orden inverso.

Poblaciones independientes: Pruebas de hipótesis para el cociente devarianzas

Cuando probamos las hipótesis con respecto a la igualdad de me-dias de dos poblaciones normales independientes, en el primercaso se supone que las varianzas poblacionales eran conocidas.Trabajando rigurosamente, ese supuesto debió ser justificado. Elprocedimiento a seguir para esta prueba es el siguiente.

Si 1X e 2X son variables aleatorias independientes con distri-buciones ( )2

11,σµN y ( )222,σµN respectivamente; se trata de pro-

bar la hipótesis nula 22

210 : σσ =H (equivalentemente 1: 2

2

21

0 =σσH )

frente a la hipótesis alternativa 22

210 : σσ ≠H . Cuando la hipóte-

1 5 7

sis nula es verdadera, la estadística 22

21

SSF = tienen distribución

F-Snedecor con ( )11 −n y ( )12 −n grados de libertad.

La estadística de prueba basada en los valores observados dedos muestras independientes,

1111,...., nxx de la variable 1X yHipótesis Estadístico de prueba Regla de decisión

Rechazar la hipótesis22

210 : σσ =H , si

22

210 : σσ =H

22

21

ssFc = )21;1,1( 21

α−−−>

nnc FF ó22

211 : σσ ≠H )21;1,1( 21

α−−−>

nnc FF

2,221,...., nxx de la variable 2X respectivamente, es: 22

21

ssF c= , que

se comparará con el valor teórico de la abscisa de la distribución Fcon ( )11 −n y ( )12 −n grados de libertad.

Se rechaza la hipótesis nula, si el valor de la estadística calcu-lada se encuentra ya sea en la cola inferior o en la cola superiorcorrespondiente a 2

α , de la distribución F-Snedecor, con ( )11 −ny ( )12 −n grados de libertad.

Ejemplo 3.14

Un investigador en el campo educativo sostiene que el módulodidáctico empleado en la enseñanza de Matemáticas es uno de losfactores que influye y determina en el proceso de enseñanza apren-

dizaje y por lo tanto, el módulo adoptado incidirá en el rendimientoacadémico de los estudiantes. Para verificar su hipótesis decidiórealizar el siguiente experimento: durante un semestre llevó a caboel trabajo lectivo para dos grupos de estudiantes de la misma ca-rrera en la misma universidad, empleando dos módulos (A y B)

Método A 15 16 15 13 13 16 16 14 17

Método B 13 14 14 11 12 14 13

1 5 8

de características bien diferenciadas. Al final del curso aplicó elmismo examen a todos los estudiantes y obtuvo las siguientes no-tas.

¿Se puede decir que existe diferencia en la variabilidad de losrendimientos empleando los módulos A y B?. Supongamos nor-malidad en la distribución de las variables consideradas y use-mos el nivel de significación 0.20.

Solución

Observamos que los datos corresponden al problema 3.10, por loque, donde sea necesario, usaremos los resultados ya encontrados.

Paso 1: La hipótesis nula indicará que no existe diferencia entrelas varianzas de las dos poblaciones:

22

210 : σσ =H 2

2211 : σσ ≠H

Paso 2: Para obtener el valor de la estadística de prueba, tomamosdel ejemplo 3.10 los valores de los tamaños de muestra 91 =n ,

72 =n y los valores de las varianzas muestrales:

( )∑ −=−

=2

1

2

1

21 111

1 n

ixx in

s = 28

16 = y ( )∑ −=−

=2

1

2

2

22 221

1 n

ixx in

s =

333.178 = . Luego, obtenemos el valor de la estadística de prueba:

5.133.12

22

21 ===

ssfc

Paso 3: Para α=0.02 ( )( ) 01.01,1 21=>−− teóriconn fFP = 2/α . Si en el paso

2, siempre elegimos como numerador la mayor varianza, sólo se

analiza ( )( ) 2/1,1 21α=>−− teóriconn fFP y la región crítica se reduce

al intervalo ( teóricof , ∞).En el presente problema, los grados de libertad son 8 y 6 res-

pectivamente, entonces para ( )( ) 10.06,8 => teóricofFP tenemos

1 5 9

teóricof = 8.1, por lo que la región crítica es el intervalo (8.1, ∞).

Paso 4: Como el valor del estadístico de prueba cf =1.5 no cae enel intervalo (8.1, ∞), podemos decir que la diferencia encontradaentre las proporciones muestrales no es significativa al nivel designificación 0.02. Podemos concluir, que fue razonable el supuestoconsiderado en el ejemplo 3.11 respecto a las varianzas poblacio-nales.

Ejercicios

Usted es un inspector de escuelas públicas y realiza un experi-mento para investigar si la habilidad de lectura de estudiantes deprimer año de secundaria ha mejorado o no. En una muestra alea-toria de 185 estudiantes de esta población encuentra una habili-dad media de lectura igual a 75 palabras por minuto. Las notasnacionales sobre la habilidad de lectura, para los estudiantes delprimer año de secundaria, muestran una distribución normal conmedia 80 palabras por minuto y una desviación estándar igual a12. Todo puntaje por debajo de 80 se considera deficiente. ¿Es ra-zonable considerar que la habilidad de lectura de los estudiantesde quinto de secundaria es deficiente?. Suponga normalidad y α= 0.10. Use la metodología correspondiente para dar respuesta ala pregunta planteada.

El Director Académico del centro pre universitario de laUFV tiene la percepción de que el rendimiento académico du-rante el primer año de estudios en la universidad, de los alum-nos ingresantes a través de la institución que dirige ha sufridocambios en los últimos años. Sabe que históricamente los alum-nos han tenido un rendimiento promedio de 14 puntos. Para con-firmar su percepción llevó a cabo un estudio, para el que escogióuna muestra aleatoria de 150 alumnos que ingresaron el año 2004a través del centro pre universitario y pidió al sistema de matrícu-la el rendimiento de cada uno de estos alumnos durante el añoacadémico 2004. Para dicha muestra obtuvo de rendimiento pro-

1 6 0

Para determinar el efecto sobre el desarrollo psicológico delos escolares que tienen que viajar a la escuela en ómnibus de ser-vicio público, se tomó una prueba de ansiedad a un grupo de 40escolares que usan este sistema de transporte y a 30 escolares quevan caminando al colegio. Se sabe que las desviaciones estándaren ambas poblaciones son 9 y 12 respectivamente.

Los resultados de la prueba de ansiedad son los siguientes:

Suponiendo normalidad, ¿se puede concluir que efectivamen-te el uso del ómnibus aumenta la ansiedad en los escolares?. Useα = 0.05.

Usted es un inspector de escuelas públicas y realiza un expe-rimento para investigar si la habilidad de lectura de estudiantesde segundo año de secundaria ha mejorado. En una muestra alea-toria de 95 estudiantes de esta población encuentra una habilidadmedia de lectura igual a 80 palabras por minuto. Las notas nacio-nales sobre la habilidad de lectura, para los estudiantes del se-gundo año de secundaria, muestran una distribución normal conmedia 78 palabras por minuto y una desviación estándar igual a10. ¿Es razonable considerar que la habilidad de lectura de los es-tudiantes de quinto de secundaria ha mejorado?. Use α = 0.10.

El Director Académico del centro pre universitario de laUFV tiene la percepción de que el rendimiento académico du-rante el primer año de estudios en la universidad, de los alum-nos ingresantes a través de la institución que dirige mejora año aaño. Sabe que históricamente los alumnos de primer año han teni-

medio 14.5 puntos con desviación estándar 0.5 puntos. ¿Existe evi-dencia muestral para decir si es cierta la percepción del DirectorAcadémico?. Suponga normalidad y α = 0.10. Use la metodologíacorrespondiente para dar respuesta a la pregunta planteada.

en ómnibus caminando

1451 =x 1352 =x

1 6 1

do un rendimiento promedio de 13 puntos. Para confirmar su per-cepción llevó a cabo un estudio, para el que escogió una muestraaleatoria de 25 alumnos que ingresaron el año 2004 a través delcentro pre universitario que dirige y pidió al sistema de matrículael rendimiento de cada uno de estos alumnos durante el año aca-démico 2004. Para dicha muestra obtuvo un rendimiento prome-dio de 13.9 puntos con desviación estándar 0.45 puntos. ¿Existesuficiente evidencia muestral para decir que es cierta la percep-ción del Director Académico?. Suponga normalidad y use α = 0.10

Antes de aplicar el Plan Huascarán en el distrito de Cajatam-bo, el rendimiento promedio de los estudiantes de primer año deprimaria era de 12 puntos. Para determinar si el Plan ha sido efec-tivo en el incremento del rendimiento de los estudiantes, se obser-varon al azar a 150 estudiantes después de aplicar el plan duranteun año académico, obteniéndose de rendimiento promedio 13.5puntos con desviación estándar 2.1 puntos. Al nivel de significa-ción 0.05 ¿se podría decir que existe evidencia de el rendimientopromedio ha aumentado?. Use la metodología correspondientepara dar respuesta a la pregunta planteada y de ser necesario su-ponga normalidad.

Hace tres años el Ministro de Educación afirmó que históri-camente la tasa de deserción estudiantil en el nivel primario esdel 20%. En los últimos dos años el gobierno ha realizado progra-mas especiales para que dicha tasa disminuya sustancialemte. Lainformación del año pasado señala que la tasa de deserción fuedel 17%. ¿Qué puede decirse de la afirmación del Ministro de Edu-cación?. De ser necesario suponga normalidad y use a) α = 0.05b) Use α = 0.10.

Un investigador en el campo educativo sostiene que el módulodidáctico empleado en la enseñanza de Matemáticas es uno de losfactores que influye y determina en el proceso de enseñanza apren-dizaje y por lo tanto, el módulo adoptado incidirá en el rendimiento

Método A 12 13 12 10 10 13 13 11 14

Método B 16 17 117 14 15 17 16 16 15

1 6 2

académico de los estudiantes. Para verificar su hipótesis decide rea-lizar el siguiente experimento: durante un semestre se llevó a caboel trabajo lectivo para dos grupos de estudiantes de la misma ca-rrera en la misma universidad, empleando dos módulos (A y B)de características bien diferenciadas. Al final del curso se aplica elmismo examen y se obtuvo las siguientes notas:

Suponiendo que las muestras provienen de poblacionesnormales con varianzas iguales, ¿los resultados encontradospor el profesor apoyan la hipótesis de investigación?. Supon-ga normalidad de las variables consideradas y use nivel de signi-ficación 0.10.

Un grupo de 350 estudiantes fueron divididos aleatoriamen-te en dos subgrupos de 100 y 150 estudiantes. Los de la muestra 1aprendieron determinado material en el cual se enuncia verbal-mente el concepto de transitivitas de "más alto que", a continua-ción de lo cual se dieron varios ejemplos de la situación; a los es-tudiantes del grupo 2 se les expuso ejemplos tras de lo cual seenunció verbalmente el concepto. Son dos poblaciones, subyacen-tes a las muestras y que hubieran podido participar en el experi-mento. Seguidamente se administró una prueba para determinarsi dominan el concepto de transitividad, pues, se desea saber si enestas dos poblaciones de estudiantes, las respectivas proporcio-nes π1 y π2 que manejan la transitividad son o no iguales (el crite-rio es el número de respuestas correctas en la prueba de ítems). Alfinalizar el experimento, 62 estudiantes de la muestra 1 y 70 estu-diantes de la muestra 2 dominaban el concepto de transitividad.¿Existe diferencia en las proporciones poblacionales. Use α = 0.05.

En una investigación conducida por una estudiante del doc-torado en Educación las poblaciones fueron las siguientes: los es-tudiantes del tercer grado de primaria de colegios estatales, cuyasedades fluctuaban entre 8 años y 12 años de edad, residentes en elCercado del Distrito del Callao, pertenecientes al estrato socioeco-nómico bajo, y los estudiantes del tercer grado de primaria de co-legios particulares, cuyas edades fluctuaban entre 8 años y 12 años

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de edad, residentes en el Cercado del Distrito del Callao, pertene-cientes al estrato socioeconómico medio.

Por el costo de la investigación, es decir, por razones econó-micas, administrativas y algo de dispersión geográfica se conside-ró conveniente trabajar con dos muestras aleatorias independien-tes, una de cada una de las poblaciones ya descritas.

Las variables investigadas fueron los puntajes en las siguien-tes pruebas:

Nivel de p. análisis fonémico (PAF)

Nivel socio Variableseconómico

PAF PCF TEDE PCL

BAJO MEDIA 25.1 48.9 67.7 12.5DESVIACIÓNESTÁNDAR 5.7 6.9 5.5 2.9TAMAÑOMUESTRA 15 15 15 15

MEDIO MEDIA 27.5 56.5 91.1 15.4DESVIACIÓNESTÁNDAR 3.1 6.9 5.5 3.2TAMAÑOMUESTRA 18 18 18 18

Niveles de decodificación lectora (TEDE)Niveles de comprensión lectora (PCL)Nivel de p. con. fon' (PCF)

Los resultados descriptivos de la investigación fueron los si-guientes:

Suponiendo normalidad se puede concluir que efectivamente:a) La media de los puntajes en el nivel de P. Análisis Fonémico

(PAF) es superior en el estrato medio con respeto al estratobajo?. Use α = 0.10.

b) La media de los puntajes en el nivel de Decodificación Lecto-ra (TEDE) es superior en el estrato medio con respeto al es-trato bajo?. Use α = 0.10.

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c) La media de los puntajes en el nivel de Comprensión Lectora(PCL) es superior en el estrato medio con respeto al estratobajo?. Use α = 0.10.

d) La media de los puntajes en el nivel de P.Con.Fon' (PCF) es

Nivel socio Variableseconómico

PAF PCF TEDE PCL

BAJO MEDIA 25.1333 58.8333 97.7000 14.3000DESVIACIÓNESTÁNDAR 3.5 3.0 5.1 3.0TAMAÑOMUESTRA 35 35 35 35

MEDIO MEDIA 29.5333 65.3667 102.2667 16.0333DESVIACIÓNESTÁNDAR 3.5 3.4 5.0 3.5TAMAÑOMUESTRA 40 40 40 40

superior en el estrato medio con respeto al estrato bajo?. Useα = 0.10.

Para la misma investigación descrita en el ejercicio 3.3, los re-sultados de otras dos muestras independientes fueron las siguien-tes:

Suponiendo normalidad se puede concluir que efectivamente:a) La media de los puntajes en el nivel de P. Análisis Fonético

(PAF) es superior en el estrato medio con respeto al estratobajo?. Use α = 0.10.

b) La media de los puntajes en el nivel de Decodificación Lecto-ra (TEDE) es superior en el estrato medio con respeto al es-trato bajo?. Use α = 0.10.

c) La media de los puntajes en el nivel de Comprensión lectora(PCL) es superior en el estrato medio con respeto al estratobajo?. Use α = 0.10.

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d) La media de los puntajes en el nivel de P.Con.Fon' (PCF) essuperior en el estrato medio con respeto al estrato bajo?. Useα = 0.10.

En los ejercicios 3.10 y 3.11 haga las correspondientes prue-bas de hipótesis para comparar las varianzas poblacionales en cadauno de los casos. Use α = 0.10. Si su decisión es contraria al su-puesto que planteó con respecto a las varianzas, en cada uno delos ejercicios, a la luz de los resultados vuelva a resolverlos.

En una investigación realizada por una estudiante del docto-rado en Educación, la Población objetivo fueron los alumnos ma-triculados en las diferentes sedes del programa de Formación Do-cente Semi-escolarizado y autofinanciado de la Universidad Na-cional Faustino Sánchez Carrión de Huacho, y que en 1997 fueronun total de 1500 alumnos.

Por razones económicas, administrativas y de dispersión geo-gráfica se consideró como población muestreada (objeto de la pre-sente investigación) las sedes de Barranca, Huacho y Huaral.

Las variables estudiadas fueron:

Rendimiento en la prueba de comprensión lectora.Notas

Sede número desviación mediaalumnos estándar muestral

Huacho 18 2.80 12.0Barranca 7 1.68 13.5Huaral 5 1.29 13.0

Total 30

Rendimiento promedio en cursos de humanidades.Rendimiento promedio en cursos de ciencias.

A continuación se presentan los resultados de la prueba decomprensión lectora aplicada a las muestras aleatorias obtenidasde cada una de las sedes:

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Suponiendo normalidad, se puede concluir con un nivel designificación:

a) El rendimiento promedio de los estudiantes de la sede deHuacho es igual al rendimiento promedio de los estudiantesde la sede de Barranca?.

b) El rendimiento promedio de los estudiantes de la sede deHuaral es igual al rendimiento promedio de los estudiantesde la sede de Barranca?.

c) El rendimiento promedio de los estudiantes de la sede deHuacho es igual al rendimiento promedio de los estudiantesde la sede de Huaral?.

En una investigación realizada por una estudiante del docto-rado en Educación, la Población objetivo fueron los alumnos ma-triculados en las diferentes sedes del programa de Formación Do-cente Semi-escolarizado y autofinanciado de la Universidad Na-cional Faustino Sánchez Carrión de Huacho, y que en 1997 fueronun total de 1500 alumnos.

Por razones económicas, administrativas y de dispersión geo-gráfica se consideró como población muestreada (objeto de la pre-sente investigación) las sedes de Cajatambo, Churín y Copa. Lasvariables estudiadas fueron:

Rendimiento en la prueba de comprensión lectora.

Notas

Sede número desviación mediaalumnos estándar muestral

Cajatambo 60 4.80 11.0Churín 35 2.68 10.5Copa 45 2.68 13.0

Total 140

1 6 7

Rendimiento promedio en cursos de humanidades.Rendimiento promedio en cursos de ciencias.

A continuación se presentan los resultados de la prueba decomprensión lectora aplicada a las muestras aleatorias obtenidasde cada una de las sedes.

Suponiendo normalidad, se puede concluir con un nivel designificación:

a) El rendimiento promedio de los estudiantes de la sede deCajatambo es igual al rendimiento promedio de los estudian-tes de la sede de Churín?.

b) El rendimiento promedio de los estudiantes de la sede deCajatambo es igual al rendimiento promedio de los estudian-tes de la sede de Copa?.

c) El rendimiento promedio de los estudiantes de la sede deChurín es igual al rendimiento promedio de los estudiantesde la sede de Copa?.

En los ejercicios 3.13 y 3.14 haga las correspondientes prue-bas de hipótesis para comparar las varianzas poblacionales en cadauno de los casos. Use Si su decisión es contraria al supuesto queplanteó con respecto a las varianzas, en cada uno de los ejercicios,a la luz de los resultados vuelva a resolverlos.

capítulo iii pruebas de hipótesis medias, varianzas ...€¦ · 105 capítulo iii pruebas de...

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