ANALISIS DE VARIANZA

• En muchos experimentos aparecen términos técnicos, tales como factores y respuestas. Por ejemplo en un experimento de comparar varias variedades de maíz, una respuesta puede ser la producción de maíz por parcela mientras los factores son las diferentes variedades de maíz. Por medio del análisis de varianzas es posible probar si las diferentes variedades, o una combinación de esos factores, tienen efectos apreciable sobre la producción de maíz

CONCEPTOS BASICOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

• EXPERIMENTO: Es cualquier proceso o actividad que da origen a un resultado o a una observación. Las actividades se diseñan de tal forma que el investigador puede manejar por lo menos una variable que le interesa.

Ejemplo: Un experimento diseñado para adquirir información acerca de la efectividad de dos diferentes fertilizantes en la producción de cierta variedad de trigo.

• VARIABLE INDEPENDIENTE: En un experimento, la variable independiente es aquella que el investigador desea medir su efecto y esta bajo su control.

Ejemplo: Del ejemplo anterior; el experimentador tiene bajo su control la selección de los diferentes fertilizantes que se va utilizar en dicho experimento. La variable independiente es “el fertilizante”

• VARIABLE DEPENDIENTE: En un experimento, las variables dependientes son todas aquellas variables que son expresadas por el modelo y reflejan el efecto de las variables independientes.

Ejemplo: Del ejemplo anterior; la variable dependiente es “la producción de trigo en cada parcela”

• VARIABLE EXOGENA: En un experimento, las variables exógenas son todas aquellas variables que explican a la variable dependiente en menor escala que las variable independientes. Generalmente no tienen ninguna importancia para el investigador, como si lo tiene la variable dependiente. El investigador debe controlar estas variables puesto que ocasionan, en el experimento, variaciones que no resultan convenientes.

Ejemplo: Del ejemplo anterior las posibles variables exógenas son “los terrenos de sembríos”, “volumen de los ríos”, etc.

• TRATAMIENTO: En un experimento, el termino de tratamiento se emplea como sinónimo de variable independiente, esto es, son todas aquellas variables cuyos efectos se desean medir.

Ejemplo: Del ejemplo anterior, los tratamientos son “los tipos de fertilizantes”

• UNIDAD EXPERIMENTAL: Es la entidad mas pequeña a la que se aplica un tratamiento.

Ejemplo: Del ejemplo anterior las unidades experimentales son “las parcelas de terreno”

• ERROR EXPERIMENTAL: Se denomina error experimental a la medida de la variabilidad de respuesta que presentan las unidades experimentales al ser expuestas al mismo nivel de tratamiento.

Ejemplo: Del ejemplo anterior, “las parcelas de terreno se diferencian tanto en su composición química como en su ubicación”; tales diferencias constituyen el error experimental.

DISEÑO EXPERIMENTAL COMPLETAMENTE ALEATORIZADO DE UNA VARIABLE

• El análisis de varianzas de una variable, se puede aplicar al análisis de los datos que resultan de un experimento completamente Aleatorizado.

• El diseño experimental completamente aleatorizado es aquel modelo en las que las unidades experimentales sobre las que se toman las medidas se asignan al azar a los diferentes tratamientos o niveles de variables independientes.

MODELO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO DE UNA VARIABLE

TRATAMIENTOS O GRUPOS

1 2 3 ……. K

x11 x12 x13 ….. x1k

x21 x22 x23 ….. x2k

x31 x32 x33 ….. x3k

……………………………………………

xn11 xn22 xn33 …… xnkk

T.1 T.2 T.3 …… T.k

………

……..

x 2.x 1. x 3. x k. mediasx

S2

1. S2

2. S2

3. S k

2

.ianzasS var

2

TotalT

• Total de las medias de la columnas j

• Media de la medidas de la columna j

• Varianzas de las medias de la columna j

n j

iijj xT

1.

n

x

nT

xj

iij

j

j

j

n j 1.

.

1

.1

2

2

.

)(

n

xxS

j

ij

n

jij

j

• Total de todas la medidas

• Medias de todas las medidas

• Varianzas de todas las medidas

k

j iij

k

jj

nT

j

xT1 11

.

k

jjj

k

j iij

xnx

nn

n

nT

x

j

1.

1 1 1

1

1

11

2

.1 1

2

2

.

)(

nn

n

ij

k

jjj

k

j i

j

SnxxS

j

CONTRASTE DE HIPOTESIS EN UN MODELO DE CLASIFICACION DE UNA VARIABLE COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

Paso 1: Hipótesis

Paso 2: Nivel de Significancia

igualessonlastodasNo

u

uHuuuHj

k

:

...:

1

210

10,

Paso 3: Tabla de análisis de varianzasFuente de

Variación

Suma de Cuadrados Grados

de

Libertad

Cuadrados Medios o

Varianzas

Razón F Calculada

Entre

Tratamientos

k-1

Dentro de los

Tratamientos

(Error)

n-k

Total n-1

nc

cSCTR

T

nTk

j j

j

2

1

2

.

cn

SCT

SCTRSCTSCE

k

j iij

j

x

1 1

2

1kSCTR

CMTR

knSCE

CME

CMECMTR

F CAL

Paso 4: Región Critica

F knk ),1(,

FF knkCalC

),1(,

Paso 5: Se rechaza Ho y concluimos de que hay

diferencias entre las medias y por lo tanto hay influencias de los tratamientos sobre la variable analizada.

FFSi knkCal ),1(

DISEÑO EXPERIMENTAL EN BLOQUES ALEATORIZADOS

• Es aquel modelo en que las unidades experimentales sobre las que se toman las medidas se asignan al azar a los diferentes niveles de tratamientos y bloques, donde los bloques son subgrupos homogéneos con relación ala variable exógena cuyos efectos se desea eliminar.

• El diseño es completo en el sentido de que cada tratamiento aparece en cada bloque.

MODELO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO DE UNA VARIABLE

BLOQUE

TRATAMIENTOSTOTAL DE

BLOQUES

MEDIA DE

BLOQUE

VARIANZA

DE BLOQUE1 2 3 … K

123…L

x11 x12 x13 … x1k

x21 x22 x23 ... x2k

x31 x32 x33 … x3k

… … … …

xL1 xL2 xL3 … xLk

T1.

T2.

T3.

…

TL.

… …

Total de Tratamientos

T.1 T.2 T.3 … T.k

Media de Tratamiento

…

Varianza de Tratamiento

…

x 2.x 1. x 3. x k. x

S2

.1

S2

2. S2

3. S k

2

.

T

x .2

x .3

xL.

S2

1.

S2

.2

S L

2

.

S2

.3

x .1

• Total de las medidas de la columnas j

• Total de las medidas de la fila i

• Media de la medidas de la columna j

kjL

iijj xT ...,,2,1

1.

kjLL

L

iij

j

j

xTx ...,,2,11.

.

Lik

jiji xT ...,,2,1

1.

• Media de la medidas de la fila i

• Varianzas de las medias de la columna j

• Varianzas de las medias de la fila ikj

L

jijL

ij

xxS ...,,2,1

1

.1

2

2

.

)(

Lik

iij

k

j

i

xxS ...,,2,1

1

.1

2

2

.

)(

Likk

k

jij

ii

xTx ...,,2,11..

• Total de todas la medidas

• Medias de todas las medidas

k

j

L

iij

k

jj xTT

1 11.

k

jj

k

j

L

iij

xx

Lnnn

Tx

1.

1 1 1

CONTRASTE DE HIPOTESIS EN UN MODELO DE CLASIFICACION DE UNA

VARIABLE EN BLOQUES COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

• PASO 1: Formulación de Hipótesis Medias poblacionales de los tratamientos son

distintos, se considera la prueba:

Medias poblacionales de los bloques son

distintos, se considera la prueba:

• PASO 2: Nivel de Significancia α

kjigualessonlastodasNo

u

uHuuuHj

T

k

T

...,,2,1:

...:

.1

.2.1.0

LiigualessonlastodasNo

u

uHuuuHi

B

L

B

...,,2,1:

...:

.1

..2.10

• PASO 3: Construcción de la Tabla ANAVAFuente de

Variación

Suma de Cuadrados Grados de

Libertad

Cuadrados Medios o

Varianzas

Razón F Calculada

Entre

Tratamientos

k-1

Entre Bloques L-1

Error

(L-1)(k-1)

Total

1kSCTR

CMTR

1LSCBL

CMBL

)1)(1(

kLSCE

CME

CMECMTR

FT

CAL

CMECMBL

FB

CALSCBLSCTRSCTSCE

ck

SCBL

L

iiT

1

2

.

cL

SCTR

k

jjT

1

2

.

nc T

2

cSCTL

i

k

jijx

1 1

2

• PASO 4: Región Critica Región Critica para contrastar los efectos de

los tratamientos, es dado por:

Región Critica para contrastar los efectos de los bloques, es dado por:

FFFC LkkTAB

T

CAL

T

))1)(1(,1(,

FFFC LkLTAB

B

CAL

B

))1)(1(,1(,

• PASO 5: Conclusión: Medias de los tratamientos Se rechaza Ho si y se concluye que hay

diferencias entre las medias de tratamientos y consecuentemente hay influencias de los tratamientos sobre la variable analizada

No se rechaza Ho si y se concluye con un riesgo de α de que el factor tratamiento no causa efecto en la variable dependiente

FF TAB

T

CAL

FF TAB

T

CAL

Conclusión: Medias de los Bloques Se rechaza Ho si y se concluye que

hay diferencias entre las medias de los bloques y consecuentemente hay influencias de los bloques sobre la variable en estudio.

No se rechaza Ho si y se concluye con un riesgo de α de que el factor bloque no causa efecto a la variable dependiente

FF TAB

B

CAL

FF TAB

B

CAL