informe - método de cross para estructuras
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ANALISIS Y DISEÑO ESTRUCTURAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
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MÉTODO DE
CROSS PARA
ESTRUCTURAS
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
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Presentación
El análisis estructural necesario para las grandes construcciones de estructuras de
hormigón armado en 1950 era una tarea formidable. Esto es un atributo a la
profesión de ingeniería, y para Hardy Cross, que aquí existen tan pocos fallos.
Cuando los ingenieros tienen que calcular los esfuerzos y deflexiones en un marco
estáticamente indeterminado, ellos inevitablemente vuelven a lo que fue conocido
como "Distribución de Momentos" o "Método de Hardy Cross". En el método de
distribución de momentos, los momentos en los extremos fijos de los marcos son
gradualmente distribuidos a los miembros adyacentes en un número de pasos
tales que el sistema eventualmente alcanza su configuración de equilibrio natural.
Sin embargo, el método era todavía una aproximación pero podía ser resuelto a
ser muy cercano a la solución real.
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Método de Cross
Es un método de análisis estructural para vigas estáticamente y marcos/pórticos
planos.
En el método de Cross, para analizar cada articulación o nodo de la estructura, se
considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los
Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera liberada
secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser
liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes hasta que
el equilibrio es alcanzado. El método de Cross en términos matemáticos puede ser
demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por
medio de iteración.
El método de redistribución de momentos o método de Cross cae dentro de la
categoría de los métodos de desplazamiento del análisis estructural.
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Implementación
En disposición de aplicar el método de Cross para analizar una estructura,
debemos tener en cuenta lo siguiente.
Momentos de empotramiento en extremos fijos
Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos al
extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.
Rigidez a la Flexión
La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir
un límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. La rigidez flexional (EI/L) de un
miembro es representada como el producto del módulo de elasticidad (E) y el
segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I)
dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de
distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón aritmética de
rigidez de flexión de todos los miembros.
Coeficientes de distribución
Los coeficientes de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los
momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. Un
momento no equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente
en presenta cada uno de estos miembros.
Coeficientes de transmisión
Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro
cuando se permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el
otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el
coeficiente de transmisión.
Valores típicos:
0,5 para nodos sin empotramiento
0 para nodos empotrados
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Convención de signos
Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de
la convención de signos usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de
coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y
hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo anti horarios.
Estructuras de marcos
Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el método
de distribución de momentos.
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Ejemplo
La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.
La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.
Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud
Las rigideces a Flexión son EI, 2EI, EI respectivamente.
Cargas concentradas de magnitud actúan a una
distancia desde el soporte A.
Carga uniforme de intensidad actúa en BC.
Miembro CD está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada
de magnitud .
En los siguientes cálculos, los momentos anti horarios son positivos.
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1.-Momentos en Extremos Fijos
2.-Coeficientes de Reparto
Los coeficientes de reparto de las juntas A y D son
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3.-Coeficientes de transmisión
Los coeficientes de transmisión son 0.5 (porque la sección es constante), excepto
para el factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.
4.-Distribución de Momentos
Números en gris son momentos balanceados; flechas (→ / ←) representan el
acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro
Articulación A
Articulación B
Articulación C
Articulación D
Coeficientes
de reparto 0 1
0.2727 0.7273
0.6667 0.3333
0 0
Momentos
en Extremos Fijos
14.700
-6.300 8.333
-8.333 12.500
-12.500
Paso 1
-14.700 → -7.350
Paso 2
1.450 3.867 → 1.934
Paso 3
-2.034 ← -4.067 -2.034 → -1.017
Paso 4
0.555 1.479 → 0.739
Paso 5
-0.246 ← -0.493 -0.246 → -0.123
Paso 6
0.067 0.179 → 0.090
Paso 7
-0.030 ← -0.060 -0.030 → -0.015
Paso 8
0.008 0.022 → 0.011
Paso 9
-0.004 ← -0.007 -0.004 → -0.002
Paso 10
0.001 0.003
Suma de
Momentos 0
-11.569 11.569
-10.186 10.186
-13.657
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5.-Resultados
Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de
momentos:
La convención de signos usual en ingeniería es usada aquí, i.e. Los momentos
positivos causan elongación en la parte inferior de un elemento de viga.
Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados,
usando un método matricial. Nota que en el análisis superior, el proceso iterativo
fue llevado a >0.01 de precisión. El hecho de que el resultado de análisis de matriz
y el resultado de análisis de distribución de momentos iguale a 0.001 de precisión
es mera coincidencia.
Momentos en articulaciones determinados por el método matricial:
Los diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. Nota que
el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las
juntas. Desarrollando diagramas de momentos flectores completos requiere de
cálculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y
el equilibrio interno de la sección.
DEC DMF
Diagrama de esfuerzos cortantes. Diagrama de momentos flectores.
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Bibliografía
R.C. HIBBELER,ANALISIS ESTRUCTRURAL, 8Va edición,2012
José L. CAMBA, Francisco CHACON, APUNTES DE ANALISIS
ESTRUCTURAL I,1982
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_distribuci%C3%B3n_de_mo
mentos#Rigidez_a_la_Flexi.C3.B3n