METODOS ITERATIVOS

1.- INTRODUCCION

La teoría de estructuras ir^determinadas se ha desarrollado más bien en forma espasmódica. Luego de ios trabajos pioneros de Müller-Bresiau, Mohr, Castigliano y Maxweii que datan de fines del siglo XIX y principios de! siglo XX, hubo un período de dos o tres décadas durante el cuai se registraron muy escasas ideas nuevas. Sin embargo, hacia comienzoQ de t930 hubo una evidente recreación del interés en la materia; el desarrollo del hormigón armado, el nacimiento dei hormigón pretensado, las modernas construcciones soldadas de acero y la complejidad de las estructuras de fuselajes de aviones, enfrentaron a los ingenieros con formidables problemas teóricos que hasta entonces no se habían presentado en tal escala. Los Métodos de las Fuerzas y de las Deformaciones, que ya se habían perfeccionado para ese entonces, se manifestaban impotentes cuando se trataba de estructuras con gran cantidad de incógnitas, en razón de la laboriosidad asociada a la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas de igual número que aquellas.

Y es justamente por esos afíos cuando el ingeniero norteamericano Hardy Cross presenta su trabajo original sobre la distribución de momentos, método iterativo conocido a partir de entonces como Método de Cross. Es tal la Importancia que adquiere su divulgación, que Fernandez Casado habla de un "giro copernicano", con el cuai se inicia una nueva etapa en el cálculo de estructuras de barras. Según el inglés Matheson, con el Método de Cross se genera una revolución que transforma ia manera de pensar en los ingenieros estructuralistas de todo el mundo.

Aunque Timoshenko atribuye los orígenes del método a otros autores, entre ellos Casilev, Waddeil y el mismo Mohr, no caben dudas que la idea de aproximaciones sucesivas, aplicada directamente a la estructura más que a un sistema de ecuaciones simultáneas, es el resultado de los estudios de Cross. Si bien es cierto que el escrito original es incompleto y singularmente sucinto, que además la solución de algunos casos particulares como ia desplazabilidad de la estructura es debida a sus seguidores, es evidente que !a contribución de Cross fue notable, constituyéndose en el punto de partida para métodos de relajación aparecidos posteriormente. Cross redujo el misterio esotérico del cálculo de pórticos hiperestáticos a la competencia de cualquier ingeniero y preparó el camino para el gran desarrollo de métodos de aproximaciones sucesivas que actualmente se aplican a cada rama de la ingenieria en general.

Como un jalón importante para la ingenieria argentina, la primera publicación en español aparece en nuestro país en 1931, antes que en EE.UU. se publicara el texto de Cross-Morgan en 1932. En 1934 surge en España la primera edición del libro de Fernandez Casado, y en Alemania, a juzgar por los conocimientos del autor de este texto, se espera hasta 1948 para presentar una obra dedicada totalmente al nuevo procedimiento, si bien con anterioridad se publican artículos resumidos en revistas técnicas.

El inmediato éxito del Método de Cross se explica fácilmente: En efecto, por ese entonces se había generado, asociada al cálculo estructural, una desmedida preocupación por los desarrollos matemáticos, que tendía a hacer perder de vista la finalidad primordial del ingeniero, cuai es la de imaginar y proyectar estructuras, para después llevarlas a su concreción material. El Método de Cross da ia pauta de lo que debe ser un procedimiento

de cálcuio; sjmpie, versátil en su aplicación y \Q qtse es más importante, adecuado a! fenómeno físico que aborda. A! ¡.isarSo, se está siempre a la vista de la estructura y de! pape! que desempeña cada uno de sus elementos. Se hace manejable, sin recurrir a esfuerzos considerables, la posibilidad de introducir variaciones en la forma y 'dimensiones de los miembros. Además, la cualidad más valiosa del método es su sencillísima generaíiriad, que lo convierte en una fierramienta útil de trabajo en los cálculos diarios, aún en nuestros días.

Bien es cierto que con la aparición de la computación electrónica hacia la mitad de! siglo pasado se manifiesta una evidenie y lógica tendencia a retomar !a senda de los métodos clásicos, en razón de qije es problema de resolver las ecuaciones algebraicas Involucradas deja de ser tal, sumado a )o cua! se desarrolla e! cálculo matricial de estructuras, que constituye de por sí una excelente alternativa para sistematizar las operaciones y confeccionar programas de compuíación que abarquen en forma racionaí y globai todas fas estructuras de barras, pasando de lo particular a lo general También es un hecho indisciititalemente positivo que la tecnología actual ha posibilitado el acceso a computadoras de gran capracidad sin ernolumeráos considerables, que están a! alcance de cualquier ingeniero. Sin embargo, en ei simbolismo de! álgebra matricial, así como en el auxilio de las computadoras, que tan prácticos y tentadores resultan para ía solución de un sisíema estructuraí, .subyace un aspecto negativo en lo que hace a la comprensión del comportamiento estático en sí mismo, y por fo tanto para ía formación del estructuralista, cuya función, además del cálculo, es el proyecto de estructuras. Este aspecto negativo se vincula a ia posibilidad de exiraviarse en el uso de expresiones matriciaies sin tener presente el significado físico de cada uno de los símbolos que en ellas aparecen. E! dominar métodos iterativos de cálculo representa la antítesis de los métodos matriciales de análisis, y con su uso puede llegar a adquirirse la capacidad creativa necesaria para el proyecto estructural, que es un trabajo de síntesis. Al mismo tiempo, se logra ía suficiente destreza para juzgar los resultados de! aüáíJsÉs computadonal, que suele estar ligado a errores humanos de concepción estructura! y de entrada de datos.

Paro la computación es una realidad avasallante, y su emipieo en la enseñanza obliga ai retorno a las fuentes de la teoría de las estructuras: a los trabajos de Mohr, Castigliano, Engesser, Maxwell y otros, a profundizar los conceptos de trabajo y energía, canalizados a través de los principios energéticos. Eiie permite cumplir con la meta de abordar análisis generales, sin resíricciones -a ios problemas de la técnica actual.

Finalmente, cabe acotar que también los métodos iterativos pueden expresarse en forma matricial y ser desarrollados en programas simpSes y de ejecutividad igual o mayor que los procedimientos más sofisticados en el caso de estructuras reguiares.

Hacia eí año t955, y coincidiendo con ei surgimiento de 'a época computadonal, surgió el Método de Kan?, cuya divulgación fue inmediata. Como se verá más adelante, este nuevo método iterativo presenta ia verrtaja de su tota! automatización comparado con el Método de Cross, y en un único esquema numérico de cálculo se llega a la solución del problema. Este hecho \Q convierte en una alternativa más conveniente que Cross para ser programado computacionalmerTíe, sobre iodo en edificios en altura.

2.- FÜNDAMEMIO OPERATIVO DE LOS iVlETQDQS DE C R O S S Y K A N i

El Método de Cross está basado en correcciones adicionales, es decir que se parte de un valor del momento y se !e agregan correcciones hasta arribar ai valor final, o sea:

Mk = Mk,o -1- Mk,i + Mk,2 + + Mk,n (1)

Ei Último valor iVIkn debe ser suficientemente pequeño respecto a! valor inicial Mk.o-

Ei Método de Kani es un procedimiento iterativo en el cual se tiende al valor real mejorando paulatinamente el valor inicial, es decir:

Valor inicial Mk = Mko Primera iteración M K = Mk,r Segunda iteración Mk = Mh,2

Iteración (n-1) Mk = Mk,n-i Iteración (n) Mk = Mkn

El proceso finaliza cuando los dos últimos valores: Mkn-i y Mkn son suficientemente Similares.

Se han propuesto otros métodos iterativos que operan con giros en lugar de momentos, pero no presentan ninguna ventaja respecto a los mencionados. En todos ellos, debe recalcarse que a pesar de su carácter operacionalmente repetitivo, no son métodos aproximados, pues a los valores finales, sean giros o momentos, puede arribarse a resultados tan exactos como se desee, con ^olo continuar el proceso numérico hasta las cifras decimales deseadas.

Tanto en Cross como en Kani ei sistema fundamental asociado a los mismos es el mismo que el adoptado en el método de las deformaciones, es decir con nudos bloqueados al giro y al desplazamiento. Ello resulta obvio en razón de que ambos métodos se fundamentan en ei método nombrado en último término, como se verá en lo que sigue.

3 - METODO DE CROSS

La idea de Cross es partir del sistema fundamental, o sea el sistema bloqueado, solicitado por las acciones exteriores, arribándose al sistema real deshaciendo este bloqueo por etapas. En la primera etapa se permite el giro de los nudos, impidiendo en cambio los desplazamientos, lo que equivale a operar con un sistema indesplazable. arribándose a un diagrama de momentos MQ. En la segunda etapa se analiza el sistema desplazable, que conduce a un diagrama de momentos Mi. Los momentos finales resultarán de la suma de ambos, es decir:

Mfinal = Mo + M, ( 2 )

Es evidente que si el sistema presenta un grado de desplazabilidad mayor que uno, con desplazamientos independientes A i , A?.,.... An la ecuación anterior se amplia a:

Mfinal = Mo + M i + M2 + + Mn (3)

Lo expresado anteriormente se puede ilustrar con el ejemplo de Fig.1. Se trata de un pórtico simple empotrado en su base, y admitiendo como es corriente que la rigidez extensionai de las barras tiende a infinito - suposición aceptada en el método de las deformaciones manual - el grado de desplazabilidad es igual a uno.

B

P R O P U E S T O

}.0 m

4.0 m

D

Fiq.1

En Fig.2 se dibujó e! sistema indesplazabie sometido a la carga exterior q. Obsérvese que ©ñ óóftéépQñáénáñ con !a biela se manifiesta una fuerza de fijación Fo , a determinar una vez que e! diagrama de momentos Mo sea conocido, diagrama que se logrará a través del método de Cross.

Fo A B

S I S T E M A INDESPLAZABLE RESUELTO POR

CROSS

<r*- •D Dado que la fuerza Fo fue introducida arbitrariamente, Cross la anula en una segunda etapa, aplicándola al sistema con sentido contrario, Fig.3. Es evidente que dicha fuerza ha de producir ef desplazamiento A del sistema propuesto, tal como se indica en la figura, y originará además e! diagrama de momentos Mi de ec.(2).

Fe A 3 r " — " — • A

SISTEMA DESP1J\2ABLE

RESUELTO POR CROSS

r- D 3-1 Factores auxiliares en ej método de Cross Si bien desde el punto de vista conceptúa! lo expuesto por Figs.2 y 3 resulta totalmente comprensible, resta conocer la forma córrüO Cross resuelve cada uno de los sistemas anteriores para arribar a tos diagramas MQ y M\. Para ello se hace necesario comentar tres factores que son fundamentales para ia ejecución del proceso numérico de Cross:

1.- Factor de Rigidez 2- Factor de Inducción 3.- Factor de distribución

Los dos primeros factores surgen de ia consideración de Fíg.4, en !a cual se aplica en un extremo de la barra AB e! momento que produce el giro unitario en dicho extremo, en tanto que ei extremo distante se encuentra empotrado. Cor?io se dedujo al estudiar el método de las deformaciones, este momento, que se denomina factor de r igidez k, vale:

Fig.4

A su vez, en ei extremo B se puede reemplazar ei empotramiento por un momento que impide ei giro en ese extremo, cuya magnitud es conocida y vale:

R i i 2EI 1, M B = = ~k

L 2 (5)

La relSóión entre el momento en A y el momento en B es el factor de inducción y, cuyo valor es:

y= 1 = 0.5

Se interpreta la expresión anterior concluyendo que cualquier momento apÜcadO en A induce en el extremo empotrado B la mitad de su valor. Si ei extremo B fuera articulado el factor de rigidez es ahora k' y vale:

k' = 3EI (6)

y como se indica en Fig.5 no se induce momento alguno de A a B, o sea que y = O

A - » Y = 0 B Fig.5 .

L

En cuanto ai factor de distribución p, se determinará su valor en base a la Fig.6, en la cual se ha dibujado un nudo solicitado por un momento exterior M, y a! cual concurren las barras 1 a 4.

M 3

Fig.6

EJ momento M en el nudo hace girar al mismo un ángulo cp y se distribuye entre las barras que concurren al mismo, al tiempo que dichas barras han de girar ei mismo ángulo (p que aquel. En consecuencia puede escribirse:

(7)

Lo que conduce a:

;M=P,.M

a El e s

M , = P,.M

M3

La suma de los factores de distribución p alrededor del nudo debe ser obviamente la unidad. Para una barra cualquiera i puede expresarse j3 en la forma:

3.2.- Distribución de momentos según CROSS

Una vez determinados los factores auxiliares puede procederse a desarrollar el proceso numérico de iteración de Cross. Para ello, dicho autor parte del sistema con nudos bloqueados y desbloquea un nudo cualquiera, manteniendo bloqueados los nudos restantes. Se hace evidente que si el nudo desbloqueado está solicitado por un momento cualquiera, este momento actúa como desequilibrante del nudo y se distribuirá entre las barras que concurren al mismo según los factores de distribución de estas últimas, quedando el nudo en equilibrio. A su vez, cada momento distribuido así determinado en cada extremo de barra inducirá en el extremo opuesto la mitad de su valor, salvo que dicho extremo opuesto sea articulado, caso en que no se inducirá ningún momento por ser y = 0. Al finalizar este paso se vuelve a bloquear e! nudo elegido y se procede a desbloquear otro nudo del sistema, sin que sea necesario seguir un orden determinado, repitiéndose el proceso numérico anterior. Para acelerar la convergencia, es conveniente ir desbloqueando ios nudos que están solicitados por los mayores momentos desequilibrantes.

El proceso explicado se continúa hasta que ios momentos distribuidos entre las barras que concurren a los nudos sean de escasa monta comparados con los momentos de empotramiento perfecto que dieron origen a! comienzo del cálculo. Llegada esta instancia, los momentos finales se determinan como suma de los siguientes momentos en cada extremo de barra:

Momentos de empotramiento perfecto Momentos distribuidos Momentos inducidos

Como control, debe verificarse la nulidad de la suma de los momentos en los extremos de barras concurrentes a cada nudo.

El proceso de Cross así explicado debe ser aplicado al sistema indespiazable y a todos los sistemas desplazabies asociados a la estructura en estudio. Como ejemplo, se completará el cálculo de la estructura aporticada de Fig. 1, a la que se asignan los siguientes datos:

Altura de columnas : 4.0 m Luz des dinte!: 5.0 m Inercia de las columnas : ! = 0.0053 • Inerda del dintel; I = 0.01 m4 Carga q = 2 í/m

Nota : Para le determinación de momentos flsctores es suficiente operar con rigideces relativas en lugar de las reates. En consecuencia, puede trabajarse con los valores relativos siguientes:

• Barras empotradas: k = ^

Barras articuladas en un extremo: k' = 0.75 — L

En este c a s o : k dintel = 0.20 , kcoiumna = 0.133

Los factores de ciistnbución valen: O 20 O Í33

a25T3:m=°-"' • = o:257írÍ3r Sistema indespiazable

El momento de empotramierüo en el dintel vale:

M c A - ~ ^ = -2.67ím , M,e=+2.67tm

En el esquema de Cross que sigue a continuación, Fig.7, se ha operado siguiendo las reglas anteriores: Se-? desbloqueó primeramente el nudo A , donde el momento desequilibrante es 2.67, e\o equilibrante es entonces (-2.67) y los momentos distribuidos en extremos de columna y dintel, en base a los factores de distribución 0.40 y 0.60, son (-1.07) y (-1.60), respectivamente. Estos inducen en el extremo opuesto la mitad de su valor, o sea (-0.54) y (-0.80), quedando e! nudo en equilibrio, pudiendo ser bloqueado nuevamente. Para indicar que un nudo se encuentra e equilibrio se traza una linea sobre los valores de momentos inducidos. Los momentos en extremos inferiores de columnas, por estar empotrados, reciben y -absorben los momentos que les llegan, pero no devuelven nada. Se pasa entonces ai nudo B, donde se tiene el momento inducido (-0.80), de manera que el mismo actúa como desequilibrante al desbloquear este nudo. El momento equilibrante (+0.80) se distribuye proporcionalmente a los factores de distribución, resultando los valores 0.48 y 0.32, que a su vez inducen la mitad de su magnitud en el extremo opuesto, quedando en equilibrio. Se repite luego el proceso pasando al nudo A, donde ahora, a! desbloquear al mismo, actúa e! momento 0.24 como desequilibrante, continuándose la iteración en la misma forma que en el primer paso. El esquema numérico así descrito se continúa hasta que los valores resultan despreciables respecto a ios momentos iniciales. Llegada esta instancia, e! proceso debe terminar con el paso de distribución, no debiéndose inducir en el nudo opuesto. Finalizado e! Cross, se suman en cada extremo de barra ios valores encolumnados, y en cada nudo debe verificarse que la suma de momentos sea igual a cero. Se recomienda repetir en forma personal el proceso nuniéricü anterior a Tm de fijar los conceptos involucrados. Ei diagrama de momentos en el sistema indespiazable, dibujado por la fibra fraccionada, se construye teniendo en cuenta la convención de signos acostumbrada: momentos positivos en extremos de barras actúan con sentido horario.

1.49 A

- t — o o o CD -cS 1 d

! T -

1

-1.49 -0.01 0.02

-0.14 0.24

-1.60

-3.26

V

i f t N O l O CD O O c ^ i

0.60

-0.35 0.04 -0.07 0.48 -0.80

-CM

d

CD C\T - O d d

0.35

0.18

Fjq.7

bl diagrama de ríiomeníos Mo en ím del sistema indesplazabie se dibujó en Fig.8, por la fibra traccionatía.

Fo

3.26

Fig.8

0.18

La fuerza de fijación Fo esquematizada en ía figura se considera positiva cuando posee el sentido elegido para ei desplazamiento A. Dicha fuerza se determina sumando los cortes en cabezas de columnas, cuya dirección coincide con !a de! desplazamiento A. En Fig.9 se realizaron los cáicuios correspondientes.

2.0 t/m

_ r 3.56 o ^

• • o . 13 0.35/

3.26

4.00 m

^ 3 t

Fig.9

0.18

Fo = - 4.0 + 0.44 - 0.13 = - 3.691 (sentido < ^ )

Sistema Desplazable

La fuerza Fo determinada anteriormente, aplicada al sistema desplazable cambiada de signo, produciría el desplazamiento real A , hasta ahora incógnito. Ello se ilustra en Fig.3, que se repite a continuación.

Fig.10

Sin embargo, el hecho de que Fo no genera momentos de empotramiento perfecto para dar comienzo al proceso de Cross, obliga a usar el siguiente artificio: Se opera con un desplazamiento elegido arbitrariamente Aarb que se aplica al sistema fundamental y genera los momentos de empotramiento en las columnas, Fig.11, que eSÍátl dadOS DOr la expresión;

arb

Fig.11

(9)

Obsérvese que una vez que el pórtico es desplazado, debe evitarse que vuelva a su posición original, para lo cual se ha dispuesto la biela a la altura del dintel. En consecuencia, F i * puede interpretarse como la fuerza que produce el desplazamiento Aarb,

o en su defecto, como la fuerza de fijación que evita el regreso del pórtico a su posición original una vez que se aplicó Aarb,

Por otra parte, dado que los momentos de empotramiento de ec.(9) son proporcionales al desplazamiento A a * elegido al azar, resulta más práctico elegir directamente los momentos de empotramiento, tratando que su valor sea del mismo orden de magnitud que los momentos asociados al sistema indesplazable. En el sistema de Fig.11 se ha optado por momentos de (-5.0) tm en la cabeza y pie de ambas columnas idénticas.

3.46 -0.06 Q.1Q

-0.63 1.05 3.00

0.19 -0.32 2.10 1.50

-3.46 £ü o o

p o o o o c\ UO

-4.23

• t t CM T-o rg o o

o o o o r-^ i d

Fia. 12

o o co q ^ T-lO T^iO -3.46

o o 1̂ q o uj> o o -4.23

El diagrama de momentos M i * del sistema despiazable se dibujó en Fig.13 por el lado de la fibra fraccionada. La fuerza F i * resulta de sumar los cortes en cabezas de columnas, según se indica en Fig. 14.

4.23 A

4.23

La fuerza F i * surge de haber adoptado momentos de empotramiento arbitrarios. Por otra parte, dado que sobre el dintel no actúa ninguna fuerza concentrada exterior, es posible escribir la siguiente ecuación de equilibrio:

Fo + C. F i * = 0 (10)

donde C es un coeficiente de proporcionalidad cuyo valor se determina con ec.(10).

C = - Í 0 - = i ^ = 0.96 , (11) F i * 3.84

Obviamente, dicho coeficiente representa además la siguiente relación:

M , * En consecuencia, los momentos finales surgen de:

M = Mo + Mi = Mo + C.Mi * = Mo + 0.96

El diagrama final de momentos se dibujó en Fig.15.

(12)

(13)

2 . 9 7

1.83

Mpinal

7.32 2 . 2 6 /

Fiq.15

Nota aclaratoria: Si el pórtico presentara la forma de Fig.16, al adoptar los momentos de empotramiento perfecto del sistema desplazable se debe cuidar que dichos momentos sean compatibles en todas las columnas. Dado que las columnas SOn diferentes, se adopta el momento de empotramiento para una de ellas y se determina el de las denriás. En el ejemplo, se adoptó para la columna AC el momento de empotramiento MAC*=MCA* y ei momento MBD* en la columna BD resulta de expresar la igualdad de desplazamientos en ambas columnas:

lAC El.

6Er ' ^ ^ A C

A A B A

/ Punto de Inflexión 1

IAC / EIBD

f Fiq.16 / D

3EI , 1 c (14)

' A C -"^-"^ B D ^

Igualando el segundo y tercer miembros de la ecuación anterior puede despejarse el momento de empotramiento MBD*.

3 - 3 . - Estructuras regulares sometidas solamente a cargas verticales

Si la estructura de un edificio es regular y se excluyen las cargas horizontales de sismo o viento (o se consideran éstas por separado), cabe la simplificación que se muestra en Fig.17. En el esquema de la izquierda se analiza un nivel cualquiera considerado | indesplazable, sometido a las cargas verticales, y se incluyen en el cálculo solamente las : columnas situadas por encima y por debajo del mismo, que se consideran empotradas perfectamente en el extremo opuesto. El proceso se repite nivel por nivel aplicando un único Cross a esta estructura indesplazable, superponiéndose luego los resultados. En el esquema de la derecha cabe una simplificación adicional: Si las luces de tramos son aproximadamente iguales, pueden suprimirse las columnas intermedias, manteniéndose ' solo las columnas extremas. Resulta de esta manera una viga continua, empotrada elásticamente en los extremos y apoyada simplemente en los puntos intermedios.

• , i ; 1

——

Fig.17

3.4.- Estructuras con columnas o dinteles inclinados

El caso de columnas inclinadas se ilustra en Fig.18. Para el ejemplo presentado el grado de desplazabilidad es uno, ya que se tiene solo un desplazamiento independiente, pero al analizar el sistema desplazable deben aplicarse momentos de empotramiento en todas las barras afectadas por el desplazamiento. Por otra parte, el planteo de la suma de fuerzas cortantes en dirección del desplazamiento A acarrea dificultades adicionales. Se concluye entonces que el caso de columnas inclinadas presenta una mayor laboriosidad.

En cambio, no sucede lo mismo cuando la inclinación la poseerí los dinteles. En la estructura de tribuna de Fig.19 se han esquematizado los dos sistemas desplazables en dirección horizontal, no surgiendo ninguna dificultad en el tratamiento de los mismos.

3.5.- Estructuras simétricas de forma: Simplificaciones por carga simétrica y antimétrica

Es posible simplificar el proceso de Cross explicado anteriormente para el caso de estructuras con forma simétrica, sometidas a cargas simétricas o antimétricas. A continuación se presentan las simplificaciones asociadas a las distintas alternativas

I - E l eje de simetría corta nudos

l.a.- C a r g a s simétr icas

L a estructura de F ig .20 representa este caso . Los giros en los nudos conten idos por e l eje de simetría son nulos {<PB = <PE = 0), y por lo tanto, los dinteles s e compor tan c o m o empot rados en d icho eje, según se indica en ei e s q u e m a de la de recha . Po r lo tanto, so lo es necesar io anal izar !a mitad de la estructura, s in modif icar las rigideces de los miembros.

Fiq.20

B

C o l u m n a s B E y i E H no t ienen ¡

momentos •

i.b.- C a r g a s antimétr icas

L a Fig,21 ilustra es te caso .

M(

r -10 f 10 10 -10

B

Í > D E

Fiq.21

X X

X ^ 1

C o l u m n a central

1 p o s e e momentos

A título de ejemplo, s e escr ib ieron valores supuestos que podrían tener los momentos de empotramiento perfecto en ios extremos de dinteles, in teresando prioritariamente los s ignos. S i s e desb loquean al misrno t iempo los nudos A y C , s e distr ibuirán d ichos momentos en ta les nudos y se inducirán momentos hac ia ei extremo B, que serán del mismo valor y del mismo signo. S e infiere entonces que a la izquierda y a la de recha de B los dinteles s iempre acusarán momentos iguales en valor y s igno. Consecuen temen te , también en este c a s o podrá trabajarse con la mitad de la estructura, con so lo repetir a la de recha los momentos que van aparec iendo a la izquierda de los nudos contenidos por e! eje de simetría, tal como s e indicó e n el e s q u e m a a la de recha de F ig .21 . Obv iamente , los nudos B y E s e deberán tratar c o m o cualquier otro nudo en lo que hace a la distr ibución e inducción, ten iéndose en cuenta los momentos desequi l ibrantes en todos los dinteles y co lumnas que concurren a e s o s nudos.

II.- El eje de simetría corta barras

II.a.- Cargas simétricas

En Fig.22 se presenta un pórtico con simetría de forma y de carga, cuyo eje de simetría corta a las barras AB y CD.

-10 10 B

En la barra AB, por ejemplo, si se desbloquean al mismo tiempo los nudos A y B, los momentos que resultan de la distribución no inducirán momentos a través de! eje de simetría, ni de A a B ni de B a A Para posibilitar el desbloqueo simultáneo, se debe modificar el factor de rigidez de la barra, según se observa en el esquema que sigue:

2Ei Por la ley de Mohr puede determinarse en forma simple que k'= — = 0.5k. En resumen, deben modificarse las rigideces de las barras cortadas por el eje de simetría, reduciéndolas a ¡a mitad de su valor. Una vez realizado este paso, se trabaja con la mitad de ía estructura, según se observa en Fig.23.

k'= 0.5k

k'= 0.5k

FlgL23

II.b.- Carga antimétrica

El mismo pórtico de Fig.22 es sometido ahora a carga antimétrica, Fig.24. Los momentos de empotramiento perfecto en los dinteles AB y CD presentan igua! signo, al igual que los momentos distribuidos en los extremos de esos dinteles. Además, es sabido que en barras sometidas a cargas antimétricas se origina un punto de inflexión en el centro de su luz, y no existe desplazamiento vertical en dicho punto. Por lo tanto, si por ejemplo se desbloquean simuitáneamente los nudos A y B, podrá calcularse - de acuerdo a lo expresado antes- una nueva rigidez de la barra, que se denominará k".

A

i

Fig.24

B

k"

D Según Mohr, puede deducirse fácilmente que:

k = 1-5 k En consecuencia, puede trabajarse con la mitad de la estructura, asignando para las barras que se encuentran cortadas por el eje de simetría la rigidez 50% mayor que la normal, Fig.25.

Puntos de inflexión

Fiq.25

Aclaración sobre el uso de A ó y en los sistemas despiazabíes

Como se expíicara anteriormente, el uso de A ó y en los sistema despiazabíes es optativo, pero caben diferencias operativas, que se aclaran en el ejemplo de Fig.26.

A 2

A)

Fiq.26

Ai

B)

En e! caso A) se trabajó con los desplazamientos A i y A 2 , que fueron originados por los giros yi y 72 de ios pisos 1 y 2, respectivamente. Para plantea^ las ecuaciones de equilibrio en dinteíes, deben determinarse ios cortes en las secciones de columnas indicadas con una marca en ios esquemas de desplazamiento. En ei caso B) se ha operado directamente con los desplazamientos independientes A i y A2 de dinteles, y ahora las ecuaciones de equilibrio deben incluir los cortes en las secciones de columnas indicadas en los esquemas de desplazamiento.

3-7.- Ejemplos de simplificaciones en sistemas simétricos de forma

En los esquemas de Fig.27 se indicaron el sistema propuesto y el sistema simplificado para operar con Cross en el caso de sistemas simétricos de forma.

k'= 0.5k

= 0.5k P Fig.27

k" = 1.5k

k"=1.5k:=^

CARGA SIMETRICA CARGA ANTIMETRiCA

3-8.- Ejemplos de solución por Cross cuando se presentan apoyos elásticos

En la Fig.28 se presenta un ejemplo de viga continua sobre apoyos elásticos, sometida a cargas verticales.

Fig.28 O ./\

ka

Para la solución del sistema por el método de Cross deben plantearse las siguientes etapas;

Paso1: Ejecutar por Cross la viga sobre apoyos indesplazabies, Fig.29.

Fig.29 O 1 2

El diagrama de momentos que resulta de este sistema indesplazable es Mo, y las reacciones en los apoyos donde se suprimieron resortes se denominan RQ.

Pasos sucesivos: Sobre el sistema fundamental de la viga, y en correspondencia con los apoyos intermedios 1,2 y 3, se aplica un desplazamiento vertical unitario, uno por vez, como se indica en Fig.30 para el apoyo 1. Hecho esto, se calculan los momentos de eiYipotramiento perfecto, en este caso en las vigas 01 y 12. y se ejecuta el Cross. Se obtiene el diagrama de momentos Mi. Luego se calculan las reacciones R n , R21 y R31 , donde el primer índice indica el lugar y el segundo índice la causa.

Fig.3Q 0 1 / 3 / 4

iAi=1 ^

A "

t R i i .

tR21 t R s i

Haciendo lo propio con los nudos 2 y 3 se obtendrían las reacciones R12, R22 y R32 para ^2=1 y R i 3 , R 2 3 y R33 para A3=1.

Paso final: Se deben plantear tres ecuaciones de equilibrio en correspondencia con los resortes 1,2,y 3. Dado que fueron aplicados desplazamientos arbitrarios de valor unitario, los coeficientes C i , C2 y C 3 a determinar, cuya expresión general es:

^ _ A i _ desplazamiento real _ desplazamiento real ^¡ .arbitrar io despIazamicnto arbitrario 1

pasan a ser directamente los desplazamientos reales. En consecuencia, las ecuaciones de equilibrio se escriben - habida cuenta que en el sistema propuesto la reacción en cada "esorte es (k. Areai) - como sigue:

R1O + A1.R11 +A2.Rl2 + A 3 . R l 3 + ki.Ai =0 R20 + Ai. R21 + A2. R22 + A3. R23 + k2. A2 = O R30 + A1.R31 + A2.R32 A 3 - R 3 3 + ks-Aa = O

Una vez determinados los valores de Ai, A2y A3 los momentos finales resultan de aplicar el principio de superposición:

Mfinal = Mo + A1.M1 + A2.M2 + A 3 . M 3

Otro ejemplo con resortes se niuestra en Fig.31. En este caso se trata de un resorte horizontal en el apoyo derecho.

Fig.31

L a solución del s is tema e s similar al c a s o anterior y se desarrol la en las s iguientes e tapas :

P a s o 1: S e ca lcu la el d iagrama MAJO, donde se reemplazó 'el resorte por un apoyo fijo. C a b e acotar que para llegar a la solución de este s is tema deben apl icarse las ca rgas al s is tema fundamenta l , F ig .32, y resolver por C r o s s e l s is tema indesp lazab le + el desp lazab le en el dintel superior.

Ffg.32

í > V o

IJO

P a s o 2: Apl icar al s is tema fundamental un desp lazamiento Aarbitrario=1 en dirección del r^*9)l9 Oe) prOÍOlipO, y calcular los nuevos momentos MA=I , Fíg.33. Nuevamente, se traía de un s is tema desp lazab le en ei dintel superior, que s e resolverá, c o m o el anterior, en dos e tapas.

\

Fiq.33

,.HA=

P a s o 3: C o m o en el ejemplo tratado anteriormente, ia ecuación de equil ibrio resulta:

Hfijo + Area|HA=i + k. Areal = O

y los momentos f inales son , por superposic ión:

Mfinal = Mfijo + Araal.MA=i